Modelacion_de_Redes_ Aereas - Universidad Nacional de

______ ___ ______ ___ ______ ___ _____
MODELACIÓN DE REDES
DE TRANSMISIÓN DE
ENERGÍA ELÉCTRICA
______ ___ ______ ___ ______ ___ _____
LEONARDO CARDONA C.
Profesor Asociado
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y MECÁNICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MEDELLÍN
AGOSTO 2004
CONTENIDO
Pág.
1
INTRODUCCION .......................................................................................... 1
2
IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED ....................................................... 5
2.1
RESISTENCIA DE LA LINEA................................................................... 6
2.2 INFLUENCIA DEL EFECTO SKIN EN LA RESISTENCIA................ 8
2.3 INFLUENCIA DEL SISTEMA DE RETORNO EN LA
RESISTENCIA.............................................................................................. 9
2.4 INDUCTANCIA DE LA LINEA DE TRANSMISION ......................... 10
2.5 INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO H DEBIDO A LA
CORRIENTE DE UN SOLO CONDUCTOR ............................................ 12
2.6 CALCULO DEL FLUJO LIGADO TOTAL ............................................... 13
2.7 FLUJO LIGADO SOBRE UN CONDUCTOR DEBIDO A UN
GRUPO DE CORRIENTES.......................................................................... 18
2.8 INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CONSIDERANDO
SUELO IDEAL............................................................................................. 20
2.9 MATRIZ DE REACTANCIAS INDUCTIVAS DE UNA RED
TRIFASICA ................................................................................................. 24
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2.10 INTERPRETACION DE LA MATRIZ DE INDUCTANCIAS ............ 26
2.11 INDUCTANCIAS PARA RED TRIFÁSICA TRANSPUESTA ........... 26
2.12 INDUCTANCIAS DE SECUENCIA PARA LINEA TRIFASICA...... 30
2.13 IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED CON RETORNO POR
TIERRA CONSIDERANDO SUELO REAL............................................ 35
2.14 APROXIMACION DE LEWIS PARA CALCULO DE IMPEDANCIA
SERIE A BAJA FRECUENCIA ................................................................ 38
2.15 LAS IMPEDANCIAS DE SECUENCIA CONSIDERANDO LA
APROXIMACION DE LEWIS ................................................................. 40
2.16 IMPEDANCIA DE UNA RED PARA CONDUCTORES EN HAZ ........ 41
2.17 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFÁSICA
DE UN CIRCUITO CON UN CABLE DE GUARDA .............................. 44
2.18 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICA
DE UN CIRCUITO CON DOS CABLES DE GUARDA......................... 45
2.19 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICA
DE DOS CIRCUITOS CON DOS CABLES DE GUARDA ................... 47
3.
CAPACITANCIA DE UNA RED ............................................................... 50
3.1
DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DEBIDO A
UNA DISTRIBUCION LINEAL DE CARGA.......................................... 51
3.2 CAPACITANCIAS DE LINEA TRIFASICA ......................................... 54
3.3 INTERPRETACION FISICA DE LA MATRIZ DE
CAPACITANCIAS ...................................................................................... 57
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3.4 CAPACITANCIA PARA UNA LINEA TRIFASICA CON
TRANSPOSICION ..................................................................................... 58
3.5 RADIO MEDIO GEOMETRICO Y DISTANCIA MEDIA
GEOMETRICA ............................................................................................. 62
3.6 CAPACITANCIAS DE SECUENCIA DE UNA RED TRIFASICA
TRANSPUESTA .......................................................................................... 64
4
REPRESENTACION CIRCUITAL DE LINEAS DE
TRANSMISION ......................................................................................... 66
4.1
LINEAS DE TRANSMISION CORTAS................................................ 67
4.2 LINEAS DE TRANSMISION DE LONGITUD MEDIA...................... 71
4.3 LINEA DE TRANSMISION DE LONGITUD LARGA ........................ 74
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 79
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INTRODUCCIÓN
Un sistema de transmisión de energía eléctrica es una parte constitutiva
de un sistema de potencia eléctrico que requiere de una modelación
adecuada dependiendo del estudio que se esté realizando. Esta
modelación depende de parámetros como la distancia, y la frecuencia del
fenómeno motivo de estudio.
Estas notas son el resultado de haber trabajado el tema de la modelación
de líneas aéreas de alta tensión inicialmente en el curso de Transporte de
Energía y posteriormente en los cursos de Redes I y Redes II.
Con la
utilización de herramientas modernas de simulación como el programa
ATP/EMTP, que considera las redes como elementos polifásicos sin hacer
uso de las componentes simétricas, se hace necesario fortalecer el
concepto de impedancia generalizada de una red polifásica. Este concepto
se construye a partir de las expresiones de Carson y las simplificaciones
propuestas por Lewis para estudios a frecuencia industrial.
Las redes constituyen el elemento más común en un sistema eléctrico de
potencia.
Con fines de análisis en estado estacionario y diseño del
sistema eléctrico se podría suponer conductores ideales si la red tuviera
una distancia muy pequeña, pero la realidad es otra, ya que las redes se
construyen con el fin de transportar energía de las fuentes al usuario o
entre subestaciones con fines de interconexión.
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Introducción
2
Sobre una red aparecen cuatro fenómenos físicos que no se pueden
ignorar dependiendo de la distancia y del voltaje de operación. Estos
fenómenos físicos son los siguientes:
Efecto resistivo, responsable del calentamiento del conductor y de
caída de tensión a lo largo del conductor. La resistencia depende del
tipo de material del cual esté hecho. Este efecto es dominante sobre
los demás en redes de baja tensión, debido al calibre de los
conductores que se emplean en dichos niveles de tensión.
Efecto inductivo, debido a los enlaces de flujo que rodean al
conductor, creados por su propia corriente y por las corrientes de
los otros conductores. Este efecto se ignora generalmente en redes
de baja tensión donde el efecto resistivo es mayor que la reactancia
inductiva. Se empieza a considerar en redes donde los conductores
presentan una reactancia inductiva comparable con el la resistencia
reactivo, como es el caso de las redes de distribución. A medida que
aumenta el nivel de tensión, la resistencia de los conductores
empleados es mucho menor que la reactancia inductiva, como es el
caso de una línea de 230 kV donde la relación X1/R1 es del orden de
8 y para una línea de 500 kV del orden de 14. En redes de alta
tensión el efecto inductivo es el limitante de las transferencias de
potencia activa.
Efecto capacitivo, debido a las corrientes de desplazamiento en
derivación que se presentan entre conductores y entre estos y el
suelo. Estas corrientes de desplazamiento hace que los conductores
se carguen cuando son energizados, aún con la línea en vacío. La
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Introducción
3
capacitancia se desprecia normalmente para redes con longitud por
debajo de 80 km. El efecto capacitivo se empieza a tener en cuenta
en redes de longitud mayor a 80 km ya que éste se acentúa por
aumento de la corriente de desplazamiento. El efecto principal de la
capacitancia asociada a los conductores es el aumento de la tensión
en el extremo de carga en vacío. Este aumento de tensión depende
de la longitud de la red. Para redes por debajo de 80 km la
regulación está por debajo de 0.5%, razón por la cual se considera
despreciable el efecto capacitivo.
Cuando se trata de cables
aislados las consideraciones de longitud ya no son válidas y el efecto
capacitivo se debe considerar en casi todas las situaciones.
Efecto conductivo. Un cuarto efecto es el de conducción de
corrientes de fuga debido a las características del aislamiento de la
red. Estas corrientes se presentan debido a la contaminación del
medio ambiente que rodea al conductor. Este efecto normalmente se
ignora en lo que respecta al circuito que representa la red en
funcionamiento normal en estado estacionario. Las pérdidas de
potencia activa que ocasionan estas corrientes si se tienen en cuenta
en la selección de conductores para líneas de alta tensión, cuando se
evalúan las pérdidas por efecto "corona".
Una vez que se ha tomado la decisión de diseñar y construir una nueva
red, se hace necesario un modelo que represente adecuadamente la red en
los diferentes estudios donde ésta esté involucrada. La modelación para
estudios de estado estacionario de la red, se hace mediante un circuito en
forma general n-fásico.
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Introducción
4
El modelo circuital para una red de transmisión de energía se construye a
partir de las leyes de la Física que describen matemáticamente los
efectos físicos anteriormente expuestos.
Las redes son del tipo trifásico de uno o varios circuitos. Es usual en
Colombia el utilizar cable de guarda como medio de apantallamiento contra
descargas atmosféricas, en redes aéreas, debido al alto nivel ceráunico
que se presenta en la mayoría de las regiones. El cable de guarda hace las
veces de conductor neutro al estar eléctricamente en contacto con la
torre.
Para estudios transitorios rápidos, los modelos deben involucrar las
variables tiempo y desplazamiento, dando lugar a los modelos distribuidos
de onda viajera, los cuales manejan un concepto relativista, ya que un
evento que aparezca al inicio de la línea necesita de un tiempo
determinado para propagarse, dado por la velocidad con que las ondas de
corriente y voltaje se desplazan a lo largo de la red.
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IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED AÉREA
La caída de voltaje lo largo de un conductor que transporta una corriente
alterna se debe a dos fenómenos físicos: efecto resistivo propio del
conductor y el efecto de la autoinducción motivado por la presencia de
campo magnético variable en el tiempo que rodea al conductor. Las líneas de
campo magnético son ocasionadas por la propia corriente y por corrientes
de líneas paralelas vecinas, para el caso de líneas con varios conductores.
Una red está formada en general por
n conductores acoplados entre si.
Este acoplamiento es tanto resistivo como inductivo.
En la obtención de la impedancia serie de una red trifásica aérea se va
seguir la siguiente metodología:
Cálculo de la resistencia AC del conductor incluyendo algunos efectos
como la temperatura y el retorno por tierra.
Planteamiento de la ecuación básica para el flujo ligado sobre un
conductor, creado por su propia corriente.
Determinación del flujo ligado sobre un conductor debido a un grupo
de varias corrientes.
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Impedancia serie de una red aér e a
6
Con la generalización anterior se particulariza para una red trifásica
de un conductor por fase. Se considera el caso de suelo ideal
(perfectamente conductor).
Se le da una interpretación a la matriz de reactancias inductivas, para
el caso de red trifásica.
Se
determinan
las
inductancias
de
secuencia,
haciendo
las
consideraciones de red completamente transpuesta.
Se hacen las correcciones a las expresiones de impedancia serie
obtenidas para suelo ideal, al considerar las características de suelo
real. Se plantean las expresiones de Carson y se considera finalmente
una solución práctica a 60 hz, que es la aproximación de Lewis.
Se plantea el caso de una fase constituida por un grupo de
conductores formando un haz.
Se considera el efecto que tienen los cables de guarda sobre la
impedancia de secuencia cero de una red trifásica.
2.1
RESISTENCIA DE LA LINEA
Los conductores que normalmente se utilizan en líneas aéreas son de
aluminio y alma de acero reforzado (ACSR), conductor totalmente de
aluminio (AAC), conductor totalmente de aleación de aluminio (AAAC),
conductor de aluminio reforzado (ACAR). Estos conductores de estos
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Impedancia serie de una red aér e a
7
materiales ofrecen buenas características a la tracción mecánica (caso del
ACSR), buena conductividad y además poseen poco peso.
Para determinar el efecto resistivo de los conductores se puede hacer por
cálculos o por mediciones. En primera instancia parece sencillo el cálculo de
la resistencia de un conductor, pero hay varios factores que complican dicho
cálculo.
Estos factores son los siguientes: la temperatura, efecto skin
(pelicular), la forma espiral de los hilos que componen el conductor
(espiralización), la frecuencia de la corriente, la tierra como sistema de
retorno.
El valor de la resistencia efectiva se puede obtener a partir de la medición
de pérdida de potencia y del valor efectivo de la corriente. El valor de la
resistencia obtenido de esta manera sería:
R=
pérdidas de potencia en el conductor
I
2
Ω
(2.1)
La resistencia DC de un conductor de material uniforme se puede calcular
como:
R DC =
ρ l
(2.2)
A
donde,
RDC =
resistencia DC del conductor en Ω.
A
=
área de la sección transversal del conductor, en m²
l
=
longitud del conductor, en m.
ρ
=
resistividad del material del conductor, en Ω.m
2.83 x 10-8 Ω.m para el aluminio a 20 °C.
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Impedancia serie de una red aér e a
8
La resistividad del material del conductor varía en forma aproximadamente
lineal con la temperatura. Esta variación se puede calcular con la siguiente
expresión:
+
ρ 2 = ρ1 T 2 T 0
(2.3)
T1+T0
donde,
T2,T1
son
las
temperaturas
en
°C
correspondientes
a
las
resistividades ρ 2 y ρ 1 respectivamente.
T0 es una constante que puede tomar los siguientes valores,
234.5 para cobre recocido de 100% de conductividad,
241 para cobre estirado en frío de 97.3% de conductividad,
228 para aluminio estirado en frío de 61% de conductividad.
2.2
INFLUENCIA DEL EFECTO SKIN EN LA RESISTENCIA
La resistencia también se ve afectada por el efecto skin (pelicular o
superficial). Este consiste en la tendencia que tiene la corriente alterna a
concentrarse en la superficie del conductor, efecto que se incrementa con
la frecuencia. La resistencia se ve incrementada con este efecto ya que
disminuye al área efectiva del conductor para transportar la corriente. El
cálculo del incremento de la resistencia debido al efecto skin es complejo,
dando lugar a ecuaciones tipo Bessel. Para efectos prácticos la corrección
por este efecto se va a considerar al tomar el valor de resistencia a la
corriente alterna de las tablas que suministran los fabricantes. Este valor
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9
Impedancia serie de una red aér e a
se da para la frecuencia de trabajo del conductor, a una temperatura
determinada y para diferentes valores de corriente (pequeñas y ≈75% de la
corriente nominal).
2.3
INFLUENCIA
DEL
SISTEMA
DE
RETORNO
EN
LA
RESISTENCIA.
Cuando el sistema de retorno de una corriente es un conductor físico o una
tierra de características ideales ( ρ =0.0), la resistencia total será
simplemente la suma de las dos resistencias de los respectivos conductores,
el de fase y el de retorno. Cuando el sistema de retorno lo constituye la
tierra física la resistencia total está dada por las correcciones de Carson:
RTOTAL = R AC + ∆R
(2.4)
donde ∆ R es una serie infinita,
π
∆R = 8π .10-4 f  - 43 10 π .10-4 h
8

