Problemas de Trayectoria a cualquier ángulo. Trayectoria Ortogonal.

5
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS
TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS:
Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es una
trayectoria ω para una familia de curvas F(x,y,C) = 0 dada, si cualquier curva de la familia T
corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas F(x, y, C) = 0 bajo un ángulo
constante ω.
OBSERVACIÓN:
Recuerde que el ángulo entre dos curvas queda determinado por el ángulo que
forman las rectas tangentes a ambas curvas en cualquiera de sus puntos de intersección.
Sea F(x, y ,C) = 0 una familia de curvas conocida y sea ω un ángulo dado. Se desea
determinar la familia de curvas T(x, y, k) = 0 que mantiene un ángulo constante ω con cada
una de las curvas de la familia F(x, y, C) = 0.
Ya que F(x, y, C) = 0 es conocida, se puede determinar la ecuación diferencial
asociada a dicho haz, por medio del proceso de eliminación de constantes arbitrarias de un
haz de curvas. Sea f(x, y, y’)= 0 dicha ecuación diferencial.
Considérese una curva F1 perteneciente a la familia F(x, y, C) = 0 y una trayectoria T1 ,
a un ángulo ω, tal que se cortan en un punto P(x, y) (ver Figura 1)
F1 ( x, y, C1) = 0
Y
L F1
ω
P(x,y)
T1 ( x, y, K1) = 0
X
Figura 1
L T1
Sea θ el ángulo que forma la recta tangente a la curva F1(x, y, C1) = 0, en el punto P(x,
y), con el eje x; sea φ el ángulo que forma la recta tangente a la curva T1(x, y, K1) = 0, en el
punto P(x, y), con el eje x. Sea ω el ángulo entre ambas rectas (ver Figura 2).
6
F1 ( x, y, C1) = 0
Y
L F1
ω
P(x,y)
θ
T1 ( x, y, K1) = 0
φ
X
L T1
Figura 2
A cada punto de la curva F1(x, y, C1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y’), donde
y’ = tg θ es la pendiente de la recta tangente a la curva F1 en el punto P(x, y).
A cada punto de la curva T1(x, y, k1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y’), donde
y’= tg φ es la pendiente de la recta tangente a la curva T1 en el punto P(x, y).
OBSERVACIÓN:
A fin de evitar confusión con respecto a si la terna (x, y, y’), está referida a los
puntos de la curva F1, o a los puntos de la curva T1, sólo a efectos de la demostración
se escribirá (u, v, v’ ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva
T1. En el punto P(x, y) exactamente se tendrá que:
x = u , y = v , y’ = tg θ , v’ = tg φ
Se debe ahora establecer una relación entre las derivadas y’ = tg θ , v’ = tg φ. Para
ello, se trasladará la recta tangente a F1(x, y, C1) = 0 en el punto P(x, y), hasta el punto de
corte de la recta tangente a T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y) con el eje x (ver Figura 3).
F1 ( x, y, C1) = 0
Y
L F1
ω
T1 ( x, y, K1) = 0
P(x,y)
ω
θ
φ
θ
X
Figura 3
L T1
7
De la Figura 3 se deduce que:
θ = φ – ω.
Por identidades trigonométricas
tg θ = tg (φ – ω) =
tgφ - tg ω
1 + tgφ tg ω
De acuerdo a lo indicado en la observación tg θ = y’, tg φ = v’, entonces al sustituir en
la ecuación anterior, resulta que:
v ' - tg ω
y’=
1 + v ' tg ω
Esta última ecuación permite establecer una relación entre las derivadas de las curvas
F1(x, y, C1) = 0 y T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y).
Ya que f(x, y, y’) = 0 es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas F(x,
v ' - tg ω
y, C) = 0, entonces sustituyendo en dicha ecuación diferencial y’ por
, se obtiene
1 + v ' tg ω
v ' - tg ω
)=0
una nueva ecuación diferencial f(x, y ,
1 + v ' tg ω
Esta es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias que mantiene un
ángulo ω, con la familia F(x, y, C) = 0. Resolviendo la nueva ecuación diferencial se obtiene
la familia T(x, y, k) = 0, familia que representa las trayectorias ω a la familia dada F(x,
y, C) = 0.
OBSERVACIÓN:
La ecuación diferencial
v ' - tg ω
) = 0
1 + v ' tg ω
tiene sentido siempre y cuando ω ≠ 90º, ya que tg 90º se indetermina.
f(x, y,
Si ω = 90º entonces las rectas tangentes a ambas curvas en los puntos de
intersección son perpendiculares. Por geometría, se sabe que, si dos rectas son
perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es:
(tg θ) (tg φ) = -1
Como tg θ = y’, tg φ = v’, resulta que:
y’ = -
1
v'
8
Por lo tanto, si la ecuación diferencial
asociada a la familia de curvas dada
1
se obtiene una nueva
F(x, y, C) = 0 es f(x, y, y’) = 0, entonces sustituyendo y’ por –
v
1
) = 0, que es la ecuación diferencial asociada a la familia de
ecuación diferencial f (x, y, −
v'
trayectorias que mantienen un ángulo de 90º con la familia dada.
Al resolver esta nueva ecuación diferencial, se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, la cual
representa la familia de trayectorias a 90º de la familia dada. Para este caso, cuando ω =
90º, las trayectorias se denominan, trayectorias ortogonales.
OBSERVACIÓN:
Recuerde que solo para efecto de la demostración, se utilizó ( u, v, v’ ) para
hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T(x, y, k) = 0.
PASOS A SEGUIR PARA OBTENER LA FAMILIA DE TRAYECTORIAS A UN HAZ
DE CURVAS DADO
1. Si la ecuación del haz de curvas no está dada en forma explícita, debe determinarse.
Sea F(x, y, C) = 0 la ecuación del haz dado.
2. Debe determinarse la ecuación diferencial asociada al haz F(x, y, C) = 0. Sea
f(x, y, y’) = 0 la ecuación diferencial que resulta.
3.
Si las trayectoria a buscar son a un ángulo ω ≠ 90º, debe sustituirse y’, en
y ' − tgω
ecuación diferencial que se obtuvo en el paso 2, por
; así se obtiene
1 + y ' tgω
y ' − tgω
) = 0.
ecuación diferencial f(x, y,
1 + y ' tgω
Si las trayectorias a determinar son ortogonales (ω = 90º), se debe sustituir y’, en
⎛ 1⎞
⎟⎟ ; así se obtiene
ecuación diferencial que se obtuvo en el paso 2, por ⎜⎜ −
⎝ y'⎠
ecuación diferencial f(x, y, −
la
la
la
la
1
) = 0.
y'
4. Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 3.
5. La solución general de la ecuación diferencial resuelta en el paso 4, representa
la familia de trayectorias que mantiene un ángulo ω con la familia de curvas
dada. (en el caso en que ω = 90º, recuerde que las trayectorias se denominan
trayectorias ortogonales).
9
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS
DE TRAYECTORIAS
1. La ecuación y2 = Cx (C una constante arbitraria) define una familia de parábolas.
Obtenga la familia de trayectorias ortogonales.
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
2
curvas y = Cx
(1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
2yy’ = C
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Debe recordarse que una de las características
de las ecuaciones diferenciales es que no poseen constantes arbitrarias.
Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma
con las ecuaciones (1) y (2).
y 2 = Cx
2yy ' = C
Aquí basta con sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1), resultando
2
y = 2yy’x
(3)
La ecuación (3) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia de parábolas
y = Cx.
2
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
2
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = Cx. Para ello, basta con
⎛ 1⎞
sustituir y’ en la ecuación (3) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando
⎝ y'⎠
⎛ 1⎞
2
y = 2y ⎜⎜ − ⎟⎟ x
⎝ y'⎠
multiplicando por y’/y2
y’ = − 2
x
y
10
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
x
dx
(4)
dy = − 2
y
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables
basta con multiplicar la ecuación (4) por y
y dy = – 2 x dx
equivalentemente
y dy + 2x dx = 0
integrando
∫
y dy + 2
∫
x dx = C1
(5)
Ambas integrales son inmediatas
∫
∫
y dy =
y2
+ k1
2
x dx =
x2
+ k2
2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
y2
2
+ x =K
2
Multiplicando por
1
,
K
y2 x2
+
=1
2K K
(6)
La ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen y
eje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de
2
parábolas y = Cx
OBSERVACIÓN:
Observe que la constante arbitraria utilizada en la ecuación de las trayectorias,
no es la misma constante del haz de curvas dado.
11
3
2
2. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia y = Cx
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
3
2
curvas y = Cx
(1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
2
3y y’ = 2Cx
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎧⎪y3 = Cx 2
⎨ 2
⎪⎩3 y y ' = 2Cx
Aquí basta con despejar C de la ecuación (2) y sustituir en la ecuación (1), resultando
3 y' x
y=
(3)
2
3
2
La ecuación (3) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia y = Cx .
