Guía 26A M.C.D

U.E. Colegio Los Arcos
divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
GUIA DE TRABAJO
Materia: Matemáticas Guía # 26A.
Tema: Máximo común divisor.
Fecha: ____________
Profesor: Fernando Viso
Nombre del alumno:___________________________________________
Sección del alumno:____________________________________________
CONDICIONES:






Trabajo individual.
Sin libros, ni cuadernos, ni notas.
Sin celulares.
Es obligatorio mostrar explícitamente, el procedimiento empleado para
resolver cada problema.
No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo.
No pueden moverse de su asiento. ni pedir borras, ni lápices, ni
calculadoras prestadas.
Marco Teórico:
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos números es el mayor número de dos números
que los divide exactamente.
Ejemplo #1: Dados los números 18 y 24, ¿cuál es el m.c.d.?
Solución: 2, 3 y 6 dividen a ambos números y el mayor de los tres es 6, por tanto, 6 es
el m.c.d. de los dos números dados.
Ejemplo #2: Dados los números 60, 100 y 120, ¿cuál es el m.c.d. ?.
Solución: Estos números son divisibles por 2, 4 5, 10 y 20. No hay ningún número
mayor que 20, por tanto, 20 es el m.c.d. de los tres números dados.
M.C.D. por inspección:
Cuando los números son pequeños, puede hallarse el m.c.d. por simple inspección.
Como el m.c.d. de varios números tiene que ser divisor del menor de ellos, se procederá
así:
Nos fijamos en el número menor de los dados. Si éste divide a todos los demás, será el
m.c.d. Si no los divide, buscamos cual es el mayor de los divisores del menor que divide
a todos los números y éste será el m.c.d.
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Ejemplo #3: Halla r el m.c.d. de 6, 12 y 18.
Solución:
El número 6 es el menor de los tres y divide exactamente a los otros dos, por, tanto, 6 es
el m.c.d de los tres números dados.
Ejemplo #4: Hallar el m.c.d. de 20, 90 y 70.
Solución: En este caso 20 no es divisor de 70 y 90. Si tomamos ahora 10, éste es el
máximo divisor de 20 y es, además, divisor de 70 y 90; por tanto, 10 es el m.c.d. de los
tres números dados.
Ejemplo #5: Hallar el m.c.d. de 48, 72 y 84.
Solución: 48 no divide a los demás. El número 12 es el máximo divisor de 48 que
adicionalmente es divisor de 72 y de 84.
METODOS PARA HALLAR EL M.C.D.
Cuando no es fácil hallar el m.c.d. por inspección, se utilizan dos métodos:
(a) Por divisiones sucesivas.
(b) Por descomposición en factores primos.
M.C.D. de dos números por divisiones sucesivas.
La regla para encontrar el m.c.d. en este caso, se funda en el siguiente teorema:
Se divide el mayor de los números dados por el menor. Si la división es inexacta, se
divide el divisor por el primer residuo; el primer residuo por el segundo residuo; éste por
el tercero y así sucesivamente hasta obtener una división exacta. El último divisor será el
m.c.d.
Ejemplo #6: Hallar el m.c.d. de 150 y 25.
Solución: En este caso 150 es divisible por 25, por tanto, 25 es el m.c.d. de ambos
números.
Ejemplo #7: Hallar el m.c.d. de 2227 y 2125.
1
20
1
2227
2125
102
85
102
85
17
00
5
17
Entonces, el m.c.d. de 2227 y 2125 es 17.
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2
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Nota: Si en el proceso de hallar el m.c.d. encontramos un resido que sea primo y la
división siguiente no se exacta, no es necesario continuar la operación y podemos afirmar
que el m.c.d. es 1 y que por tanto los números dados son primos entre si.
Ejemplo #7: Hallar el m.c.d. de 1471 y 462.
Solución:
3
462
37
1471
85
5
85
11
2
37
En este caso la solución es 1. Se ha encontrado el residuo primo 37 y la división siguiente
no es exacta.