... 
ρ

f
(2.5)
donde,
h es la altura del conductor con respecto a la superficie del suelo en
m.
f es la frecuencia de la corriente en hz.
ρ es la resistividad del suelo en Ω.m.
Para cálculos a 60 hz. una solución que se considera práctica es considerar
únicamente el primer término de la serie. Para este caso la corrección sería
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Impedancia serie de una red aér e a
10
un término constante que es independiente de la altura del conductor. En lo
sucesivo a este término constante de corrección por retorno por tierra se
le llamará Rn, y su valor será:
Rn = 0.0592
2.4
Ω
Km
(2.6)
INDUCTANCIA DE LA LINEA DE TRANSMISION
La fuerza electromotriz (FEM) inducida a lo largo de un conductor, de
acuerdo a la Ley de Faraday de la Inducción, se calcula de la manera
siguiente:
e = FEM = ∫ E.dl = L
dΦ
d
= - ∫ B.dS
dt
dt S
(2.7)
De acuerdo a la anterior ecuación, la fuerza electromotriz está definida
como la integral de línea del campo eléctrico. Igualmente se puede evaluar la
fem como la variación del flujo ligado con
respecto al tiempo. El signo
menos se introduce de acuerdo a la Ley de Lenz, para definir el sentido de
la diferencia de potencial que se opone a la corriente que produjo la caída
de tensión.
La relación entre el flujo ligado, la inductancia y la corriente, se puede
obtener a partir de la siguiente ecuación:
e = ∆v = L
di
dφ
dψ
= N
=
dt
dt
dt
(2.8)
De donde se puede establecer:
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Impedancia serie de una red aér e a
ψ = L i
11
(2.9)
Donde, ψ corresponde al flujo ligado.
De la ecuación 2.8 se puede establecer que el flujo ligado es igual al flujo
magnético multiplicado por el factor N. Este factor N tiene un significado
un poco diferente al que normalmente tiene en una bobina, por ejemplo,
(donde corresponde al número de vueltas). Para el caso de puntos
exteriores a un conductor, N tiene un valor de uno (1.0) y para puntos
interiores N corresponde a la fracción de corriente total que es rodeada
por un diferencial de flujo.
La anterior ecuación (teorema del flujo ligado) nos dice que existe una
relación directa entre el flujo ligado y la corriente. El flujo ligado total
sobre un conductor es el resultado del flujo ligado interno del conductor y
el flujo ligado externo al conductor.
La Ley de Ampere permite calcular la fuerza magnetomotriz (FMM), en
amperios-vuelta alrededor de una trayectoria cerrada:
FMM = ∫ H.dl = I encerrada
(2.10)
donde,
H
=
Intensidad de campo magnético, A/m
l
=
Distancia a través del paso de integración, m
I
=
Corriente encerrada por la trayectoria de integración, A.
Si se escoge una trayectoria de integración adecuada, la integral cerrada se
puede evaluar de manera fácil. Ver Figura 2.1.
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Impedancia serie de una red aér e a
FIGURA 2.1
2.5
12
Líneas de intensidad de campo magnético Hx creadas por una corriente
INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO H DEBIDO A LA
CORRIENTE DE UN SOLO CONDUCTOR
En puntos interiores del conductor, es decir para valores de x ≤ r, se tiene:
2
x
I encerrada = 2 I
r
(2.11)
2
x
∫ H x .dl = r2 I
(2.12)
En la trayectoria escogida de integración Hx tiene un valor constante,
2
2πx H x = x2 I
r
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(2.13)
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Impedancia serie de una red aér e a
13
De lo anterior se deduce que para puntos interiores, la intensidad de campo
magnético se puede evaluar,
Hx =
x
2π r 2
(2.14)
I
Para puntos exteriores, lo único que cambia en la evaluación de la ecuación
2.10 es la corriente encerrada por la trayectoria de integración, que en este
caso ya corresponde a la totalidad de la corriente I.
∫H
x
.dl = I ⇒ H x =
I
2π x
(2.15)
El campo Hx para puntos interiores y exteriores se ilustra en la Figura 2.1,
donde se observa que para valores de x ≤ r la intensidad de campo
magnético varía linealmente con la distancia al centro del conductor y para
valores de x > r, el campo decrece y lo hace de manera inversa al incremento
de x.
2.6
CALCULO DEL FLUJO LIGADO TOTAL
Tal como quedó establecido en la ecuación 2.9 para calcular la inductancia
de un conductor en el espacio (sin efecto del suelo), hay que evaluar el flujo
ligado total que produce la corriente que circula por el conductor. En la
Figura 2.2 se ilustra este flujo ligado total hasta un punto exterior que está
a una distancia D del centro del conductor.
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Impedancia serie de una red aér e a
14
FLUJO LIGADO EXTERNO
SUPERFICIE DEL CONDUCTOR
r
D
FLUJO LIGADO INTERNO
FIGURA 2.2
Flujo ligado total debido a una corriente
Para la evaluación del flujo ligado interno, se realiza la integración en una
trayectoria radial desde x=0 hasta x=r, y tomando un diferencial de área
como se ilustra en la Figura 2.3.
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Hx
15
dA
dx
FIGURA 2.3
Trayectoria para cálculo de flujo ligado interno
Para la evaluación del correspondiente flujo ligado externo se realiza la
respectiva integración desde x=r hasta un punto externo a una distancia
genérica D y tomando un diferencial de área como el que se ilustra en la
Figura 2.4.
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Impedancia serie de una red aér e a
E
16
Hx
CONDUCTOR
LINEAS DE CAMPO MAGNETICO
H
l
dA
COR
RIE
NTE
I
x
FIGURA 2.4
dx
Trayectoria de integración para cálculo de flujo ligado externo
Las ecuaciones básicas para obtener el flujo ligado total serían:
dψ = N dφ
(2.16)
dφ = B.dA
(2.17)
donde,
B
=
Densidad de flujo magnético
El diferencial se toma por cada unidad de longitud, es decir,
dA =
l.dx
= dx
l
(2.18)
De las ecuaciones 2.16, 2.17, 2.18 y además recordando la relación que
existe entre la intensidad de campo magnético H y la densidad de campo
magnético B (B=µH), un diferencial de flujo ligado en cualquier punto se
puede evaluar como:
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Impedancia serie de una red aér e a
dψ = N µ H dx
17
(2.19)
Haciendo la correspondiente integración se obtiene la expresión para el
flujo ligado interno:
µI
8π
(2.20)
µI
D
ln
2π
r
(2.21)
D
µ I 1
4 + ln

