Funciones de Rn → Rm

Funciones de Rn → Rm
Una funcion f : Rn → Rm es una función cuyo dominio es un subconjunto Ω ⊂ Rn . Denotada
por f : Ω ⊂ Rn → Rm donde a cada x ∈ Rn f le asigna un vector f (x) ∈ Rm .
Ejemplo.- La función f (x, y) = x2 + y 2 asocia a la pareja (x, y) ∈ R2 el número real x2 + y 2 . El
dominio de f en este caso es todo R2
p
Ejemplo.- La función f (x, y, z) = 1 − x2 − y 2 − z 2 asocia a la terna (x, y, z) ∈ R3 el número
p
real 1 − x2 − y 2 − z 2 donde el dominio de f es
Domf = {(x, y, z) ∈ R3 |1 − x2 − y 2 − z 2 ≥ 0} = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}
Ejemplo.- La función f : R3 → 2 dada por f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 , x + y + z) asocia a la terna
(x, y, z) ∈ R3 el vector (x2 + y 2 + z 2 , x + y + z) ∈ R2 . Donde f tiene por dominio todo R3 , pero
su imagen contiene sólo los vectores R2 cuya primera coordenada es no negativa.
Ejemplo.- La función g : R3 → R2 dada por g(x, y, z) = (3x + 4, 3y + 5z) asocia a la terna
(x, y, z) ∈ R3 el vector (3x + 4, 3y + 5z) ∈ R2 a esta función podemos pensarla como un
producto de matrices es decir
 

 
 x

3x + 4y
3 4 0 


=

y 
3y + 5z
0 3 5  
z
Definición.- Dada la función f : Ω ⊂ Rn → R, definimos su gráfica como el subconjunto Rn+1
{(x1 , ..., xn , f (x1 , ..., xn )) ∈ Rn+1 |(x1 , ..., xn ) ∈ Ω}
En el caso n = 1, la gráfica es una curva en R2 y en el caso n = 2, la gráfica es una
superficieen R3 . Para dimensiones mayores es dificil visualizar. Para uperar esta dificultad se
introduce la idea de conjunto de nivel
Definición 1. Sea Ω ⊂ Rn y a ∈ R. Se define el conjunto de nivel de f del valor a, como el
conjunto
C(f, a){x ∈ Ω|f (x) = a}
1
En el caso n = 2 hablamos de curvas de nivel, y si n = 3 hablamos de superficies de nivel.
Ejemplo.-La función f : R2 → R dada por f (x, y) = x2 + y 2 tiene como gráfica el paraboloide
de revolución z = x2 + y 2
Las curvas de nivel son: el vacio para a < 0, y para a > 0 es el conjunto
{(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = a}
, es decir un cı́rculo de radio
√
a con centro en el origen
Ejemplo.-La función f : R2 → R dada por f (x, y) = x2 − y 2 tiene como gráfica el paraboloide
hiperbolico z = x2 − y 2
2
Las curvas de nivel son: para a = 0 ⇒ x2 − y 2 = 0 par de rectas que se cortan en el origen,
y para a = 1 ⇒ x2 − y 2 = 1 es una hiperbola paralela al eje X que lo corta en (±1, 0), para
a = −1 ⇒ x2 − y 2 = −1 es una hiperbola paralela al eje Y y que lo corta en (0, ±1)
Ejemplo.-La función f : R3 → R dada por f (x, y, z) =
p
x2 + y 2 + z 2 tiene el siguiente conjunto
de nivel
p
{(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = a}
p
Las superficies de nivel son: para a = 0 ⇒ x2 + y 2 + z 2 = 0 el origen, y para a = 1 ⇒
p
p
x2 + y 2 + z 2 = 1 es una esfera, a = 2 ⇒ x2 + y 2 + z 2 = 2 es una esfera
Ejemplo.-La función f : R3 → R dada por f (x, y, z) = x2 − y 2 + z 2 tiene el siguiente conjunto
de nivel
{(x, y, z) ∈ R3 |x2 − y 2 + z 2 = a}
Las superficies de nivel son: para a = 0 ⇒ x2 − y 2 + z 2 = 1 es un hiperboloide de un manto, y
p
para a = 1 ⇒ x2 − y 2 + z 2 = 1 es un hiperboloide de un manto, a = 2 ⇒ x2 − y 2 + z 2 = 2 es
un hiperboloide de un manto
3
Lı́mite de Funciones de Rn → Rm
Definición.- Sea f : Ω ⊂ Rn → Rm , y sea x0 un punto de acumulación de Ω. Se dice que b Rm
es el lı́mite de f en x0 , y se denota por:
lı́m f (x) = B
x→x0
Si dado ε > 0, existe δ > 0 tal que kf (x) − bk < ε cuando xΩ, 0 < kx − x0 k < δ
Observación: Es necesarı́o que x0 sea punto de acumulacion de Ω. Usando la definición de
lı́mite, demostrar que:
x4 y 2
=0
(x,y)→(0,0) (x2 + y 2 )2
lı́m
Por
demostrar,
para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que 0 < k(x, y) − (0, 0)k < δ entonces
x4 y 2 1
1
< ε como x2 ≤ x2 + y 2 entonces x4 ≤ (x2 + y 2 )2 entonces
≤
(x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 (∗) x4
∴
p
x4 y 2 x4 y 2 ≤
≤ |y 2 | = y 2 ≤ ( x2 + y 2 )2 < δ 2
(x2 + y 2 )2 (∗) x4 ∴
Si δ 2 = ε entonces δ =
√
ε
4
Proposición.- Sea f : R2 → R tal que
lı́m
f (x, y) = L
(x,y)→(a,b)
Entonces para una función real y continua g definida en un entorno da a tal que g(a) = b
se tiene que
lı́m f (x, g(x)) = L
x→a
Demostración: Por la existencia del lı́mite doble, dado > 0 existe un δ > 0, tal que
k(x, y) − (a, b)k < δ ⇒ kf (x, y) − Lk < .
Ahora por la continuidad de g, dado δ > 0 existe σ > 0, con 0 < σ < δ tal que:
|x − a| < σ ⇒ |g(x) − b| < δ.
Por tanto, si |x − a| < σ, se tiene que k(x, g(x)) − (a, b)k < δ. Con lo cual,
kf (x, g(x)) − Lk < Proposición 1. (Unicidad del lı́mite). Sea A ⊂ Rn , f una función : A → Rm y x0 un punto
de acumulación de A. Si l1 Rm y l2 Rm son tales que:


l1 = lı́m f (x) 
x→x0
Entonces

l2 = lı́m f (x) 
l1 = l2
x→x0
Demostración. Para probar la proposición mostraremos que kl1 − l2 k = 0 0 ≤ kl1 − l2 k =
kl1 − f (x) + f (x) − l2 k ≤ kl1 − f (x)k + kf (x) − l2 k como kl1 − f (x)k → 0 y kf (x) − l2 k → 0
entonces 0 ≤ kl1 − l2 k ≤ 0
∴
l1 = l2
5