M.C.D. de más de dos números por divisiones sucesivas:
Para hallar el m.c.d. de más de dos números por divisiones sucesivas se halla primero el
m.c.d. de dos números, después se toma otro número y el m.c.d. encontrado y se
encuentra el m.c.d. de ellos dos; después se toma otro número y el segundo m.c.d.
encontrado y se encue3ntra el m.c.d. entre ellos dos y así sucesivamente hasta el último
número. El último m.c.d. es el m.c.d. de todos los números dados.
Ejemplo #8: Hallar el m.c.d. de 4940, 4420, 2418 1092.
Primero se halla el m.c.d. de 2418 y 1092:
2418
234
2
1092
156
4
234
78
1
156
00
2
78
El  m.c.d .1  78
Luego se halla el m.c.d. de 4420 y 78:
4420
52
56
78
26
1
52
0
1
26
El  m.c.d 2  26
Y por último se halla el m.c.d. entre 4940 y 26:
4940
00
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190
26
3
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Luego, el m.c.d. de todos los números es 26.
Regla práctica para encontrar el m.c.d. de varios números por
descomposición de factores primos:
Se descomponen los números dados en sus factores primos. El m.c.d. se forma con el
producto de los factores primos comunes con su menor exponente.
Ejemplo #9: Hallar el m.c.d. de 1800, 420, 1260 y 108.
Solución:
Se empieza por desglosar al número 1800:
1800
900
450
225
75
25
5
1
2
2
2
3
3
5
5
Se sigue con el número 320:
420
210
105
35
7
1
2
2
3
5
7
Se continua con el número 1260:
1260
630
315
105
35
7
1
2
2
3
3
5
7
Por último, se desglosa el número 108:
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4
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108
54
27
9
3
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2
2
3
3
3
Resumiendo:
1800   2    3  5 
3
2
2
420   2    3   5    7 
2
1260   2    3   5    7 
2
2
108   2    3
2
3
m.c.d .   2    3  4  3  12
2
Ejemplo # 10: Hallar el m.c.d. de 170, 2890, 204 y 5100.
Solución:
Como 2890 es múltiplo de 170 porque 2890 170  17 y como 5100 es múltiplo de 204
ya que 5100  204  25, prescindimos de 2890 y 5100 y hallamos el m.c.d. de 170 y
204:
170
85
17
1
2
5
17
204
102
51
17
1
2
2
3
17
El m.c.d. = 2 17  34
Método abreviado para cálculo del m.c.d.:
El m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos puede hallarse
rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor
común, los cocientes nuevamente por un factor común y así sucesivamente hasta que
los cocientes sean primos entre si. El m.c.d. es el producto de los factores comunes.
Ejemplo # 11: Hallar el m.c.d. de 208, 910 y 1690 por el método abreviado:
Factor común
208
910
1690
2
104
455
845
13
8
35
65
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Sexto grado Máximo común
El m.c.d.= 2 13  26
Ejemplo #12: Hallar el m.c.d. de 3430, 2450, 980 y 4410.
3430
343
49
7
2450
245
35
5
980
98
14
2
4410
441
63
9
Factor común
10
7
7
El m.c.d.= 10  7  7  490
Método abreviado.
El m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos puede hallarse
rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor
común., los cocientes nuevamente por un factor común y así sucesivamente hasta
que los cocientes sean primos entre si. El m.c.d. es el producto de todos los factores
comunes.
Ejemplo #12: Hallar el m.c.d. de 208, 910 y 1690.
F.C.
208
104
8
910
455
35
1690
845
65
2
13
El m.c.d. es igual al producto de los factores comunes:  2   13  26
PREGUNTAS:
Hallar el m.c.d. por simple inspección:
1.- 15 y 30:
El m.c.d.= 15.
2.- 8 y 12:
El m.c.d. = 4.
3.- 9 y 18 =
El m.c.d. = 9.