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
3
2
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = Cx . Para ello, basta con
⎛ 1⎞
sustituir y’ en la ecuación (3) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando
⎝ y'⎠
⎛
1 ⎞
⎟⎟ x
y = 3 ⎜⎜ −
⎝ 2 y'⎠
equivalentemente,
y’ = −
3x
2y
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
3x
dy = −
dx
(4)
2y
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables
basta con multiplicar la ecuación (4) por 2y
2 y dy = - 3x dx
12
integrando
2
∫
y dy = −3
∫
x dx
(5)
Ambas integrales inmediatas son inmediatas
∫
∫
y dy =
y2
+ k1
2
x dx =
x2
+ k2
2
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
2
Multiplicando por
y2
x2
= −3
+ k
2
2
1
,
3k
y2 x2
+
=1
3 k 2k
(6)
La ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen y
eje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de
3
2
curvas y = Cx
3. Encuentre el valor de la constante a, de tal forma que las familias
3
2
2
2
y = C1 x , x + a y = C
sean ortogonales
SOLUCIÓN:
Como aquí se tienen dos curvas, se deberán denotar de manera diferente las
derivadas de cada una de ellas; sean:
3
y’ la derivada de la curva y = C1 x
2
2
2
ŷ’ la derivada de la curva x +ay = C
De acuerdo con la definición de curvas ortogonales, para que estas curvas sean
ortogonales debe satisfacerse que el producto de las derivadas sea igual a -1, esto es:
y’. ŷ’ = -1
(1)
Derivando implícitamente respecto de x, la curva
2
3 y y’ = C1
3
y = C1 x
(2)
(3)
La constante C1 debe eliminase del sistema que se forma con las ecuaciones (2) y (3)
⎧⎪y3 = C x
1
⎨ 2
⎪⎩3 y y ' = C1
13
Sustituyendo (3) en (2) se tiene
y = 3 y’ x
Despejando y’
y’ =
y
3x
(4)
2
2
2
Derivando implícitamente respecto de x, la curva x + ay = C
'
2x+2ay ŷ =0
(5)
(6)
'
Despejando ŷ de la ecuación (6)
'
ŷ = −
x
ay
(7)
Sustituyendo las ecuaciones (4) y (7) en la ecuación (1)
⎛ y ⎞⎛ x ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ − ⎟⎟ = -1
3
x
⎝
⎠ ⎝ ay ⎠
Simplificando y despejando la constante a
a =
1
3
4. Determinar las trayectorias ortogonales para la familia y = - x – 1 + C1 e
x
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia
x
(1)
de curvas y = - x – 1 + C1 e
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
x
y’ = - 1 + C1 e
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎧⎪y = − x − 1 + C1 e
⎨
⎪⎩y ' = −1 + C1 e x
x
Despejando C1 e de la ecuación (2)
x
14
x
C1 e = y’ + 1
(3)
Sustituyendo (3) en la ecuación (1), resulta
y = - x + y’
(4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia dada
x
y = - x – 1 + C1 e
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, basta con
⎛ 1⎞
sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando
⎝ y'⎠
⎛ 1⎞
⎟⎟
y = – x + ⎜⎜ −
⎝ y'⎠
equivalentemente,
1
x+y
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
1
dx
(5)
dy = x+y
y’ = −
La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias
x
ortogonales a la curva y = – x – 1 + C1 e
La ecuación diferencial (5) no es una ecuación de variables separables, pero puede
escribirse de la forma
dx + (x + y) dy = 0
(6)
resultando una ecuación diferencial reducible a exacta ( pues, P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, y
∂P ∂Q
≠
).
∂y ∂x
∂Q
∂P
=0 y
= 1; luego la
∂x
∂y
ecuación no es exacta pero puede que admita un factor integrante de la forma
En efecto, si P(x, y) = 1 y Q(x, y) = x + y
µ (x,y) = e
Si v = y entonces
∫
entonces
g ( v ) dv
con g(v) =
⎡ ∂ P ∂Q ⎤
−
⎥
⎢
⎣ ∂ y ∂x ⎦
⎡ ∂v
∂v ⎤
−P ⎥
⎢Q
∂y ⎦
⎣ ∂x
∂v
∂v
=0
= 1 ; sustituyendo en g(v) resulta:
∂x
∂y
15
g(v) =
Así,
µ (x, y) = e
∫
−1
= 1
−1
g ( v ) dv
v
= e
= ey
Por lo tanto el factor integrante es µ (x, y) = ey
Multiplicando la ecuación diferencial (6) por el factor integrante
ey dx + ey (x + y) dy = 0
(7)
La ecuación (7) se puede escribir
ey dx + x ey dy = – y ey dy
(8)
El término izquierdo de la ecuación (8) es la diferencial total de ( x e y ), esto es,
ey dx + x ey dy = d ( x e y )
Así, la ecuación (8) se transforma en
d ( x e y ) = – y ey dy
Integrando
∫
Resolviendo las integrales
∫
d ( x ey ) = −
∫
∫
y e y dy
(9)
d ( x e y ) = x e y + K1
y e y dy se resuelve por el método de integración por partes:
∫
∫
u dv = u v −
∫
y e y dy = y e −
y
⎧⎪u = y
v du , donde ⎨
⎪⎩dv = e y dy
∫
v = ey
e y dy = y ey – ey = ey (y – 1) + K2
Sustituyendo los resultados de las integrales en (9)
x ey + K1 = – ey (y – 1) + K2
o equivalentemente
du = dy
16
multiplicando por e –y
o también
x ey = ey (1 – y) + K
x = (1 – y) + K e –y
(x + y – 1) ey = K
(10)
La ecuación (10), representa la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la
familia de curvas y = – x – 1 + C1 ex
5. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia y = (x – C1)
2
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
2
curvas y = (x – C1)
(1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
y’ = 2 ( x – C1 )
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎧⎪y = ( x − C ) 2
1
⎨
⎪⎩y ' = 2 ( x − C1)
Despejando ( x – C1 ) de la ecuación (2)
y'
2
( x – C1 ) =
(3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
⎛ y' ⎞
y = ⎜ ⎟
⎜2⎟
⎝ ⎠
equivalentemente
2
2
4y = ( y’)
esto es,
2
y = y’
(4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de parábolas
2
y = ( x – C1 )
17
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
2
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = ( x – C1 )
⎛ 1⎞
Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando
⎝ y'⎠
1
2 y = −
y'
equivalentemente,
1
y’= −
2 y
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
1
dy = −
dx
(5)
2 y
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables
basta con multiplicar la ecuación (5) por y
y dy = −
integrando
∫
y dy = −
1
dx
2
1
2
∫
dx
(6)
Ambas integrales son inmediatas
3
∫
y dy =
∫
y 2
3
+ k1
2
dx = x + k2
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
3
y 2
3
= −
2
Para despejar y, primero se multiplica por
eleva a 2 3
1
x+k
2
3
a ambos lados de la igualdad y luego se
2
2
2
3 ⎞ 3
⎛ 3
⎛ − 3x + 6K ⎞
3
y = ⎜− x + K⎟
=
⎜
⎟
4
2 ⎠
⎝ 4
⎝
⎠
18
equivalentemente
y= 3
( k − 3x ) 2
(7)
16
La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de
2
parábolas y = ( x – C1 )
6. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia C1 x
2
+ y
2
=1
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
2
2
(1)
curvas C1 x + y = 1
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
2 C1 x + 2 y y’ = 0
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎧⎪ C x 2 + y 2 = 1
1
⎨
⎪⎩ 2 C1 x + 2 y y ' = 0
Despejando C1 de la ecuación (2)
C1 = −
y y'
x
(3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
⎛ y y' ⎞ 2
⎜−
⎟ x + y2=1
⎜
x ⎟⎠
⎝
equivalentemente
– yy’ x + y
2
= 1
La ecuación (4) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia
2
2
C1 x + y = 1
(4)
19
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
2
2
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia C1 x + y = 1
⎛ 1⎞
Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando
⎝ y'⎠
⎛ 1⎞
2
⎟⎟ x + y = 1
– y ⎜⎜ −
⎝ y'⎠
equivalentemente,
xy
2
=1–y
y'
Despejando y’
xy
y' =
1− y 2
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
xy
dy =
dx
(5)
1− y 2
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables
basta con multiplicar la ecuación (5) por
1− y 2
y
1− y 2
dy = x dx
y
integrando
∫
1− y 2
dy
y
=
Ambas integrales son inmediatas
∫
1− y 2
dy =
y
∫
1
dy −
y
∫
∫
x dx =
∫
x dx
y dy = ln | y | −
x2
+ k2
2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
ln | y | −
y2
2
multiplicando por 2
2 ln | y | = x
=
2
x2
+k
2
2
+ y + 2K
(6)
y2
+ k1
2
20
aplicando propiedades de logaritmo
2
2
2
ln y = x + y + 2K
aplicando e a ambos lados de la ecuación
y
2
⎛⎜ x 2 + y 2 ⎞⎟
⎠
= Ce ⎝
(7)
La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
2
C1 x + y = 1
2
7. Determine la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas 2 x2 + y2 = C
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
2
2
curvas 2 x + y = C
(1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
4 x + 2 y y’ = 0
(2)
Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación representa
la ecuación diferencial asociada al haz de curvas dado.
