TEMA 6: MODELOS DE FILAS DE ESPERA (Waiting Line Models

Introduccion.
Modelos de Decisiones
TEMA 6:
MODELOS DE FILAS
DE ESPERA (Waiting
Line Models)
„
1. Estructura de un Sistema de Filas de Espera
„
2. Modelo Single-Channel con tasa de llegadas tipo
Poisson y Tiempos de Servicio Exponencial
„
3. Modelo Multiple-Channel con tasa de llegadas tipo
Poisson y Tiempos de Servicio Exponencial
(Capítulo 12 del libro)
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
1. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE
FILAS DE ESPERA (F.E.)
„
4. Relaciones Generales
„
5. Análisis Económico
„
6. Otros modelos
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
1. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E.
CUERPO DE CONOCIMIENTOS RELACIONADO CON
MODELOS CUANTITATIVOS DE LA OPERACIÓN
DE SISTEMAS DE ESPERA (COLAS O FILAS).
COLA (QUEUE)
• Sistema al que llegan clientes para recibir un servicio.
• Si los servidores están ocupados, los clientes que llegan
tienen que esperar en la cola.
PARA ILUSTRAR LOS CONCEPTOS
RELACIONADOS CON LOS PROBLEMAS DE
FILAS DE ESPERA, SE PRESENTA EL SIG.
EJEMPLO SOBRE UN RESTAURANTE QUE VENDE
HAMBURGUESAS (FAST-FOOD)
• Al concluir un servicio, se selecciona al siguiente cliente
por atender, de acuerdo con la disciplina de la cola.
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
1. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E.
1. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E.
SINGLE-CHANNEL WAITING LINE
DISTRIBUCIÓN DE LLEGADAS.
EN LA OPERACIÓN ACTUAL DEL RESTAURANTE
DE FAST FOOD, SE RECIBE LA ORDEN, SE
CALCULA EL COSTO, SE COBRA Y SE ENTREGAN
LOS ALIMENTOS.
SISTEMA
LLEGADAS
DE
CLIENTES
Definir el proceso de llegadas para un modelo de filas
de espera significa determinar la distribución de
probabilidad para el número de llegadas en un
determinado lapso de tiempo.
Las llegadas suelen ser independientes y aleatorias, por
lo que no es posible predecir con exactitud cuando
ocurrirá una llegada.
SERVIDOR
EL CLIENTE SALE,
UNA VEZ
CONCLUÍDO EL
SERVICIO
LÍNEA DE
ESPERA
(FILA O COLA)
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
1. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E.
1. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E.
DISTRIBUCIÓN DE LLEGADAS.
DISTRIBUCIÓN DE LLEGADAS.
LOS ESTUDIOSOS DEL TEMA HAN DESCUBIERTO QUE
UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE
POISSON SUELE PROPORCIONAR UNA BUENA
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA.
LA PROBABILIDAD DE QUE LLEGUEN x CLIENTES AL
SISTEMA EN UN PERIODO DE TIEMPO (0, t) ES:
f(x) = P(x) =
(λ )x e −λ
Para un periodo de 1-minuto, la tasa media de llegadas
sería λ= 45 clientes/60 min = 0.75 clientes / min.
La posibilidad de que X clientes lleguen en 1 minuto
sería:
x!
x: NÚMERO DE LLEGADAS EN EL INTERVALO DE TIEMPO.
λ: NÚMERO PROMEDIO DE LLEGADAS POR UNIDAD DE TIEMPO
(INTENSIDAD DEL PROCESO DE LLEGADAS)
e: 2.71828
Tema 6: Filas de Espera
Suponga que el restaurante de fast-food ha analizado
datos de llegada de sus clientes y concluido que la
tasa media de llegadas es de 45 clientes por hora.
Dr. Omar Romero Hernández
f(x) = P(x) =
(λ )x e −λ
Tema 6: Filas de Espera
x!
=
0.75 x e − 0.75
x!
Dr. Omar Romero Hernández
1. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E.
1. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E.
DISTRIBUCIÓN DE LLEGADAS.
DISTRIBUCIÓN DE LLEGADAS.
Para un periodo de 1-minuto, la tasa media de llegadas
sería λ= 45 clientes/60 min = 0.75 clientes / min.
Los siguientes cálculos indican la posibilidad de que
lleguen 0, 1 y 2 clientes dentro de un lapso de 1
minuto:
P(0) =
( 0.75)0 e −0.75
= e − 0.75 =
0!
