Métodos Matemáticos: Análisis Funcional

Programa de la Asignatura
Los conjuntos númericos R y C
Métodos Matemáticos: Análisis Funcional
Licenciatura en Ciencias y Técnicas Estadı́sticas
Renato Álvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla
http://euler.us.es/˜renato/clases.html
Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
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Programa de la Asignatura
Los conjuntos númericos R y C
¿De qué va esta asignatura?
Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
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Los conjuntos númericos R y C
¿De qué va esta asignatura?
1
NO va de números.
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Los conjuntos númericos R y C
¿De qué va esta asignatura?
1
NO va de números.
2
NO va de análisis de funciones (eso fue en Cálculo)
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Los conjuntos númericos R y C
¿De qué va esta asignatura?
1
NO va de números.
2
NO va de análisis de funciones (eso fue en Cálculo)
3
??? ??? ???
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Los conjuntos númericos R y C
¿De qué va esta asignatura?
1
NO va de números.
2
NO va de análisis de funciones (eso fue en Cálculo)
3
??? ??? ???
4
Va de espacios de “funciones” (¿¿??)
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Los conjuntos númericos R y C
¿De qué va esta asignatura?
1
NO va de números.
2
NO va de análisis de funciones (eso fue en Cálculo)
3
??? ??? ???
4
Va de espacios de “funciones” (¿¿??)
5
¿Sirve para algo?
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Los conjuntos númericos R y C
¿De qué va esta asignatura?
1
NO va de números.
2
NO va de análisis de funciones (eso fue en Cálculo)
3
??? ??? ???
4
Va de espacios de “funciones” (¿¿??)
5
¿Sirve para algo? SI
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Programa de la Asignatura
Los conjuntos númericos R y C
Metodologı́a
La asignatura está dividida en 3 horas teóricas y 2 horas prácticas
semanales.
• Las horas de teorı́a se dedicarán a la explicación de los principales
conceptos teóricos ası́ como a desarrollar distintos ejemplos que
permitan aplicar y profundizar los métodos aprendidos.
• Las horas prácticas se dedicarán a proponer y resolver diversos
ejercicios que permitan al alumno una comprensión más profunda
de los conceptos teóricos y que sirvan de complemento a las clases
teóricas.
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Los conjuntos númericos R y C
Metodologı́a
La asignatura está dividida en 3 horas teóricas y 2 horas prácticas
semanales.
• Las horas de teorı́a se dedicarán a la explicación de los principales
conceptos teóricos ası́ como a desarrollar distintos ejemplos que
permitan aplicar y profundizar los métodos aprendidos.
• Las horas prácticas se dedicarán a proponer y resolver diversos
ejercicios que permitan al alumno una comprensión más profunda
de los conceptos teóricos y que sirvan de complemento a las clases
teóricas.
¡FALSO!
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Los conjuntos númericos R y C
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA
Los conjuntos númericos R y C
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Los conjuntos númericos R y C
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA
Los conjuntos númericos R y C
Introducción a los Espacios métricos.
Introducción a los Espacios de Banach.
Introducción a los Espacios de Hilbert.
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Los conjuntos númericos R y C
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA
Los conjuntos númericos R y C
Introducción a los Espacios métricos.
Introducción a los Espacios de Banach.
Introducción a los Espacios de Hilbert.
Aplicaciones
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Los conjuntos númericos R y C
Temario de la asignatura
Introducción a los espacios R y C y las principales propiedades
métricas de los mismos.
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Programa de la Asignatura
Los conjuntos númericos R y C
Temario de la asignatura
Introducción a los espacios R y C y las principales propiedades
métricas de los mismos.
Espacios métricos. Definición y primeras propiedades:
convergencia y completitud. Teoremas del punto fijo y
aplicaciones.
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Los conjuntos númericos R y C
Temario de la asignatura
Introducción a los espacios R y C y las principales propiedades
métricas de los mismos.
Espacios métricos. Definición y primeras propiedades:
convergencia y completitud. Teoremas del punto fijo y
aplicaciones.
Introducción a los espacios normados. Ejemplos. Espacios de
Banach. Aplicaciones lineales.
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Los conjuntos númericos R y C
Temario de la asignatura
Introducción a los espacios R y C y las principales propiedades
métricas de los mismos.
Espacios métricos. Definición y primeras propiedades:
convergencia y completitud. Teoremas del punto fijo y
aplicaciones.
Introducción a los espacios normados. Ejemplos. Espacios de
Banach. Aplicaciones lineales.
Espacios de Hilbert. Definición y propiedades. Bases
Ortonormales. Ejemplos. Nociones de Teorı́a Espectral.
Operadores compactos autoadjuntos en espacios de Hilbert.
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Los conjuntos númericos R y C
Temario de la asignatura
Introducción a los espacios R y C y las principales propiedades
métricas de los mismos.
Espacios métricos. Definición y primeras propiedades:
convergencia y completitud. Teoremas del punto fijo y
aplicaciones.
Introducción a los espacios normados. Ejemplos. Espacios de
Banach. Aplicaciones lineales.
Espacios de Hilbert. Definición y propiedades. Bases
Ortonormales. Ejemplos. Nociones de Teorı́a Espectral.
Operadores compactos autoadjuntos en espacios de Hilbert.
Algunas aplicaciones en Probabilidad y Procesos estocásticos.
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Los conjuntos númericos R y C
Bibliografı́a
A. Bobrowski. Functional Analysis for Probability and
Stochastic Processes: An Introduction. Cambridge University
Press 2005
L. Debnath y P. Mikusinsk. Introduction to Hilbert spaces with
applications, 3rd Edition, Elsevier (Academic Press), 2005.
A.N. Kolmogorov y A.V. Fomı́n. Elements of the Theory of
Functions and Functional Analysis, Dover 1999 (en castellano
existe una versión: Elementos de la teorı́a de funciones y del
análisis funcional. Editorial MIR, 1978).
E. Kreyszig. Introductory Functional Analysis with
Applications. Wiley Classics Library Edition, 1989.
K. Saxe. Beginning Functional Analysis. Springer, New York,
2002.
N. Young. An Introduction to Hilbert Spaces, Cambridge
University Press, 1988.
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Los conjuntos númericos R y C
Evaluación
Se realizarán 2 exámenes parciales. Estos parciales son
voluntarios y de carácter eliminatorio. Para aprobar por
parciales hay que presentarse a ambos y tener en media al
menos 5 puntos.
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Los conjuntos númericos R y C
Evaluación
Se realizarán 2 exámenes parciales. Estos parciales son
voluntarios y de carácter eliminatorio. Para aprobar por
parciales hay que presentarse a ambos y tener en media al
menos 5 puntos.
Las fechas de dichos exámenes serán fijadas a lo largo del
cuatrimestre y anunciadas con antelación en clase y en la
WWW del curso.