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
2
2
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2 x + y = C
⎛ 1⎞
Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (2) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando
⎝ y'⎠
⎛ 1⎞
4 x + 2 y ⎜⎜ − ⎟⎟ = 0
⎝ y'⎠
equivalentemente,
2 x y’ – y = 0
Despejando y’
y
2x
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
y
dy =
dx
(3)
2x
y' =
21
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables
2
basta con multiplicar la ecuación (3) por
y
2
1
dy =
dx
y
x
integrando
2
∫
1
dy
y
∫
=
1
dx
x
(4)
Ambas integrales son inmediatas
∫
∫
1
dy = ln y + k1
y
1
dx = ln x + k2
x
Sustituyendo los resultados de la integrales en la ecuación (4)
2 ln | y | = ln | x | + k3
aplicando propiedades de logaritmo
2
ln y - ln | x | = k3
esto es
ln
y2
x
= k3
aplicando e a ambos lados de la ecuación
2
y =kx
(5)
La ecuación (5), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
2
2x + y = C
2
8. Determinar la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = e
Cx
SOLUCIÓN:
curvas
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
y = eCx
(1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
Cx
y’ = C e
(2)
22
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎧⎪ y = e C x
⎨
⎪⎩ y' = C e C x
Despejando C de la ecuación (1)
C =
ln y
x
(3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)
⎛ ln y ⎞
y’ = ⎜
⎟ y
⎝ x ⎠
(4)
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
Cx
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = e
⎛ 1⎞
Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando
⎝ y'⎠
y ln y
1
=
−
x
y'
equivalentemente,
x
y’ = −
y ln y
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
x
dx
(5)
dy = −
y ln y
La ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables basta con multiplicar la ecuación (5) por (y ln y)
y ln y dy = - x dx
integrando
∫
Para resolver la integral
∫
y ln y dy
=
−
∫
x dx
y ln y dy se aplica el método de integración por partes
(6)
23
∫
u dv = u v −
∫
v du ; donde
⎧
⎪u = ln y
⎪
⎨
⎪
⎪⎩dv = y dy
du =
v=
1
dy
y
y2
2
así
∫
y ln y dy =
y2
ln y −
2
∫
2
⎛ y2 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy = y ln y −
⎜ 2 ⎟ ⎜⎝ y ⎟⎠
2
⎝ ⎠
∫
x dx =
∫
y
y2
y2
dy =
ln y −
+ k1
2
4
2
x2
+ k2
2
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
y2
y2
x2
ln y −
= −
+k
2
4
2
multiplicando por 4
2 y 2 ln y − y 2 = – 2 x 2 + 4 k
equivalentemente
2
2
y ( ln y
2
- 1 ) + 2 x = C1
(7)
La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
Cx
y=e
a
b
9. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = C1 x
donde a y b son constantes conocidas.
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
a
b
curvas y = C1 x
(1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
a–1
b–1
a y
y’ = C1 b x
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
24
⎧⎪ y a = C x b
1
⎨
a
−
1
⎪⎩ a y
y' = C1 b x b − 1
Despejando C1 de la ecuación (1)
ya
C1 =
(3)
xb
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)
a y
a–1
ya
y’ =
x
b
bx
b–1
(4)
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
a
b
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = C1 x
⎛ 1⎞
⎟⎟ , resultando
Para ello, se sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ −
⎝ y'⎠
a y
a–1
⎛ 1⎞
⎜⎜ −
⎟⎟ = b
⎝ y'⎠
ya
x
Despejando y’
⎛ a x⎞
⎟⎟
y’ = ⎜⎜ −
⎝ b y⎠
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
⎛ a x⎞
⎟⎟ dx
dy = ⎜⎜ −
(5)
⎝ b y⎠
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables
basta con multiplicar la ecuación (5) por (b y)
b y dy = - a x dx
integrando
b
∫
y dy
Ambas integrales son inmediatas
∫
=
−a
∫
x dx
y2
y dy =
+ k1
2
(6)
25
∫
x dx =
x2
+ k2
2
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
by2
ax2
= −
+ k
2
2
Multiplicando por
1
k
y2
x2
+
=1
⎛ 2K ⎞
⎛ 2K ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ b ⎠
⎝ a ⎠
(8)
La ecuación (8), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
y = C1 x b
a
10. Determine la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales al haz de
1 + C1 x
curvas y =
1 − C1 x
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
1 + C1 x
curvas y =
(1)
1 − C1 x
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
C ( 1 − C1 x ) + C1 ( 1 + C1 x )
y’ = 1
( 1 − C1 x ) 2
desarrollando y simplificando
y’ =
2 C1
( 1 − C1 x ) 2
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
26
1 + C1 x
⎧
⎪y=1 − C x
1
⎪
⎨
2 C1
⎪ y' =
⎪⎩
( 1 − C1 x ) 2
Despejando C1 de la ecuación (1)
⇒
y ( 1 – C1 x ) = 1 + C1 x
C1 =
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)
⎛
y −1
2 ⎜⎜
⎝ (y + 1 ) x
y’ =
⎡
⎛
y −1
⎢ 1 − ⎜⎜
⎝ ( y +1) x
⎣
y −1
( y +1) x
(3)
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
⎤
x⎥
⎦
2
desarrollando y simplificando
y’ =
2
x
⎛ y −1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ y +1 ⎠
4
=
( y +1) 2
( y − 1) ( y + 1)
2x
de aquí resulta que
y 2 −1
2x
y’ =
(4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
1 + C1 x
y=
1 − C1 x
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
1 + C1 x
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia y =
. Para ello,
1 − C1 x
⎛ 1⎞
basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando
⎝ y'⎠
y 2 −1
2x
1
=
−
y'
despejando y’
y’ = −
2x
y
2
−1
=
2x
1− y 2
27
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
2x
dy =
dx
(5)
1− y 2
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables
2
basta con multiplicar la ecuación (5) por ( 1 – y )
2
( 1 – y ) dy = 2 x dx
integrando
∫
(1 − y 2 ) dy
Ambas integrales son inmediatas
∫
(1 − y 2 ) dy =
∫ ∫
dy −
∫
= 2
x dx =
∫
x dx
y 2 dy = y −
(6)
y3
+ k1
3
x2
+ k2
2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
y3
= x2 +k
y−
3
multiplicando por 3
2
3
3x +y –3y = C
(7)
La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
1 + C1 x
y=
1 − C1 x
11. Determine la ecuación del haz de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
2
2
2x +y =4Cx
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
2
2
(1)
curvas 2 x + y = 4 C x
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
4 x + 2 y y’ = 4 C
simplificando
2 x + y y’ = 2 C
(2)
28
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎧⎪ 2 x 2 + y 2 = 4 C x
⎨
⎪⎩ 2 x + y y' = 2 C
Despejando C de la ecuación (2)
C=
2 x + y y'
2
(3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
⎛ 2 x + y y' ⎞
2
2
2x +y = 4 ⎜
⎟ x
2
⎝
⎠
desarrollando y simplificando
2
2
2
2 x + y = 4 x + 2 x y y’
equivalentemente
2
2
y – 2 x = 2 x y y’
(4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
2
2x +y =4Cx
2
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
2
2
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2x + y = 4 Cx . Para ello, se
⎛ 1⎞
sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando
⎝ y'⎠
⎛ 1⎞
2
2
y – 2 x = 2 x y ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ y'⎠
despejando y’
y’ =
2xy
2x 2 − y 2
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
⎛
⎞
2xy
⎟ dx
dy = ⎜
⎜ 2x 2 − y 2 ⎟
⎝
⎠
equivalentemente
2
2
(5)
2 x y dx + ( y – 2 x ) dy = 0
La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea, con grado dos de
homogeneidad.