2π 
r 
(2.22)
ψ interno =
Para el flujo ligado externo, se obtiene:
ψ externo =
El flujo ligado total, será entonces:
ψ total =
Como el flujo ligado interno resulta independiente del radio del conductor,
la ecuación 2.22 se puede expresar de manera que se elimine el flujo ligado
interno y quede expresado el flujo ligado total en función de un radio
ficticio (r'), que representa un conductor sin flujo interno,
ψ total =
µI D
ln
2π
r′
(2.23)
donde,
r ′ = r.e- 4
1
(2.24)
Según la ecuación 2.23 la inductancia de un conductor cilíndrico, sería:
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Impedancia serie de una red aér e a
L=
2.7
D
µ
ln
2π r ′
18
(2.25)
FLUJO LIGADO SOBRE UN CONDUCTOR DEBIDO A UN GRUPO
DE CORRIENTES
Sobre un conductor además de su propia corriente, también tienen
influencia las corrientes de conductores vecinos. Estos últimos crean
enlaces de flujo que rodean al conductor sobre el que se desea calcular el
flujo ligado total. Ver Figura 2.5
FLUJO LIGADO SOBRE EL CONDUCTOR 1
CREADO POR LA CORRIENTE I1
PUNTO P
D1P
I1
D2P
D12
FLUJO LIGADO SOBRE EL CONDUCTOR 1
CREADO POR LA CORRIENTE I2
I2
FIGURA 2.5
LEONARDO CARDONA C.
Flujo ligado debido a un grupo de conductores
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Impedancia serie de una red aér e a
19
Para el cálculo del flujo ligado total sobre un conductor debido a un grupo
de corrientes, se puede utilizar la ecuación 2.23 para la evaluación del flujo
ligado total debido a su propia corriente. El cálculo del flujo ligado sobre el
conductor debido a otras corrientes, se puede hacer con la ecuación 2.21,
pero evaluado desde una distancia D1 hasta una distancia D2 al centro del
conductor:
ψ externo =
µ I D2
ln
2π
D1
(2.26)
Tal como se ilustra en la Figura 2.5, solamente se va a considerar un grupo
de dos corrientes actuando sobre un conductor y a partir del resultado se
hace la correspondiente generalización.
ψ 1 = ψ 11 + ψ 12
ψ1 =
(2.27)
µ I 1 D1P µ I 2 D 2P
ln
+
ln
2π
2π
r1′
D12
(2.28)
Haciendo la siguiente descomposición,
ψ1 =
µ
2π
1
1 

 I 1 ln D1P + I 2 ln D 2P + I 1 ln + I 2 ln

r1′
D12 

(2.29)
Como la suma de corrientes debe ser cero, se puede expresar I2 en función
de I1. Agrupando términos la ecuación 2.29 se puede expresar de la
siguiente manera:
ψ1 =
LEONARDO CARDONA C.
µ
2π
1
1


+ I 1 ln D1P 
 I 1 ln + I 2 ln
r1′
D12
D 2P 

(2.30)
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Impedancia serie de una red aér e a
20
En la ecuación anterior el último término tiende a cero, cuando se evalúa el
flujo ligado hasta un punto P muy alejado. La ecuación 2.30 queda reducida
a:
ψ1 =
1
1 
µ 
I 1 ln + I 2 ln


2π 
r1′
D12 
(2.31)
Generalizando la anterior ecuación,
ψi =
µ
2π
1
1
1
1 

+ I 2 ln
+ ...+ I i ln + ... + I n ln
 I 1 ln

Di1
Di2
ri′
Din 

(2.32)
La anterior ecuación corresponde al flujo ligado por unidad de longitud
sobre un conductor genérico i (ψ i ), debido a un grupo de n corrientes.
2.8
INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CONSIDERANDO
SUELO IDEAL
Inicialmente se va a considerar el caso de una línea monofásica, que
transporta una corriente I, y se encuentra sobre un suelo ideal
(conductividad infinita). Sobre la superficie del terreno ideal, el campo
magnético, creado por la corriente del conductor, es tangente. Ver Figura
2.6.
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Impedancia serie de una red aér e a
21
CORRIENTE I
LI
NE
AS
DE
CA
M
PO
MA
GN
E
TI
CO
CORRIENTE IMAGEN
FIGURA 2.6
Corriente sobre un suelo perfectamente conductor
Para cumplir con la anterior condición de borde, el suelo se puede
reemplazar por una corriente imagen situada a una distancia 2h del
conductor que transporta la corriente y con una dirección contraria.
Para una red trifásica se puede aplicar el mismo recurso de las corrientes
imágenes. Ver Figura 2.7.
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Impedancia serie de una red aér e a
22
Ia
a
Ic
c
Dac
Dab
Dbc
Ib
b
Hab'
Haa'
Hbb'
Hcc'
Hbc'
b'
-Ib
-Ia
a'
FIGURA 2.7
c'
-Ic
Línea trifásica y corrientes imágenes
Para calcular el flujo ligado sobre los conductores a,b,c, se utiliza la
ecuación 2.32 incluyendo la contribución de las corrientes imágenes. El flujo
ligado sobre el conductor a, sería:
ψa =
µ
2π
1
1
1
1
1
1 

+ I b ln
+ I c ln
- I a ln
- I b ln
- I c ln
 I a ln
 (2.33)
ra′
D ab
D ac
H a′a
H a′b
H a′c 

La ecuación 2.33 se puede utilizar para evaluar el flujo ligado para las dos
fases restantes. El resultado se puede expresar matricialmente:
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Impedancia serie de una red aér e a
ψ a 
 
 
 
 
 
 
  µ
ψ b  = 2 π
 
 
 
 
 
 
 
ψ c 
 H a′a
ln
 r a′

 H b′a
 ln D
ba


 H c′a
 ln D
ca

ψ a 
 
 
ψ b  =
 
 
ψ 
 c
 Laa

 Lba

 Lca
ln H a′b
Dab
ln H b′b
r b′
ln H c′b
Dcb
Lab
Lbb
Lcb
 I a
 
 
 
ln H a′c   
Dac   
 
 
H
′
ln b c   I b 
Dbc   
 
H
c′c   
ln
 
r c′   
 
I 
 c
 I a

Lac  
 
Lbc   I b 
 
Lcc   
 I c 
23
(2.34)
(2.35)
La anterior ecuación tiene la misma forma de la ecuación 2.9 (ψ = L i ).
Se concluye que la matriz de inductancias para una línea trifásica sobre
suelo ideal, es la siguiente:
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Impedancia serie de una red aér e a
 H a ′a
ln
 ra′

µ  H b′a
ln
abc =
2 π  Dba


 H c ′a
 ln D
ca

ln H a ′b
D ab
ln H b′b
r b′
L
ln H c ′b
D cb

ln H a ′c 
D ac 

H
b ′c 
ln

D bc 

H
c ′c 
ln
r c′ 
24
(2.36)
La ecuación 2.35 escrita en forma compacta,
Ψabc = Labc . I abc
(2.37)
La correspondiente generalización de un elemento de la matriz de
inductancias para una línea de n conductores sería:
µ
ln H i′i
2π
r i′
(2.38)
µ
H
ln i′j para i ≠ j
2π
Dij
(2.39)
Lii =
Lij =
La permeabilidad magnética µ para el aire se toma igual a la del vacío. Este
valor corresponde a:
µ = µ 0 = 4 π x 10 -7
2.9
MATRIZ
DE
H
µ
mH
⇒
= 0,2
m
2π
Km
REACTANCIAS
INDUCTIVAS
(2.40)
DE
UNA
RED
TRIFASICA
LEONARDO CARDONA C.
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Impedancia serie de una red aér e a
25
La ecuación 2.37 puede llevarse a una ecuación fasorial que relacione las
caídas de potencial con las corrientes,
∆V(t) =
dψ (t)
⇒ ∆V = j w ψ
dt
(2.41)
La ecuación 2.34 se puede convertir en una relación entre las diferencias de
potencial en los conductores y las corrientes de línea,
∆ V a 






 H a′a


ln


 ra′



w µ  H b′a


 ∆ V b  = j 2 π  ln


 Dba





 H c′a


 ln D ca





∆V 
 c
∆ V a 


 X aa



 ∆ V b  = j  X ba





 X ca
 ∆ V c 
ln H a′b
Dab
ln H b′b
r b′
ln H c′b
Dcb
X ab
X bb
X cb
 I a
 
 
H
a ′c   
ln
 
D ac   
 
H
b′c   
ln
 I b
Dbc   
 
 
H
′
ln c c   
r c′   
 
I 
 c
 I a
X ac   
 
X bc   I b 
 
X cc   
 I c 
(2.42)
(2.43)
Las diferencias de potencial y corrientes en las dos ecuaciones anteriores
son variables fasoriales. La ecuación 2.42 en forma compacta:
∆ V abc = X abc . I abc
LEONARDO CARDONA C.
(2.44)
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Impedancia serie de una red aér e a
26
2.10 INTERPRETACION DE LA MATRIZ DE INDUCTANCIAS
La interpretación de cada uno de los términos de la matriz de inductancias
para una línea trifásica se ilustra en la Figura 2.8.
Laa Lab Lac
Lba Lbb Lbc
Lca Lcb Lcc
Laa
Ia
a
a'
Lab
Lbb
Ib
b
Lac
b'
Lbc
Ic
c
FIGURA 2.8
Lcc
c'
Circuito inductivo para línea trifásica
Los términos de la diagonal principal corresponden a las inductancias propias
de cada fase o de cada conductor, para el caso de un conductor por fase.
Los términos fuera de la diagonal principal corresponden a las inductancias
mutuas entre fases.
2.11 INDUCTANCIAS PARA RED TRIFÁSICA TRANSPUESTA
En una red trifásica cuando los conductores no tienen una disposición
geométrica equilátera, las inductancias propias no son exactamente iguales
LEONARDO CARDONA C.
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Impedancia serie de una red aér e a
27
entre si. Similarmente sucede con las inductancias mutuas. El balance de las
tres fases puede lograrse, intercambiando la posición de los conductores a
intervalos regulares a lo largo de la línea. Para el caso de una línea trifásica
de un solo circuito, la línea se divide en tres tramos, tal como se ilustra en la
Figura 2.9.
TRAMO #1
a
TRAMO #2
Lab
Lab
b
TRAMO #3
Laa
I1
Lbb
I2
Lbb
Lac
Lbc
Lbc
I3
Lab
Lbb
Lac
Lbc
Lcc
Lcc
Lac
Lcc
c
FIGURA 2.9
Ciclos de transposición
En la Figura 2.9 las posiciones geométricas se representan por las letras a,b
y c.
Para el primer tramo, la relación entre voltajes y corrientes es:
ψ 1
 
 
ψ 2 =
 
 
ψ 3
 
 Laa

 Lba

 Lca
Lab
Lbb
Lcb
 I 1
Lac   
 
Lbc   I 2
 
Lcc   
 I 3
(2.45)
Para el segundo tramo,
LEONARDO CARDONA C.
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Impedancia serie de una red aér e a
ψ 2
 
 
ψ 3 =
 
 
ψ 1
 
 Laa

 Lba

 Lca
ψ 3
 
 
ψ 1 =
 
 
ψ 2
 
 Laa

 Lba

 Lca
Lab
Lbb
Lcb
28
 I 2
Lac   
 
Lbc   I 3
 
Lcc   
 I 1
(2.46)
 I 3

Lac  
 
Lbc   I 1
 
Lcc   
 I 2
(2.47)
Para el tercer tramo,
Lab
Lbb
Lcb
El flujo ligado por unidad de longitud sobre cada conductor para toda la
longitud de la línea se puede evaluar como el promedio de los flujo ligados
que tiene cada conductor en los tres tramos.
ψ 1
 