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Los conjuntos númericos R y C
Evaluación
Se realizarán 2 exámenes parciales. Estos parciales son
voluntarios y de carácter eliminatorio. Para aprobar por
parciales hay que presentarse a ambos y tener en media al
menos 5 puntos.
Las fechas de dichos exámenes serán fijadas a lo largo del
cuatrimestre y anunciadas con antelación en clase y en la
WWW del curso.
Se harán además dos exámenes finales ordinarios en febrero y
septiembre. Los exámenes serán escritos. Para aprobar el
examen es necesario obtener un total al menos 5 puntos.
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Los conjuntos númericos R y C
Evaluación
Se realizarán 2 exámenes parciales. Estos parciales son
voluntarios y de carácter eliminatorio. Para aprobar por
parciales hay que presentarse a ambos y tener en media al
menos 5 puntos.
Las fechas de dichos exámenes serán fijadas a lo largo del
cuatrimestre y anunciadas con antelación en clase y en la
WWW del curso.
Se harán además dos exámenes finales ordinarios en febrero y
septiembre. Los exámenes serán escritos. Para aprobar el
examen es necesario obtener un total al menos 5 puntos.
También se entregarán varios proyectos sobre temas
complementen los tratados en clase. Dichos proyectos son
voluntarios y no serán evaluados en el exámen aunque si
pueden complementar la nota de éste, sólo en caso de
mejorarla.
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Los conjuntos númericos R y C
Horario de Clases y Tutorı́as
Horario de Clases: Lunes y Miércoles de 12:00 – 14:00, Martes de
8:30 – 9:30
Lugar: Aula A1.11 (Edificio ETSII, edificio blanco).
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Los conjuntos númericos R y C
Horario de Clases y Tutorı́as
Horario de Clases: Lunes y Miércoles de 12:00 – 14:00, Martes de
8:30 – 9:30
Lugar: Aula A1.11 (Edificio ETSII, edificio blanco).
Horario de Tutorı́as: Lunes de 10:30 a 11:30, martes de 10:00 a
12:00 y jueves de 10:45 a 13:45.
Lugar: Despacho 15-07 (Módulo 15, 1o piso de la Facultad de
Matemáticas). Aconsejable pedir cita
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Horario de Clases y Tutorı́as
Horario de Clases: Lunes y Miércoles de 12:00 – 14:00, Martes de
8:30 – 9:30
Lugar: Aula A1.11 (Edificio ETSII, edificio blanco).
Horario de Tutorı́as: Lunes de 10:30 a 11:30, martes de 10:00 a
12:00 y jueves de 10:45 a 13:45.
Lugar: Despacho 15-07 (Módulo 15, 1o piso de la Facultad de
Matemáticas). Aconsejable pedir cita
Cambios de clase, etc
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Los conjuntos númericos R y C
DATOS RELEVANTES
Profesor Renato Álvarez Nodarse.
Despacho: 1er piso, Mod 15, No. 15-07 Facultad de Matemáticas.
E-mail: [email protected]
Teléfono: 954 55 79 94
Web del curso: http://euler.us.es/˜renato/clases.html
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Los conjuntos númericos R y C
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Estructura algebraica: Cuerpo
Un conjunto de elementos es un cuerpo si ∀a, b ∈ A a“ +′′ b y
a“ ·′′ b son elementos de A y “+” y “·” son tales que:
1
Propiedades de la suma:
1
2
3
4
2
Propiedades de la multiplicación:
1
2
3
4
3
(a + b) + c = a + (b + c) (ley asociativa)
∃0 ∈ A tq ∀a ∈ A, a + 0 = 0 + a = a
∀a ∈ A, ∃(−a) ∈ A tq (−a) + a = a + (−a) = 0
a + b = b + a (ley conmutativa)
(a · b) · c = a · (b · c) (ley asociativa)
∃1 ∈ A tq ∀a ∈ A, ∃a · 1 = 1 · a = a
∀a ∈ A, a 6= 0, (a−1 ) ∈ A tq (a−1 ) · a = a · (a−1 ) = 1
(elemento inverso de la multiplicación)
a · b = b · a (ley conmutativa)
Propiedades de la suma y multiplicación:
1
a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Orden
Un conjunto de elementos A es un conjunto ordenado si existe
una relación de orden ≤ tal que cuales quiera sean a y b elementos
de A se cumple que a ≤ b o no se cumple y además tienen lugar
los siguientes axiomas:
1. Para todo a ∈ A, a ≤ a
2. Si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b.
3. Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c.
4. Para todos a, b ∈ A, o a ≤ b o b ≤ a.
Si además, A es un cuerpo, entonces para cuales quiera sean a, b
y c de A se tiene que
5. Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c.
6. Si 0 ≤ a y 0 ≤ b entonces 0 ≤ a · b.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
RyC
Definición
Se denomina al conjunto R conjunto de los números reales al
cuerpo ordenado no nulo que satisfagan el siguiente axioma de
completitud o continuidad:
Si A y B son dos subconjuntos de R no nulos tales que cualquiera
sean a ∈ A y b ∈ B se tiene que a ≤ b, entonces existe un c ∈ R
tal que para todo a ∈ A y b ∈ B, a ≤ c ≤ b.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
RyC
Definición
Se denomina al conjunto R conjunto de los números reales al
cuerpo ordenado no nulo que satisfagan el siguiente axioma de
completitud o continuidad:
Si A y B son dos subconjuntos de R no nulos tales que cualquiera
sean a ∈ A y b ∈ B se tiene que a ≤ b, entonces existe un c ∈ R
tal que para todo a ∈ A y b ∈ B, a ≤ c ≤ b.
Cotas. Ínfimo y Supremo de un conjunto numérico.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
RyC
Definición
Se denomina al conjunto R conjunto de los números reales al
cuerpo ordenado no nulo que satisfagan el siguiente axioma de
completitud o continuidad:
Si A y B son dos subconjuntos de R no nulos tales que cualquiera
sean a ∈ A y b ∈ B se tiene que a ≤ b, entonces existe un c ∈ R
tal que para todo a ∈ A y b ∈ B, a ≤ c ≤ b.
Cotas. Ínfimo y Supremo de un conjunto numérico.
Densidad de los números racionales Q: Q es denso en R
Cuales quiera sean a, b ∈ R(a < b), existe un q ∈ Q tal que
a < q < b.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Los números complejos: C
¿Cuál es la solución de x 2 = 4?
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Los números complejos: C
¿Cuál es la solución de x 2 = 4? ¿y de x 2 = 2?
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Programa de la Asignatura
Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Los números complejos: C
¿Cuál es la solución de x 2 = 4? ¿y de x 2 = 2? y ¿y de x 2 = −1?
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Programa de la Asignatura
Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Los números complejos: C
¿Cuál es la solución de x 2 = 4? ¿y de x 2 = 2? y ¿y de x 2 = −1?