29
2
Sacando factor común x en la ecuación (5) ( x ≠ 0)
⎫
⎧
⎡ ⎛ y ⎞2
⎤
⎪
2 ⎪ ⎛ 2y ⎞
⎢
⎥
x ⎨⎜
dx
2
dy
+
−
⎟
⎜ ⎟
⎬ = 0
x
x
⎢
⎥
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪⎭
⎪⎩
⎣
⎦
⎧ y
⇒ y = xt
⎪t =
y efectuando el cambio de variable ⎨ x
Multiplicando por
x2
⎪⎩dy = x dt + t dx
1
2 t dx + ( t2 – 2 ) ( x dt + t dx ) = 0
Desarrollando y sacando factor común dx
3
2
t dx + ( t - 2) x dt = 0
(6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
1
variables basta con multiplicar a ambos lados de la ecuación por el factor
, así resulta
3
xt
1
t2 − 2
dx +
dt = 0
x
t3
integrando l
∫
1
dx +
x
∫
t2 −2
t3
dt = C1
(7)
Ambas integrales son inmediatas
∫
t2 −2
t
3
dt =
∫
∫
1
dx = ln | x | + k1
x
1
dt − 2
t
∫
1
t
3
dt = ln | t | +
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7)
1
= k
ln | x | + ln | t | +
t2
aplicando propiedades de logaritmo
ln | x t | +
Devolviendo el cambio de variables ( t =
Ln | y | +
1
t2
= k
y
)
x
x2
y2
= k
1
t2
+ k2
30
Aplicando e
y
⎛x ⎞
⎜ y⎟
e⎝ ⎠
2
= C1
(8)
La ecuación (8), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
2
2x +y =4Cx
2
12. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
2
2y
4 y + x + 1 + C1 e
= 0
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas 4 y + x 2 + 1 + C1 e 2y = 0
(1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
4 y’ + 2 x + 2 C1 y’ e2y = 0
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎧ 4 y + x 2 + 1 + C e 2y = 0
1
⎪
⎨
⎪⎩ 4 y' + 2 x + 2 y' C1 e 2y = 0
Despejando C1 de la ecuación (2)
C1 = −
4 y ' + 2x
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
⎛
4 y ' + 2x
2
4 y + x + 1 + ⎜−
⎜
2 y' e 2 y
⎝
simplificando
2
( 4y + x + 1 ) y’ – 2 y’ +
sacando factor común y’
2
(3)
2 y' e 2 y
⎞ 2y
⎟ e
= 0
⎟
⎠
x = 0
(4y + x – 1) y’ + x = 0
(4)
31
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
2
4 y + x + 1 + C1 e 2y = 0
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, se
⎛ 1⎞
sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ resultando
⎝ y'⎠
⎛ 1⎞
2
(4y + x – 1) ⎜⎜ − ⎟⎟ + x = 0
⎝ y'⎠
despejando y’
1 − 4y − x2
y’ =
x
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
⎛ 1 − 4y − x2 ⎞
⎟ dx
dy = ⎜
⎜
⎟
x
⎝
⎠
esto es
2
( x + 4 y - 1 ) dx + x dy = 0
(5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta. Para resolverla, debe
g ( v ) dv
, donde
determinarse un factor integrante de la forma µ = e ∫
⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂Q ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜
⎟
∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠
⎝
g(v) =
;
⎛ ∂v ⎞
⎛ ∂v ⎞
Q ⎜ ⎟ − P⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y ⎠
⎧ ∂v
⎪⎪ ∂x = 1
Si v = x ⎨
⎪ ∂v = 0
⎪⎩ ∂y
;
∂P
=4
∂y
P(x, y) = x
2
+ 4y - 1 ;
Q(x, y) = x
∂Q
3 3 3
= 1 , entonces g(v) =
= =
∂x
Q x v
;
Por lo tanto, el factor integrante es
3
µ= e
∫v
dv
=e
3 ln| v |
= v
3
= x
3
Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante
2
3
4
( x + 4 y - 1 ) x dx + x dy = 0
(6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial exacta. Esto quiere decir que existe una
función F(x,y) = K, tal que
32
∂F
= x 5+ 4 x 3 y − x 3
∂x
∂F
=x4
∂y
(7 )
(8 )
Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto de y ( x se asume constante )
∫
y
∫
⎛ ∂F ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ∂y =
⎝ ∂y ⎠
x 4 dy
x ctte.
resolviendo las integrales
F( x, y ) = x
4
y + h(x)
(9)
Derivando la ecuación (9) parcialmente respecto de x
∂F
d h( x )
= 4x 3 y +
∂x
dx
(10)
Comparando las ecuaciones (7) y (10) resulta
5
3
3
3
x + 4x y - x = 4 x y +
d h( x )
dx
simplificando
d h( x )
5
3
= x - x
dx
d h( x )
⎛ d h( x ) ⎞
Ya que la diferencial de h(x) es dh(x) = ⎜
⎟ dx, sustituyendo
dx
⎝ dx ⎠
5
3
dh(x) = ( x – x ) dx
integrando
∫
d h ( x) =
∫
( x5 − x3 ) dx
Ambas integrales son inmediatas
∫
∫
d h ( x ) = h(x) + k1
x6
x4
( x − x ) dx =
−
+ k2
6
4
5
3
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (11)
h (x ) =
Sustituyendo h(x) en la ecuación (9)
x6
x4
−
+ k
6
4
(11)
33
F( x, y ) = x
4
y +
x6
x4
−
+ k
6
4
De aquí resulta que, la familia de trayectorias ortogonales a la familia
y + x
2
+ 1 + C1 e
2y
= 0
es
x
4
6
4
4
x
x
−
+ k =0
6
4
y +
13. Determinar la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas
1
1
x 3 + y 3 = C1
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
1
1
curvas x 3 + y 3 = C1
(1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
1 −2 3
1 −2 3
x
+
y
y'= 0
3
3
(
)
(
)
(2)
Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación representa
la ecuación diferencial asociada a la familia dada. Para obtener la ecuación diferencial
asociada a las trayectorias ortogonales a la familia, basta con sustituir y’ en la ecuación (2)
⎛ 1⎞
por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando
⎝ y'⎠
(
1 −2 3
x
3
)
+
(
)
1 −2 3 ⎛ 1 ⎞
⎜⎜ − ⎟⎟ = 0
y
3
⎝ y'⎠
( ) ( )
2
2 ⎤
⎡
multiplicando por ⎢3 y' x 3 y 3 ⎥
⎦
⎣
y’ y
( 23 )
– x
( 23 )
= 0
Despejando y’
2
⎛ x ⎞ 3
⎟⎟
y’ = ⎜⎜
⎝ y ⎠
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
34
2
⎛ x ⎞ 3
⎟⎟
dy = ⎜⎜
dx
⎝ y ⎠
(3)
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables
basta con multiplicar la ecuación (3) por
y
integrando
∫
( 23 )
2
y
( 23 )
x
dy =
y 3 dy
∫
=
( 2 3 ) dx
2
x 3 dx
(4)
Ambas integrales son inmediatas
∫
∫
5
2
y 3 dy =
2
x 3 dy =
y 3
5
+ k1
5
+ k2
3
5
x 3
3
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4)
5
3y 3
5
5
=
3x 3
+k
5
Multiplicando por (5/3) y elevando a las (3/5)
( )
⎛ 5
y = ⎜⎜ x 3
⎝
3
+
⎞ 5
C ⎟⎟
⎠
(5)
La ecuación (5), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
1
1
x 3 + y 3 = C1
14. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de
curvas x + y = C1 ey que pasa por el punto (0, 5)
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas x + y = C1 ey
(1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
35
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
1 + y’ = C1 ey y’
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎧⎪ x + y = C e y
1
⎨
⎪⎩ 1 + y ' = C1 e y y '
Despejando C1 de la ecuación (1)
C1 =
x+ y
ey
(3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)
⎛ x+ y ⎞ y
1 + y’ = ⎜⎜
⎟⎟ e y’
⎝ ey ⎠
desarrollando y simplificando
( x + y – 1 ) y’ = 1
(4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
x + y = C1 ey
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
y
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia x + y = C1 e Para ello, basta
⎛ 1 ⎞
⎟⎟ , resultando
con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ −
⎝ y' ⎠
⎛ 1 ⎞
⎟⎟ = 1
( x + y – 1 ) ⎜⎜ −
⎝ y' ⎠
despejando y’
y’ = 1 – x – y
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy = ( 1 – x – y ) dx
equivalentemente
( x + y – 1 ) dx + dy = 0
(5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta (también lineal en y).
Sea P(x, y) = x + y - 1 ; Q(x, y) = 1 ;
factor integrante de la forma µ = e ∫
g ( v ) dv
∂P
∂Q
=1 ;
= 0 ; la ecuación (5) admite un
∂y
∂x
, donde
36
⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂Q ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜
⎟
∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠
⎝
g(v) =
⎛ ∂v ⎞
⎛ ∂v ⎞
Q ⎜ ⎟ − P ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y ⎠
Si v = x ,
∂v
=1 ,
∂x
∂v
= 0 entonces sustituyendo en g(v), se tiene
∂y
1− 0
1
= =1
g(v) =
Q (1) − P (0) Q
Luego, el factor integrante es
µ = e∫
g ( v ) dv
= e∫
dv
= ev = ex
Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante µ = ex
ex ( x + y - 1 ) dx + ex dy = 0
(6)
Esta ecuación (6) es exacta, ya que si M(x, y) = ex ( x + y - 1 ) y N(x, y) = ex
∂M
∂N
= ex =
= ex .
