CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace 511 Apéndice CI_UIII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace Ejemplos de la Sección 3.6, propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación) Ejemplo CI.1 L {te5t } = L {t} s → s −5 , entonces F ( s ) = Ejemplo CI.2 L {t 3 e − t } = L {t 3 } { Ejemplo CI.3 L t ( e −t + e−2t ) 2 s → s +1 entonces F ( s ) = } = L{t ( e L {t} s → s + 2 + 2 L {t} s → s +3 + L {t} s → s + 4 = −2 t = s → s −5 } 1 ( s + 2) 2 +2 s → s +1 1 ( s − 5) 2 3! 6 = 4 s s = s +1 ( s + 1)4 + 2e−3t + e −4t ) Ejemplo CI.4 L {e − t sen ( 2t )} = L {sen ( 2t )} F (s) = 1 s2 1 ( s + 3) 2 entonces + 1 ( s + 4) 2 entonces 2 2 = s + 4 s → s −1 ( s + 1)2 + 4 2 Ejemplos de la sección 3.14, transformada inversa Ejemplo CI.5 Determinar f (t ) siendo F ( s ) = 1 s +9 2 De tal manera que de acuerdo a la tabla 3.1 podemos utilizar la fórmula Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace 512 k L−1 2 = sen(kt ) 2 s + k Siendo k 2 = 9 , entonces k = 3 , observamos que no tenemos ese valor en el numerador, por lo que podemos multiplicar y dividir entre 3 , recordemos que una transformada es una integral, de tal manera que podemos multiplicar y dividir entre una constante, y no se altera. 1 1 −1 3 Así L−1 2 = L 2 s + 9 3 s + 9 Por lo que antitransformando f (t ) = 1 sen ( 3t ) 3 1 Ejemplo CI.6 Determinar L−1 2 s + 7 Observando que k 2 = 7 por lo que k = 7 , debemos multiplicar y dividir por esa constante, para completar la función y así aplicar la fórmula directa. 1 1 −1 7 L−1 2 L 2 = 7 s + 7 s + 7 1 k = sen(kt ) , por lo que f (t ) = Al antitransformar aplicamos L−1 2 sen 2 7 s + k ( 7t ) Ejemplos de la sección 3.16, propiedades de la trasformada inversa (linealidad, traslación) Ejemplo CI.7 Encontrar la transformada inversa de Laplace { (1 − e −t + 3e 4t ) cos ( 3t ) } L (1 − e − t + 3e 4t ) cos ( 3t ) = L {cos ( 3t )} − L {e− t cos ( 3t )} + 3L {e 4t cos ( 3t )} Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace F (s) = s − L { cos ( 3t )} + 3L {cos ( 3t )} s → s +1 s→s−4 s + 32 F (s) = ( s + 1) ( s − 4) s − +3 2 2 s + 9 ( s + 1) + 9 ( s − 4) + 9 2 2 Ejemplo CI.8 Determinar la transformada inversa de 1 −1 1 = L−1 L 3 3 s ( s + 3) F (s) = 513 1 −1 2 = L 3 2 s→s +3 s 1 ( s + 3) 3 entonces s → s +3 1 2 −3t t e 2 Ejemplo CI.9 Determinar 1 L−1 2 s − 4s + 10 1 1 −1 entonces Haciendo L−1 2 =L 2 s − 4 s + 10 ( s − 2 ) + 6 1 1 −1 6 2t 1 L−1 2 L 2 sen ( t ) e3t = e , o sea f ( t ) = 6 6 s + 6 s + 6 s→s −2 Ejemplo CI.10 Determinar la transformada inversa de s s + 6s + 10 2 s s −1 L Reacomodando el denominador L−1 2 = 2 s + 6s + 10 ( s + 6s + 9 + 1) Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace 514 s −1 s + 3 − 3 Completando el numerador L−1 = L 2 2 ( s + 3) + 1 ( s + 3) + 1 3 3 ( s + 3) −1 s Separando términos L−1 − − 2 = L 2 2 2 s + 1 s → s +3 s + 1 s →s +3 ( s + 3) + 1 ( s + 3) + 1 1 −3t s −3t −1 Aplicando el teorema de