Definición
Un número complejo z es un par ordenado de números reales x, y ,
es decir z = (x, y ), donde x se denomina parte real de z e y se
denomina parte imaginaria y se denotan por x = ℜ z, y = ℑz. El
conjunto de todos los números complejos lo denotaremos por C.
Para los números complejos cualesquiera z1 = (x1 , y1 ) y
z2 = (x2 , y2 ), se define la operación suma “+” y multiplicación “·”
de la siguiente forma:
z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ),
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ).
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Los números complejos: C
¿Cuál es la solución de x 2 = 4? ¿y de x 2 = 2? y ¿y de x 2 = −1?
Definición
Un número complejo z es un par ordenado de números reales x, y ,
es decir z = (x, y ), donde x se denomina parte real de z e y se
denomina parte imaginaria y se denotan por x = ℜ z, y = ℑz. El
conjunto de todos los números complejos lo denotaremos por C.
Para los números complejos cualesquiera z1 = (x1 , y1 ) y
z2 = (x2 , y2 ), se define la operación suma “+” y multiplicación “·”
de la siguiente forma:
z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ),
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ).
C no se puede ordenar.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Representación gráfica
y
ℑz
0
z = (x, y )
ℜz
x
Figura: Representacón gráfica de un número complejo z
La expresión más común para representar un número complejo es
la forma binómica: z = (x, y ) = x + i y , donde x = ℜ z, y = ℑz.
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Programa de la Asignatura
Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Operaciones elementales en C
Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 dos números complejos
cualesquiera, entonces
z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i (y1 ± y2 ),
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i (x1 y2 + y1 x2 ),
z1
1
= z1 ,
z2
z2
1
x2
−y2
= 2
+i 2
z2
x2 + y22
x2 + y22
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Programa de la Asignatura
Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Operaciones elementales en C
Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 dos números complejos
cualesquiera, entonces
z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i (y1 ± y2 ),
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i (x1 y2 + y1 x2 ),
z1
1
= z1 ,
z2
z2
1
x2
−y2
= 2
+i 2
z2
x2 + y22
x2 + y22
El complejo conjugado z de un número z = x + iy se define
porz = x − iy : Además, ∀z, z1 , z2 ∈ C
z = z,
z1 + z2 = z1 +z2 ,
z1 · z2 = z1 ·z2 ,
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z1
z2
!
=
z1
z2
Métodos Matemáticos: Análisis Funcional
(z2 6= 0).
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
¿R ⊂ C?
Es fácil comprobar que si z1 y z2 son tq ℑz1 = ℑz2 = 0, las
operaciones anteriores coinciden con las de los números reales =⇒
los números reales se pueden ver como un “subconjunto” de los
complejos: i.e., los números complejos de la forma z = (x, 0).
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
¿R ⊂ C?
Es fácil comprobar que si z1 y z2 son tq ℑz1 = ℑz2 = 0, las
operaciones anteriores coinciden con las de los números reales =⇒
los números reales se pueden ver como un “subconjunto” de los
complejos: i.e., los números complejos de la forma z = (x, 0).
Utilizando el conjunto de los números complejos C descubrimos
que es posible resolver ecuaciones algebraicas que no eran
resolubles para los reales, por ejemplo
x 2 + 1 = 0,
−→
x 2 = −1 −→ x = i = (0, 1).
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
¿R ⊂ C?
Es fácil comprobar que si z1 y z2 son tq ℑz1 = ℑz2 = 0, las
operaciones anteriores coinciden con las de los números reales =⇒
los números reales se pueden ver como un “subconjunto” de los
complejos: i.e., los números complejos de la forma z = (x, 0).
Utilizando el conjunto de los números complejos C descubrimos
que es posible resolver ecuaciones algebraicas que no eran
resolubles para los reales, por ejemplo
x 2 + 1 = 0,
−→
x 2 = −1 −→ x = i = (0, 1).
Dado φ ∈ R, se define la exponencial compleja de φ, e i φ como
e i φ = cos φ + i sen φ.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
El módulo ρ = |z| y el argumento de z
p
El módulo de z es ρ = |z| = x 2 + y 2 y al argumento de z es el
ángulo θ tq x = |z| cos θ, y = |z| sen θ:
z = x + iy = |z|(cos θ + i sen θ) = |z|e i θ .
y
z = (x, y )
ℑz
|z|
θ
0
ℜz
x
Figura: El módulo ρ = |z| y el argumento de z
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
El módulo ρ = |z| y el argumento de z
El módulo ρ = |z| y el argumento de z cumplen con las siguientes
propiedades.
1
|z| ≥ 0, ∀z ∈ C.
2
|z| = 0, ⇐⇒ z = 0.
3
|z|2 = z · z, ∀z ∈ C.
4
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, ∀z1 , z2 ∈ C.
5
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |, ∀z1 , z2 ∈ C.
6
Si z1 = |z1 |(cos θ1 + i sen θ1 ) y z2 = |z2 |(cos θ2 + i sen θ2 ),
entonces
z1 · z2 = |z1 · z2 |[cos(θ1 + θ2 ) + i sen(θ1 + θ2 )],
z1 z1 [cos(θ1 − θ2 ) + i sen(θ1 − θ2 )]
=
z2 z2 Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Sucesiones numéricas en C
Definición
La aplicación o función f : N 7→ A que hace corresponder a cada
número natural n un elemento an de cierto conjunto A se denomina
sucesión de elementos de A y la denotaremos por (an )∞
n=1 , o (an )n .
Por ejemplo, si A = C, diremos que f : N 7→ C define una sucesión
de números complejos.
Como ejemplo tenemos
xn = (−1)n = {−1, 1, −1, 1, . . . },
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zn = e in = {e i , e 2i , e 3i , . . . },
Métodos Matemáticos: Análisis Funcional
...
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Sucesiones acotadas
Definición
Se dice que una sucesión (zn )n está acotada, si ∀n ∈ N, existe un
M ∈ R, M > 0 tal que |zn | ≤ M.
Por ejemplo, las sucesiones (xn ) y (zn )n definidas antes son
claramente acotadas (basta escoger M = 1).
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Definición de R y C
Convergencia en C
Sucesiones acotadas
Definición
Se dice que una sucesión (zn )n está acotada, si ∀n ∈ N, existe un
M ∈ R, M > 0 tal que |zn | ≤ M.
Por ejemplo, las sucesiones (xn ) y (zn )n definidas antes son
claramente acotadas (basta escoger M = 1).
Definición
Se dice que una sucesión (zn )n es no acotada si ∀M ∈ R, existe un
n ∈ N tal que |zn | > M.
Por ejemplo, la sucesión bn = (−1)n n2 no está acotada.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Convergencia en C
Definiremos la distancia d(z1 , z2 ) entre dos números complejos
z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 como
q
d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
(1)
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Definición de R y C
Convergencia en C
Convergencia en C
Definiremos la distancia d(z1 , z2 ) entre dos números complejos
z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 como
q
d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
(1)
Definiremos el ǫ-entorno o ǫ-vecindad de un número complejo z0 a
la “bola” Uǫ (z0 ) definida por
Uǫ (z0 ) = {z ∈ C; |z − z0 | < ǫ}.