 
 
 
 
ψ 2 =
 
 
 
 
 
ψ 
 3
 Laa + Lbb + Lcc

3


 Lba + Lac + Lcb

3


+ +
 Lca Lbc Lab

3
Lab + Lca + Lbc
3
Laa + Lbb + Lcc
3
Lcb + Lba + Lac
3
 I 1
 
Lac + Lcb + Lba   
 
3
 
 
Lbc + Lab + Lca   
I
  2
3
 

Laa + Lbb + Lcc   
 
  
3
 I 3
 
(2.48)
Se observa en la matriz de inductancias para línea transpuesta que los
términos de la diagonal principal son iguales entre si, lo mismo que las
LEONARDO CARDONA C.
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Impedancia serie de una red aér e a
29
inductancias mutuas. Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones, la
matriz de inductancias tiene la siguiente forma,
LS

= LM
abc

 L M
LM
L
LS
LM
LM 

LM 

L S 
(2.49)
La nueva ecuación matricial de los flujos ligados en función de las corrientes
de línea sería,
ψ a 
   LS
  
ψ b  =  LM
  
   LM
ψ 
 c
LM
LS
LM
LM 

LM 

LS 
 I a
 
 
 I b
 
 
 I c 
(2.50)
Las expresiones para LS y LM son las siguientes,
Al término
3
LS =
3
µ
.
.
ln H a′a H b′b H c′c
3
2π
r a′ . r b′ . r c′
(2.51)
LM =
3
µ
.
.
ln H a′b H a′c H b′c
3
2π
Dab . D ac . Dbc
(2.52)
Dab . Dac . Dbc se le denomina distancia media geométrica entre
fases o DMG .
Al término
3
r a′ .r b′ .r c′ se le denomina el radio medio geométrico de la red o
R′MG , que para el caso de conductores iguales es equivalente al radio medio
geométrico del conductor (0,7788*r para conductor macizo).
LEONARDO CARDONA C.
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Impedancia serie de una red aér e a
30
2.12 INDUCTANCIAS DE SECUENCIA PARA LINEA TRIFASICA
Tal como se indicó en el circuito equivalente inductivo de una línea trifásica,
éste constituye un sistema acoplado. Un circuito magnético con acoples
dificulta mucho los cálculos que se hagan sobre el sistema de potencia.
Si la línea es completamente transpuesta o se puede asumir como tal, la
transformación de componentes simétricas ofrece una alternativa muy
atractiva con el fin de simplificar el circuito inductivo. La realidad es la de
que muy pocas líneas son completamente transpuestas, pero se puede
asumir para poder utilizar de manera sencilla la transformación de
componentes simétricas.
Definiendo los flujos ligados sobre las fases y las corrientes de línea en
función de los flujos ligados de secuencia y de las corrientes de secuencia,
ψ abc = T .ψ 012
(2.53)
I abc = T . I 012
(2.54)
Reemplazando las ecuaciones 2.53 y 2.54 en la ecuación 2.50,
T.ψ 012 = Labc .T. I 012
(2.55)
Premultiplicando por T -1 1 en ambos miembros de la ecuación anterior,
ψ 012 = T -1 . Labc .T. I 012
(2.56)
L012
LEONARDO CARDONA C.
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Impedancia serie de una red aér e a
L
012
=
1
3
L
1 1 1  LS

 
1 a a 2  LM

 
2
a   LM
1 a
012
 LS + 2 LM

= 
0

0

LM 

LM 

LS 
LM
LS
LM
0
LS - LM
0
1 1 1


1 a 2 a 


2
1 a a 
0

0

LS - LM 
31
(2.57)
(2.58)
La ecuación 2.58 corresponde a la matriz de inductancias de secuencia. La
matriz es completamente diagonal, lo cual indica que en el dominio de las
componentes de secuencia existen tres circuitos inductivos independientes.
Ver Figura 2.10.
La ecuación 2.56 quedaría como,
ψ 0 
 
 L0
 

ψ 1 =  0
 

 
 0
ψ 2
 
LEONARDO CARDONA C.
0
L1
0
0

0

L2
 I 0
 
 
 I 1
 
 
 I 2
(2.59)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Impedancia serie de una red aér e a
LS
LM
LM
L0
0
0
LM
LS
LM
0
L1
0
LM
LM
LS
0
0
L2
LS
Ia
a
I0
L0
I1
L1
I2
L2
32
a'
LM
LS
Ib
b
LM
b'
LM
LS
Ic
c
c'
FIGURA 2.10
Inductancias de secuencia
La inductancia de secuencia positiva y negativa para una línea trifásica,
sería:
L1 = L2 =
3

µ
.
.
.3
.
.


ln  H a′a H b′b H c′c Dab Dac Dbc 
3
3

2π
H a′b . H a′c . H b′c . r a′ . r b′ . r c′ 

(2.60)
Para una línea, la anterior ecuación se puede aproximar a:
3

µ
µ
DMG
DMG
 D ab . D ac . D bc 
ln 
ln
= 0,2 ln
 =
L1 = L2 =
3


2π
2π
R′MG
R′MG
r a′ . r b′ . r c′ 

mH
Km
(2.61)
La inductancia de secuencia cero sería:


2
 





3

.
.
.3
.
.
µ
 H a ′a H b′b H c′c  H a ′b H a ′c H b′c 
=
ln

L0
2

3

2π
 D ab . D ac . D bc  . 3 r a ′ . r b′ . r c′




(2.62)
Haciendo un ordenamiento de la ecuación anterior,
LEONARDO CARDONA C.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
33
Impedancia serie de una red aér e a
L0 =
µ
ln
2π

9
 




2
2
3
2  




c′

H a′a . H b′b . H c′c H a′b . H a′c . H b′c 
3


2

Dab . D ac . Dbc  . 3 r a′ . r b′ . r
(2.63)
Matemáticamente una distancia media geométrica ( DMG ) entre un grupo
de elementos de un conjunto con otro grupo de elementos de otro conjunto,
se define como la raíz n-ésima de todas las distancias posibles, entre cada
uno de los elementos del primer conjunto con los elementos del segundo
conjunto. En la Figura 2.11 se observan las distancias posibles entre un
conjunto de 2 elementos y otro conjunto de 5 elementos.
c
a
d
e
f
b
g
FIGURA 2.11
Distancias posibles entre conjuntos de 2 y 5 elementos
Para el caso ilustrado la DMG está definida como:
DMG =
10
Dac . D ad . D ae . Daf . Dag . Dbc . Dbd . Dbe . Dbf . Dbg
(2.64)
El concepto de DMG se puede aplicar también a más de dos conjuntos de
elementos. Para el caso de tres conjuntos unitarios, como es el caso de una
línea trifásica de un conductor por fase, la distancia media geométrica
corresponde a la raíz cúbica de las distancias entre elementos.
LEONARDO CARDONA C.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Impedancia serie de una red aér e a
34
Haciendo uso del concepto de la distancia media geométrica, la ecuación
2.63 puede ser escrita de la siguiente manera:
L0 =
3
µ
De
ln
2 π R′MG . DMG 2
(2.65)
donde,
De
es la distancia media geométrica entre las corrientes de los
conductores de fase y sus respectivas imágenes.
DMG
es la distancia media geométrica entre fases.
R′MG corresponde
al
radio
medio
geométrico.
Dato
que
normalmente se obtiene de las tablas de fabricantes de
conductores.
Una interpretación, acerca de una red trifásica con retorno por tierra, que
se puede hacer a partir de la expresión de la inductancia de secuencia cero,
sería la de una red equivalente que tiene como sistema de retorno un
conductor ficticio situado a una distancia igual a De . Ver Figura 2.12
LEONARDO CARDONA C.
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Impedancia serie de una red aér e a
Ia
35
Ia
a
a
Ic
c
Dac
Ic
c
Dac
Dab
Dab
Dbc
Ib
Dbc
b
Ib
b
Hab'
De
Haa'
Hbb'
Hcc'
De
Hbc'
De
CONDUCTOR FICTICIO
DE RETORNO
b'
-Ib
a'
c'
-Ic
-Ia
FIGURA 2.12
Línea trifásica con conductor de retorno equivalente
2.13 IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED CON RETORNO POR TIERRA
CONSIDERANDO SUELO REAL
Hasta ahora se ha considerado el suelo con unas caracterísiticas ideales, es
decir de una conductividad infinita.
Partiendo del hecho de que no es
posible resolver el problema teniendo en cuenta las características
desiguales de la superficie del suelo, y capas con diferentes resistividades,
Carson estudió el problema considerando la tierra como un plano sólido
semi-infinito y homogéneo. Las soluciones que obtuvo Carson son
correcciones a las que se han obtenido considerando suelo ideal.
Las expresiones de impedancia serie desarrolladas por Carson para un
conductor genérico
LEONARDO CARDONA C.
i son las siguientes:
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Impedancia serie de una red aér e a
36
Para la impedancia propia del conductor,
 w µ H i′i

ln
+ ∆ X ii 
Z ii = Raci + ∆ Rii + j 
ri′
 2π

Ω
Km
(2.66)
Para las impedancias mutuas,
 w µ H i′j

ln
+ ∆ X ij 
Z ij = ∆ Rij + j 
Dij
 2π

Ω
Km
(2.67)
donde,
Raci
Resistencia AC del conductor en Ω/Km
ri′
Radio corregido del conductor
i . RMG de tablas de
fabricante.
H i′j
i a su imagen
Distancia del conductor i a la imagen del conductor j
Dij
Distancia del conductor
H i′i
Distancia del conductor
i al conductor j
Las anteriores definiciones se pueden observar en la Figura 2.13
LEONARDO CARDONA C.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Impedancia serie de una red aér e a
37
i
Xij
Dij
j
Hij
Hii
j
i
FIGURA 2.13
Geometría de torre para dos conductores genéricos
Las correciones en la impedancia mutua ∆ Rij , ∆ X ij dependen del ángulo θ
ilustrado en la Figura 2.13, de la distancia entre el conductor
del conductor
i y la imagen
j , además de depender de la resistividad y de la frecuencia.
Para el caso de las correcciones en la impedancia propia se utilizan las
mismas expresiones para las correcciones en la impedancia mutua haciendo
el ángulo θ igual a 0° y la distancia H i′j en la distancia del conductor a su
imagen, es decir en 2*h. Las correcciones para impedancias mutuas son:
LEONARDO CARDONA C.
∆ Rii = 2.w.
µ
.P = 4 w.10 -4 .P
2π
∆ X ij = 2.w.
µ
.Q = 4 w.10 -4 .Q
2π
Ω
Km
Ω
Km
(2.68)
(2.69)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Impedancia serie de una red aér e a
38
En las dos ecuaciones anteriores w corresponde a la frecuencia angular
(rad/seg) y los términos P y Q a valores adimensionales cuyas expresiones
son las siguientes:
P=
π
2
2

k. cos θ + k . cos 2θ *  0,6728 + ln 
8 3 2
16
k

-
1
2
3
π k4
k
k . cos 3θ
+
.θ .sen 2θ +
. cos 4θ ...
16
1536
45 2
3
π 2
2
1
.cos 3θ
+
.k.cosθ - k .cos 2θ + k
k
64
3 2
45 2
4
4
.θ
.cos 4θ  2