traslación f ( t ) = L−1 2 e − 3L 2 e s + 1 s + 1 Transformando inversamente f ( t ) = cos ( t ) e −3t − 2 sen ( t ) e −3t Ejemplos de la sección 3.16.1, determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales Ejemplo CI.11 Determinar la transformada inversa de F ( s ) = s ( s + 2) 2 Descomponiendo en fracciones parciales s ( s + 2) 2 = A ( s + 2) 2 + B ( s + 2) (1) Multiplicando por el denominador del lado derecho del igual resulta s = A + Bs + 2 B Factorizando s = ( A + 2 B ) + Bs , Asociando coeficientes de potencias iguales obtenemos B =1 (2) A + 2B = 0 (3) Entonces sustituyendo (2) en (3) resulta A = −2 Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas (4) Amalia C. Aguirre Parres CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace 515 Sustituyendo (2) y (4) en (1), obtenemos s −2 1 −1 L−1 L = + L-1 2 2 s + 2 ( s + 2 ) ( s + 2 ) (5) Aplicando a (5) el teorema de traslación en s s 1 L−1 = −2L-1 2 2 s ( s + 2 ) -1 1 +L s + 2 s→s+2 s 1 1 −2 t −2 t L−1 = −2L-1 2 e −2t + L-1 Resultando f (t ) = −2te + e 2 s s + 2 ( s + 2 ) Ejemplo CI.12 Resolver la transformada inversa de F ( s ) = 2s − 2 s 2 ( s + 1) 3 Descomponiendo en fracciones parciales 2s − 2 s 2 ( s + 1) 3 = A B C D E + + + + 2 3 2 s ( s + 1) ( s + 1) s +1 s Multiplicando por s 2 ( s + 1) (6) 3 2s − 2 = A ( s + 1) + B ( s )( s + 1) + Cs 2 + Ds 2 ( s + 1) + Es 2 ( s + 1) 3 3 Haciendo s = −1 , sustituyendo en (7) -4 = C ( −1) 2 (7) 2 C = -4 (8) Haciendo s = 0 y sustituyendo en (7), obtenemos -2 = A , o bien A = -2 (9) Desarrollando los binomios al cubo y al cuadrado Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace 516 2s − 2 = −2s 3 − 6s 2 − 6s − 2 + Bs 4 + 3Bs 3 + 3Bs 2 + Bs + −3s 2 + Ds 3 + Ds 2 + Es 4 + 2 Es 3 + Es 2 Agrupando 2s − 2 = s 4 ( B + E ) + s 3 (−2 + 3B + D + 2 E ) + s 2 (−6 + 3B − 3 + D + E ) + s (−6 + B) − 2 Reduciendo términos Para s 4 : Bs 4 + Es 4 = s 4 ( B + E ) (10) Para s 3 : − s 3 + 3Bs 3 + Ds 3 + 2 Es 3 = s 3 (−2 + 3B + D + 2 E ) (11) Para s 2 : −3s 2 + 3Bs 2 − 3s 2 + Ds 2 + Es 2 = s 2 (−9 + 3B + D + E ) (12) Para s : −3s + Bs = s (−6 + B) (13) De (13) −6 + B = 2 , por lo que B =8 (14) De (10) B + E = 0 por lo tanto E = − B entonces E = −8 (15) De (11) −2 + 3B + D + 2 E = 0 , o bien 3B + D + 2 E = 2 (16) De (12) −9 + 3B + D + E = 0 o bien 3B + D + E = 9 (17) De tal manera que sustituyendo (14) y (15) en (16) 3 ( 8 ) + D + 2 ( −8 ) = 2 obtenemos D = −6 Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas (18) Amalia C. Aguirre Parres CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace 517 Sustituyendo los valores encontrados( (8), (9),(14), (15), (18)) en (6), obtenemos 2s − 2 s 2 ( s + 1) 3 −2 8 −4 −6 −8 + + + + 2 3 2 s ( s + 1) ( s + 1) s +1 s = (19) Aplicando la inversa a (19) tenemos 1 2s − 2 1 1 L−1 2 = −2L−1 2 + 8L−1 − 4L−1 3 3 s s s ( s + 1) s -1 1 − 6L 2 s → s +1 s -1 1 − 8L s → s +1 s s → s +1 Resultando f (t ) = 8 − 2t − 8e− t − 6te− t − 2t 2 e− t El