Obviamente Uǫ (z0 ) es un cı́rculo del plano complejo de centro z0 y
radio ǫ excluyendo la frontera (o sea, la correspondiente
circunferencia).
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Programa de la Asignatura
Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Entornos en C
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
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1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
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1
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1
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1
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1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
y
replacements
Uǫ (z0 )
ǫ
z0
0
x
Figura: Entornos en C
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Entornos en C
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
y
replacements
Uǫ (z0 )
ǫ
z0
0
x
Figura: Entornos en C
Significado geométrico del lı́mite: dentro de Uǫ (z0 ) del lı́mite z
de la sucesión (zn )n hay infinitos términos de la sucesión ( a partir
de cierto N) y fuera de él sólo hay un número finito de términos (a
lo sumo los N primeros) de la misma.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Convergencia en C
Sea z = x + iy , z0 = x0 + iy0 . Puesto que
máx{|x−x0 |, |y −y0 |} ≤ |z−z0 | ≤ |x−x0 |+|y −y0 |,
|z+z0 | ≤ |z|+|z0 |,
podemos construir la teorı́a de lı́mites en C de la misma forma que
se hace en R. Ası́ pues, tenemos la siguiente definición:
Definición
Diremos una sucesión de números complejos (zn )n tiene lı́mite z, y
lo denotaremos por lı́mn→∞ zn = z, si
∀ǫ > 0a , ǫ ∈ R,
∃N ∈ N; ∀n > N,
|zn − z| < ǫ.
a
En adelante al escribir M > 0 asumiremos que M es un número real, ya que
los complejos no se pueden ordenar.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Convergencia en C
Sea zn = xn + iyn y z = x + iy , entonces
máx{|xn − x|, |yn − y |} ≤ |zn − z| ≤ |xn − x| + |yn − y |
lı́m zn = z
n→∞
⇐⇒
lı́m xn = x,
n→∞
n→∞
y
lı́m yn = y .
n→∞
n→∞
En particular, zn −→ 0 si y sólo si |zn | −→ 0.
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=⇒
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Definición de R y C
Convergencia en C
Convergencia en C
Sea zn = xn + iyn y z = x + iy , entonces
máx{|xn − x|, |yn − y |} ≤ |zn − z| ≤ |xn − x| + |yn − y |
lı́m zn = z
n→∞
⇐⇒
lı́m xn = x,
n→∞
n→∞
y
=⇒
lı́m yn = y .
n→∞
n→∞
En particular, zn −→ 0 si y sólo si |zn | −→ 0.
◮ De lo anterior se deduce que toda sucesión de números
complejos es equivalente a dos sucesiones de números reales
(la de sus partes reales e imaginarias).
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Definición de R y C
Convergencia en C
Convergencia en C
Sea zn = xn + iyn y z = x + iy , entonces
máx{|xn − x|, |yn − y |} ≤ |zn − z| ≤ |xn − x| + |yn − y |
lı́m zn = z
n→∞
⇐⇒
lı́m xn = x,
n→∞
n→∞
y
=⇒
lı́m yn = y .
n→∞
n→∞
En particular, zn −→ 0 si y sólo si |zn | −→ 0.
◮ De lo anterior se deduce que toda sucesión de números
complejos es equivalente a dos sucesiones de números reales
(la de sus partes reales e imaginarias).
◮ Podemos definir las sucesiones de Cauchy, enunciar y probar el
criterio de Cauchy, etc.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Convergencia en C
Sea zn = xn + iyn y z = x + iy , entonces
máx{|xn − x|, |yn − y |} ≤ |zn − z| ≤ |xn − x| + |yn − y |
lı́m zn = z
n→∞
⇐⇒
lı́m xn = x,
n→∞
n→∞
y
=⇒
lı́m yn = y .
n→∞
n→∞
En particular, zn −→ 0 si y sólo si |zn | −→ 0.
◮ De lo anterior se deduce que toda sucesión de números
complejos es equivalente a dos sucesiones de números reales
(la de sus partes reales e imaginarias).
◮ Podemos definir las sucesiones de Cauchy, enunciar y probar el
criterio de Cauchy, etc.
◮ Como C es un cuerpo no ordenado, se pierden todas las
propiedades relacionadas con el orden (supremo, monotonı́a, etc).
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Convergencia en C
Sea zn = xn + iyn y z = x + iy , entonces
máx{|xn − x|, |yn − y |} ≤ |zn − z| ≤ |xn − x| + |yn − y |
lı́m zn = z
n→∞
⇐⇒
lı́m xn = x,
n→∞
n→∞
y
=⇒
lı́m yn = y .
n→∞
n→∞
En particular, zn −→ 0 si y sólo si |zn | −→ 0.
◮ De lo anterior se deduce que toda sucesión de números
complejos es equivalente a dos sucesiones de números reales
(la de sus partes reales e imaginarias).
◮ Podemos definir las sucesiones de Cauchy, enunciar y probar el
criterio de Cauchy, etc.
◮ Como C es un cuerpo no ordenado, se pierden todas las
propiedades relacionadas con el orden (supremo, monotonı́a, etc).
◮Usando lı́mites de sucesiones podemos definir el lı́mite de
funciones, continuidad de funciones, derivabilidad de funciones, etc.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Criterio de Cauchy en C
Definición
Una sucesión (zn )n es de Cauchy (o fundamental) si ∀ǫ > 0
∃N ∈ N tq ∀n, m > N, se cumple |zn − zm | < ǫ. O sea,
zn es de Cauchy ⇐⇒
∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, tal que ∀n > N, y ∀p ∈ N, |zn+p − zn | < ǫ.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Criterio de Cauchy en C
Definición
Una sucesión (zn )n es de Cauchy (o fundamental) si ∀ǫ > 0
∃N ∈ N tq ∀n, m > N, se cumple |zn − zm | < ǫ. O sea,
zn es de Cauchy ⇐⇒
∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, tal que ∀n > N, y ∀p ∈ N, |zn+p − zn | < ǫ.
Teorema (Criterio de Cauchy)
Para que una sucesión de números complejos (zn )n sea de
convergente es necesario y suficiente que sea de Cauchy.
La prueba se basa en la equivalencia entre zn = xn + iyn y las
sucesiones reales (xn )n y (yn )n .
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Criterio de Cauchy en C
Definición
Una sucesión (zn )n es de Cauchy (o fundamental) si ∀ǫ > 0
∃N ∈ N tq ∀n, m > N, se cumple |zn − zm | < ǫ. O sea,
zn es de Cauchy ⇐⇒
∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, tal que ∀n > N, y ∀p ∈ N, |zn+p − zn | < ǫ.
