problemasdeclaseabril 9-16

PROBLEMAS DE CLASE
Problema 7.22
Data on pull-off force (pounds) for connectors used in an automobile engine application are as
follows: 79.3, 75.1, 78.2, 74.1, 73.9, 75.0, 77.6, 77.3, 73.8, 74.6, 75.5, 74.0, 74.7, 75.9, 72.9,
73.8, 74.2, 78.1, 75.4, 76.3, 75.3, 76.2, 74.9, 78.0, 75.1, 76.8.
(a) Calculate a point estimate of the mean pull-off force of all connectors in the population. State
which estimator you used and why.
(b) Calculate a point estimate of the pull-off force value that separates the weakest 50% of the
connectors in the population from the strongest 50%.
(c) Calculate point estimates of the population variance and the population standard deviation.
(d) Calculate the standard error of the point estimate found in part (a). Provide an interpretation of
the standard error.
(e) Calculate a point estimate of the proportion of all connectors in the population whose pull-off
force is less than 73 pounds.
Solucion
a) El estimador de punto usado para este caso es X porque es el estimador no sesgado para la
media μ .
X=
79.3 + 75.1 + 78.2 + 74.1 + 73.9 + ... + 76.8
= 75.62libras
26
b) Para este estimado se utiliza la medida de tendencia central que ubica el valor del medio en la
muestra.
Mediana i
X = 75.1 , este es el dato numero 13 al organizar la muestra de manera ascendente
c) El estimado para la varianza es no sesgado, mas el estimado para la desviación si lo es:
E (S 2 ) = σ 2
E ( S 2 ) = 2.74
E ( S ) = 2.74 = 1.65
d) El error estándar del estimador X es la desviación estándar del mismo:
σx =
S
1.65
=
= 0.32libras
26
n
e) la unica observación menor de 73 es 72.9. El estimador para la proporción es el número de
datos debajo del valor establecido, sobre la cantidad de datos:
1
= 0.0385
26
Problema 8.7
n = 100 random samples of water from a fresh water lake were taken and the calcium
concentration (milligrams per liter) measured. A 95% CI on the mean calcium concentration
is 0.49 ≤ μ ≤ 0.82.
(a) Would a 99% CI calculated from the same sample data been longer or shorter?
(b) Consider the following statement: There is a 95% chance that μ is between 0.49 and 0.82. Is
this statement correct? Explain your answer.
(c) Consider the following statement: If n =100 random samples of water from the lake were
taken and the 95% CI on μ computed, and this process was repeated 1000 times, 950 of the CIs
will contain the true value of μ Is this statement correct? Explain your answer.
0.025
0.025
0.005
0.005
a) El intervalo para el 99% de confianza seria mas largo porque el alfa es mas pequeño que en un
intervalo del 95%
b) No es correcto porque el 95% se refiere a la confianza con la cual se puede decir que la media
este dentro del intervalo y no a la probabilidad que hay de que la media este en el intervalo.
c) Es correcto porque el 95% de los intervalos contendrán a la media y el 95% de 1000 es 950.
Problema 8.25
A postmix beverage machine is adjusted to release a certain amount of syrup into a chamber
where it is mixed with carbonated water. A random sample of 25 beverages was found to have a
mean syrup content x = 1.10 of fluid ounces and a standard deviation of s = 0.015 fluid ounces.
Find a 95% CI on the mean volume of syrup dispensed.