resulta
∂y
∂x
Por definición, que la ecuación (6) sea exacta, significa que existe una función
⎛ ∂F ⎞
⎛ ∂F ⎞
F(x, y) = K tal que, la diferencial total de F(x, y) dF(x, y) = ⎜ ⎟ dx + ⎜⎜ ⎟⎟ dy es
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y ⎠
dF(x,y) = M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0
es decir,
⎛ ∂F ⎞
x
(7)
⎜ ⎟ = M ( x, y ) = e ( x + y − 1)
⎝ ∂x ⎠
(
)
⎛ ∂F ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = N ( x, y ) = e x
⎝ ∂y ⎠
(8)
Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto de y
∫
y
⎛ ∂F ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ∂y =
⎝ ∂y ⎠
∫
x =ctte
Ambas integrales son inmediatas
y
N ( x, y ) dy =
∫
e x dy
x =ctte
(9)
37
∫
∫
⎛ ∂F ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ dy = F (x, y)
⎝ ∂y ⎠
e x dy = ex y + h(x)
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9)
F (x, y) = ex y + h(x)
derivando la ecuación (10) parcialmente respecto de x
∂F
dh( x )
= ex y +
∂x
dx
(10)
(11)
Comparando las ecuaciones (7) y (11)
dh( x )
ex ( x + y – 1 ) = e x y +
dx
simplificando
dh( x )
= ex ( x − 1)
dx
d h ( x)
⎛ dh( x ) ⎞
Ya que la diferencial de la función h(x) es dh(x) = ⎜
⎟ dx , sustituyendo
dx
⎝ dx ⎠
dh(x) = e x ( x − 1 ) dx
integrando
∫
dh ( x ) =
Resolviendo las integrales
La integral
∫
∫
∫
∫
∫
e x ( x − 1 ) dx
dh ( x ) = h ( x )
e x ( x − 1 ) dx se resuelve por el método de integración por partes
u dv = u v −
∫
v du
e x ( x − 1 ) dx = ( x – 1 ) ex −
∫
⎧⎪u = ( x − 1) ⇒ du = dx
donde ⎨
⎪⎩dv = e x dx ⇒ v = e x
e x dx = ( x – 1 ) ex – ex + C = ( x – 2 ) ex + C
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (12)
(12)
38
h (x) = ( x – 2 ) ex + C
(12)
Sustituyendo la ecuación (12) en la ecuación (10)
F (x,y) = ex y + ( x – 2 ) ex + C
De aquí que,
ex y + ( x – 2 ) ex + C = 0
y
es la familia de trayectorias ortogonales a la familia x + y = C1 e
(13)
Para obtener la curva perteneciente a la familia ex y + ( x – 2 ) ex + C = 0 que pase
por el punto (0, 5), se sustituye en la ecuación (13) x = 0, y = 5
e0 5 + (0-2) e0 + C = 0 ⇒ C = – 3
este valor obtenido para C, se sustituye en la ecuación (13)
ex y + ( x – 2 ) ex = 3
(14)
La ecuación (14) es la ecuación de la curva perteneciente a la familia
e y + ( x – 2 ) ex + C = 0 que pasa por el punto (0,5) y permanece ortogonal a las curvas de
la familia x + y = C1 ey
x
15. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de
curvas y = x + C1 e − x que pasa por el punto (3,0)
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas y = x + C1 e − x
(1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
y’ = 1 – C1 e − x
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎧ y = x + C e −x
1
⎪
⎨
⎪⎩ y' = 1 − C1 e − x
Despejando C1 de la ecuación (2)
C1 = ( 1 – y ’ ) ex
sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
y = x + ( 1 – y ’ ) ex e -x
simplificando
(3)
39
y = x + 1 – y’
(4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
y = x + C1 e − x
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia dada y = x + C1 e − x . Para ello,
⎛ 1⎞
se sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando
⎝ y'⎠
1
y=x+1+
y'
despejando y’
1
y’ =
y − x −1
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’
1
dx
dy =
y − x −1
multiplicando por ( x + 1 – y )
dx + ( x + 1 – y ) dy = 0
(5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta. Para resolverla, debe
e∫
g ( v ) dv
determinarse un factor integrante de la forma µ =
, donde
⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂Q ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜
⎟
∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠
⎝
; P(x, y) = 1 ; Q(x, y) = x + 1 – y
g(v) =
⎛ ∂v ⎞
⎛ ∂v ⎞
Q ⎜ ⎟ − P⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y ⎠
⎧ ∂v
⎪⎪ ∂x = 0
∂P
=0
Si v = y ⇒ ⎨
;
∂y
⎪ ∂v = 1
⎪⎩ ∂y
;
∂Q
−1 −1
= 1, entonces g(v) =
=
=1
∂x
−P −1
Por lo tanto, el factor integrante es
dv
= ev = ey
µ = e∫
Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante
e y dx + e y ( x + 1 – y ) dy = 0
(6)
40
= ey
La ecuación (6) es una ecuación diferencial exacta, ya que si M(x,y) = ey y N(x,y)
∂M
∂N
= ey =
= ey .
( x + 1 – y ) , entonces
∂y
∂x
Por definición de función exacta existe una función F(x,y) = K, tal que la diferencial
total de F(x,y) (dF = = 0) es
⎛ ∂F ⎞
⎛ ∂F ⎞
dF = ⎜ ⎟ dx + ⎜⎜ ⎟⎟ dy = M(x,y) dx + N(x,y) dy = ey dx + e y ( x + 1 – y ) dy = 0
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y ⎠
De aquí resulta que,
∂F
= ey
∂x
(7)
∂F
= ey ( x + 1 − y )
∂y
(8)
Integrando la ecuación (7) parcialmente respecto de x ( y se asume constante )
∫
x
⎛ ∂F ⎞
⎜ ⎟ ∂x =
⎝ ∂x ⎠
∫
e y dx
(9)
y ctte.
Ambas integrales son inmediatas
∫
∫
⎛ ∂F ⎞
⎜ ⎟ ∂x = F(x, y)
⎝ ∂x ⎠
x
e y dy = x ey + h(y)
y =ctte
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9)
F( x, y ) = x ey + h(y)
derivando la ecuación (10) parcialmente respecto de y
d h( y )
∂F
= x ey +
dy
∂y
Comparando las ecuaciones (8) y (11) resulta
( x + 1 – y ) ey = x e y +
despejando
d h( y )
dy
d h( y )
dy
d h ( y)
= ( 1 – y ) ey
dy
(10)
(11)
41
⎛ d h( y ) ⎞
d h ( y)
⎟⎟ dy, sustituyendo
Ya que la diferencial de h(y) es dh(y) = ⎜⎜
dy
⎝ dy ⎠
y
dh(y) = (1 – y ) e dy
integrando
∫
d h ( y) =
Resolviendo las integrales
La integral
∫
∫
∫
∫
( 1 − y ) e y dy
(12)
dh ( y ) = h ( y )
e y (1 − y ) dy se resuelve por el método de integración por partes:
∫
u dv = u v −
e y (1 − y ) dy = ( 1 – y ) ey +
∫
∫
v du .
⎧⎪u = (1 − y ) ⇒ du = − dy
Sea ⎨
⎪⎩dv = e y dy ⇒ v = e y
e y dy = ( 1 – y ) ey + ey + C = ( 2 – y ) ey + C
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (12)
y
h (y) = ( 2 – y ) e + C
sustituyendo la ecuación (13) en la ecuación (9)
F (x, y) = x ey + h (y) = ( 2 – y ) ey + C
por lo tanto,
( x + 2 – y ) ey + C = 0
es la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia y = x + C1 e
(13)
(14)
−x
Para obtener la curva perteneciente a la familia ( x + 2 – y ) ey + C = 0 que pase por
el punto (3, 0), se sustituye en la ecuación (14) x = 3, y = 0
C=–5
3 e0 + (2 - 0) e0 + C = 0 ⇒
Luego, ( x + 2 – y ) ey = 5 es la curva perteneciente a la familia ( x + 2 – y ) ey + C = 0
que pasa por el punto (3,0) y es ortogonal a cada una de las curvas de la familia y
= x + C1 e − x
16. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de
curvas y = C tg2x + 1 que pasa por el punto π 8 , 0
(
)
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas y = C tg2x + 1
(1)
42
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
y’ = 2 C sec22x
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎧⎪ y = C tg 2x + 1
⎨
⎪⎩ y' = 2 C sec 2 2x
despejando C de la ecuación (2)
y'
C =
2 sec 2 2x
sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
=
y ' cos2 2x
2
y =
y ' cos2 2x
tg 2x + 1
2
y =
y ' cos 2x sen 2x
+ 1
2
(3)
simplificando
(4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
y = C tg 2x + 1
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = C tg 2x + 1. Para ello, se
⎛ 1⎞
sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando
⎝ y'⎠
y=
⎛ −1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ cos 2x sen 2x
⎝ y' ⎠
+ 1
2
despejando y’
y’ =
− cos 2x sen 2x
2 ( y − 1)
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’
− cos 2x sen 2x
dy =
dx
2 ( y − 1)
multiplicando por 2 ( y – 1 )
cos 2x sen 2x dx + 2 ( y – 1 ) dy = 0
La ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separadas. Integrando
(5)
43
∫
cos 2x sen 2x dx + 2
∫
( y − 1 ) dy = C1
(6)
Ambas integrales son inmediatas
∫
cos 2x sen 2x dx =
1
1
sen 2 2 x
2 sen 2 x cos 2 x dx =
sen 2 x d(sen 2 x ) =
2
2
2
∫
∫
∫
( y − 1 ) dy =
( y − 1 )2
2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) resulta
sen 2 2x
+ ( y − 1 ) 2 = C1
2
(7)
La ecuación (7) representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
y = C tg2x + 1.
Para obtener la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales
2
(
)
sen 2x
+ ( y − 1 ) 2 = C1 que pasa por el punto π 8 , 0 , se sustituye en la ecuación de la
2
familia x = π 8 , y = 0
[ ( 8 )] + ( 0 −1 ) 2 = C
sen 2 2 π
1
2
esto es,
C1 =
sen2
( 4π )
2
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟
⎜ 2 ⎟
⎠
+1 = ⎝
2
2
+ 1 =
1
5
+1 =
4
4
Sustituyendo el valor obtenido de C1 en la ecuación (7)
sen2 2x
5
+ ( y − 1) 2 =
2
4
(8)
La ecuación (8) representa la ecuación de la curva perteneciente a la familia
2
(
)
sen 2x
+ ( y − 1 ) 2 = C1 que pasa por el punto π 8 , 0 y es ortogonal a cada una de las
2
curvas de la familia y = C tg2x + 1
44
2
17. Obtenga las trayectorias a 45º de la familia de curvas x = C1 y
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
2
curvas dada x = C1 y
(1)
El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar
una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x
2x = C1 y’
(2)
Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1 no representa la ecuación
diferencial. La constante C1 debe eliminarse del sistema que se forma con las ecuaciones
(1) y (2)
⎪⎧ x 2 = C1 y
⎨
⎪⎩ 2x = C1 y '
despejando C1 de la ecuación (2)
2x
C1 =
(3)
y'
sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
2xy
2
x =
y'
multiplicando por y’
2
x y’ = 2 x y
(4)
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
x = C1 y . Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º
y '− tg 45 º
y ' −1
=
debe sustituirse en la ecuación (4) y’ por
1 + y ' tg 45 º
1+ y '
2
2 ⎛ y ' −1 ⎞
⎟⎟ = 2 x y
x ⎜⎜
⎝ 1+ y ' ⎠
multiplicando por ( 1 + y’ )
2
2
x y’ – x
sacando factor común y’
= 2 x y + 2 x y y’
2
2
( x – 2 x y ) y’ = 2 x y + x
(5)
La ecuación (5) es la ecuación diferéncial asociada a la familia de trayectorias a 45º de
2
la familia x = C1 y.