Teorema (Criterio de Cauchy)
Para que una sucesión de números complejos (zn )n sea de
convergente es necesario y suficiente que sea de Cauchy.
La prueba se basa en la equivalencia entre zn = xn + iyn y las
sucesiones reales (xn )n y (yn )n .
Además, está claro que si (zn )n tiene lı́mite, entonces (zn )n es
acotada, pero no al contrario.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Algo de Topologı́a
Definición
Un punto z de un conjunto E ⊂ C es interior si existe un entorno
Uǫ (z) del mismo contenido por completo en E . Un conjunto es
abierto si todos sus puntos son interiores.
Evidentemente todo entorno Uǫ (z) de z es un abierto.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Algo de Topologı́a
Definición
Un punto z de un conjunto E ⊂ C es interior si existe un entorno
Uǫ (z) del mismo contenido por completo en E . Un conjunto es
abierto si todos sus puntos son interiores.
Evidentemente todo entorno Uǫ (z) de z es un abierto.
Definición
Dado un conjunto E ⊂ C diremos que z0 ∈ C es un punto de
acumulación de E si el cualquier entorno Uǫ (z0 ) existe al menos un
punto de E distinto de z0 (y por tanto infinitos).
Por ejemplo, 0 es un punto de acumulación del conjunto
E = {1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . . }, mientras que 10−k , cualquiera sea
k ∈ N no lo es.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Algo de Topologı́a
Teorema
z0 es un punto de acumulación de E si y sólo si existe al menos
una subsucesión de números (zn )n , con zn 6= zn+1 , para todo
n ∈ N, tal que lı́mn→∞ zn = z0 .
Demostración: Ejercicio.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Algo de Topologı́a
Teorema
z0 es un punto de acumulación de E si y sólo si existe al menos
una subsucesión de números (zn )n , con zn 6= zn+1 , para todo
n ∈ N, tal que lı́mn→∞ zn = z0 .
Demostración: Ejercicio.
Definición
Un conjunto E es cerrado si contiene todos sus puntos de
acumulación.
Por ejemplo en conjunto U ǫ (z0 ) =: {z ∈ C; |z − z0 | ≤ ǫ} es un
cerrado.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Algo de Topologı́a
Definición
Un conjunto E es acotado si existe un M > 0 tal que, para todo
z ∈ E , |z| < M.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Algo de Topologı́a
Definición
Un conjunto E es acotado si existe un M > 0 tal que, para todo
z ∈ E , |z| < M.
A partir de Lema del Bolzano-Weierstrass para los conjuntos
acotados de R se sigue el siguiente resultado:
Lema de Bolzano-Weierstrass
Cualquier subconjunto infinito (con un número infinito de
elementos) acotado de C tiene por lo menos un punto de
acumulación.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
El infinito complejo
Sea una sucesión (zn )n tal que, para todo M > 0, existe un N ∈ N,
tal que para todos n > N, |zn | > M.
Evidentemente dicha sucesión no puede ser convergente (no es
acotada, ¿por qué?).
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
El infinito complejo
Sea una sucesión (zn )n tal que, para todo M > 0, existe un N ∈ N,
tal que para todos n > N, |zn | > M.
Evidentemente dicha sucesión no puede ser convergente (no es
acotada, ¿por qué?).
Por analogı́a con el caso real diremos que la sucesión anterior
converge a infinito.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
El ∞ complejo
Para que este ∞ tenga sentido hay que además imponerle ciertas
reglas (de fácil interpretación mediante sucesiones):
1
∀z ∈ C, z + ∞ = ∞,
2
∀z ∈ C, z 6= 0, z · ∞ = ∞,
3
∞ + ∞ = ∞,
4
∞ · ∞ = ∞,
5
∀z ∈ C, z/∞ = 0.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
La esfera de Riemann
1
S : ξ 2 + η 2 + (ζ − 1/2)2 = ,
4
ζ
S
1
0
1
0
N = (0, 0, 1)
1
z ′0
η
1
0
0
y
1
0
ξ
z = (x, y , 0)
x
C
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
La esfera de Riemann
η−0
ζ −0
1
ξ−0
=
=
S : ξ 2 + η 2 + (ζ − 1/2)2 = , Nzz ′ :
4
x −0
y −0
0−1
ζ
S
1
0
0
1
N = (0, 0, 1)
1
z ′0
η
1
0
0
y
1
0
0
1
ξ
z = (x, y , 0)
x
C
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⇒
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Definición de R y C
Convergencia en C
Relación entre S y C
A z ′ = (ξ, η, ζ) ∈ S ⊂ R3 le corresponde un z = (x, y ) ∈ C t.q.
x=
ξ
,
1−ζ
y=
η
,
1−ζ
|z|2 =
ζ
,
1−ζ
y viceversa: a z = (x, y ) ∈ C le corresponde un z ′ = (ξ, η, ζ) ∈ S
t.q.
y
|z|2
x
,
η
=
,
ζ
=
.
ξ=
1 + |z|2
1 + |z|2
1 + |z|2
De ambas expresiones se deduce que si z ′ → N, entonces su
imagen z en C tiende a infinito, por lo que N corresponde al ∞
complejo antes mencionado.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Una propiedad de la proyección estereográfica es que ésta
transforma las circunferencias que no pasen por N en S en
circunferencias en C y las que contengan a N en rectas de C.
Ejercicio
Sea la circunferencia en S definida por
(
Aξ + Bη + C ζ + D = 0,
ξ 2 + η 2 = ζ(1 − ζ)
.
Prueba que su imagen en C es:
(D + C )(x 2 + y 2 ) + Ax + By = −D.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series numéricas
Definición
Dada una sucesión de números complejos (an )n , la expresión
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + ak + · · ·
k=1
se denomina serie infinita o serie y a los números a1 , a2 , ...,
elementos de la serie. Las sumas
Sn =
n
X
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + an ,
k=1
se denominan sumas parciales de la serie.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series numéricas
Definición
Dada una sucesión de números complejos (an )n , la expresión
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + ak + · · ·
k=1
se denomina serie infinita o serie y a los números a1 , a2 , ...,
elementos de la serie. Las sumas
Sn =
n
X
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + an ,
k=1
se denominan sumas parciales de la serie.
P
P∞
P∞
2
n
Ejemplo: ∞
n=1 1/n,
n=1 1/n ,
n=1 (−1) , etc.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series numéricas
Definición
P
Diremos que la serie ∞
k=1 ak converge a S, si la sucesión de
sumas parciales (Sn )n tiene lı́mite finito S y a dicho número le
denominaremos “suma” de la serie. Si por el contrario, la sucesión
de sumas parciales no tiene lı́mite, entonces diremos que la serie
diverge.
