Capı́tulo 1 Cinemática del Sólido: Actitud Ejercicio 1.0.1: Sean Ox2 y2 z2 los ejes ligados a un sólido. En el instante inicial coinciden con los fijos Ox1 y1 z1 . Se gira el sólido π4 alrededor de su eje Oz2 , y luego otra vez π4 alrededor de Ox2 . Obtener la matriz de giro proyectando directamente los vectores unitarios. Obtenerla mediante la composición de los dos giros. Comprobar que es ortogonal, multiplicándola por su transpuesta. Ejercicio 1.0.2: Sean Ox2 y2 z2 los ejes ligados a un sólido. En el instante inicial coinciden con los fijos Ox1 y1 z1 . Se gira el sólido 90o alrededor de su eje Ox2 y a continuación otros 90o alrededor de su eje Oy2 , en la nueva posición. Obtener la posición de los vectores unitarios del sólido. Con el sólido en la posición original, se dan los mismos giros pero en orden inverso: primero alrededor de Oy2 y luego de Ox2 . Obtener la matriz de giro, y comprobar que no coincide con la anterior. z1 z0 Ejercicio 1.0.3: Una placa rectangular S2 puede moverse sobre un plano fijo S1 manteniendo un lado en contacto con el plano. Como coordenadas se tomarán el ángulo ϕ que forma ese lado con el eje O1 x1 , y el θ que forma el plano de la placa con el plano fijo O1 x1 y1 . Calcular el tensor de giro de los ejes Ox2 y2 z2 ligados a la placa (ver figura) en función de ϕ y θ. y2 z2 O1 y0 θ y1 ϕ O x0 ≡ x2 x1 Ejercicio 1.0.4: Una placa plana S2 , a la que se fija un sistema de referencia Ox2 y2 z2 , está siempre apoyada en un plano móvil O1 x0 y0 . Este plano puede girar respecto a unos ejes fijos alrededor el eje común O1 y1 . Se tomarán como coordenadas el ángulo φ entre O1 x1 y O1 x0 , el ángulo θ entre Ox2 y O1 x0 , y las coordenadas (ξ, η, 0) de O en ejes S0 . Obtener la matriz de giro de los ejes S2 ligados a la placa respecto a los ejes fijos. Sea M un punto arbitrario de la placa, de coordenadas (a, b, 0) en ejes S2 . Obtener sus coordenadas en ejes fijos. 1 z1 z0 z2 O1 ξ θ x1 x0 φ η O x2 y2 y1 ≡ y0 2 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA DEL SÓLIDO: ACTITUD Ejercicio 1.0.5: El detector de estrellas (star tracker ) es un instrumento para determinar la actitud de un satélite. Identifica estrellas de dirección conocida en ejes fijos (catálogo de estrellas), y determina su dirección en ejes sólido. Un detector ha identificado dos estrellas A y B, de dirección θ1 , φ1 y θ2 , φ2 en ejes sólido S2 . Esas estrellas tienen direcciones θ1′ , φ′1 y θ2′ , φ′2 en ejes fijos S1 . θ y φ son coordenadas esféricas (longitud y latitud o, en astronomı́a, ascensión recta y declinación). z1 A ⋆ φ O Plantear un sistema de ecuaciones del que se pueda obtener la matriz de giro del satélite. y1 θ x1 Razonar si las condiciones son suficientes o redundantes. ¿Bastarı́a con detectar una estrella? Ejercicio 1.0.6: Desde un avión A (sistema asociado S2 ) se detecta otro B, y se quiere transmitir su posición a un tercero C (sistema asociado S3 ). Por sus sistemas de navegación y control de actitud, cada avión conoce su vector posición y su matriz de giro respecto a unos ejes fijos S1 . A conoce el vector posición AB en sus propios ejes S2 . ¿Qué operaciones tiene que realizar para transmitirle a C el vector O1 B en ejes fijos? Con lo que recibe de A, ¿Qué operaciones tiene que realizar C para conocer CB en sus propios ejes S3 ? Ejercicio 1.0.7: Sea k0 el vector unitario según Oz de unos ejes ligados a un sólido. Se conocen sus componentes en ejes fijos S1 , [a, b, c]⊤ . Determinar el ángulo de nutación θ del sólido. Ejercicio 1.0.8: Sea k0 el vector unitario según Oz de unos ejes ligados a un sólido. Se conocen sus componentes en ejes fijos S1 , [a, b, c]⊤ . Determinar el ángulo de precesión ψ del sólido. Ejercicio 1.0.9: Se conocen los versores i0 y k0 de un sólido mediante sus componentes en ejes fijos, [a, b, c]⊤ y [c, d, e]⊤ . Usando los ángulos clásicos de Euler, razonar un algoritmo que, mediante productos vectoriales y escalares, permita obtener, en este orden: El ángulo de nutación θ El eje de nodos El ángulo de precesión ψ El ángulo de rotación propia φ Ejercicio 1.0.10: En el ejercicio anterior, razonar cómo se puede modificar el algoritmo — cuando sea necesario— para asignar sin ambigüedades el cuadrante de cada ángulo. Ejercicio 1.0.11: De un avión se conoce el versor según el eje longitudinal, i0 , mediante sus componentes en ejes fijos S1 , [a, b, c]⊤ . Determinar el ángulo de asiento θ (pitch) del avión. Se usan los ángulos de Tait-Bryan.