Despejando y’ de la ecuación (5)
y' =
2xy + x2
x2 − 2xy
45
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’
⎛ 2xy + x2 ⎞
⎟ dx
dy = ⎜
⎜ x2 − 2xy ⎟
⎝
⎠
2
multiplicando por ( x – 2xy )
2
2
( 2 x y + x ) dx + ( 2 x y - x ) dy = 0
(6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial homogénea con grado 2 de
2
homogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (6)
⎡⎛ y
⎞
⎛ y
⎞ ⎤
2 + 1 ⎟ dx + ⎜ 2 − 1 ⎟ dy ⎥ = 0
2
x ⎢⎣⎜⎝ x
⎠
⎝ x
⎠ ⎦
( x ≠ 0)
y
⎧
⎪v =
multiplicando por
y efectuando el cambio de variable ⎨
x
x2
⎪⎩y = v x ⇒ dy = v dx + x dv
la ecuación (7) se transforma en
( 2 v + 1 ) dx + ( 2 v – 1 ) (v dx + x dv ) = 0
desarrollando y sacando factor común dx
2
( 2 v + 1 + 2 v – v ) dx + x ( 2 v – 1 ) dv = 0
simplificando
2
( 2 v + v + 1 ) dx + x ( 2 v – 1 ) dv = 0
(7)
1
(8)
La ecuación (8) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
1
variables, se multiplica la ecuación (8) por el factor
x 2 v 2 + v +1
(
1
dx +
x
integrando
∫
1
dx +
x
Resolviendo las integrales
En la integral
∫
(2v
∫
(
2v − 1
( 2v
∫(
(
2
)
+ v +1
2v − 1
2
) dv
)
2 v + v +1
)
= 0
) dv
= C2
(9)
1
dx = ln | x | + C3
x
− 1)
( 2 v 2 + v + 1 ) dv , debe observarse que el polinomio del denominador
del integrando no tiene raíces reales, por lo que no se puede factorizar
46
2
Completando cuadrados en (2 v + v + 1)
⎡
1⎤
v 1⎞
⎛ 1⎞
⎛
2
2 v + v + 1 = 2 ⎜ v2 + + ⎟
= 2 ⎢ v2 + 2 ⎜ ⎟ v + ⎥
2⎦
2 2 ⎠
⎝4⎠
⎝
⎣
2
2
⎡
1⎤
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
2
= 2 ⎢ v + 2⎜ ⎟ v +⎜ ⎟ −⎜ ⎟ + ⎥
2⎥
⎢⎣
⎝4⎠
⎝4⎠ ⎝4⎠
⎦
2
2
⎡⎛
⎡⎛
1⎞
7⎤
1⎞
1 1⎤
= 2 ⎢ ⎜v + ⎟ −
+ ⎥ = 2 ⎢ ⎜v + ⎟ + ⎥
4⎠
16 ⎥
4⎠
16 2 ⎥
⎢⎣ ⎝
⎢⎣ ⎝
⎦
⎦
2
⎡⎛
⎤
⎤
⎡ (4v + 1)2
1⎞
⎢ ⎜v + ⎟
⎥
⎥
⎢
7 ⎢
7 ⎢⎝
4⎠
⎥
16
+ 1⎥
=
+ 1⎥ =
7
7
⎥
8 ⎢
8 ⎢
⎢
⎥
⎥
⎢
16
⎢⎣ 16
⎥⎦
⎦
⎣
⎤
⎡ (4v + 1)2
2
⎥
⎢
⎤
7 ⎢
7 ⎡ ⎛ 4v + 1 ⎞
16
⎢⎜
⎥
+ 1⎥ =
=
1
+
⎟
7
⎥
8 ⎢⎝ 7 ⎠
8 ⎢
⎥⎦
⎣
⎥
⎢
16
⎦
⎣
Sustituyendo en la integral
∫
(2v
− 1)
(2 v 2 + v +1)
dv =
∫
(2v
− 1)
2
⎤
7 ⎡ ⎛ 4v + 1⎞
⎢⎜
⎟ + 1⎥
8⎢⎝ 7 ⎠
⎥⎦
⎣
dv =
8
7
∫
(2v
− 1)
⎡ ⎛ 4v + 1 ⎞2
⎤
⎢⎜
⎟ + 1⎥
⎢⎣ ⎝ 7 ⎠
⎥⎦
dv
Esta integral se resuelve aplicando la sustitución trigonométrica
⎧ 4v + 1
= tg θ
⎪
⎪ 7
⎨
⎪
⎪⎩
⇒
v=
dv =
7 tg θ − 1
4
7
sec 2 θ
4
Sustituyendo el cambio de variable en la ecuación (10)
∫(
2
(2v
− 1)
2 v 2 + v +1
)
2
dv =
8
7
∫
⎡ ⎛
⎢ 2 ⎜⎜
⎣⎢ ⎝
⎤
7 tg θ − 1⎞⎟
−1⎥
⎟
4
⎠
⎦⎥
tg2θ + 1
Pero tg θ + 1 = sec θ, desarrollando y simpliicando
⎞
⎛ 7
⎜
sec 2 θ ⎟ d θ
⎟
⎜ 4
⎠
⎝
(10)
47
∫(
(2v
− 1)
2
2 v + v +1
)
dv =
2
7
7
∫
⎛ 7
3⎞
⎜
tg θ − ⎟ d θ =
⎜ 2
2 ⎟⎠
⎝
∫
tg θ d θ −
3 7
7
∫
dθ
3 7
θ
7
= ln | sec θ | −
Devolviendo el cambio de variable efectuado
4 v +1
7
= tg θ =
cat op
cat ady
7 + ( 4 v + 1 )2
4v + 1
7
sec θ =
hip
=
cat ady
7 + ( 4 v + 1 )2
7
y
⎛ 4 v +1 ⎞
θ = arctg ⎜
⎟
7 ⎠
⎝
−
3 7
⎛ 4 v +1 ⎞
arctg ⎜
⎟ + C4
7
7 ⎠
⎝
Por lo tanto
∫(
(2v
− 1)
2 v 2 + v +1
)
dv = ln
7 + ( 4 v + 1 )2
7
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9)
ln | x | + ln
7 + ( 4 v + 1 )2
7
−
3 7
⎛ 4 v +1 ⎞
arctg ⎜
⎟ = C
7
7 ⎠
⎝
Falta devolver el primer cambio de variable efectuado v =
ln | x | + ln
desarrollando
⎞
⎛ ⎛y⎞
7 + ⎜⎜ 4 ⎜ ⎟ + 1 ⎟⎟
⎠
⎝ ⎝x⎠
7
2
−
y
x
⎛ ⎛y⎞
⎜ 4 ⎜ ⎟ +1
3 7
x
arctg ⎜ ⎝ ⎠
⎜
7
7
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟ = C
⎟
⎟
⎠
48
7 x 2 + ( 4 y + x )2
2
x
7
ln | x | + ln
−
⎛ ⎛ 4y + x ⎞
⎜ ⎜
⎟
3 7
x ⎠
⎝
⎜
arctg
⎜
7
7
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟ = C
⎟
⎟
⎠
realizando operaciones
ln | x | + ln
7 x 2 + 16 y 2 + 8 x y + x 2
7 x
aplicando propiedades de logaritmo
⎛
16 y 2 + 8 x y + 8 y 2
⎜
ln x ⎜
⎜
7x
⎝
simplificando
ln
−
16 y 2 + 8 x y + 8 y 2
7
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
−
−
⎛ 4y + x
3 7
arctg ⎜
⎜
7
7 x
⎝
⎛ 4y + x
3 7
arctg ⎜⎜
7
7x
⎝
⎛ 4y + x
3 7
arctg ⎜⎜
7
7x
⎝
⎞
⎟ = C
⎟
⎠
⎞
⎟ =C
⎟
⎠
⎞
⎟ =C
⎟
⎠
(11)
La ecuación (11) representa la ecuación de la familia de trayectorias a 45º de la familia
x = C1 y
2
18. Obtenga las trayectorias a 45º para la familia de curvas y = C1 x
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas dada y = C1 x
(1)
El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar
una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x
y’ = C1
(2)
Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1, está debe buscar
eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2).