Ejemplo importante: la serie geométrica
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P∞
k=1 q
k,
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series numéricas
Definición
P
Diremos que la serie ∞
k=1 ak converge a S, si la sucesión de
sumas parciales (Sn )n tiene lı́mite finito S y a dicho número le
denominaremos “suma” de la serie. Si por el contrario, la sucesión
de sumas parciales no tiene lı́mite, entonces diremos que la serie
diverge.
Ejemplo importante: la serie geométrica
P∞
k=1 q
k,
Teorema (Criterio de Cauchy para las series)
P
La serie ∞
k=1 ak es convergente si y sólo si , para todo ǫ > 0,
existe un N ∈ N, tal que para todos n > N y para todo p ∈ N,
|an+1 + · · · + an+p | < ǫ
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series numéricas
Este teorema tiene dos consecuencias inmediatas: la primera es que
si alteramos un número finito de elementos de la serie, la
convergencia de ésta no se afecta; y la segunda es el siguiente
resultado:
Teorema (Condición necesaria para la convergencia de las series)
P
Si la serie ∞
k=1 ak es convergente, entonces lı́m an = 0.
n→∞
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series numéricas
Este teorema tiene dos consecuencias inmediatas: la primera es que
si alteramos un número finito de elementos de la serie, la
convergencia de ésta no se afecta; y la segunda es el siguiente
resultado:
Teorema (Condición necesaria para la convergencia de las series)
P
Si la serie ∞
k=1 ak es convergente, entonces lı́m an = 0.
n→∞
Ejercicio: Prueba que las siguientes serier son divergentes:
∞
X
n=1
n2
300n + n2
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y
∞
X
1
n=1
n
,
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Definición
P∞
Diremos
P∞que una serie k=1 ak es absolutamente convergente si la
serie k=1 |ak | es convergente.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Definición
P∞
Diremos
P∞que una serie k=1 ak es absolutamente convergente si la
serie k=1 |ak | es convergente.
P
La sucesión (Sn )n de sumas parciales Sn = nk=1 |ak | es una
sucesión monótona, luego si está acotada, entonces existirá el
lı́mite que esPprecisamente la suma de la serie. Por el contrario, si la
sucesión Sn nk=1 |ak | es no acotada, entonces será divergente ⇒
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Definición
P∞
Diremos
P∞que una serie k=1 ak es absolutamente convergente si la
serie k=1 |ak | es convergente.
P
La sucesión (Sn )n de sumas parciales Sn = nk=1 |ak | es una
sucesión monótona, luego si está acotada, entonces existirá el
lı́mite que esPprecisamente la suma de la serie. Por el contrario, si la
sucesión Sn nk=1 |ak | es no acotada, entonces será divergente ⇒
Teorema
P∞
(Weierstrass) Una serie P
k=1 ak es absolutamente convergente si
y sólo si la sucesión Sn = nk=1 |ak | está acotada.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Teorema
Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Demostración: Usar el criterio de Cauchy.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Teorema
Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Demostración: Usar el criterio de Cauchy.
Ejemplo: ¿Cuándo la serie geométrica es abs. conv.?
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Teorema
Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Demostración: Usar el criterio de Cauchy.
Ejemplo: ¿Cuándo la serie geométrica es abs. conv.?
∞
X
q k−1 = 1 + q + q 2 + · · · =
k=1
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1
,
1−q
|q| < 1.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Teorema (Criterio de Comparación de Weierstrass)
P
P∞
Sean ∞
k=1 ak y
k=1 bk dos series de números complejos. Si
existe unPN ∈ N tal que para todo n P
> N, |an | ≤ |bn |, entonces si
∞
∞
la
serie
|b
|
converge,
la
serie
k=1 k
k=1 |ak | < converge, y si
P∞
P∞
k=1 |ak | diverge, entonces
k=1 |bk | diverge.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Teorema (Criterio de Comparación de Weierstrass)
P
P∞
Sean ∞
k=1 ak y
k=1 bk dos series de números complejos. Si
existe unPN ∈ N tal que para todo n P
> N, |an | ≤ |bn |, entonces si
∞
∞
la
serie
|b
|
converge,
la
serie
k=1 k
k=1 |ak | < converge, y si
P∞
P∞
k=1 |ak | diverge, entonces
k=1 |bk | diverge.
Ejercicio:
Prueba,
calculando el lı́mite de sus sumas parciales, que la serie
P∞
1
n=1 n(n+1) converge. Usando lo anterior y el criterio de
P
1
comparación deduce la convergencia de la serie ∞
n=1 n2 .
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Teorema (Criterio de comparación por paso al lı́mite)
|an |
Sean las sucesiones (an )n y (bn )n tales que lı́mn→∞ |b
= q > 0.
n|
P∞
P∞
Entonces, k=1 |ak | converge si y sólo si k=1 |bk | converge.
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Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Teorema (Criterio de comparación por paso al lı́mite)
|an |
Sean las sucesiones (an )n y (bn )n tales que lı́mn→∞ |b
= q > 0.
n|
P∞
P∞
Entonces, k=1 |ak | converge si y sólo si k=1 |bk | converge.
Ejercicio:
Estudiar las series
X
∞
∞
∞
X
1
1 X 2 1
sin
,
log
1
+
y
.
n2
n
n
n=1
n=1
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n=1
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Teorema (Criterio del cociente de D’Alembert)
P
Sea ∞
k=1 ak tq lı́mn→∞ |an+1 |/|an | = q. Entonces,
P∞
1 Si q < 1, la serie
ak es absolutamente convergente
Pk=1
∞
2 Si q > 1, la serie
|ak | es divergente.
Pk=1
∞
3 Si q = 1, la serie
k=1 |ak | converge o diverge.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Teorema (Criterio del cociente de D’Alembert)
P
Sea ∞
k=1 ak tq lı́mn→∞ |an+1 |/|an | = q. Entonces,
P∞
1 Si q < 1, la serie
ak es absolutamente convergente
Pk=1
∞
2 Si q > 1, la serie
|ak | es divergente.
Pk=1
∞
3 Si q = 1, la serie
k=1 |ak | converge o diverge.
Teorema (Criterio de la raı́z de Cauchy)
p
P
n
Sea ∞
|an | = q. Entonces,
k=1 ak tq lı́mn→∞
P∞
1 Si q < 1, la serie
ak es convergente
Pk=1
∞
2 Si q > 1, la serie
ak es divergente.
Pk=1
∞
3 Si q = 1, la serie
k=1 ak converge o diverge.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Ejemplos:
∞
X
2k
k=1
n2
,
∞
X
xk
k=1
n2
,
∞
X
xn
k=1
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n!
,
∞
X
2 + (−1)k
k=1
2k
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Ejemplos:
∞
X
2k
k=1
n2
,
∞
X
xk
k=1
n2
,
∞
X
xn
k=1
n!
,
∞
X
2 + (−1)k
k=1
Series no absolutamente convergentes: Ejemplo
2k
∞
X
(−1)k /k.
k=1
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series absolutamente convergentes
Ejemplos:
∞
X
2k
k=1
n2
,
∞
X
xk
k=1
n2
,
∞
X
xn
k=1
n!
