Tareas (funciones definidas por integrales)

Tareas (funciones definidas por integrales)
1. Continuidad de la integral de Dirichlet con la función exponente. Demostrar
que la integral impropia
→+∞
Z
sin x
dx
e−λx
x
0
converge uniformemente en [0, +∞), y la función
→+∞
Z
e−λx
Φ(λ) :=
sin x
dx
x
0
es continua en [0, +∞).
2. Cálculo de la integral de Dirichlet a través de la derivación respecto al
parámetro. Demostrar que para todo λ ≥ 0
→+∞
Z
e−λx
sin x
π
dx = − arc tg λ.
x
2
0
Indicación. Considerar la función
→+∞
Z
e−λx
Φ(λ) :=
sin x
dx,
x
0
calcular su derivada, después calcular Φ(λ).
3. Integrales de Fresnel. Demostrar las fórmulas:
√
π
cos x dx = √ ,
2 2
→+∞
Z
√
π
sin x dx = √ .
2 2
→+∞
Z
2
0
2
0
Indicación. Hacer el cambio de variable t = x2 , aplicar la fórmula
1
2
√ =√
π
t
Z+∞
2
e−tu du,
0
invertir el orden de las integraciones.
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4. Fórmula de los complementos para la función Γ. Demostrar que para todo
x ∈ (0, 1)
π
Γ(x)Γ(1 − x) =
.
sin(πx)
Indicación. Demostrar al principio que
Z+∞
Γ(x)Γ(1 − x) =
y x−1
dy.
1+y
0
Para x ∈ (0, 1) fijo, considerar la función
Z+∞
f (λ) :=
y x−1
dy
eiλ y + 1
(λ ∈ (−π, π)).
0
Demostrar que f 0 (λ) = −ixf (λ). De aquı́ f (λ) = g(x)e−iλx , donde γ(x) depende solamente
de x. Mostrar que para λ ∈ (0, π)
f (−λ) − f (λ)
= sin λ
g(x) sin(λx) =
2i
Z+∞
y x dy
=
y 2 + 2y cos λ + 1
0
Z+∞
(u sin λ − cos λ)2
du.
1 + u2
cot λ
Pasando al lı́mite para λ → π, probar que g(x) =
π
.
sin(πx)
5. Continuidad y derivadas parciales del potencial volúmico. Sea K un compacto
en R3 , ρ : K → R una función medible y acotada. Mostrar que la función
Z
ρ(x) dx
U (a) :=
|x − a|
K
es continua en R3 y calcular sus derivadas parciales.
Indicación. Escribir U en forma
Z
ρ(x) dx
U (a) = Vr (a) + Wr (a) con Vr (a) =
,
|x − a|
|x−a|≤r
Z
Wr (a) =
ρ(x) dx
.
|x − a|
|x−a|>r
Obtener una mayoración |Vr (a)| < kr2 con k constante y probar de allı́ que W1/ν (a)
(a) cuando ν → ∞.
R
x1 −a1
Para demostrar que ∂1 U (a) = U1 (a) := K ρ(x) |x−a|
3 dx, probar la fórmula
Zc1
U1 (a1 , a2 , a3 ) da1 = U (c1 , a2 , a3 ) − U (b1 , a2 , a3 ).
b1
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a∈R3 ⇒
U
6. Regla de Leibniz con lı́mites variables. Sean I y J intervalos abiertos en R,
f : I × J → R una función continua. Se supone que para todo (x, y) ∈ I × J existe la
derivada parcial ∂2 f (x, y) y que existe g ∈ L1 (I) tal que |∂2 f (x, y)| ≤ g(x) para todo
(x, y) ∈ I × J. Sean ϕ y ψ funciones derivables J → I. Se define para todo y ∈ J:
ϕ(y)
Z
Φ(y) :=
f (x, y) dx.
ψ(y)
Probar que Φ es derivable y
ϕ(y)
Z
Φ0 (y) =
∂2 f (x, y) dx + ϕ0 (y)f (ϕ(y), y) − ψ 0 (y)f (ψ(y), y).
ψ(y)
Indicación. Para un y fijo en J, escribir Φ(y + h) en forma
ϕ(y)
ϕ(y+h)
ψ(y+h)
Z
Z
Z
Φ(y + h) =
f (x, y) dx +
f (x, y) dx −
f (x, y) dx.
ψ(y)
ϕ(y)
ψ(y)
7. Cálculo de la integral de Poisson. Demostrar que
Z+∞
√
2
e−x dx = π.
−∞
Indicación. Considerar las funciones
ZL
I(L) :=
e
−L
−x2
Z
dx,
g(R) :=
2 −y 2
e−x
dx dy,
x2 +y 2 ≤R2
√
calcular g(R) usando coordenadas polares, y mostrar que g(L) ≤ I(L)2 ≤ g(L 2).
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