⎧y = C1 x
⎨
⎩y ' = C1
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) resulta
y = y’ x
(3)
La ecuación (3) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
y = C1 x
49
Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º debe
y '− tg 45 º
y ' −1
=
sustituirse en la ecuación (3) y’ por
1+ y ' tg 45 º
1+ y '
⎛ y ' −1 ⎞
⎟⎟ x
y = ⎜⎜
1
+
y
'
⎝
⎠
multiplicando por ( 1 + y’ )
y + y y’ = x y’ - x
sacando factor común y’
( y - x ) y’ + y + x = 0
(4)
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º de
la familia y = C1 x.
Despejando y’ de la ecuación (4)
y' =
x+y
x−y
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’
⎛ x+y ⎞
⎟⎟ dx
dy = ⎜⎜
⎝ x−y ⎠
multiplicando por ( x – y )
(x + y) dx + (y -x ) dy = 0
(5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea con grado 1 de
homogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (5) ( x ≠ 0 )
⎡⎛
y⎞
⎛ y
⎞ ⎤
x ⎢ ⎜1 + ⎟ dx + ⎜ − 1⎟ dy ⎥ = 0
(6)
x⎠
⎝ x
⎠ ⎦
⎣⎝
multiplicando por
1
y efectuando el cambio de variable
x
y
⎧
⎪v =
x
⎨
⎪⎩y = v x ⇒ dy = v dx + x dv
la ecuación (6) queda
( 1 + v ) dx + ( v – 1 ) (v dx + x dv ) = 0
Desarrollando y sacando factor común dx
2
( 1 + v + v – v ) dx + x (v – 1 ) dv = 0
simplificando
2
( 1 + v ) dx + x ( v – 1 ) dv = 0
(7)
La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
1
variables, basta con multiplicar la ecuación (7) por el factor
x 1+ v 2
(
)
50
1
( v − 1)
dx +
dv = 0
x
( 1 + v2 )
integrando
∫
1
dx +
x
∫
v−1
dv = C2
1+ v 2
(8)
Ambas integrales son inmediatas
∫
∫
v−1
1+ v
2
1
dx = ln | x | + C3
x
∫
∫
dv =
1+ v
1
2
=
=
v
2
dv –
2v
1+ v
1
ln 1 + v 2
2
2
∫
∫
1
1+ v 2
dv –
dv
1
1+ v 2
dv
– arctg v + C4
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (8)
1
ln 1 + v 2 – arctg v = C
ln | x | +
2
(9)
Multiplicando por 2 y aplicando las propiedades de logaritmo, la ecuación (9) se
transforma en
(
ln x 2 1 + v 2
)
- 2 arctg v = 2C
Devolviendo el cambio de variable
⎛ ⎛ y ⎞2 ⎞
⎛y⎞
ln x 2 ⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟ - 2 arctg ⎜ ⎟ = 2C
⎜ ⎝x⎠ ⎟
⎝x⎠
⎠
⎝
desarrollando y simplificando
⎛y⎞
ln x 2 + y 2 - 2 arctg ⎜ ⎟ = 2C
⎝x⎠
aplicando e
(x
2
+y
2
)
− 2 arctg ⎛⎜ y ⎞⎟
⎝ x ⎠=
e
K
(10)
La ecuación (10) representa la familia de trayectorias a 45º a la familia de curvas
y = C1 x
51
19. Obtenga las trayectorias a 45º para la familia de curvas x2 + y2 = C1 x
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas dada x2 + y2 = C1 x
(1)
El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar
una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x
2 x + 2 y y’ = C1
(2)
Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1 está debe buscar
eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2).
⎧⎪x 2 + y 2 = C x
1
⎨
⎪⎩2 x + 2 y y ' = C1
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) resulta
2
2
x + y = ( 2 x + 2 y y’ ) x
desarrollando y simplificando
2
2
y – x = 2 x y y’
(3)
La ecuación (3) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
x2 + y2 = C1 x
Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º debe
y '− tg 45 º
y ' −1
=
sustituirse y’ en la ecuación (3) por
1 + y ' tg 45 º
1+ y '
⎛ y ' −1
2
2
y – x = 2 x y ⎜⎜
⎝ 1+ y '
⎞
⎟⎟
⎠
multiplicando por ( 1 + y’ )
( y2 – x2 ) + ( y2 – x2 ) y’ = 2 x y y’ – 2 x y
sacando factor común y’
2
2
2
2
( y – x – 2 x y ) y’ + y – x + 2 x y = 0
(4)
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º de
la familia x2 + y2 = C1 x
Despejando y’ de la ecuación (4)
y' =
y2 − x2 + 2 x y
x 2 − y 2 + 2xy
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ resulta
52
⎛ y2 − x2 + 2 x y ⎞
⎟ dx
dy = ⎜
⎜ x 2 − y 2 + 2xy ⎟
⎝
⎠
2
2
multiplicando por ( x – y + 2xy )
2
2
2
2
(y – x + 2 x y) dx + (y – x – 2 x y ) dy = 0
(5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea con grado 2 de
homogeneidad. Sacando factor común x2 en la ecuación (5) ( x ≠ 0)
⎡⎛ y 2
⎛ y 2
y ⎞ ⎤
y ⎞
⎢⎜ ⎛⎜ ⎞⎟ − 1 + 2 ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ dx + ⎜ ⎛⎜ ⎞⎟ − 1 − 2 ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ dy⎥ = 0
x ⎢⎜ ⎝ x ⎠
⎜⎝ x ⎠
⎝ x ⎠ ⎟⎠ ⎥
⎝ x ⎠ ⎟⎠
⎝
⎣⎝
⎦
2
y
⎧
⎪v =
y efectuando el cambio de variable ⎨
multiplicando por
x
x2
⎪⎩y = v x ⇒ dy = v dx + x dv
la ecuación (6) queda
2
2
( v + 2v – 1) dx + ( v – 2v –1 ) (v dx + x dv ) = 0
desarrollando y sacando factor común dx
2
3
2
2
(v + 2v – 1 + v – 2v - v ) dx + x (v – 2v – 1 ) dv = 0
simplificando
3
2
2
( v – v + v – 1 ) dx + x ( v – 2v – 1 ) dv = 0
(6)
1
(7)
La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
1
variables, se multiplica la ecuación (7) por el factor
x v3 − v 2 + v − 1
)
(
(v2 − 2v − 1)
1
dx +
dv = 0
x
( v3 − v 2 + v − 1)
integrando
∫
1
dx +
x
Resolviendo las integrales
En la integral
∫
∫
∫
( v3 − v 2 + v − 1)
dv = C2
1
dx = ln | x | + C3
x
(v2 − 2v − 1)
( v3 − v 2 + v − 1)
sustituyendo en la integral
(v2 − 2v − 1)
dv , factorizando el denominador
v3 – v2 + v – 1 = ( v – 1 ) ( v2 + 1 )
(8)
53
∫
(v2 − 2v − 1)
( v3 − v 2 + v − 1)
dv =
∫
v 2 − 2v − 1
( v − 1) ( v 2 + 1)
dv
El integrando se descompone como suma de fracciones simples
v 2 − 2v − 1
( v − 1) ( v 2 + 1)
=
A
Bv + C ( A + B)v 2 + (C − B) v + ( A − C)
+
=
( v − 1) v 2 + 1
( v − 1) ( v 2 + 1)
(9)
Comparando los numeradores
2
v – 2v – 1 = ( A + B ) v2 + ( C – B ) v + ( A – C )
por igualdad entre polinómios
⎧A + B = 1
⎪
⎨C − B = −2
⎪A − C = −1
⎩
resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene
A=–1
B=2
C=0
sustituyendo los valores obtenidos para A, B y C en la ecuación (9)
∫
v 2 − 2v − 1
2
( v − 1) ( v + 1)
= −
∫
1
dv +
v −1
∫
2v
2
v +1
dv
(10)
Ambas integrales son inmediatas
∫
∫
1
dv = ln | v – 1 |
v −1
2v
2
2
v +1
dv = ln | v + 1 |
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (10)
∫
v 2 − 2v − 1
2
( v − 1) ( v + 1)
2
= – ln | v – 1 | + ln | v + 1 |
aplicando las propiedades de logaritmo y devolviendo el cambio de variable
2
∫
v 2 − 2v − 1
( v − 1) ( v 2 + 1)
= ln
v2 + 1
+ C4 = ln
v −1
⎛y⎞
⎜ ⎟ +1
⎝x⎠
+ C4 = ln
⎛y⎞
⎜ ⎟ −1
⎝x⎠
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (8)
ln | x | + ln
y2 + x2
x (y − x)
= C5
y2 + x2
x ( y − x)
+ C4
54
Aplicando las propiedades de logaritmo
aplicando e
ln
x 2+ y 2
= C5
y−x
2
2
(x +y ) =C(y–x)
(11)
La ecuación (11) representa la familia de trayectorias a 45º a la familia de curvas
x + y = C1 x
2
2
20. Obtenga la curva de la familia de las trayectorias a 60º de la familia de curvas
⎛1
3⎞
⎟