,
∞
X
2 + (−1)k
k=1
Series no absolutamente convergentes: Ejemplo
2k
∞
X
(−1)k /k.
k=1
Teorema
∞
∞
X
X
Si
ak es absolutamente convergente, entonces la serie
ak′
k=1
k=1
también es absolutamente convergente y su suma coincide con la
de la serie original.
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La serie
P∞
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Los conjuntos númericos R y C
(−1)n+1
n=1
Definición de R y C
Convergencia en C
n
Esta serie es convergente pero no absolutamente.
log(1 + x) =
n
X
(−1)k+1
k=1
k
xk +
(−1)n x k+1
,
1+ξ k +1
tenemos que
n
k+1
X
(−1)
1
xk ≤
→ 0,
log 2 −
n+1
k
con
si
ξ ∈ (0, x),
n → ∞,
k=1
es decir que
∞
X
(−1)n+1
n=1
n
1 1 1 1 1
1
1
= 1− + − + − +· · ·+
− +· · · = log 2 6= 0.
2 3 4 5 6
2k − 1 2k
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La serie
P∞
n=1
Programa de la Asignatura
Los conjuntos númericos R y C
(−1)n+1
Definición de R y C
Convergencia en C
n
Reordenemos la serie
S=
1−
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
+
+
+
+· · ·+
+· · ·
2
3
4
5
6
7
8
2k − 1
2k
de la siguiente forma:
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La serie
P∞
n=1
Programa de la Asignatura
Los conjuntos númericos R y C
(−1)n+1
Definición de R y C
Convergencia en C
n
Reordenemos la serie
S=
1−
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
+
+
+
+· · ·+
+· · ·
2
3
4
5
6
7
8
2k − 1
2k
de la siguiente forma:
1
1
1
1
1
1
1
1
− −
−
−
S′ = 1 − −
+
+ ··· +
+ ···
2
4
3
6
8
2k − 1
4k − 2
4k
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La serie
P∞
n=1
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(−1)n+1
Definición de R y C
Convergencia en C
n
Reordenemos la serie
S=
1−
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
+
+
+
+· · ·+
+· · ·
2
3
4
5
6
7
8
2k − 1
2k
de la siguiente forma:
1
1
1
1
1
1
1
1
− −
−
−
S′ = 1 − −
+
+ ··· +
+ ···
2
4
3
6
8
2k − 1
4k − 2
4k
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
+
+
+ ··· +
+ ···
=
2
4
6
8
10
12
4k − 2
4k
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La serie
P∞
n=1
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(−1)n+1
Definición de R y C
Convergencia en C
n
Reordenemos la serie
S=
1−
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
+
+
+
+· · ·+
+· · ·
2
3
4
5
6
7
8
2k − 1
2k
de la siguiente forma:
1
1
1
1
1
1
1
1
− −
−
−
S′ = 1 − −
+
+ ··· +
+ ···
2
4
3
6
8
2k − 1
4k − 2
4k
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
+
+
+ ··· +
+ ···
=
2
4
6
8
10
12
4k − 2
4k
1
1
1
log 2
1
1
1
1
1
S
−
−
−
,
=
1−
+
+
+ ··· +
+··· = =
2
2
3
4
5
6
2k − 1
2k
2
2
es decir nuestra reordenación cambia el valor de la serie!
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series condicionalmente convergentes
Definición
Diremos
que una serie es condicionalmente
convergente si la serie
P∞
P∞
k=1 ak converge pero la serie
k=1 |ak | diverge.
Teorema (Teorema de reordenación de Riemann)
Toda serie condicionalmente convergente se puede reordenar de tal
forma que sume cualquier valor real prefijado de antemano.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Definición
Dada una sucesión de números complejos (an )n y z0 ∈ C
definiremos serie
∞
X
an (z − z0 )n ,
z ∈ C,
(2)
n=0
que denominaremos serie de potencias.
Como casos especiales de las series de potencias tenemos:
∞
X
k=0
zk,
∞
X
zk
k=0
k!
,
∞
X
zk
k=1
k
,
etc. Si la serie converge ∀z ∈ A ⊂ C, entonces podemos definir la
función suma f (z) de la serie en A.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Teorema (Primer Teorema de Abel para las series de potencias)
P
n
Sea la serie de potencias ∞
n=0 an z , an , z ∈ C. Si la serie
converge para cierto w ∈ C, entonces la serie converge
absolutamente para todo z ∈ C con |z| < |w |.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Teorema (Primer Teorema de Abel para las series de potencias)
P
n
Sea la serie de potencias ∞
n=0 an z , an , z ∈ C. Si la serie
converge para cierto w ∈ C, entonces la serie converge
absolutamente para todo z ∈ C con |z| < |w |.
Corolario
P
n
Si ∞
n=0 an z diverge para algún número complejo w , entonces
diverge para todo z con |z| > |w |.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Teorema (Primer Teorema de Abel para las series de potencias)
P
n
Sea la serie de potencias ∞
n=0 an z , an , z ∈ C. Si la serie
converge para cierto w ∈ C, entonces la serie converge
absolutamente para todo z ∈ C con |z| < |w |.
Corolario
P
n
Si ∞
n=0 an z diverge para algún número complejo w , entonces
diverge para todo z con |z| > |w |.
El teorema de Abel nos asegura la existencia de regiones (cı́rculos)
de convergencia y divergencia, de una serie de potencias en C. De
hecho podemos afirmar que dada una serie de potencias cualquiera
siempre existe un número no negativo R ≥ 0 ó R = +∞ tal que
para todo z con |z| < R la serie converge y si |z| > R la serie
diverge.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Definición
El número R ≥ 0 anterior se denomina radio de convergencia de
una serie de potencias.
ℑz
ℑz
|z − z0 | < |w − z0 |
w
|z| < |w |
R
z0
w
0
R
0
ℜz
Figura: Región de convergencia de
∞
X
n=0
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ℜz
an z n (izq.) y
∞
X
an (z − z0 )n (der.)
n=0
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Teorema (Segundo Teorema de Abel para las series de potencias)
P
n
Toda serie de potencias ∞
n=0 an z , an , z ∈ C, tiene radio de
convergencia R ≥ 0 ó R = +∞ . Además, la serie converge
absolutamente para todo z tal que |z| < R.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Teorema (Segundo Teorema de Abel para las series de potencias)
P
n
Toda serie de potencias ∞
n=0 an z , an , z ∈ C, tiene radio de
convergencia R ≥ 0 ó R = +∞ . Además, la serie converge
absolutamente para todo z tal que |z| < R.
Del teorema
Panterior nse sigue que la mayor región de convergencia
de la serie ∞
n=0 an z es el disco UR (0).