4.- 20 y 16 =
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El m.c.d. = 4.
5.- 18 y 24 =
El m.c.d. = 6.
6.- 21 y 28 =
El m.c.d.= 7.
7.- 24 y 32 =
El m.c.d. = 8.
8.- 3, 6 y 9 =
El m.c.d.= 3.
9.- 7, 14 y 21 =
El m.c.d.= 7
10.- 18, 27 y 36.
El m.c.d.= 9
11.- 24, 36 y 72 =
El m.c.d. = 12
12.- 30, 42 y 54 =
El m.c.d.= 6.
13.- 16, 24 y 40 =
El m.c.d.= 8.
14.- 22, 33 y 44 =
El m.c.d. =11.
15.- 20, 28, 36 y 40 =
El m.c.d. = 4.
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16.- 15, 20, 30 y 60 =
El m.c.d. = 5.
17.- 28, 42, 56 y 70 =
El m.c.d. =14.
18.- 32, 48, 64 y 80 =
El m.c.d. = 16.
Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de:
1.- 137 y 2603:
19
137
2603
0
El m.c.d.= 137.
2.- 1189 y 123656 =
123656
0
104
1189
El m.c.d. = 1189.
3.- 144 y 520 =
520
88
3
144
56
1
88
32
1
56
24
1
34
0
2
17
1
32
8
1
24
0
3
8
.
El m.c.d. = 8
4.- 51 y 187 =
187
34
3
51
17
El m.c.d. = 17.
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5.- 76 y 1710 =
22
76
0
1710
38
2
38
El m.c.d. = 38.
6.- 93 y 2387 =
25
93
31
2387
62
1
62
0
2
31
1
74
0
2
37
1
159
0
3
53
El m.c.d. = 31.
7.- 111 y 518 =
4
111
37
518
74
El m.c.d. = 37
8.- 212 y 1431 =
6
212
53
1431
159
El m.c.d. = 53.
9.- 948 y 1975 =
1975
79
2
948
0
12
79
El m.c.d. = 79
10.- 1164 y 3686 =
3686
194
3
1164
0
6
194
El m.c.d. = 194.
11.- 303 y 1313 =
4
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3
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1313
101
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303
0
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101
El m.c.d. = 101
12.- 19578 y 47190 =
2
19578
3510
47190
8034
2
8034
1014
2
3510
468
3
1014
78
2
468
0
6
78
2
5457
2461
1
2996
535
1
2461
321
4
535
214
1
321
107
1
214
0
5
12294
1791
3
3501
1710
1
1791
81
1
1710
9
21
81
0
9
9
3
2331
111
4
555
0
5
111
1
12463
2178
1
10285
1573
4
2178
605
El m.c.d. = 78.
13.- 19367 y 33277 =
1
19367
5457
33277
13910
1
13910
2996
El m.c.d. = 107.
14.- 207207 y 479205 =
479205
64791
2
207207
12294
3
64971
3501
El m.c.d. = 9
15.- 9879 y 333555 =
333555
7548
33
9879
2331
1
7548
555
El m.c.d. = 111.
16.-
35211 y 198803 =
198803
22748
5
35211
12463
1
22748
10285
1
1573
363
2
605
242
1
363
121
1
2
242 121
0
El m.c.m =121
17.-
77615 y 108661 =
108661
31046
1
77615
15523
2
31046
0
2
15523
El m.c.d. = 15523.
FVR (21/09/2011)
10
2
107
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Sexto grado Máximo común
18.- 65880 y 92415 =
92415
26535
1
65880
12810
2
26535
915
2
12810
0
14
915
7
1
132132
77077
55055 22o22
1
55055
11011
El m.c.d. = 915
19.- 1.002.001 y 2.136.134 =
2
2136134 1002001
132132
77077
2
22022
0
2
11011
El m.c.d. = 11.011
20.- 4.008.004
y
1
4280276 4008004
272272 196196
4.280.276 =
14
272272
76076
1
196196
44044
2
76076
32032
1
44044
12012
1
2
32032 12012
8008 4004
1
2
8008 4004
0
El m.c.d. = 4.004.
Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de tres números o más:
1.- 2168, 7336 y 9184 =
7336
832
3
2168
504
2
832
328
1
504
176
1
328
152
7
50
0
2
25
1
176
24
1
152
8
6
24
0
3
8
El  m.c.d .1  8
Luego:
9184
0
1148
8
Entonces: el m.c.d. = 8.
2.- 425, 800 y
800
375
1
425
50
950 =
1
375
25
El  m.c.d .1  25
FVR (21/09/2011)
11
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Sexto grado Máximo común
38
25
950
0
El m.c.d. = 25.
3.- 1560, 2400 y 5400 =
2400
840
El
1
1560
720
1
840
120
1
720
0
1
52
0
2
26
6
120
 m.c.d .1  120
Luego:
5400
0
45
120
El m.c.d. = 120.
4.- 78, 130 y 143 =
1
78
26
130
52
El
 m.c.d .1  26
Luego:
5
26
0
143
13
2
13
Entonces, el m.c.d. = 13.
5.-
153, 357
187
34
y
1
153
17
187 =
4
34
0
2
17
El  m.c.d .1  17
Luego:
357
0
21
17
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12
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Sexto grado Máximo común
El m.c.d. = 17.
6.- 236, 590
y
1239 =
590
118
2
236
0
2
118
El  m.c.d .1  118.
Luego:
1239
59
10
118
0
2
59
El m.c.d. = 59.
7.- 465, 651 y
651
186
El
1
465
93
682 =
2
186
0
2
93
 m.c.d .1  93.
Luego:
7
93
0
682
31
3
31
El m.c.d. = 31.
8.- 136, 204, 221 y 272 =
204
68
1
136
0
2
68
El  m.c.d .1  68
Luego:
221
17
3
68
0
4
17
El  m.c.d .2  17.
FVR (21/09/2011)
13
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Sexto grado Máximo común
Luego:
272
0
16
17
El m.c.d. = 17.
9.- 168, 252, 280 y 917 =
1
168
0
252
84
2
84
El  m.c.d .1  84
Luego:
3
84
0
280
28
El
3
28
 m.c.d .2  28
Luego:
32
28
7
917
21
1
21
0
3
7
El m.c.d. = 7.
10.- 770, 990, 1265 y 3388 =
990
220
El
1
770
110
3
220
0
2
110
 m.c.d .1  110.
Luego:
1265
55
11
110
0
2
55
El  m.c.d .2  55
Luego:
FVR (21/09/2011)
14
U.E. Colegio Los Arcos
divisor
61
55
22
3388
33
Matemáticas
1
33
11
1
22
0
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
2
11
El m.c.d. = 11.
11.- 1240, 1736, 2852 y 3131 =
1736
496
1
1240
248
2
496
0
2
248
El  m.c.d .1  248
Luego:
2852
124
El
11
248
0
2
124
 m.c.d .2  124
Luego:
25
124
0
3131
31
4
31
El m.c.d. = 31.
12.- 31740, 47610, 95220 y 126960 =
47610
El
1
31740
0
2
15870
 m.c.d .1  15.870.
Luego:
95220
0
6
15870
El  m.c.d .2  15.870
Luego:
126960
0
8
15870
FVR (21/09/2011)
15
U.E. Colegio Los Arcos
divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
El m.c.d. =15.870.
13.- 45150, 51600, 78045 y 108489 =
51600
6450
El
1
45150
0
7
6450
 m.c.d .1  6.450
Luego:
78045
645
El
12
6450
0
10
645
 m.c.d .2  645
Luego:
108489
129
168
645
0
5
129
El m.c.d. = 129.