- k .sen4θ - k
. ln + 1,0895  . . .
384
384
k


(2.70)
Q = - 0,0386 + 12 ln
(2.71)
donde,
k = 2.81x 10-3 . H i′j .
f
ρ
θ = sen -1 X ij
H i′j
(2.72)
(2.73)
Las ecuaciones para P y Q corresponden a los primeros términos de una
serie infinita. Los términos que se han indicado en las ecuaciones 2.70 y 2.71
dan una buena precisión para todos los cálculos que se hagan a baja
frecuencia.
2.14 APROXIMACIÓN DE LEWIS PARA CÁLCULO DE IMPEDANCIA
SERIE A BAJA FRECUENCIA
Una aproximación que se considera práctica para cálculos a baja frecuencia
es la denominada aproximación de Lewis. Esta aproximación considera
LEONARDO CARDONA C.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Impedancia serie de una red aér e a
39
solamente el primer término en la serie de P para el cálculo de ∆R . Para el
cálculo de la corrección ∆X considera los dos primeros términos para Q .
Las ecuaciones 2.66 y 2.67 considerando la aproximación de Lewis
quedarían:
-4
Z ii = Raci + 4 w . 10 .
π
8
+ j
wµ
2π
2  Ω
 H i′i

+ 2 x  - 0,0386 + 12 ln 
ln
k  Km

 ri′
(2.74)
Reemplazando el valor de k de acuerdo a la ecuación 2.72, se llega a la
siguiente expresión:
-4
Z ii = Raci + 12 π x 10 x w + j
wµ
ln
2π
658,86
ρ
f
ri′
(2.75)
Rn
Para una frecuencia industrial de 60 hz y definiendo,
De = 658,86
ρ
f
m para
ρ en Ω . m
f en hz
Z ii = Raci + 0.0592 + j 0,0754 ln
De Ω
ri′ Km
(2.76)
(2.77)
Para las impedancias mutuas,
Z ij = Rn + j
LEONARDO CARDONA C.
w µ De
De Ω
ln
= 0,0592 + j 0,0754 ln
2π
Dij
Dij Km
(2.78)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Impedancia serie de una red aér e a
2.15 LAS
IMPEDANCIAS
DE
SECUENCIA
CONSIDERANDO
40
LA
APROXIMACION DE LEWIS
Para una red trifásica la matriz de impedancias serie Z abc tendría la
siguiente forma:
Z
 Raca + Rn

Rn
abc = 

Rn

Rn
Racb + Rn
Rn
 De
ln r ′
a

Rn 


wµ  De
Rn  + j
ln
2π  Dba

Racc + Rn 

 De
ln
 Dca
ln
De
Dab
ln
De
rb′
ln
De
Dcb
De 
Dac 

De 
ln
 (2.79)
Dbc 

De 
ln

rc′ 
ln
Si la línea es completamente transpuesta o se considera como tal, la matriz
de impedancias tendrá la forma:
Z
Z S

abc =  Z M

 Z M
ZM
ZS
ZM
ZM

ZM

Z S 
(2.80)
donde,
Z S = Rac + Rn + j
Z M = Rn + j
wµ
De
ln
2π
R′MG
wµ
De
ln
2π
DMG
(2.81)
(2.82)
Las impedancias de secuencia de acuerdo a la aproximación de Lewis serían:
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Impedancia serie de una red aér e a
Z1 = Z2 = Rac + j
Z0 = Rac + 3 Rn + j
w µ DMG
ln
2π
R′MG
41
(2.83)
3
wµ
De
ln
2π
R′MGx DMG 2
(2.84)
Si se comparan las ecuaciones anteriores, con las ecuaciones 2.61 y 2.65 se
concluye que la impedancia de secuencia positiva no se ve afectada por el
sistema de retorno, es decir que las consideraciones que se hagan del suelo
(ideal o no), no afecta el resultado. La impedancia de secuencia cero, por el
contrario, si se ve afectada por el sistema de retorno. La variación de la
impedancia de secuencia cero, teniendo en cuenta la influencia de un suelo
real, se ve reflejada en la modificación de la distancia De. En este caso,
esta distancia ya no corresponde a la distancia media geométrica entre las
corrientes de conductores y sus correspondientes imágenes, sino que se
evalúa a partir de la ecuación 2.76. Lo anterior sería equivalente a
considerar una línea con un conductor ficticio de retorno, situado a una
distancia de los conductores de fase igual a De = 658,86 ρ / f
metros .
2.16 IMPEDANCIA DE UNA RED PARA CONDUCTORES EN HAZ
Los conductores en haz se pueden manejar matemáticamente como
conductores independientes, y luego mediante un proceso de reducción,
considerando que están en paralelo, se reduce la línea a una de tipo
equivalente de un conductor por fase. Un método simple consiste en reducir
el haz a un conductor equivalente antes de empezar cualquier cálculo.
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Impedancia serie de una red aér e a
42
Para la determinación del equivalente para un haz de conductores,
consideremos, por ejemplo una fase formada por un haz de tres
conductores (Ver Figura 2.14).
I2
I1
I3
IT
FIGURA 2.14
Haz de tres conductores
La relación entre las caídas de voltaje a lo largo de los tres conductores y
las respectivas corrientes de línea está dada por la siguiente ecuación:
 ∆ V 1




∆ V 2 =




 ∆ V 3 
 I 1
 Z 11 Z 12 Z 13  

 
 Z 21 Z 22 Z 23  I 1

 
 Z 31 Z 32 Z 33  
 I 3
(2.85)
Suponiendo que las tres corrientes son iguales entre si, la diferencia de
potencial ( ∆V ) se puede calcular como el promedio de las tres diferencias
de potencial sobre los tres conductores,
∆V =
∆V 1 + ∆V 2 + ∆V 3
+ + + + + + + +
= Z 11 Z 12 Z 13 Z 21 Z 22 Z 23 Z 31 Z 32 Z 33 x I T (2.86)
3
9
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Impedancia serie de una red aér e a
43
Utilizando las ecuaciones 2.75 y 2.78 para expresar cada término Z ij ,
∆V =







Rac
wµ
De
 x IT
ln
+ Rn + j

9 r ′ .r ′ .r ′ .
2π
3
1 2 3 D 12 . D 13 . D 21 . D 23 . D 31 . D 32 
(2.87)
Según la ecuación anterior el radio equivalente para representar el haz de
tres conductores sería:
R ′MG =
9
r1′.r2′.r3′ . D12 . D13 . D 21 . D 23 . D 31 . D32
(2.88)
El radio equivalente ( R′MG ) para diferentes configuraciones de haz de
conductores se ilustran en la Figura 2.15.
d
d
d
r
A
r
d
R′MG =
r′ . d
R′MG =
FIGURA 2.15
3
r′ . d 2
R′MG = 1,0905 4 r′ . d 3
R ′MG =
n
n r ′ An -1
Diferentes tipos de haz de conductores
En la Figura 2.15 la expresión para el R′MG del haz de cinco conductores es
general, o sea que se puede aplicar a cualquier tipo de haz con la condición
que el radio A esté definido.
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Impedancia serie de una red aér e a
44
2.17 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFÁSICA
DE UN CIRCUITO CON UN CABLE DE GUARDA
Cuando una línea tiene cables de guarda aterrizados, el retorno por tierra
se ve afectado por la presencia de estos conductores. El efecto de los
conductores de guarda es ofrecer un camino alterno para la circulación de
corrientes de secuencia cero y por eso únicamente afecta la impedancia de
secuencia cero.
Para determinar la expresión correspondiente consideremos todos los
acoples que están presentes entre las fases y el cable de guarda. Ver Figura
2.16.
El circuito trifásico se alimenta con una fuente de voltaje de secuencia
cero. Para obtener la impedancia de secuencia cero ( Z 0 ) basta con
determinar la relación V 0 / I 0 .
Zs
Io
Io
Zm
Zs
Zs
Io
Zfg
+
Vo
Zg
Igo
FIGURA 2.16 Línea trifásica de un circuito y un cable de guarda
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Impedancia serie de una red aér e a
45
La diferencia de potencial en las fases es igual a V 0 y se puede evaluar en
una de las tres ramas,
(2.89)
V 0 = Z s . I 0 + 2 Z M . I 0 - Z fg . I g 0
En la rama correspondiente al cable de guarda,
I g0 =
3 Z fg . I 0
(2.90)
Zg
Reemplazando 2.90 en 2.89 se obtiene la relación para la impedancia de
secuencia cero,
Z 0E = ( Z S + 2 Z M ) -
3 Z 2fg
Zg
= Z0 -
3 Z 2fg
Zg
(2.91)
2.18 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICA
DE UN CIRCUITO CON DOS CABLES DE GUARDA
En la Figura 2.17 se observa los acoples de impedancias que se presentan
entre las tres fases de un circuito y los dos cables de guarda.
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Impedancia serie de una red aér e a
46
Zs
Io
Io
Zs
Zm
Zs
Io
+
Zfg
Vo
-
Zg
Igo
Zgg
Zfg
Zg
Igo
FIGURA 2.17
Línea trifásica de un circuito y dos cables de guarda
La ecuación de voltajes sobre una malla correspondiente a una de las fases,
V 0 = ( Z 0 + 2 Z M ) I 0 - 2 Z fg . I g 0
(2.92)
La ecuación de voltajes sobre uno de los cables de guarda,
I g 0 . Z g = 3 Z fg . I 0 - Z gg . I g 0 _ I g 0 =
3 Z fg
I0
Z g + Z gg
(2.93)
La impedancia de secuencia cero será entonces,
Z 0E = ( Z S + 2 Z M ) -
6 Z 2fg
6 Z 2fg
= Z0 Zg + Z gg
Z g + Z gg
(2.94)
2.19 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICA
DE DOS CIRCUITOS CON DOS CABLES DE GUARDA
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Impedancia serie de una red aér e a
47
Una línea trifásica de dos circuitos con dos cables de guarda y los acoples
de impedancia se observa en la Figura 2.18.
SEGUNDO CIRCUITO
Zs
Zs
Zs
Zp
Io
PRIMER CIRCUITO
Zs
Io
Zs
Zm
Zs
Io
+
Vo
Zfg
Zfg
-
Zg
Igo
Zgg
Zfg
Zg
Igo
FIGURA 2.18 Línea trifásica de dos circuitos y dos cables de guarda
Para este caso existe acople de secuencia cero entre los dos circuitos
trifásicos. Para el caso de que no existieran los cables de guarda o
estuvieran aislados, este acople sería de 3 . Z P .
La ecuación de voltajes sobre una fase del primer circuito sería:
V 0 = ( Z S + 2 Z M ) I O - 2 Z fg . I g 0
LEONARDO CARDONA C.
(2.95)
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Impedancia serie de una red aér e a
48
La ecuación de voltajes sobre uno de los cables de guarda,
3 Z fg . I 0 - Z gg . I g 0 = Z g . I go _ I g 0 =
3 Z fg
I0
Z g + Z gg
(2.96)
La impedancia de secuencia cero para cada circuito sería entonces:
Z 0E
= ( ZS +2 ZM )-
6 Z 2fg
6 Z 2fg
= Z0 Zg + Z gg
Z g + Z gg
(2.97)
El voltaje que aparece inducido sobre el circuito abierto sería,
V ind