0.4
0.3
0.1
0
0
0.75 2 e −0.75
=
2!
Tema 6: Filas de Espera
0.5
0.2
( 0.75)1 e −0.75
=
P(1) =
1!
P(2) =
Filas_de_espera1.xls
F(x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(Número de llegadas en el intervalo de tiempo, X)
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
1. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E.
1. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E.
DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE SERVICIO.
DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE SERVICIO.
Se refiere al tiempo que pasa el cliente en el servicio,
mientras es atendido.
SUPONGA QUE EL PROCESO DE TOMAR LA ORDEN-COBRARENTREGAR LO REALIZA EL CAJERO A UNA TASA PROMEDIO DE 60
CLIENTES POR HORA.
DETERMINE LA PROBABILIDAD DE ATENDER A UN CLIENTE EN:
(A) MENOS DE 0.5 MINUTOS, (B) 1 MINUTO, (C ) 2 MINUTOS O MENOS.
SI EL TIEMPO DE DURACIÓN DEL SERVICIO OFRECIDO POR UN
SERVIDOR SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL, ENTONCES,
P[ service time ≤ 0.5]= 1 - e-µ0.5 =
LA PROBABILIDAD DE QUE EL TIEMPO DE SERVICIO SEA MENOR QUE
t ES:
P[service time ≤ 1.0] = 1 - e-µ1 =
F(t) = P[ T≤ t] 1 - e-µt
µ : NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES ATENDIDOS POR UNIDAD DE TIEMPO
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Dr. Omar Romero Hernández
P[service time ≤ 2.0] = 1 - e-µ2 =
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
1. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E.
DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE SERVICIO.
MEDIDAS DE DESEMPEÑO
EXPRESAN LA MANERA EN LA QUE FUNCIONA UN SISTEMA O LÍNEA
DE ESPERA. LAS MÁS COMUNES SE RELACIONAN CON:
P (T<t)
1.0
0.8
UTILIZACIÓN DE SERVIDORES.
0.6
LONGITUD (LENGTH).
0.4
TIEMPO DE ESPERA (WAITING TIME).
0.2
PROBABILIDAD.
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(tiempo de referencua, t)
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MEDIDAS DE DESEMPEÑO: UTILIZACIÓN
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
MEDIDAS DE DESEMPEÑO: LONGITUDES
ρ
Lq :
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN LA COLA.
L:
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL
SISTEMA.
FRACCIÓN DE TIEMPO EN QUE LOS SERVIDORES ESTÁN OCUPADOS
Average
Time in System
Variability
Increases
L = Lq + PROMEDIO DE CLIENTES QUE ESTÁN SIENDO
ATENDIDOS
Tp
Utilization (ρ)
Tema 6: Filas de Espera
100%
ρ
Dr. Omar Romero Hernández
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MEDIDAS DE DESEMPEÑO: TIEMPOS DE ESPERA
(WAITING TIMES)
Wq :
W:
TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE ESPERA
EN LA COLA.
TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN
EL SISTEMA.
MEDIDAS DE DESEMPEÑO: PROBABILIDADES
P0 :
PW :
Pn :
W=
Wq + TIEMPO PROMEDIO DE ATENCIÓN EN EL
SERVIDOR
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA CLIENTES EN
EL SISTEMA.
PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE QUE
LLEGA TENGA QUE ESPERAR PARA QUE SEA
ATENDIDO.
PROBABILIDAD DE QUE HAYA n CLIENTES EN EL
SISTEMA.
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Tema 3: Análisis de Sensibilidad
Dr. Omar Romero Hernández
RELACIONES ENTRE MEDIDAS DE DESEMPEÑO
ECUACIONES DE FLUJO DE LITTLE
L=λW
Lq = λ Wq
RELACIÓN: TIEMPO EN SISTEMA--TIEMPO DE SERVICIO
W = Wq + 1/µ
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
NOMENCLATURA GENERAL PARA
MODELOS DE FILAS DE ESPERA
2. MODELO SINGLE-CHANNEL
MODELO M/M/1
A/B/k
Donde:
A indica la distribución de probabilidad de las llegadas
B indica la distribución de probabilidad para el tiempo de
servicio
K indica el número de servidores
SISTEMA DE ESPERA CON:
• LLEGADAS POISSONIANAS.
• TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL.
• UN SOLO SERVIDOR.
• DISCIPLINA FIFO.
ASI PUES, LA SIG. NOTACIÓN SE EMPLEARÁ:
M indica distribución de llegadas Poisson o tasa de servicio
exponencial
D indica que las llegadas o el tiempo de servicio son
determinísticas o constantes.
G indica que las llegadas y el tiempo de servicio tienen una
distribución normal con media y varianza conocidas.
Tema 6: Filas de Espera
SISTEMA
LLEGADAS
DE
CLIENTES
Dr. Omar Romero Hernández
LÍNEA DE
ESPERA
(FILA O COLA)
Tema 6: Filas de Espera
MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/1
SERVIDOR
EL CLIENTE SALE,
UNA VEZ
CONCLUÍDO EL
SERVICIO
Dr. Omar Romero Hernández
MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/1
UTILIZACIÓN DEL SERVIDOR:
ρ =
SE REQUIERE QUE ρ < 1
λ
µ
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN LA COLA:
Lq =
PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA
P0 =
λ
1−
µ
ρ2
λ2
=
1−ρ
µ (µ − λ )
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA:
= 1−ρ
L=
Lq +
λ
ρ
=
µ 1−ρ
PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE ESPERE PARA QUE LO ATIENDAN:
Pw =
λ
=ρ
µ
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/1
MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/1
TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN LA COLA:
Wq =
Lq
ρ
=
µ (1 − ρ )
λ
PROBABILIDAD DE QUE HAYA n CLIENTES EN EL SISTEMA:
n
Pn =
λ
  P0 = (1 − ρ )ρ n
µ
TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN EL SISTEMA:
W=
Wq +
1
1
=
µ µ (1 − ρ )
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO: MODELO M/M/1
EJEMPLO: MODELO M/M/1
(CONTINUACIÓN)
EN SU OPERACIÓN ACTUAL, UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS
CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO,
DETERMINA EL COSTO TOTAL, RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y
SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL
EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI
LLEGA UN CLIENTE CUANDO EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN
TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA.
NÚMERO DE SERVIDORES:
k = 1 SERVIDOR
PROCESO DE LLEGADAS: POISSONIANO
λ : NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES QUE LLEGAN POR UNIDAD DE TIEMPO
LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45
CLIENTES/HORA.
EL TIEMPO DE SERVICIO ES EXPONENCIAL (SERVICIO PROMEDIO: 60
CLIENTES/HORA).
λ = 45 CLIENTES/HORA = 0.75 CLIENTES/MINUTO
TIEMPO DE SERVICIO: EXPONENCIAL
µ : NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES ATENDIDOS POR UNIDAD DE TIEMPO
µ = 60 CLIENTES/HORA = 1 CLIENTE/MINUTO
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO: MODELO M/M/1
EJEMPLO: MODELO M/M/1
(CONTINUACIÓN)
(CONTINUACIÓN)
UTILIZACIÓN DEL SERVIDOR:
λ
ρ =
µ
SE REQUIERE QUE ρ < 1
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN LA COLA:
= 0.75
Lq =
PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA
P0 =
1−
λ
µ
= 1−ρ
λ2
ρ2
=
= 2.25 CLIENTES
µ (µ − λ ) 1 − ρ
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA:
= 0.25
L=
Lq +
PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE ESPERE PARA QUE LO ATIENDAN:
λ
µ =ρ
Pw =
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO: MODELO M/M/1
EJEMPLO: MODELO M/M/1
(CONTINUACIÓN)
(CONTINUACIÓN)
TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN LA COLA:
Lq
ρ
=
µ (1 − ρ )
λ
PROBABILIDAD DE QUE HAYA n CLIENTES EN EL SISTEMA:
n
Pn =
= 3 MINUTOS
TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN EL SISTEMA:
W=
= 3 CLIENTES
= 0.75
Tema 6: Filas de Espera
Wq =
λ
ρ
=
µ 1−ρ
1
1
Wq + =
= 4 MINUTOS
µ µ (1 − ρ )
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
λ
  P0
µ
= (1 − ρ )ρ n
n
Pn
0
1
2
3
4
5 o más
0.25
0.1865
0.1406
0.1055
0.0791
0.2373
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
ALTERNATIVAS PARA EL MEJORAMIENTO DEL
SERVICIO
1. AUMENTAR LA TASA PROMEDIO DE SERVICIO, µ (HACIENDO
CAMBIO EN EL DISEÑO DEL SISTEMA O EN LA TECNOLOGÍA
EMPLEADA).
