Problemas de variables aleatorias y distribución 2014 2.120-156

Problemas Propuestos de
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISCRETAS
2.120
Supóngase que se lanza un par de dados honrados y que la variable aleatoria X denote la suma
de los puntos, (a) Obtener la distribución de probabilidad para X. (b) Construir una gráfica
para esta distribución de probabilidad.
2.121
(a) Hallar la distribución de probabilidad de niños y niñas en familias con 3 hijos, suponiendo
iguales probabilidades para niños y niñas. (b) Representar gráficamente la distribución en (a).
2.122
Una moneda se lanza tres veces. Si X es la variable aleatoria que indica el número de caras
que resultan, (a) construir una tabla que muestre la distribución de probabilidad de X y (b)
representar gráficamente la distribución.
2.123
Una urna tiene 5 bolas blancas y 3 negras. Si se extraen dos bolas aleatoriamente sin
remplazamiento y X denota el número de bolas blancas, (a) hallar la distribución de
probabilidad para X y (b) representar gráficamente la distribución.
2.124
Resolver el Problema 2.123 si se extraen las bolas con remplazamiento.
2.125
Sea Z la variable aleatoria que representa el número de caras menos el número de sellos en
dos lanzamientos de una moneda honrada. Hallar la distribución de probabilidad de Z.
Comparar los resultados con los Ejemplos 2.1 y 2.2.
2.126
Sea X la variable aleatoria que representa el número de ases extraídos aleatoriamente en 4
cartas de una baraja de 52 cartas, (a) Construir una tabla que muestre la distribución de
probabilidad de X y (b) representar gráficamente la distribución.
FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DISCRETA
2.127
(a) Hallar la función de distribución F(x) para la variable aleatoria X del Problema 2.120 y (b)
representar gráficamente esta función de distribución.
2.128
(a) Hallar la función de distribución F(x) para la variable aleatoria X del Problema 2.121 y (b)
representar gráficamente esta función de distribución.
2.129
La función de probabilidad de una variable aleatoria X se muestra en la Tabla 2-7. (a)
Construir una tabla que indique la función de distribución de X y (b) representar gráficamente
esta función de distribución.
Tab l a 2-7
T a b l a 2-8
x
1
2
3
x
1
f(x)
1/2
1/3
1/6
F(x)
1/8
2
3/8
3
4
3/4
1
2.130
Obtener la función de distribución y su gráfica para el (a) Problema 2.122, (b) Problema
2.160, (c) Problema 1.
2.131
Obtener la función de distribución y su gráfica para el (a) Problema 2.125, (b) Problema
2.126.
2.132
La Tabla 2-8 muestra la función de distribución de la variable aleatoria X Determinar (a) la
función de probabilidad, (b) P(1 # X # 3), (c) P(X $ 2), (d) P(X < 3), (c) P(X > 1.4).
VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
CONTINUAS
2.133
Una variable aleatoria X tiene la función de densidad f(x) = c/(x2 + 1), donde –4 < x < 4. (a)
Hallar el valor de la constante c. (b) Hallar la probabilidad de que X2 esté entre 1/3 y 1.
2.134
Hallar la función de distribución correspondiente a la función de densidad del Problema
2.133.
2.135
Una variable aleatoria X tiene función de densidad
Hallar (a) la constante c, (b) P(l < X < 2), (c) P(X $ 3), (d) P(X < 1).
2.136
Hallar la función de distribución para la variable aleatoria del Problema 2.135. Representar
gráficamente las funciones de densidad y distribución, describiendo la relación entre ellas.
2.137
Una variable aleatoria X tiene función de densidad
Hallar (a) la constante c, (b) P(X > 2), (c) P(l/2 < X < 3/2).
2.138
Hallar la función de distribución para la variable aleatoria X del Problema 2.137.
2.139
La función de distribución para una variable aleatoria X es
Hallar (a) la función de densidad, (b) la probabilidad de que X > 2, y (c) la probabilidad de
que –3 < X # 4.
2.140
La función de distribución de una variable aleatoria X está dada por
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad: Problem as propuestos
Pág. – 2
Si P(X = 3) = 0 hallar (a) la constante c, (b) la función de densidad, (c) P(X > 1), (d) P(l < X
< 2).
2.141
¿Puede ser la función
una función de distribución? Explicar.
2.142
Sea X una variable aleatoria que tiene una función de densidad
Hallar (a) el valor de la constante c, (b)P(l/2 < X < 3/2), (c)P(X > l), (d) la función de
distribución.
DISTRIBUCIONES CONJUNTAS Y VARIABLES INDEPENDIENTES
2.143
La función de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias discretas X, Y está dada por
f(x, y) = c(2x + y), donde x, y pueden tomar todos los valores enteros tales que 0 # x # 2, 0 #
y # 3, y f(x, y) = 0 de otra forma.
(a) Hallar el valor de la constante c.
(b) Hallar P(X = 2, Y = 1).
(c) Hallar P(X $ 1, Y # 2).
2.144
Hallar las funciones de probabilidad marginal (a) de X y (b) de Y para las variables aleatorias
del Problema 2.143.
2.145
Demostrar que las variables aleatorias X, Y del Problema 2.143 son dependientes.
2.146
La función de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias discretas X, Y está dada por
f(x, y) = cxy para x= 1, 2, 3, y = 1, 2, 3, cero de otra forma. Hallar (a) la constante c. (b) P(X
= 2, Y = 3), (c) P(l # X # 2, Y < 2), (d) P(X $ 2), (e) P(Y < 2), (f) P(X = 1), (g) P(Y = 3).
2.147
Hallar las funciones de probabilidad marginal de (a) X y (b) Y para las variables aleatorias del
Problema 2.146, (c) Determinar si X, Y son independientes.
2.148
Demostrar que las variables aleatorias discretas X, Y son independientes solo si para todos los
valores de x, y su función de probabilidad conjunta puede expresarse por el producto de una
función en x y una función en y.
2.149
Sean X, Y variables aleatorias continuas que tienen función de densidad conjunta
Determinar (a) la constante c, (b) P(X < ½, Y > ½), (c) P(¼ < X < ¾), (d) P(Y < ½), (e) si X
e Y son independientes.
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad: Problem as propuestos
Pág. – 3
2.150
Hallar las funciones de distribución marginal (a) de X, (b) de Y para la función de densidad
del Problema 2.149.
2.151
Demostrar el resultado del Problema 2.148 para el caso donde las variables son continuas.
2.152
La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias continuas X, Y es
(a) Hallar el valor de la constante c.
(b) Hallar P(l < X < 2, 2 < Y < 3).
(c) Hallar P(X $ 3, Y # 2).
2.153
Hallar las funciones de distribución marginal (a) de X y (b) de Y del Problema 2.152.
2.154
Hallar la función de distribución conjunta para las variables aleatorias X, Y del Problema
2.152.
2.155
En el Problema 2.152 hallar P(X + Y < 3).
2.156
Supóngase que las variables aleatorias X, Y tienen la función de densidad conjunta
Hallar (a) la constante c, (b) las funciones de distribución marginal para X e Y, (c) las
funciones de densidad marginal para X e Y, (d) P(3 < X < 4, Y > 2), (e) P(X > 3), (f) P(X + Y
> 4), (g) la función de distribución conjunta, (h) si X e Y son independientes.
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad: Problem as propuestos
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