x2 + y2 = C1, que pasa por el punto ⎜⎜ ,
⎟
⎝2 2 ⎠
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas dada x2 + y2 = C1
(1)
El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar
una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x
2 x + 2 y y’ = 0
equivalentemente
x + y y’ = 0
(2)
Ya que la ecuación (2) no posee la constante arbitraria C1, está representa la ecuación
diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1
Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 60º debe
y '− tg 60 º
y'− 3
sustituirse y’ en la ecuación (2) por
=
1 + y ' tg 60 º
1+ 3 y '
⎛ y'− 3 ⎞
⎟ =0
x + y ⎜⎜
⎟
1
3
y
'
+
⎝
⎠
multiplicando por ( 1 +
3 y’ )
x+
3 x y’ + y y’ –
3 y=0
sacando factor común y’
( 3 x + y ) y’ + x –
3 y=0
(3)
La ecuación (3) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 60º de
la familia x 2 + y 2 = C1
Despejando y’ de la ecuación (3)
y' =
3y−x
3x+y
55
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ resulta
⎛ 3y−x ⎞
⎟ dx
dy = ⎜⎜
⎟
+
3
x
y
⎝
⎠
multiplicando por
3x+y
(
)
3 y ) dx + ( 3 x + y ) dy = 0
(x–
(4)
La ecuación (4) es una ecuación diferencial homogénea con grado 1 de
homogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (4) ( x ≠ 0)
⎡⎛
⎛
⎛ y ⎞⎞
⎜⎜ 1 − 3 ⎜ ⎟ ⎟⎟ dx + ⎜⎜
⎢
x ⎝
⎝ x ⎠⎠
⎝
⎣
⎛ y ⎞⎞ ⎤
3 + ⎜ ⎟ ⎟⎟ dy ⎥ = 0
⎝ x ⎠⎠ ⎦
(5)
y
⎧
1
⎪v =
multiplicando por
y efectuando el cambio de variable ⎨
x
x
⎪⎩y = v x ⇒ dy = v dx + x dv
la ecuación (5) queda
(1–
3 v ) dx + ( 3 + v ) (v dx + x dv ) = 0
Desarrollando y sacando factor común dx
(1 –
3 v+
3 v + v2 ) dx + x ( 3 + v) dv = 0
simplificando
2
( 1 + v ) dx + x ( 3 + v) dv = 0
(6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
1
variables, se multiplica la ecuación (6) por el factor
x 1+ v2
(
)
1
3+v
dx +
dv = 0
x
(1+ v 2 )
integrando
∫
1
dx +
x
∫
⎛ 3 +v⎞
⎟
⎜
⎜ 1+ v2 ⎟ dv = C2
⎠
⎝
Ambas integrales son inmediatas
∫
1
dx = ln |x| + C3
x
(7)
56
∫
∫
⎛ 3 +v⎞
⎟
⎜
⎜ 1+ v2 ⎟ dv =
⎠
⎝
3
1+ v2
dv +
3 arctg v +
=
1
2
∫
2v
1+ v2
dv
1
2
ln | 1 + v | + C4
2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7)
3 arctg v +
ln | x | +
devolviendo el cambio de variable
ln | x | +
y
3 arctg ⎛⎜ ⎞⎟ +
⎝x⎠
1
2
ln | 1 + v | = C5
2
(8)
⎡ ⎛ y ⎞2 ⎤
1
ln ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ = C5
2
⎢⎣ ⎝ x ⎠ ⎥⎦
multiplicando por 2 y efectuando las operaciones
⎡ x2 + y2 ⎤
⎛y⎞
2 ln | x | + 2 3 arctg ⎜ ⎟ + ln ⎢
⎥ = 2 C5
2
⎝x⎠
⎣⎢ x
⎦⎥
aplicando las propiedades de logaritmo
⎡ ⎛ x 2 + y 2 ⎞⎤
⎟⎥ + 2 3 arctg ⎛⎜ y ⎞⎟ = 2C5
ln ⎢ x 2 ⎜
⎝x⎠
⎢⎣ ⎜⎝ x 2 ⎟⎠⎥⎦
aplicando e
2
2
(x +y )
⎛ y ⎞
2 3 actrg ⎜ ⎟
⎝ x ⎠
e
=K
(9)
La ecuación (9) representa la familia de trayectorias a 60º a la familia de curvas x2
+ y2 = C1
Para obtener la curva perteneciente a la familia representada por la ecuación (9), que
⎛1 3⎞
⎟ se sustituye en dicha ecuación x = 1 , y = 3 .
pasa por el punto ⎜⎜ ,
⎟
2
2
⎝2 2 ⎠
⎡ 2 ⎛ ⎞2⎤
3
⎛ 1⎞
K = ⎢⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥
⎦
⎣
1 3
e2 3 arctg 3 = ⎡⎢ + ⎤⎥
⎣4 4⎦
2 3 ⎛⎜ π ⎞⎟
⎝3⎠
e
= e
⎛2 3π⎞
⎟
⎜
⎜ 3 ⎟
⎠
⎝
Este valor de K se sustituye en la ecuación (10)
2
2
(x +y )
multiplicando por
e
⎛y⎞
2 3 actrg ⎜ ⎟
⎝x⎠
e
= e
⎛2 3π⎞
⎟
⎜
⎜ 3 ⎟
⎠
⎝
⎛ 2 3π⎞
⎜−
⎟
⎜
3 ⎟⎠
⎝
⎡
⎛ y ⎞ π⎤
2 3 ⎢actrg⎜ ⎟ − ⎥
2
2
⎝ x ⎠ 3⎦ = 1
⎣
(x +y ) e
(10)
57
La ecuación (10), es la ecuación de la curva perteneciente a la familia de trayectorias
⎛1 3⎞
⎟
a 60º del haz de curvas x2 + y2 = C1, que pasa por el punto ⎜⎜ ,
⎟
2
2
⎠
⎝
21. Obtenga la curva de la familia de las trayectorias a 135º de la familia de curvas
y = C e −2x
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas dada y = C e-2x + 3x
(1)
El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar
una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x
y’ = - 2 C e − 2 x + 3
(2)
Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1, esta deberá eliminarse del
sistema de ecuaciones que se forma con las ecuaciones (1) y (2)
⎧⎪y = C e − 2x + 3 x
⎨
⎪⎩y ' = − 2C e −2x + 3
despejando C e − 2 x de la ecuación (1),
C e − 2 x = y – 3x
sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)
y’ = – 2 ( y – 3x ) + 3
(3)
(4)
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
y = C e − 2 x + 3x
Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 135º debe
y '− tg 135 º
y ' +1
=
sustituirse y’ en la ecuación (4) por
1+ y ' tg 135 º
1− y '
y ' +1
= –2y + 6x + 3
1− y '
multiplicando por ( 1 – y’ )
y’ + 1 =–2y + 6x + 3 – y’ (–2y + 6x +3)
sacando factor común y’
(– 2y +6x + 4 ) y’ = –2y + 6x + 2
(5)
La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 135º
de la familia y = C e − 2 x + 3x
58
Despejando y’ de la ecuación (5)
− 2y + 6 x + 2
− y + 3x + 1
=
y' =
− 2y + 6 x + 4
− y + 3x + 2
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’
⎛ − y + 3x + 1 ⎞
⎟⎟ dx
dy = ⎜⎜
⎝ − y + 3x + 2 ⎠
multiplicando por (3x – y + 2)
( 3x – y + 1 ) dx + (–3x + y – 2) dy = 0
(6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial reducible a una de variable separable, ya
que las funciones involucradas, 3x – y + 1 = 0 , – 3 x + y – 2 = 0 representan ecuaciones de
rectas paralelas (ambas tienen pendiente 3).
Para resolver la ecuación diferencial (6) se efectúa el cambio de variable
⎧v = 3 x − y
⎨
⎩y = 3 x − v ⇒ dy = 3 dx − dv
sustituyendo el cambio de variable en (6)
( v + 1 ) dx + ( – v – 2 ) ( 3 dx – dv ) = 0
desarrollando y sacando factor común dx
( v + 1 – 3v – 6 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0
simplificando
(–2v – 5 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0
(7)
La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
1
variables, se multiplica la ecuación (7) por el factor
( − 2v − 5 )
⎛ v+2
dx – ⎜⎜
⎝ 2v + 5
integrando
∫ ∫
dx –
⎞
⎟⎟ dv = 0
⎠
⎛ v+2 ⎞
⎜
⎟ dv = C2
⎝ 2v + 5 ⎠
Ambas integrales son inmediatas
∫
∫
∫
dx = x + C3
∫ ∫
1⎡
⎛ 2v + 5 − 1 ⎞
⎜
⎟ dv = ⎢
2⎢
⎝ 2v + 5 ⎠
⎣
1
1⎡
⎤
= ⎢ v − ln 2v + 5 ⎥ + C4 =
2
2⎣
⎦
1
⎛ v+2 ⎞
⎜
⎟ dv =
2
⎝ 2v + 5 ⎠
⎤
1
dv ⎥
2v + 5
⎥
⎦
1
⎡ 1
⎤
⎢ 2 v − 4 ln 2v + 5 ⎥ + C4
⎣
⎦
dv −
(8)
59
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (8)
1
⎡ 1
⎤
x – ⎢ v − ln 2v + 5 ⎥ = C5
4
⎣ 2
⎦
multiplicando por 4 y devolviendo el cambio de variable
4x – 2 (3x – y) + ln | 2( 3x – y ) + 5 |= 4 C5
efectuando las operaciones
– 2x + 2y + ln | 6x – 2y + 5 | = 4 C5
aplicando e
2(y–x)
e
( 6x – 2y + 5 ) = K
(9)
La ecuación (9) representa la familia de trayectorias a 135º a la familia de curvas
y = C e − 2 x + 3x