2. AÑADIR SERVIDORES EN PARALELO, K (PARA PODER ATENDER
MÁS CLIENTES A LA VEZ).
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
NOMENCLATURA GENERAL PARA
MODELOS DE FILAS DE ESPERA
Tema 3: Análisis de Sensibilidad
3. MODELO MULTIPLE-CHANNEL
MODELO M/M/k
SISTEMA DE ESPERA CON:
A/B/k
Donde:
A indica la distribución de probabilidad de las llegadas
B indica la distribución de probabilidad para el tiempo de
servicio
K indica el número de servidores
ASI PUES, LA SIG. NOTACIÓN SE EMPLEARÁ:
M indica distribución de llegadas Poisson o tasa de servicio
exponencial
D indica que las llegadas o el tiempo de servicio son
determinísticas o constantes.
G indica que las llegadas y el tiempo de servicio tienen una
distribución normal con media y varianza conocidas.
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
Dr. Omar Romero Hernández
• LLEGADAS POISSONIANAS.
• TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL.
• K SERVIDORES (IDÉNTICOS).
• DISCIPLINA FIFO (First-In-First-Out).
SISTEMA
SERVIDOR
1
LLEGADA
DE
CLIENTES
LÍNEA DE
ESPERA
(FILA O
COLA)
Tema 6: Filas de Espera
EL CLIENTE
SALE, UNA VEZ
CONCLUÍDO EL
SERVICIO
SERVIDOR
K
Dr. Omar Romero Hernández
MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/k
MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/k
UTILIZACIÓN DE CADA SERVIDOR:
ρ =
NÚMERO PROMEDIO DE
SERVIDORES OCUPADOS:
λ
SE REQUIERE QUE ρ < 1
B=
µ
λ
kµ
PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA
1
P0 = k −1 B n
k
B  kµ 
+
∑


k!  kµ − λ 
n =0 n!
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN LA COLA:
Lq =
B k λµ
(k − 1)! (kµ − λ )2
UNA MONSERGA DE
CALCULAR!!!
También se puede usar la tabla
del libro
P0
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA:
L=
Lq +
λ
µ
= Lq + B
PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE ESPERE PARA QUE LO ATIENDAN:
1 k  kµ 
Pw = k! B  kµ − λ  P0


Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/k
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO: MODELO M/M/k
TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN LA COLA:
Wq =
LA GERENCIA DEL RESTAURANTE DEL EJEMPLO ANTERIOR DESEA
MEJORAR EL SERVICIO. ESTÁ CONSIDERANDO LA ALTERNATIVA DE
PONER UN CAJERO ADICIONAL (IDÉNTICO AL ACTUAL).
Lq
λ
TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN EL SISTEMA:
W=
LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45
CLIENTES/HORA.
1
Wq +
µ
PROBABILIDAD DE QUE HAYA n CLIENTES EN EL SISTEMA:
EL TIEMPO DE SERVICIO ES EXPONENCIAL (SERVICIO PROMEDIO:
60 CLIENTES/HORA).
 Bn
P
para n ≤ k

 n! 0

Bn
P0 para n > k
Pn = 
 k! k (n − k )
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO: MODELO M/M/k
EJEMPLO: MODELO M/M/k
(CONTINUACIÓN)
(CONTINUACIÓN)
UTILIZACIÓN DE CADA SERVIDOR:
NÚMERO DE SERVIDORES:
ρ =
k = 2 SERVIDORES
λ
kµ
λ = 45 CLIENTES/HORA = 0.75 CLIENTES/MINUTO
1
P0 = k −1 B n
TIEMPO DE SERVICIO: EXPONENCIAL
Pw =
USAR TABLA
Tema 6: Filas de Espera
EJEMPLO: MODELO M/M/k
EJEMPLO: MODELO M/M/k
(CONTINUACIÓN)
(CONTINUACIÓN)
P
2 0
(k − 1)! (kµ − λ )
= 0.122715
Tema 6: Filas de Espera
Lq
λ
Dr. Omar Romero Hernández
= 0.1636 minutos
TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN EL SISTEMA:
W = Wq +
= Lq + B = 0.872715
Dr. Omar Romero Hernández
TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN LA COLA:
Wq =
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA:
L = Lq + λ
µ
UNA MONSERGA DE
CALCULAR!!!