Solución
Se conoce S pero no σ por lo tanto para construir el intervalo se usa t:
n = 25
X = 1.10
S = 0.015
n − 1 = 24 grados _ de _ libertad
S
S
≤ μ ≤ X + tα / 2, n −1 *
n
n
0.015
0.015
1.10 − 2.064*
≤ μ ≤ 1.10 + 2.064*
25
25
1.094 ≤ μ ≤ 1.11
X − tα / 2, n −1 *
PROBLEMA
Los siguientes datos corresponden a un test hecho a 20 personas quienes clasificaron el sabor de
un vino en una escala de 0 a 100. (Los datos se ordenaron de forma ascendente)
Observación
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Clasificació
n
83
84
85
85
85
86
86
87
87
88
88
89
89
89
90
90
91
91
92
92
(Xi-0.5)/20
0.025
0.075
0.125
0.175
0.225
0.275
0.325
0.375
0.425
0.475
0.525
0.575
0.625
0.675
0.725
0.775
0.825
0.875
0.925
0.975
Construya un probability plot para la normal y explique si es razonable decir que los mismos se
comportan de manera normal o gausiana
Solucion
En la tabla de datos se añadio una columna para la percentila de la distribución hipotetizada, con
Estos se hace un grafico de los datos contra la percentila y se observa si siguen una linea
razonablemente recta, si esto es asi entonces la distribución normal se ajusta a los datos.
Probability Plot of vino
Normal - 95% CI
99
Mean
StDev
N
AD
P-Value
95
90
87.85
2.700
20
0.279
0.610
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
80
82
84
86
88
vino
90
92
94
96
98
La grafica muestra que los datos se ajustan a una distribución normal debido a que siguen una
linea recta.
Problema
El tiempo promedio que tardan los estudiantes en registrarse para las clases de otoño en una
universidad ha sido de 50 minutos con una desviación estándar de 10 minutos. Se esta probando
un nuevo método de registro con computadoras modernas. Si se toma una muestra aleatoria de 12
estudiantes que tuvieron un tiempo de registro promedio de 42 minutos con una desviación
estándar de 11.9 minutos quienes se registraron con el nuevo método de registro. Pruebe la
hipótesis de que la media poblacional es ahora menor a 50 minutos usando un nivel de
significancia de 0.05 y de 0.01. Asuma que los datos de tiempo se distribuyen normalmente.
Solucion
La hipótesis del investigador H1 es que la media del tiempo que tardan los estudiantes en
registrarse sea menor a la anterior que era 50 minutos asi:
H 0 : μ = 50 min
H1 : μ < 50 min
Inicialmente se hará la prueba para un alfa de 0.05:
Como no se conoce la desviación poblacional para el nuevo método entonces:
t=
X −μ
42 − 50
=
= −2.33
S / n 11.9 / 12
Con un alfa de 0.05 y 11 grados de libertad T = -1.796
Con un alfa de 0.01 y 11 grados de libertad T = -2.718
A un nivel de significancia del 0.05 se rechaza H0 porque t < T pero a un nivel de significancia
de 0.01 no hay suficiente evidencia para rechazar H0 porque t > T. esto indica que hay gran
probabilidad de que la media poblacional sea menor que 50 pero no es mucha la diferencia y
quizá no es suficiente garantía para soportar el costo que requiere la compra del nuevo método de
registro.
Problema
The compressive strength of samples of cement can be modeled by a normal distribution with a
mean of 6000 kilograms per square centimeter and a standard deviation of 100 kilograms per
square centimeter.
(a) What is the probability that a sample’s strength is less than 6250 Kg/cm2?
(b) What is the probability that a sample’s strength is between 5800 and 5900 Kg/cm2?
(c) What strength is exceeded by 95% of the samples?
⎛ x−μ
⎞
⎛ 6250 − 6000
⎞
< Z ⎟ = P⎜
<Z⎟
a ) P( X < 6250) = P ⎜
100
⎝ σ
⎠
⎝
⎠
P (2.5 < Z ) = 0.99379
5900 − 6000 ⎞
5800 − 6000 ⎞
⎛
⎛
b) P(5800 < X < 5900) = P ⎜ Z <
⎟ − P⎜Z <
⎟
100
100
⎝
⎠
⎝
⎠
P ( Z < −1) − P( z < −2) = 0.158655 − 0.02275 = 0.1359
c) P( X > x) = 0.95
x − 6000 ⎞
x − 6000 ⎞
⎛
⎛
P⎜Z >
⎟ = 0.95 → 1 − P ⎜ Z <
⎟
100 ⎠
100 ⎠
⎝
⎝
x − 6000
1 − P( Z < −1.65) →
= −1.65
100
x = 5835