14.- 63860, 66340, 134385 y 206305 =
66340
2480
El
1
63860
1860
25
2480
620
1
1860
0
1
465
0
3
155
3
620
 m.c.d .1  620
Luego:
134385
465
El
216
620
155
 m.c.d .2  155
Luego:
206305
0
1331
155
El m.c.d. = 155.
FVR (21/09/2011)
16
U.E. Colegio Los Arcos
divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
15.- 500, 560, 725, 4350 y 8200 =
1
500
20
560
60
El
8
60
0
3
20
 m.c.d .1  20
Luego:
36
20
0
725
5
4
5
El  m.c.d .2  5
Luego:
870
5
4350
0
El  m.c.d .3  5
Luego:
1640
5
8200
0
El m.c.d. = 5
16.- 432, 648, 756, 702, y 621 =
1
432
54
621
189
El
2
189
27
3
54
0
2
27
 m.c.d .1  27
Luego:
648
0
24
27
El  m.c.d .2  27
Luego:
702
0
26
27
FVR (21/09/2011)
17
U.E. Colegio Los Arcos
divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
El  m.c.d .3  27
Luego:
28
27
756
0
El m.c.d. = 27
17.- 3240, 5400, 5490, 6300 y 7110 =
5400
2160
1
3240
1080
1
2160
0
2
1080
El  m.c.d .1  1.080
Luego:
5490
90
5
1080
0
12
90
El  m.c.d .2  90
Luego:
70
90
6300
0
El  m.c.d .3  90
Luego:
7110
0
79
90
El m.c.d. = 90.
18.-
486, 729, 891, 1944 y 4527 =
729
243
El
1
486
0
2
243
 m.c.d .1  243
Luego:
891
162
3
243
81
FVR (21/09/2011)
1
162
0
2
81
18
U.E. Colegio Los Arcos
divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
El  m.c.d .2  81
Luego:
24
81
1944
0
El  m.c.d .3  81
Luego:
55
81
9
4527
72
1
72
0
8
9
El m.c.d. = 9.
Hallar por descomposición de factores primos el m.c.d. de:
1.- 20 y 80:
20
10
5
1
2
2
5
80
40
20
10
5
1
2
2
2
2
5
20   2    5 
2
80   2    5 
4
m.c.d .   2    5   20
2.- 144 y 520:
2
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
144   2    3
4
520
260
130
65
13
1
2
2
2
5
13
2
520   2    5   13
3
m.c.d .   2   8
3
FVR (21/09/2011)
19
U.E. Colegio Los Arcos
divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
3.- 345 y 850:
345
115
23
1
3
5
23
850
425
85
17
1
2
5
5
17
345   3   5    23
850   2    5   17 
2
m.c.d .  5
4.- 19578 y 47190: Se hará por el método abreviado:
F.C
19578
9789
3263
251
47190
23595
7865
605
2
3
13
m.c.d .   2    3  13  78
Nótese que 251 y 605 son primos entre si.
5.- 33, 77 y 121: Se hará por el método abreviado.
33
3
77
7
121
11
F.C.
11
m.c.d.= 11.
6.- 425, 800 y 950: Se hará por el método abreviado.
F.C.
425
85
17
800
160
32
950
3190
38
5
5
m.c.d .   5   5  25
7.- 2168, 7336, 9184: Se hará por el método abreviado.
F.C.
2168
1084
542
271
7336
3668
1834
917
9184
4592
2296
1148
2
2
2
m.c.d .   2    2    2   8
8.- 54, 76, 114 y 234: Se hará por el método abreviado.
FVR (21/09/2011)
20
U.E. Colegio Los Arcos
divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
F.C.
54
27
76
38
114
57
234
117
2
m.c.d. = 2
9.- 320, 450, 560 y 600: Se hará por el método abreviado.
F.C.