6 Z 2fg 
 .I0
= 3 Z P . I 0 - 2 Z fg I g 0 =  3 Z P 
+
Z
Z
g
gg


(2.98)
Se concluye entonces que el acople de secuencia cero entre circuitos sería,
Z
M
0E
= 3ZP-
6 Z 2fg
6 × Z 2fg
= Z 0M Z g + Z gg
Z g + Z gg
(2.99)
La red de secuencia cero para esta configuración de línea se ilustra en la
Figura 2.19.
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Impedancia serie de una red aér e a
49
Z0E
M
Z0E
Z0E
REFERECIA DE SEC. CERO
FIGURA 2.19
Red de secuencia cero para línea doble circuito y dos cables de guarda
La red de la Figura 2.19 es general para una red trifásica, que tenga hasta
dos circuitos.
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CAPACITANCIA DE UNA RED AÉREA
Una red formada por un solo conductor tiene las características de un
condensador donde una placa es un cilindro metálico y la otra placa es la
superficie del terreno (Ver Figura 3.1)
+++
+++
+
++
+++
FIGURA 3.1
Configuración cilindro plano de una red
Cuando la red tiene una distancia considerable, el efecto capacitivo trae
como consecuencia un nivel de voltaje en vacío, en el extremo de carga,
superior al nivel de voltaje de la fuente. (Figura 1.1)
La capacitancia de la red normalmente no se considera para distancias
cortas (d<80 Km). Pero para distancias mayores hay que considerar su
efecto, ya que la inyección de reactivos por parte de la red al sistema,
LEONARDO CARDONA C.
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Capacitancia de una red aérea
51
empieza a ser considerable, hasta el punto que las redes de mayor nivel de
voltaje, deben ser compensadas mediante reactores.
Para llegar a un modelo capacitivo de una red trifásica se van a seguir los
siguientes pasos:
Como una red trifásica está formada por una serie de conductores,
cada uno de éstos se considera como portador de una carga lineal
uniformemente distribuida. Se plantea una expresión general para
calcular la diferencia de potencial entre dos puntos en el espacio
debido a una distribución lineal de carga.
Aplicando la metodología de las cargas imágenes, una red trifásica
sobre un suelo conductor se considera equivalente, a un sistema
compuesto de las cargas reales de los conductores de fase y sus
respectivas imágenes de carga. Se plantea para una red trifásica de un
conductor por fase la relación entre voltajes inducidos y las cargas de
los mismos. Las capacitancias asociadas a una red aparecen expresadas
desde el punto de vista matricial.
Se plantea una interpretación física de la matriz de capacitancias de
una red.
Se calculan las capacitancias de secuencia para una red sin considerar
el efecto de los cables de guarda y suponiendo que hay transposición
completa.
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Capacitancia de una red aérea
3.1
52
DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DEBIDO A
UNA DISTRIBUCIÓN LINEAL DE CARGA
Considerando un tramo de conductor (Figura 3.2) de longitud l.
Dx
ds
dA
Q
SUPERFICIE GAUSSIANA
x
l
FIGURA 3.2
Superficie gaussiana rodeando un conductor cargado
La superficie gaussiana alrededor de un tramo de conductor tiene las
siguiente características:
El flujo eléctrico en las caras circulares es cero porque no hay líneas
de campo en esta dirección.
En la superficie cilíndrica la densidad de flujo eléctrico ( D x ) es
constante. Esto permite evaluar con facilidad la ecuación de la Ley de
Gauss.
ψE =
∫ D.dA = q
sup erficie
encerrada
= Q = q .l
(3.1)
donde,
ψE
=
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Flujo eléctrico
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Capacitancia de una red aérea
D
=
Densidad de flujo eléctrico, C/m²
q
=
Carga lineal por unidad de longitud, Q/m
53
Sobre la superficie cilíndrica la densidad de flujo eléctrico es constante y
será igual a:
Dx =
q
(3.2)
2π x
El campo eléctrico en la superficie gaussiana depende de la permitividad
eléctrica del medio (aire), ε . Esta permitividad o constante dieléctrica se
puede asumir aproximadamente como la del vacío ( ε ≈ ε 0 =
Ex =
q
2π ε x
V/m
1
36 π
x 10-9
F
m
).
(3.3)
La diferencia de potencial en el aire debido a una distribución lineal de
carga se puede evaluar a partir de la ecuación 3.3 y recordando que el
campo eléctrico se calcula como el gradiente del potencial multiplicado por
(-1).
En la Figura 3.3 se observa la trayectoria seguida en la integración del
campo eléctrico para evaluar la diferencia de potencial entre los puntos P1 y
P2.
LEONARDO CARDONA C.
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Capacitancia de una red aérea
54
P1
P2
D1
D2
FIGURA 3.3
Trayectoria de integración para el campo eléctrico
D2
v12 = ∫D1 E .dx =
v12 =
3.2
D2
q
D1
2π ε x
∫
q
2π ε
dx
(3.4)
(3.5)
ln DD21
CAPACITANCIAS DE LINEA TRIFASICA
Para determinar la capacitancia de una red trifásica, hay que considerar el
efecto del suelo.
FIGURA 3.4
Líneas de campo eléctrico para conductor sobre una superficie plana
metálica
LEONARDO CARDONA C.
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Capacitancia de una red aérea
55
Sobre la superficie del suelo el campo eléctrico es perpendicular. La
distribución de cargas sobre la superficie del suelo se puede reemplazar por
una carga imagen. Ver Figura 3.4.
Una red trifásica formada de un conductor por fase sobre un suelo
conductor es equivalente al sistema de cargas y cargas imágenes que
aparece en la Figura 3.5.
qa
a
Dac
c
Dab
qc
Dbc
qb
b
Hab'
Haa'
Hbb'
Hcc'
Hbc'
b'
-qb
-qc
a'
FIGURA 3.5
c'
-qa
Conductores cargados e imágenes de carga para red trifásica
La ecuación 3.5 permite calcular la diferencia de potencial entre cada
conductor y su imagen debido a la superposición de las seis cargas (qa, qb,
qc, -qa, -qb, -qc)
V a′a =
1 
H ′
H ′
H ′
r
D
D 
 qa ln a a + qb ln a b + qc ln a c - qa ln a - qb ln ab - qc ln ac  (3.6)
2π ε 
ra
D ab
D ac
H a′a
H a′b
H a′c 
LEONARDO CARDONA C.
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Capacitancia de una red aérea
V an =
V a ′a
2
=

H ′
H ′
H ′ 
 qa ln a a + qb ln a b + qc ln a c 
2π ε 
ra
D ab
D ac 
1
56
(3.7)
Igualmente se puede evaluar V bn y V cn
Expresando en forma matricial,
Van 
 
 
 
1
 
Vbn  = 2 π ε
 
 
 
Vcn 
 H a′a
ln
 ra

 H b′a
 ln
 Dba

 H c′a
 ln
 Dca
 V an 

=
 V bn 
 V cn 
 P aa

 Pba

 P ca
ln H a′b
Dab
ln
H b′b
rb
ln H c′b
Dcb
Pab
Pbb
P cb
 q 
ln H a′c   a 
Dac 
 
 
H  
ln b′c  qb 
Dbc 
 
 
 
ln H c′c   
r c  qc 
P ac   qa 
 
Pbc   qb 
 
P cc   qc 
(3.8)
(3.9)
La ecuación 3.9 escrita en forma compacta,
Vabc = Pabc .Qabc
(3.10)
La matriz P abc se denomina de coeficientes capacitivos de Maxwell.
De la ecuación 3.10 se concluye la forma de calcular la matriz de
capacitancias,
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Capacitancia de una red aérea
1
C abc = P -abc
3.3
INTERPRETACION
FISICA
DE
57
(3.11)
LA
MATRIZ
DE
CAPACITANCIAS
Para comprender con mayor facilidad el significado físico de la matriz de
capacidades es conveniente llevar la ecuación (8) al dominio fasorial y en vez
de cargas, determinar la ecuación matricial para corrientes capacitivas.
i=
r
dq
r
→ I = jwq
dt
(3.12)
La correspondiente ecuación matricial para las corrientes fasoriales de
desplazamiento (corrientes capacitivas), sería:
r
r = j w[
]
C
abc V abc
I abc
(3.13)
Para un sistema circuital genérico la ecuación anterior tiene la forma:
r
r
I = [Y ]V
(3.14)
donde,
I
Vector de corrientes de inyección nodales
Y
Matriz de admitancias nodal
V
Vector de voltajes nodales
Los elementos de la matriz tienen significados bien definidos:
LEONARDO CARDONA C.
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Capacitancia de una red aérea
58
Los elementos de la diagonal principal, se determinan como la sumatoria de
las admitancias de las ramas que están conectadas al nodo respectivo.
Los elementos fuera de la diagonal principal, se determinan como el inverso
negativo de la admitancia de conexión de los nodos correpondientes a la fila
y columna respectiva.
Si el circuito es completamente capacitivo, los elementos de la matriz [Y ]
seran susceptancias capacitivas. Las relaciones entre matriz y circuito
serán como se ilustra en la Figura 3.6.
-Cac
Caa Cab Cac
a
b
-Cab
-Cbc
c
Cba Cbb Cbc
Cca Ccb Ccc
Caa+Cab+Cac
Cca+Ccb+Ccc
Cba+Cbb+Cbc
FIGURA 3.6
3.4
Relación entre matriz Cabc y circuito capacitivo
CAPACITANCIA
PARA
UNA
LINEA
TRIFASICA
CON
TRANSPOSICION
Cuando una red, debido a la disposición asimétrica de las fases y a una gran
longitud, pierde la característica de ser trifásica balanceada.
LEONARDO CARDONA C.
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Capacitancia de una red aérea
59
La transposición de fases es una acción remedial, esta consiste en que cada
fase ocupe las tres posiciones geométricas posibles de las disposición que se
tenga. Realmente la transposición se hace sobre muy pocas reds.
1
2
3
2
3
1
3
1
2
TRAMO #1
TRAMO #2
TRAMO #3
POSICION a
POSICION b
POSICION c
FIGURA 3.7
Transposición de una red trifásica
En la Figura 3.7 las letras a,b,c representan la disposición geométrica de los
conductores y los números 1,2,3 los respectivos conductores en la red.
La matriz [Pabc ] que depende de la geometría de la red, va a ser la misma en
los tres tramos.
Para el primer tramo, la relación entre voltajes y cargas es:
V 1 
 =
 V 2
 V 3 
 P aa

