EXAMEN : SEGUNDO EXAMEN FINAL (2001-2)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERIA
EXAMEN : SEGUNDO EXAMEN PARCIAL (2014-2).
PROFESOR : ING. GUILLERMO CASAR MARCOS.
MATERIA : PROBABILIDAD (GRUPO 31).
NOMBRE DEL ALUMNO : ___________________________________
1. Una empresa de ventas en línea dispone de seis líneas telefónicas. Sea X el número de líneas
en uso en un tiempo especificado. Suponga que la función masa de probabilidad de X es la
que se da en la tabla adjunta
X
0
1
2
3
4
5
6
P(x)
0.10
0.15
0.2
0.25
0.20
0.06
0.04
Calcule la probabilidad de que:
a) Cuando mucho tres líneas están en uso.
b) Menos de tres líneas están en uso.
Solución:
a) P(x ≤ 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) = 0.10 + 0.15 + 0.2 + 0.25 = 0.7 = 70%
b) P(x < 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) = 0.10 + 0.15 + 0.20 = 0.45 = 45%
2. La demanda semanal de soda gaseosa, en miles de litros, de una cadena local de tiendas es
una variable aleatoria, donde x tiene la función de densidad:
2(x–1)
; para 0 < x < 1
f(x)=
0
; en cualquier otro caso
Obtener: E ( x² - x + 0.5 )
Solución
1
E(x)=

1
2 x ( x – 1 ) dx = 2  ( x – x ) dx = 2
2
0
0
= 2x3 / 3
1
E ( x2 ) =

1
0
1

– x2
1
0
0
1
0
– 2x3 / 3
0
= - 1/3 = - 0.333
1
= 2x4 / 4
x dx – 2  x dx
0
2 x2 ( x – 1 ) dx = 2  ( x3 – x2 ) dx = 2
0
1
1

0
1
0
= - 1/6 = - 0.1666
E ( x2 – x + 0.5 ) = -1/6 – (-1/3) + 0.5 = 2/3 = 0.6666
1
x3 dx – 2  x dx
0
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3. De 50 edificios en un parque industrial, 12 no cumplen el código eléctrico. Si se seleccionan
aleatoriamente diez edificios para inspeccionarlos
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los diez no cumplan con el
código?
b) encuentre la media
Solución:
Sea X el número de edificios seleccionados que violan el código.
Entonces, X se resolverá con una Distribución Hipergeométrica
n = 10; N = 50; M = 12); x = 3
M
x
N–M
n-x
P (X = x) = h (x; n, M, N) =
N
n
12
38
3
7
(220)(12 620 256)
a) P (X=3) = ------------------ = ------------------------ = 0.2703 = 27.03%
50
10 272 278 170
10
nM
10 (12)
b) µ = -------- = ------------ = 2.4
N
50
4. Una prueba de resistencia de soldadura consiste en poner carga en uniones soldadas hasta
que se dé una ruptura. Para cierto tipo de soldadura, 80% de las rupturas ocurre en la propia
soldadura en uniones, mientras que otro 20% se da en las vigas. Se prueba cierto número de
soldaduras. Sea X el número de pruebas incluyendo la tercera ruptura de la viga. Determine
P(x=8).
Solución:
x-1
pr ( 1 – p )x-r
P(x) = P( X = x) =
r-1
Distribución Binomial Negativa: x = 8; r = 3; p = 0.2
7
(0.2)3 (0.8)5 = 0.05505 = 5.505%
P( x = 8) =
2
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5. El tiempo de vida de un circuito integrado particular tiene una distribución con media de dos
años. Encuentre la probabilidad de que el circuito dure más de tres años.
Solución:
Distribución Exponencial
t1

P(t1 < t < t2 ) =
λe-λt dt
t2
µ = 1/λ
2 = 1/λ
λ = ½ = 0.5
3
P(T > 3) = 1 – P(T < 3) = 1 -

0.5e-0.5t dt = 1 – (1 – e-0.5(3)) = e-1.5 = 0.223 = 22.3%

6. Los tiempos de vida de las baterías en cierta aplicación se distribuyen normalmente con
media de 50 horas y desviación estándar de cinco horas.
a) Determine la probabilidad de que se elija aleatoriamente una batería que dure
entre 39 y 53 horas.
b) ¿Qué valor es adecuado para C, de tal manera que un bloque elegido
aleatoriamente tenga una duración la batería menor que C con una probabilidad
de 0.8734?
Solución:
Distribución Normal Estandar
µ = 50; σ = 5
a) P ( 39 < x < 53 ) = P ( - 2.2 < z < 0.6 ) =
x- x
z=

x
x1 -  x
z1 =

39 - 50
=
x
x2 -  x
z2 =

= -2.2
5
53 - 50
=
x
= 0.6
5
0.72574 – 0.01391
= 0.71183 = 71.183%
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b) P = 0.8734 => z = 1.14
x- x
z=

C - 50
;
x
C = 50 + 1.14 (5) = 55.7
1.14 =
5