1 k  kµ 
B 
 P0 = 0.204525
k!  kµ − λ 
Dr. Omar Romero Hernández
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN LA COLA:
B k λµ
B  kµ 
= 0.4545
PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE ESPERE PARA QUE LO
ATIENDAN:
µ = 60 CLIENTES/HORA = 1 CLIENTE/MINUTO
Lq =
k
+
∑


k!  kµ − λ 
n =0 n!
µ : NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES ATENDIDOS POR UNIDAD DE TIEMPO
Tema 6: Filas de Espera
= 0.375
PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA
PROCESO DE LLEGADAS: POISSONIANO
λ : NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES QUE LLEGAN POR UNIDAD DE TIEMPO
NÚMERO PROMEDIO DE
SERVIDORES OCUPADOS:
λ
SE REQUIERE QUE ρ < 1
= 0.75
B=
µ
1
µ
= 1.1636 minutos
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
COMPARACIÓN ENTRE ALTERNATIVAS DE
DISEÑO
EJEMPLO: MODELO M/M/k
(CONTINUACIÓN)
PROBABILIDAD DE QUE HAYA n CLIENTES EN EL SISTEMA:
 Bn
P0
para n ≤ 2


=  n! n
 B
P para n > 2
 2!2(n − 2 ) 0
 Bn
P0
para n ≤ k

Pn =  n!
n
 B
P0 para n > k
(
n
 k! k − k )
n
LAS DECISIONES RELACIONADAS CON EL DISEÑO DE LÍNEAS DE
ESPERA PUEDEN HACERSE CON BASE EN:
1. EVALUACIÓN SUBJETIVA: A PARTIR SÓLO DE LAS MEDIDAS DE
DESEMPEÑO DEL SISTEMA.
2. ANÁLISIS ECONÓMICO: INCORPORANDO COSTOS DEL SISTEMA.
Pn
0
1
2
3
4
5 o más
0.4545
0.34088
0.127828
0.047946
0.017976
0.010885
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
ANÁLISIS ECONÓMICO DE LÍNEAS DE ESPERA
INCORPORA LOS COSTOS ASOCIADOS A LAS ALTERNATIVAS DE
DISEÑO.
SE PUEDE DEFINIR AL COSTO TOTAL (POR PERIODO), CT, COMO:
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
ANÁLISIS ECONÓMICO DE LÍNEAS DE ESPERA
POR LA NATURALEZA DE LAS FUNCIONES DE COSTOS:
CT = Cw L + Cs k
SE SUELEN REPRESENTAR CON EL SIGUIENTE COMPORTAMIENTO:
COSTOS: $
CT = Cw L + Cs k
COSTO TOTAL
DONDE:
Cw : COSTO (POR PERIODO) DE ESPERA POR CLIENTE QUE
ESPERA.
COSTO DE LA
ESPERA
COSTO DEL
SERVICIO
L: NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA.
Cs : COSTO (POR PERIODO) DE CADA SERVIDOR.
k : NÚMERO DE SERVIDORES.
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
NÚMERO
ÓPTIMO DE
SERVIDORES
Tema 6: Filas de Espera
NÚMERO DE
SERVIDORES, k
Dr. Omar Romero Hernández
FILAS DE ESPERA:
OTROS MODELOS
Tema 3: Análisis de Sensibilidad
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
MODELO M/G/1:
MEDIDAS DE DESEMPEÑO
MODELO M/G/1
ρ=
APLICABLE A SISTEMAS CON:
λ
µ
P0 = 1 • LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO CON DISTRIBUCIÓN NORMAL (/G/).
Lq =
• UN SERVIDOR (/1).
• DISCIPLINA FIFO.
λ
µ
ρ <1
λ2σ 2 + ρ 2
λ2σ 2 + ( λ/µ ) 2
=
2(1 − ρ )
2(1 − λ / µ )
L = Lq +
Wq =
=1-ρ
λ
µ
= Lq + ρ
Lq
λ
1
W = Wq +
µ
PW = λ = ρ
µ
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO
EJEMPLO (CONTINUACIÓN)
UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA
CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL
COSTO TOTAL, RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL
PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL
EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA.
SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN
TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA
FILA.
LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45
CLIENTES/HORA).
LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN
NORMAL (SERVICIO PROMEDIO: 60 CLIENTES/HORA), CON
DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE 2 MINUTOS.
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO (CONTINUACIÓN)
Wq =
Lq
λ
λ
ρ = µ
= 0.75/1 = 0.75
P0 = 1 -
λ
= 1 - ρ = 1 - 0.75 = 0.25
µ
L = Lq +
Lq =
λ
= Lq + ρ
µ
ρ <1
= 5.625 + 0.75 = 6.375
λ2σ 2 + ( λ/µ ) 2
λ2σ 2 + ρ 2
= [(0.75)2(2)2 + (0.75/1)2]/[2(0.25)]
=
2(1 − λ / µ )
2(1 − ρ )
= 5.625
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
MODELO M/D/1
APLICABLE A SISTEMAS CON:
= 5.625/0.75 = 7.5 MINUTOS
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO DETERMINISTA (/D/).
1
W = Wq +
= 7.5 + 1 = 8.5 MINUTOS
µ
• UN SERVIDOR (/1).
• DISCIPLINA FIFO.
PW =
λ
µ
= ρ = 0.75
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
MODELO M/D/1:
MEDIDAS DE DESEMPEÑO
ρ=
EJEMPLO
λ
µ
P0 = 1 -
λ
µ
Lq =
( λ/µ ) 2
2(1 − λ / µ )
L = Lq +
ρ <1
=1-ρ
λ
µ
=
ρ2
2(1 − ρ )
= Lq + ρ
LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45
CLIENTES/HORA).
Lq
Wq =
λ
LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO ES DETERMINISTA
(CAPACIDAD DEL SERVICIO: 60 CLIENTES/HORA).
1
W = Wq +
µ
PW = λ = ρ
µ
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO (CONTINUACIÓN)
λ
ρ = µ
Tema 6: Filas de Espera
ρ <1
Wq =
Lq
λ
= = 1.125/0.75
= 1.5 MINUTOS
λ
= 1 - ρ = 0.75/1 = 0.75
µ
W = Wq +
L = Lq +
λ
= Lq + ρ = 1.125 + 0.75
µ
= 1.875
2
2
( λ/µ )
ρ
Lq =
=
= (0.75)2/[2(0.25)]
2(1 − λ / µ )
2(1 − ρ )
= 1.125
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO (CONTINUACIÓN)
= 0.75/1 = 0.75
P0 = 1 -
UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA
CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL
COSTO TOTAL, RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL
PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL
EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA.
SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN
TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA
FILA.
Dr. Omar Romero Hernández
PW =
λ
µ
1
= 1.5 + 1
µ
= 2.5 MINUTOS
= ρ = 0.75
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
MODELO M/G/k CON CLIENTES
QUE ABANDONAN EL SISTEMA
POR BLOQUEO
MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE
ABANDONAN EL SISTEMA: MEDIDAS
DE DESEMPEÑO
PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS
APLICABLE A SISTEMAS CON:
Pj =
∑
i =0
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO CON CUALQUIER DISTRIBUCIÓN (/G/).
• K SERVIDORES (/k).
• DISCIPLINA FIFO.
SI AL LLEGAR UN CLIENTE ENCUENTRA TODOS LOS SERVIDORES
OCUPADOS, ABANDONA EL SISTEMA.
Tema 6: Filas de Espera
(λ / µ )j / j!
k
(λ / µ )i
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EJEMPLO
i!
PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN
OCUPADOS
(λ / µ )k / k!
PK = k
(λ / µ )i
∑ i!
i =0
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
L=
λ
(1 - PK)
µ
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO (CONTINUACIÓN)
EL SERVICIO TELEFÓNICO DE ATENCIÓN A CLIENTES DE UNA
EMPRESA CUENTA CON TRES LÍNEAS.
λ = 12 LLAMADAS/HORA.
LAS LLAMADAS LLEGAN DE MANERA POISSONIANA, CON UNA
TASA DE 12 LLAMADAS/HORA.
K = 3 SERVIDORES.
µ = 6 LLAMADAS/HORA.
λ/µ = 12/6 = 2
EN PROMEDIO, CADA UNO DE LOS ASESORES PUEDE ATENDER 6
CLIENTES/HORA.
K
∑
(λ / µ )i
i =0
i!
= 20/0! + 21/1! + 22/2! + 23/3!
