T.P. 3 - Universidad Nacional de Salta

Universidad Nacional de Salta
Facultad de Ciencias Exactas
Departamento de Matematica
Introduccion a la
Dinamica Simbolica
1er. cuatrim. 2009
T. P. Nro. 3: SHIFTS DE TIPO FINITO
1. Shifts de paso limitado y de lagunas. Para los siguientes espacios, se considera el alfabeto A = {0, 1}.
(a) Sea X el conjunto de todas las sucesiones binarias biinfinitas en las que los 1 aparecen con frecuencia infinita
en ambas direcciones y, entre dos ocurrencias sucesivas de 1, la cantidad de 0 es al menos uno y no más de
∞
∞
tres. Por ej., (01001010001) ∈ X, mientras que · · · 0000000.100000 · · ·, (00011) , · · · 1010000.10001 · · · no
están en X. X se llama shift de paso limitado (1, 3). Mostrar que X es un STF.
(b) Sea X el conjunto de todas las sucesiones binarias biinfinitas en las que entre dos ocurrencias sucesivas de
∞
1, la cantidad de 0 es al menos uno y no más de tres. Por ej., (01001010001) y · · · 0000000.100000 · · ·
∞
están en X, mientras que (00011) y · · · 1010000.10001 · · · no están en X. Mostrar que X es un espacio
shift pero no es un STF.
(c) Para generalizar la shift de paso limitado (1, 3), sean d y k dos enteros no negativos, con d ≤ k. Sea X
el conjunto de todas las sucesiones binarias biinfinitas en las que los 1 aparecen con frecuencia infinita en
ambas direcciones y, entre dos ocurrencias sucesivas de 1, la cantidad de 0 es al menos d y no más de k. X
se llama shift de paso limitado (d, k). Mostrar que X es un STF.
(d) Sean d y k dos enteros no negativos, con d ≤ k. Sea X el conjunto de todas las sucesiones binarias biinfinitas
en las que entre dos ocurrencias sucesivas de 1, la cantidad de 0 es al menos d y no más de k. Mostrar que
X es un espacio shift, pero no es STF.
(e) Para generalizar las shifts de paso limitado, sea S un subconjunto finito de los enteros no negativos. Sea X
el conjunto de todas las sucesiones binarias biinfinitas en las que los 1 aparecen con frecuencia infinita en
ambas direcciones y, entre dos ocurrencias sucesivas de 1, la cantidad de 0 es un número en S. X se llama
shift de lagunas en S. Mostrar que X es un STF.
(f) Sea S un subconjunto finito de los enteros no negativos. Sea X el conjunto de todas las sucesiones binarias
biinfinitas en las que entre dos ocurrencias sucesivas de 1, la cantidad de 0 es un número en S. Mostrar
que X es un espacio shift, pero no un STF.
(g) Sea S un subconjunto infinito de los enteros no negativos. Sea X el conjunto de todas las sucesiones binarias
biinfinitas en las que entre dos ocurrencias sucesivas de 1, la cantidad de 0 es un número en S. También
en este caso, X se llama shift de lagunas en S. Mostrar que X es un espacio shift. Dar un ejemplo de S
para el cual el correspondiente shift sea de tipo finito, y otro ejemplo para el cual no. Justificar.
(h) Sea S un subconjunto infinito de los enteros no negativos. Sea X el conjunto de todas las sucesiones binarias
biinfinitas en las que los 1 aparecen con frecuencia infinita en ambas direcciones y, entre dos ocurrencias
sucesivas de 1, la cantidad de 0 es un número en S. Demostrar que X no es un espacio shift.
2. Para el alfabeto A = {a, b, c}, sea X el conjunto de sucesiones biinfinitas en las que el bloque ab k cm a puede
ocurrir sólo si k = m. Mostrar que X es un espacio shift, pero que no es un STF. X se llama shift libre de
contexto.
3. Mostrar que si X e Y son STF sobre A, también lo es X ∩ Y . ¿Qué puede decir de X ∪ Y ?
4. Un problema de maximalidad.
(a) Sean F1 = {10, 11} y F2 = {01, 10, 11}. Demostrar que XF1 = XF2 . Notar que todos los bloques, tanto en
F1 como en F2 , tienen largo 2.
(b) Sea X un STF de memoria M , digamos X = XF con todos los bloques en F de largo a lo sumo M + 1. Sea