 Pba

 P ca
Pab
V 2 
 =
V 3 
 V 1
 P aa

 Pba

 P ca
P ab
Pbb
Pcb
Pac   q1 
 
Pbc   q2 
 
P cc   q3 
(3.15)
P ac   q2 
 
Pbc   q3 
 
P cc   q1
(3.16)
Para el segundo tramo,
P bb
P cb
Para el tercer tramo,
LEONARDO CARDONA C.
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Capacitancia de una red aérea
V 3 
 =
V 1 
 V 2
 P aa

 Pba

 P ca
Pab
Pbb
Pcb
Pac   q3 
 
Pbc   q1 
 
P cc  q2 
60
(3.17)
El voltaje sobre los conductores 1,2,3 se puede evaluar como el promedio de
los respectivos voltajes en los tres tramos.
V 1 
 
 
 
 
 V 2 =
 
 
 
 V 3 
 P aa + Pbb + P cc

3


 Pba + P ac + P cb

3


 P ca + Pbc + P ab

3
P ab + P ca + Pbc
3
P aa + Pbb + P cc
3
P cb + Pba + P ac
3
Pac + Pcb + Pba   q1 
 
3
 
 
Pbc + P ab + P ca   
q
  2
3
 
 
Paa + Pbb + P cc   
  q3 
3
(3.18)
La matriz [Pabc ] de la ecuación 3.18 presenta las siguientes características:
Los elementos de la diagonal principal son iguales entre si y se evaluan
como el promedio aritmético de los elementos de la matriz [Pabc ] de la
red sin transposición.
Los elementos fuera de la diagonal principal son iguales entre si y se
evalúan como el promedio aritmético de los elementos de la matriz
[Pabc ] diferentes a la diagonal principal.
La matriz resultante presenta la siguiente forma genérica,
LEONARDO CARDONA C.
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Capacitancia de una red aérea
 PS

abc =  P M

 P M
PM
P
PS
PM
PM 

PM 

P S 
61
(3.19)
La relación matricial entre los voltajes y las cargas presenta para red
transpuesta la siguiente forma,
V a   P S
 = 
V b   P M
V c   P
 M
PM
PM 

PM 

P S 
 qa 
 
 qb 
 qc 
(3.20)
1
3
.
.
ln H a′a H b′b H c′c
3
2π ε
r a . rb . r c
(3.21)
1
(3.22)
PS
PM
Los términos PS y PM son los siguientes,
PS =
PM =
Al término
3
3
.
.
ln H a′b H a′c H b′c
3
2π ε
Dab . Dac . Dbc
Dab . Dac . Dbc , al igual como se hizo con la inductancia, se le
denomina distancia media geométrica entre fases o DMG y el término
3
r a . rb .r c para una red de conductores iguales es equivalente al radio físico.
LEONARDO CARDONA C.
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Capacitancia de una red aérea
3.5
RADIO
MEDIO
GEOMETRICO
Y
DISTANCIA
62
MEDIA
GEOMETRICA PARA CONDUCTORES EN HAZ
d
r
h
FIGURA 3.8
Conductores en haz
Cuando en una red aparecen haces de conductores (caso de la línea de 500
kV) la representación matricial de todos los conductores daría lugar a
matrices de un orden elevado. Una manera de simplificar el problema es
reducir el haz de conductores a un conductor equivalente.
Con fines de demostración consideremos una red monofásica de dos
conductores en haz. Ver Figura 3.8.
r
FIGURA 3.9
LEONARDO CARDONA C.
Req
Conductor equivalente desde el punto de vista capacitivo
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Capacitancia de una red aérea
63
Aplicando la ecuación 3.9 a la anterior red formada por dos conductores,
 q1
V 1
  =  P11 P12  


 
 P21 P22  

V 2
q2 
(3.23)
Suponiendo que los dos voltajes son iguales (V 1 = V 2 = V ) y las cargas
también son iguales ( q1 = q2 = q ) y calculando el voltaje como el promedio del
resultante en los dos conductores, resulta la siguiente relación entre el
voltaje y la carga:
V =
4
.
.
.
1
H a ′a
ln H 1′1 H 1′2 H 2′1 H 2′2 . q =
ln
.q
4 r.
2π ε
2 π ε RMG
D12 . D 21 .r
1
(3.24)
De acuerdo a la ecuación anterior el radio equivalente para representar un
haz de dos conductores para cálculo de capacitancias, sería:
RMG =
r.d
(3.25)
La expresión generalizada para cálculo del radio equivalente de un haz de n
conductores tiene la misma forma que para cálculo de inductancias (Ver
Figura 2.15). La única diferencia consiste en el radio que se considera. Para
cálculo de inductancias se toma el R′MG que es el radio corregido al
considerar el flujo interno. Para cálculo de capacitancias se toma el radio
exterior del conductor.
El radio equivalente para conductores en haz en cálculo de capacitancias
tiene la siguiente forma:
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Capacitancia de una red aérea
64
r
A
FIGURA 3.10
Haz de conductores genérico
RMG =
3.6
n
(3.26)
n r An-1
CAPACITANCIAS DE SECUENCIA DE UNA RED TRIFASICA
TRANSPUESTA
En la interpretación física de la matriz de capacitancias que aparece en la
Figura 3.6 se observa que desde el punto de vista capacitivo los tres
conductores de fase están acoplados.
Una herramienta matemática de permite desacoplar en tres circuitos
capacitivos
independientes
desacoplados
es
la
transformación
en
componentes simétricas.
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V abc = T .V012
(3.27)
Q abc = T . Q012
(3.28)
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Capacitancia de una red aérea
65
Reemplazando las ecuaciones 3.27 y 3.28 en la ecuación 3.20, finalmente
resulta una ecuación matricial donde las variables en el dominio de las
componentes de secuencia están desacopladas,
 PS + 2 PM
V 0 
 = 
0

V 1 

 V 2
0

0
PS - PM
0
0

0

P S - P M 
 q0 
 
 q1 
q2 
(3.29)
Haciendo el mismo desarrollo que se hizo para las inductancias de secuencia,
se llega a las expresiones para las capacitancias de secuencia.
C1 = C 2 =
C0 =
2π ε
55,55
=
DMG
DMG
ln
ln
RMG
RMG
nF
Km
2π ε
1
2π ε
=
3
3
De
De
ln
ln
2
3
RMG . DMG
RMG . DMG 2
(3.30)
(3.31)
donde,
De
Es la distancia media geométrica entre las cargas de los
conductores y sus respectivas imágenes. Corresponde a la
misma distancia que se definió para inductancia con suelo ideal.
DMG Es la distancia media geométrica entre fases. Igual a la
definición hecha para inductancias.
RMG Corresponde al radio medio geométrico. Para una fase
compuesta por un solo conductor equivale al radio físico del
respectivo conductor.
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REPRESENTACION CIRCUITAL DE LINEAS DE
TRANSMISION
En los dos capítulos anteriores se han obtenido las matrices Z abc y Y abc por
unidad de longitud, lo mismo que las matrices Z 012 y Y 012 en el dominio de las
componentes simétricas. Una primera aproximación para representar
circuitalmente una línea, sería la de una conexión en cascada del elemento
que se obtuvo para representar la línea por unidad de longitud. Esta
representación se observa en la Figura 4.1.
TRAMO DE 1 Km
[R]
FIGURA 4.1
[X]
[C]
Representación de línea trifásica con elementos acoplados en cascada
La representación circuital de la Figura 4.1 se puede reducir a tres circuitos
monofásicos, si se hace una descomposición en redes de secuencia. Un
circuito monofásico para cualquiera de las tres secuencias se ilustra en la
Figura 4.2.
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Representación circuital de líneas de transmisión aéreas
FIGURA 4.2
67
Circuito monofásico de una línea
La representación circuital de la Figura 4.2 se considera general para
cualquier línea y se hace mediante parámetros uniformemente distribuidos.
Dependiendo de la longitud de la línea, esta se suele clasificar en tres tipos:
Línea corta de menos de 80 Km de longitud.
Línea media entre 80 y 240 Km de longitud.
Línea larga de más de 240 Km.
Para casos donde no se requiera mucha precisión líneas hasta de 300 Km se
podrían considerar como de longitud media.
La longitud de las líneas depende básicamente del nivel de tensión al cual
deben transmitir potencia. Un criterio práctico, pero no generalizado, es el
de que una línea debe tener como mínimo 1 Kv por cada Km de longitud.
4.1
LINEAS DE TRANSMISION CORTAS
Para una línea de transmisión corta se puede considerar despreciable el
efecto capacitivo. Para este caso solo se tendría resistencia e inductancia
por unidad de longitud y para toda la longitud de la línea bastaría con
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Representación circuital de líneas de transmisión aéreas
68
multiplicar por la distancia los parámetros obtenidos por unidad de longitud.
El circuito equivalente para línea corta se observa en la Figura 4.3.
R
I S
X
I R
V S
FIGURA 4.3
P R
V R
Q R
CARGA
Cuircuito equivalente monofásico para línea corta
En el circuito anterior R y X representan la resistencia y reactancia total
de la línea. Para este caso la corriente de la fuente y de la carga son las
mismas. V S y V R corresponden a los voltajes de la fuente y de la carga
respectivamente.
La regulación de una línea de transmisión y en general para cualesquier
punto de una red se define como el porcentaje de variación de la magnitud
del voltaje en vacío (sin carga) con respecto a la magnitud del voltaje a
plena carga y para un determinado factor de potencia de la carga.
% Regulaci n =
V R, vacÍo - V R, plena carga
100%
V R, plena carga
(4.1)
Para el circuito correspondiente a la Figura 4.3, la regulación por definición
sería:
Reg = V S V R 100%
VR
LEONARDO CARDONA C.
(4.2)
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Representación circuital de líneas de transmisión aéreas
69
Para línea corta la regulación se puede calcular haciendo una serie de
suposiciones. En la Figura 4.4 se observa el diagrama fasorial de voltajes y
corriente para este tipo de línea. Se ha supuesto una carga del tipo R-L, es
decir con un factor de potencia en atraso.
V S
V R
I.X
V R
I.R
I
FIGURA 4.4
Diagrama fasorial de voltajes y corriente para línea corta
El ángulo de desfase δ entre el voltaje V S y V R es muy pequeño para línea
corta, se puede suponer entonces que la magnitud del voltaje de la fuente
es igual a su proyección sobre el eje horizontal. Con estas consideraciones la
relación entre los voltajes de la fuente y la carga sería:
V S ≈ V R + I . (R. cos θ + X.cos θ )
(4.3)
donde,
θ
es el ángulo de desfase entre la corriente y el voltaje en la
carga.
La regulación de voltaje quedaría expresada como:
Reg =
LEONARDO CARDONA C.
I (R.cos θ + X.sen θ )
VR
100%
(4.4)
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Representación circuital de líneas de transmisión aéreas
(R.cos θ + X.sen θ )
Reg = P R
100%
2
V R . cos θ
70
(4.5)
donde,
P R es la potencia trifásica de carga.
En la ecuación 4.5, el voltaje V R depende de la potencia P R . Una buena
aproximación es considerar el voltaje de la carga como aproximadamente el
voltaje nominal de operación de la línea. Con estas consideraciones la
regulación se puede expresar con la siguiente expresión:
(R.cos θ + X.senθ )
Reg = P R
100%
2
V cos θ
(4.6)
donde,
V es el voltaje de línea nominal de operación.
La ecuación 4.6 corresponde a la manera clásica de cálculo de regulación.
Una mejora en el cálculo de regulación sería expresar el voltaje de la carga
en función de la propia potencia de carga (V R = f ( P R ) ). Del circuito que se
ilustra en la Figura 4.3 y tomando como referencia de voltaje a V R :
*
 V S ∠δ - V R 