= 19/3 = 6.3333
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO (CONTINUACIÓN)
EJEMPLO (CONTINUACIÓN)
PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS
Pj =
λ = 12
(λ / µ )j / j!
k
(λ / µ )i
∑
µ =6
i!
λ/µ =2
P0 = (20/0!)/(19/3) = 3/19 = 0.15785
K=3
i =0
PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN
OCUPADOS
λ = 12
P1 = (21/1!)/(19/3) = 6/19 = 0.315789
P3 =
P2 =
= 6/19 = 0.315789
∑
i =0
µ =6
= 4/19 = 0.210526
λ/µ =2
i!
K=3
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
L=
(22/2!)/(19/3)
(λ / µ )3 / 3!
k
(λ / µ )i
λ
(1 - PK) = (2)(1 - 4/19) = 30/19 = 1.578947
µ
P3 = (23/3!)/(19/3) = 4/19 = 0.210526
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
MODELO M/M/1 CON
POBLACIÓN FINITA DE
CLIENTES
(MACHINE REPAIR PROBLEM)
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
MODELO M/M/1/N:
MEDIDAS DE DESEMPEÑO
P0 =
1
N
N!  λ 
∑ (N − n )!  µ 
n=0
n
ρ <1
λ +µ
(1 − P0 )
λ
L = Lq + (1 - P0)
Lq = N −
SISTEMA M/M/1 CON UNA POBLACIÓN DE N CLIENTES ATENDIDOS.
Wq =
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL (/M/).
W = Wq +
• UN SERVIDOR (/1).
•N = TAMAÑO DE LA POBLACIÓN
Pn =
• DISCIPLINA FIFO.
Tema 6: Filas de Espera
Lq
(N − L )λ
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
1
µ
n
N!  λ 
  P
(N − n )!  µ  0
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO
EJEMPLO (CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
UNA EMPRESA TIENE SEIS EQUIPOS IDÉNTICOS DE
MANUFACTURA. EL TIEMPO ENTRE FALLAS DE CADA UNO DE
LOS EQUIPOS DE PRODUCCIÓN SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL, CON UN TIEMPO PROMEDIO ENTRE FALLAS DE
20 HORAS.
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N=6
N
PARA LA ATENCIÓN DE LAS FALLAS EN EL EQUIPO DE
MANUFACTURA SE CUENTA CON UNA ÚNICA CUADRILLA DE
MANTENIMIENTO. EL TIEMPO DE DURACIÓN DEL SERVICIO DE
REPARACIÓN DE EQUIPO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL, CON UNA MEDIA DE 2 HORAS/FALLA.
N!
λ
∑ (N − n )!  µ 
n
=
(6!/6!)(0.1)0 + (6!/5!)(0.1)1 + (6!/4!)(0.1)2 + (6!/3!)(0.1)3
n=0
+ (6!/2!)(0.1)4 + (6!/1!)(0.1)5 + (6!/0!)(0.1)6
= 2.06392
P0 =
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO (CONTINUACIÓN)
1
N
N!  λ 
∑ (N − n )!  µ 
n=0
n
= (1/2.06392) = 0.4845
Tema 6: Filas de Espera
EJEMPLO (CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
λ +µ
Lq = N −
(1 − P0 ) = 6 - [(0.05+0.5)/0.05](1 - 0.0484515)
λ
= 0.329664 MÁQUINAS
Dr. Omar Romero Hernández
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
λ = 0.05
Wq =
Lq
(N − L )λ
= (0.329664)/[(6-0.844159)(0.05)]
= 1.279044 HORAS
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N=6
N=6
P0 = 0.484515
P0 = 0.484515
W = Wq +
L = Lq + (1 - P0) = 0.329664 + (1 - 0.0484515)
1
µ
= 1.279044 + 1/0.5
= 3.279044 HORAS
= 0.844159 MÁQUINAS
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
Tema 6: Filas de Espera
Dr. Omar Romero Hernández
EJEMPLO (CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
Pn =
N!
n
λ
  P0 = [6!/(6-n)!](0.1)n(0.484515)
(N − n )!  µ 
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N=6
P0 = 0.484515
N
0
1
2
3
4
5
6
Tema 6: Filas de Espera
Pn
0.484514904
0.290708942
0.145354471
0.058141788
0.017442537
0.003488507
0.000348851
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Tema 3: Análisis de Sensibilidad
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