u un bloque de longitud n ≥ M + 1 tal que ninguno de sus subbloques está en F. ¿Debe necesariamente u
pertenecer a B (X)?
(c) Sea X un STF de memoria M , y u un bloque de longitud n ≥ M + 1. Mostrar que u está en B (X) si, y
sólo si, todo subbloque de largo M + 1 en u está en B (X).
(d) Sea X un STF de memoria M . De todas las familias F de palabras de largo M + 1 tales que X = X F ,
encontrar una que sea maximal en el sentido de la contención de conjuntos.
5. Especificar formalmente el grafo que se muestra en la siguiente figura, y obtener su matriz de adyacencia.
Observando la matriz de adyacencia, obtener el grado de entrada y de salida de cada nodo, y el número total de
aristas del grafo.
6. Si H es un subgrafo de G, ¿qué relación hay entre las respectivas matrices de adyacencia?
7. Sobre A = {0, 1}, considerar el STF X = X{0000,111} .
(a) Mostrar que X no es shift de aristas.
(b) Encontrar un entero M ≥ 0 y un grafo G tales que X [M ] = XG .
(c) ¿Es XG conjugado a X? En caso afirmativo, mostrar una conjugación.
8. Dibujar el grafo G = (ν, ξ, i, t) con ν = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, ξ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m}, y funciones inicial
y terminal definidas en la siguiente tabla:
arista
a
inicial
3
terminal 1
b c d e f
1 1 1 2 2
3 1 2 1 4
g h i j
3 4 3 6
4 5 5 7
k
7
7
l m
2 6
1 7
Identificar el subgrafo esencial maximal G0 tal que XG0 = XG . Obtener las matrices de adyacencia de G y de G0 ,
y extraer conclusiones acerca de las mismas.
9. Resolver el mismo ejercicio anterior, pero agregando a G una arista n desde el estado 5 al 6.
10. Considerar el grafo G = (ν, ξ, i, t) con ν = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ξ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, y funciones inicial y
terminal definidas en la siguiente tabla:
arista
a
inicial
1
terminal 1
b c d e f
1 4 3 3 3
4 1 4 4 2
Construir G[3] y mostrar una conjugación entre (XG )
[3]
g h i j
1 2 5 6
2 3 6 6
k
6
5
y (XG[3] ).
11. Sea A la matriz de adyacencia de un grafo con los nodos en un cierto orden, y A 0 la del mismo grafo con los
nodos listados en otro orden. ¿Qué relación hay entre A y A0 ?
b G0 sean, respectiva12. Sean A = {0, 1}, F = {000, 111} y X = XF . Construir dos grafos G y G0 tales que XG y X
mente, presentaciones en bloques con solape de X. Usar la matriz de adyacencia de G para calcular el número
de puntos de X con perı́odo 5.
13. Sea X un shift de tipo finito de memoria 1. Para cada sı́mbolo a ∈ B1 (X), sea FX (a) el conjunto de sı́mbolos b
tales que ab ∈ B2 (X). Mostrar que, salvo cambio de nombres en los sı́mbolos, X es un shift de aristas si, y sólo
si, FX (a) y FX (c) son o bien iguales o bien disjuntos toda vez que a y b son sı́mbolos en B1 (X).
14. Sea G el grafo especificado en la siguiente tabla:
arista
a b
inicial
A A
terminal A B
c
B
B
d
B
C
e
B
D
f
D
B
g
A
C
h
C
D
i
C
D
Obtener el grafo desdoblado G[P] que resulta de considerar m (A) = 2, m (B) = 3, m (C) = 2, m (D) = 1 y la
partición P siguiente:
1
2
ξA
= {a, g} , ξA
= {b}
1
2
1
ξB
= {c} , ξB
= {d} , ξB
= {e}
1
2
ξC = {h} , ξC = {i}
1
ξD
= {f }
Determinar la matriz de adyacencia del grafo desdoblado, las matrices de división y de aristas para P, y establecer
las relaciones entre las cuatro matrices.
15. Dadas las siguientes matrices:
A=
1 1
1 0

1 1 0
C= 0 0 1 
1 1 0


0 1 1
B= 1 1 0 
1 0 0

D = [2]
Decidir cuáles de ellas se pueden obtener a partir de un proceso sucesivo de desdoblamientos y amalgamas de
estados de grafos representados por las otras. (Sugerencia: considere puntos periódicos).
16. Mostrar que el grafo obtenido a partir del desdoblamiento de estados de un grafo irreducible es también un grafo
irreducible.