P R + jQ R = V R . 
 R+ j X 
(4.7)
( P R + j Q R ).(R - j X) = V R V S ∠ - δ - V R2
(4.8)
(R. P R + X.Q R + V 2R ) + j (R.Q R - X. P R ) = V R .V S ∠- δ
(4.9)
LEONARDO CARDONA C.
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Representación circuital de líneas de transmisión aéreas
71
En la ecuación 4.9 se puede eliminar el ángulo δ al tomar magnitud de las
expresiones fasoriales en ambos miembros y luego elevar al cuadrado. El
resultado es la siguiente ecuación:
(
)
2
4
2
2
2
2
2
V R + ( 2(R. P R + X.Q R ) - V S )V R + (R + X ). P R + Q R = 0
(4.10)
La solución para V R sería:
2
VR =
A
 A
- +   -B
2
2
(4.11)
donde,
A = 2(R. P R + X.Q R ) - V S2
(4.12)
B = ( R 2 + X 2 ).( P2R + Q 2R )
(4.13)
De esta manera el cálculo de regulación se puede evaluar a partir de la
ecuación 4.2.
4.2 LINEAS DE TRANSMISION DE LONGITUD MEDIA
En la línea de longitud media ya es necesario considerar el efecto
capacitivo.
La representación circuital para este tipo de línea se hace
mediante un circuito PI nominal. Este circuito PI está constituido por la
impedancia serie y por el efecto capacitivo distribuido en dos partes iguales
en los extremos de la línea. Este circuito se observa en la Figura 4.5.
LEONARDO CARDONA C.
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Representación circuital de líneas de transmisión aéreas
R
I S
V S
FIGURA 4.5
X
Y/2
I R
P R
V R
Y/2
72
Q R
CARGA
Circuito PI nominal de una línea de longitud media
Los parámetros en el circuito PI nominal para línes de longitud media se
obtienen multiplicando los parámetros por unidad de longitud por la
distancia total de la línea.
Para el cálculo de regulación, el voltaje de vacío en la carga ya no es el
voltaje de la fuente, como sucede con la línea de longitud corta, sinó una
fracción de la magnitud del voltaje de la fuente. Esta fracción es mayor que
uno para una línea de longitud media.
V R0 =
1
2
(R.Y/2 ) + (1 - X.Y/2 )2
.V S
(4.14)
En la Figura 4.6 se observa el diagrama fasorial de voltaje y corriente para
una línea de longitud media en vacío.
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Representación circuital de líneas de transmisión aéreas
I S
R
X
I0
Y/2
Y/2
Io.X
V S
I0
V S
73
Io.R
V R0
V R0
FIGURRA 4.6 Diagrama fasorial de voltaje y corriente para línea en vacío de longitud
media
En una línea de este tipo se cumple que X « R , razón por la cual el voltaje
de vacío en la carga puede ser mayor que el voltaje de la fuente.
El voltaje V R a plena carga (V R ) se puede calcular a partir de una expresión
que relacione dicho voltaje con la potencia en la carga,
*
((R. P
R
 V S ∠δ - V R

- j V R .Y/2 
P R + j Q R = V R . 
 R+ j X

(4.15)
( P R + j Q R - j V 2R .Y/2).(R - J X) = V R V S ∠ - δ - V R2
(4.16)
+ X.Q R ) + (1 - X.Y/2)V 2R ) + j ((R.Q R - X. P R ) - R.Y/2.V 2R ) = V R .V S ∠- δ
(4.17)
Eliminando de la ecuación anterior el ángulo δ se llega a la siguiente
ecuación:
A.V R4 + B.V R2 + C = 0
(4.18)
donde,
A = (R.Y/2 )2 + (1 - X.Y/2 )2
LEONARDO CARDONA C.
(4.19)
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Representación circuital de líneas de transmisión aéreas
74
B = 2 (R. P R + X.Q R ).(1 - X.Y/2) + 2 (R.Q R - X.Q R ).(R.Y/2) - V S2
(4.20)
C = ( R2 + X 2 ).( P 2R + Q 2R )
(4.21)
La solución para V R será:
2
VR =
4.3
-
B
 B  C
+   2A
 2A  A
(4.22)
LINEA DE TRANSMISION DE LONGITUD LARGA
Cuando la línea de transmisión tiene una distancia considerable (línea larga)
ya no es muy preciso el considerar que los parámetros están concentrados,
sino distribuídos uniformemente a todo lo largo de la misma.
Para determinar un circuito que represente adecuadamente este tipo de
línea, hay que resolver las ecuaciones diferenciales, planteadas en un
diferencial de longitud de línea.
Las ecuaciones diferenciales se van a plantear a partir de las definiciones
hechas en el circuito de la Figura 4.7.
LEONARDO CARDONA C.
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75
Representación circuital de líneas de transmisión aéreas
I S
Vs
I (x)
z .
x
y .
V(x)
I (x +
x
x)
V (x +
I R
x)
V
R
X
x=0
x=d
FIGURA 4.7
Diferencial circuital de línea
Los parámetros z y y corresponden a la impedancia serie y admitancia
shunt por unidad de longitud. El voltaje y la corriente en cualesquier punto
de la línea depende de dos variables independientes, la longitud y el tiempo.
Para eliminar la dependencia del tiempo, las ecuaciones se van a plantear en
el dominio de los fasores, es decir que todas las variables involucradas son
fasores.
V(x + ∆x) = V(x) - z.∆x.I(x)
(4.23)
La ecuación anterior se puede organizar como:
V(x + ∆x) - V(x)
= - z.I(x)
∆x
(4.24)
Tomando limite cuando ∆x → 0 , se obtiene:
d V(x)
= - z.I(x)
dx
LEONARDO CARDONA C.
(4.25)
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Representación circuital de líneas de transmisión aéreas
I(x + ∆x) = I(x) - y.∆x.V(x) →
I(x + ∆x) - I(x)
= - y.V(x)
∆x
d I(x)
= - y.V(x)
dx
76
(4.26)
(4.27)
Derivando la ecuación 4.25 y 4.27 con respecto a x se obtienen las
repectivas ecuaciones diferenciales para el voltaje y para la corriente.
2
d V(x) = z.y.V(x)
2
dx
(4.28)
2
d I(x) = z.y.I(x)
2
dx
(4.29)
Las ecuaciones par el voltaje V(x) y para la corriente I(x) se pueden
resolver
utilizando
cualquier
método
de
solución
de
ecuaciones
diferenciales. Utilizando por ejemplo el método de la Transformada de
Laplace ( L ).
 2 V(x) 
_  d 2  = _ (z.y.V(x) )
 dx 
2
s V(s) - s V(x = 0) -
(4.30)
dV(x = 0)
= z y V(s)
dx
(4.32)
V(s)( s 2 - z y) = s V S - z I S
V(s) =
LEONARDO CARDONA C.
s
1
z IS
VS - 2
s -z y
s -z y
2
(4.31)
(4.33)
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Representación circuital de líneas de transmisión aéreas
77
-1
Obteniendo la Transformada Inversa de Laplace (L
) a la anterior
ecuación, se obtiene la solución para el voltaje fasorial en cualquier punto de
la línea,
V(x) = V S .Cosh
(
)
z y .x -
z/y I S .Senh
(
z y .x
)
(4.34)
Definiendo,
z
y
Impedancia CaracterÍstica = Z c =
Constante de Propagaci n = γ =
=
R + j wL
j wC
(4.35)
(4.36)
zy
Para x=d la ecuación 4.34 se convierte en:
V R = V S .Cosh (γ .d ) - Z c I S .Senh (γ .d )
(4.37)
Siguiendo el mismo proceso se obtiene la solución para la corriente I R ,
I R = I S .Cosh (γ .d
)-
V S Senh (γ .d
Zc
)
(4.38)
Las ecuaciones 4.37 y 4.38 en forma matricial,
V R 
 
 =
 
 
IR
LEONARDO CARDONA C.
 Cosh γ .d

 Senh γ .d
Zc

- Z c Senh γ .d  V S 
 
 
Cosh γ .d   
  I S 
 
(4.39)
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Representación circuital de líneas de transmisión aéreas
78
Mediante un proceso de síntesis de circuitos se determina el circuito
equivalente que cumpla con el sistema de ecuaciones formuladas en la
ecuación 4.39. Es circuito equivalente es un circuito PI como el de la Figura
4.5, con la diferencia en la forma de evaluar Z y Y/2 .
Z = Z c . Senh( γ .d )
Y/2 =
LEONARDO CARDONA C.
Cosh( γ .d ) - 1
Z c . Senh( γ .d )
(4.40)
(4.41)
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Referencias bibliográficas
79
Referencias bibliográficas
1.
ELECTRIC POWER RESEARCH INSTITUTE, EPRI. Transmision
Line Reference Book 345 kv and above, Palo Alto California. Segunda
Edición, 1992.
2.
WESTINHOUSE CORPORATION.
Distribution Reference, 1964.
3.
M.H. HESSE, Electromagnetic and Electrostatic Transmission Line
parameters by digital computer. IEEE, Transaction Power Apparatus
and Systems, Vol PAS-82, pp 282-291, Junio 1963.
4.
MO-SHING CHEN, WILLIAM E. DILLION, Power System Modeling.
Proceding of the IEEE, Vol 62, No 7, Julio 1974. Pp 901-915.
5.
STEVENSON, WILLIAM D. JR. Sistemas Eléctricos de Potencia,
Segunda Edición 1979. Editorial Mcgraw-Hill.
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Electrical Transmission and
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