320
160
32
450
225
45
560
280
56
600
300
60
2
5
El m.c.d. es =  2    5  10
10.- 858, 2288 y 3575:
858
429
143
13
1
2
3
11
13
2288
1144
572
286
143
13
1
2
2
2
2
11
13
3575
715
143
13
1
5
5
11
13
812
406
203
29
1
2
2
7
29
870
435
145
29
1
2
3
5
29
El  m.c.d .  11 13  143
11.- 464, 812 y 870:
464
232
116
58
29
1
2
2
2
2
29
464   2    29 
4
812   2    7    29 
2
870   2    3   5   29
m.c.d .   2    29   58
12.- 98, 294, 392 y
FVR (21/09/2011)
1176: Se hará por el método abreviado.
21
U.E. Colegio Los Arcos
divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
F.C.
98
49
7
1
294
147
21
3
392
196
28
4
1176
588
84
12
2
7
7
1
m.c.d .   2    7    7   98
13.- 1560, 2400, 5400 y 6600: Se utilizará el método abreviado.
F.C.
1560
780
390
195
65
13
2400
1200
600
300
100
20
5400
2700
1350
675
225
45
6600
3300
1650
825
275
55
2
2
2
3
5
m.c.d .   2    3   5  120
3
14.- 840, 960, 7260 y
9135: Se utilizará el método abreviado.
F.C.
840
280
56
960
320
64
7260
2420
484
9135
3045
609
3
5
m.c.d .   3   5  15
15.- 3174, 4761, 9522 y 12696:Se hará por el método abreviado.
F.C.
3174
1058
46
2
4761
1587
69
3
9522
3174
138
6
12696
4232
184
8
3
23
23
m.c.d .   3   23  1.587
2
16.-
171, 342, 513 y 684: Se hará utilizando el método abreviado.
F.C.
171
1
342
2
513
3
684
4
171
m.c.d .  171
17.- 500, 560, 725,
FVR (21/09/2011)
4350, y 8200: Se hará utilizando el método abreviado.
22
U.E. Colegio Los Arcos
divisor
500
100
560
112
725
145
Matemáticas
4350
870
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
F.C.
5
8200
1640
m.c.d. =5.
18.- 850,
2550, 4250 y 12750: Se hará utilizando el método abreviado.
F.C.
850
425
85
17
1
2550
1275
255
51
3
4250
2125
425
85
5
12750
6375
1275
255
15
2
5
5
17
m.c.d .   2    5  17   850.
2
19.- 465, 744, 837 y 2511: Se utilizará el método abreviado.
465
155
31
1
3
5
31
744
372
186
93
31
1
2
2
2
3
31
837
279
93
31
1
3
3
3
31
2511
837
279
93
31
1
3
3
3
3
31
3
3
529
5819
529
1
11
529
m.c.d. =  3   31  93
20.- 600, 1200, 1800, 4800: Se utilizará el método abreviado.
F.C.
600
1
1200
2
1800
3
4800
8
600
m.c.d. = 600.
21.- 57, 133, 532 1824: Se utilizará el método abreviado.
F.C.
57
3
133
7
532
28
1824
96
19
m.c.d. = 19.
22.- 2645, 4232, 4761 y 5891: Se utilizará el método abreviado.
2645
529
1
5
529
FVR (21/09/2011)
4232
2116
1058
529
2
2
2
4761
1587
529
1
23
U.E. Colegio Los Arcos
divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
m.c.d. = 529.
23.- 2523, 5046, 5887
2523
841
1
3
841
y
7569:
5046
2523
841
1
2
3
841
5887
841
1
7
841
7569
2523
841
1
3
3
841
2418
1209
403
31
1
2
3
13
31
10571
961
31
1
11
31
31
m.c.d. = 841.
24.-
961,
961
31
1
2821,
31
31
2418
y
10571:
2821
91
1
31
91
m.c.d. = 31.
25.-
2738, 9583,
2738 2
1369 37
37 37
1
9583
1369
37
1
15059, 3367 y 12691:
7
37
37
15069
407
11
1
37
37
11
3367
91
1
37
91
12691
1813
259
37
1
7
7
7
37
m.c.d. =37
FVR (21/09/2011)
24