resultado en MathCad sería L 2.s 1 2. s (s 2 1) 3 2.t 8 2 2 . t . exp( t ) 6 . t . exp( t ) 8 . exp( t ) 2 O sea f( t ) 2 .t 8 2 .t . exp( t ) 6. t . exp( t ) 8. exp( t ) Ejemplo CI.13 Encontrar la transformada inversa de F ( s ) = Factorizando el denominador Separando los términos 6s + 3 6s + 3 = 2 s + 8s + 16 ( s 2 + 4 )2 4 6s + 3 (s 2 6s + 3 s + 8s 2 + 16 4 + 4) 2 Aplicando fórmula L {tsen ( kt )} = = 6s (s 2 + 4) 2 2ks (s 2 + k2 ) 2 + 3 (s 2 + 4) 2 y L {sen ( kt ) − kt cos ( kt )} = 2k 3 (s 2 + k2 ) 2 Completando s 1 6 −1 4 s 3 −1 16 −1 Por lo que + 3L = L + L 6L 2 2 2 2 2 2 2 2 ( s + 4 ) ( s + 4 ) 4 ( s + 4 ) 16 ( s + 4 ) −1 Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace 518 3 3 tsen ( 2t ) + sen ( 2t ) − 2t cos ( 2t ) 2 16 f (t ) = 3 3 3 Simplificando f (t ) = − t cos ( 2t ) + tsen ( 2t ) + sen ( 2t ) 8 2 16 La solución en MathCad sería L 6s 1 s 4 8s 3 2 3. . t cos ( 2 . t ) 8 16 3. . t sin ( 2 . t ) 2 3. sin ( 2 . t ) 16 Ejemplo CI.14 Determinar la solución de y '' − 4 y ' + 4 y = te 2t con condiciones iniciales de y (0) = y ' (0) = 0 Transformando cada término s 2Y ( s ) − sy (0) − y ' (0) − 4sY ( s ) + 4 y (0) + 4Y ( s ) = 1 (20) ( s − 2) Sustituyendo condiciones iniciales en (20) y simplificando s 2Y ( s ) − 4sY ( s ) + 4Y ( s ) = Despejando Y ( s ) = 1 Y (s) = ( s − 2 )4 1 ( s − 2) 1 ( s − 2) 2 2 2 , factorizando Y ( s ) ( s 2 − 4s + 4 ) = 1 ( s − 2 )2 1 ( s − 2) 2 1 Antitransformando y ( t ) = L−1 4 s Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas (21) , aplicando el teorema de traslación s →( s − 2 ) Amalia C. Aguirre Parres CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace y (t ) = 519 1 −1 3! 2t 1 L 4 e , simplificando y (t ) = t 3 e2t 9 3! s Ejemplo CI.15 Determinar la transformada Inversa de Laplace de F ( s ) = 1 s −9 4 1 1 Descomponiendo el denominador en factores 4 = 2 s − 9 ( s − 3)( s 2 + 3) Desarrollando fracciones parciales 1 As + B Cs + D = 2 + 2 s −9 s −3 s +3 (22) 4 Multiplicando ambos lados del igual por el denominador obtenemos 1 = ( As + B ) ( s 2 + 3) + ( Cs + D ) ( s 2 − 3) Desarrollando 1 = As 3 + 3 As + Bs 2 + 3B + Cs 3 − 3Cs + Ds 2 − 3D Agrupando 1 = ( A + C ) s 3 + ( B + D ) s 2 + ( 3 A − 3C ) s + ( 3B − 3D ) Asociando coeficientes de igual potencia obtenemos A+C = 0 (23) B+D=0 (24) 3 A − 3C = 0 (25) 3B − 3 D = 1 De (23) y (25), resolviéndolas simultáneamente 3 A − 3C = 0 (26) 3 A + 3C = 0 6A =0 Obtenemos A = 0 , C = 0 Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace 520 3B − 3D = 1 De (24) y (26), resolviéndolas simultáneamente 3B + 3D = 0 6B =1 Obtenemos B = 1 1 y D=− 6 6 Sustituyendo en (22) obtenemos 1 1 1 1 1 = 2 − s − 9 6 s − 3 6 s2 + 3 4 1 −1 3 1 −1 3 1 Por lo que completando L−1 4 L 2 L 2 = − s − 9 6 3 s − 3 6 3 s + 3 Transformando inversamente f (t ) = 1 6 3 senh 3t − 1 6 3 sen 3t f (t ) = − Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas 3 3 senh 3t − sen 3t 18 18 Amalia C. Aguirre Parres