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Teorema (Segundo Teorema de Abel para las series de potencias)
P
n
Toda serie de potencias ∞
n=0 an z , an , z ∈ C, tiene radio de
convergencia R ≥ 0 ó R = +∞ . Además, la serie converge
absolutamente para todo z tal que |z| < R.
Del teorema
Panterior nse sigue que la mayor región de convergencia
de la serie ∞
n=0 an z es el disco UR (0).
Ejercicio:
Estudiar la convergencia de
∞
X
n=0
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z n,
∞
X
n=0
n!z n ,
∞
X
zn
n=0
n!
y
∞
X
zn
n=1
n
Métodos Matemáticos: Análisis Funcional
.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Teorema (Fórmula de Cauchy-Hadamard)
P
n
Dada una serie de potencias ∞
n=0 an z , su radio de convergencia
1
p
R viene dado por la fórmula R =
.
n
lı́m |an |
n
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Teorema (Fórmula de Cauchy-Hadamard)
P
n
Dada una serie de potencias ∞
n=0 an z , su radio de convergencia
1
p
R viene dado por la fórmula R =
.
n
lı́m |an |
n
Consecuencias: ◮ Si ∃ lı́mn→∞
p
n
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|an | ⇒, R = 1/ lı́mn→∞
p
n
|an |,
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Teorema (Fórmula de Cauchy-Hadamard)
P
n
Dada una serie de potencias ∞
n=0 an z , su radio de convergencia
1
p
R viene dado por la fórmula R =
.
n
lı́m |an |
n
Consecuencias: ◮ Si ∃ lı́mn→∞
◮ ∃ lı́mn→∞
|an |
|an+1 |
p
n
|an | ⇒, R = 1/ lı́mn→∞
⇒, por de D’Alembert R = lı́mn→∞
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p
n
|an |,
|an |
|an+1 | .
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Convergencia en C
Series de potencias
Teorema (Fórmula de Cauchy-Hadamard)
P
n
Dada una serie de potencias ∞
n=0 an z , su radio de convergencia
1
p
R viene dado por la fórmula R =
.
n
lı́m |an |
n
Consecuencias: ◮ Si ∃ lı́mn→∞
◮ ∃ lı́mn→∞
|an |
|an+1 |
p
n
|an | ⇒, R = 1/ lı́mn→∞
⇒, por de D’Alembert R = lı́mn→∞
p
n
|an |,
|an |
|an+1 | .
Ejercicio:
Estudiar la convergencia de
∞
X
n=0
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z n,
∞
X
n=0
n!z n ,
∞
X
zn
n=0
n!
y
∞
X
zn
n=1
n
Métodos Matemáticos: Análisis Funcional
.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Teorema
Sea la serie f (z) =
∞
X
an zn con R > 0. Entonces
n=0
1
2
3
P
n−k ,
Para todo k ≥ 1 la serie ∞
n=0 n(n − 1) · · · (n − k + 1)an z
tiene radio de convergencia R.
La función f (z) es infinitamente diferenciable en UR (0) y su
k-ésima derivada f (k) (z), viene dada por la serie anterior.
Para todo n ≥ 0, an = f (n) (0)/n!.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Teorema
Sea la serie f (z) =
∞
X
an zn con R > 0. Entonces
n=0
1
2
3
P
n−k ,
Para todo k ≥ 1 la serie ∞
n=0 n(n − 1) · · · (n − k + 1)an z
tiene radio de convergencia R.
La función f (z) es infinitamente diferenciable en UR (0) y su
k-ésima derivada f (k) (z), viene dada por la serie anterior.
Para todo n ≥ 0, an = f (n) (0)/n!.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
f (z) =
∞
X
n=0
n
an z , Sn (z) =
n
X
k
ak z , Rn (z) =
k=0
∞
X
k
ak z , g (z) =
k=n+1
∞
X
kak z k ,
k=1
f (z) − f (z0 )
− g (z0 ) =
y escojamos z0 t.q. |z0 | < r < R. ⇒
z − z0
Sn (z) − Sn (z0 )
Rn (z) − Rn (z0 )
′
′
− Sn (z0 ) + [Sn (z0 ) − g (z0 )] +
.
z − z0
z − z0
∞
X
z k − z0k
Rn (z) − Rn (z0 )
ak
=
, como
Calculemos
z − z0
z − z0
k=n+1
k
z − z0k k−1
+ z k−2 z0 + z k−3 z02 + · · · + z0k | ≤ kr k−1 ⇒
z − z0 = |z
∞
X
Rn (z) − Rn (z0 ) ǫ
≤
|ak |kr k−1 ≤ ,
z − z0
3
k=n+1
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias
Teorema
Sea la serie f (z) =
∞
X
an zn con R > 0. Entonces
n=0
1
2
3
P
n−k ,
Para todo k ≥ 1 la serie ∞
n=0 n(n − 1) · · · (n − k + 1)an z
tiene radio de convergencia R.
La función f (z) es infinitamente diferenciable en UR (0) y su
k-ésima derivada f (k) (z), viene dada por la serie anterior.
Para todo n ≥ 0, an = f (n) (0)/n!.
Consecuencia: si f (z) admite una serie de potencias, f (z) es
infinitamente diferenciable en UR (0), y cada una de las funciones
f (k) (z), k = 0, 1, 2, . . . , es continua en UR (0). Del 3o apartado se
tiene además que la serie de potencias de una función dada
coincide con la correspondiente serie de Taylor.
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias en R
En R se dice que una función f (x) es analı́tica en cierto Uǫ (x0 )
f (x) se puede escribir como una serie de potencias
f (x) =
∞
X
an (x − x0 )n ,
con R > 0.
n=0
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Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias en R
En R se dice que una función f (x) es analı́tica en cierto Uǫ (x0 )
f (x) se puede escribir como una serie de potencias
f (x) =
∞
X
an (x − x0 )n ,
con R > 0.
n=0
Como vimos toda serie de potencias (reales o complejas) es
infinitamente diferenciable. ¿Será cierto el recı́proco? ¿Toda
función CA∞ será analı́tica en algún entorno de x0 ∈ A?
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Convergencia en C
Series de potencias en R
En R se dice que una función f (x) es analı́tica en cierto Uǫ (x0 )
f (x) se puede escribir como una serie de potencias
f (x) =
∞
X
an (x − x0 )n ,
con R > 0.
n=0
Como vimos toda serie de potencias (reales o complejas) es
infinitamente diferenciable. ¿Será cierto el recı́proco? ¿Toda
función CA∞ será analı́tica en algún entorno de x0 ∈ A?
La respuesta a esta pregunta la dio Cauchy, en 1821: Sea la función
(
2
e −1/x , x 6= 0,
fC (x) =
0,
x = 0.
f es ∞-veces derivable en x = 0 y f (k) (0) = 0 ∀k ∈ N ⇒ su serie
de Taylor en x = 0 es 0 i.e., f (x) no admite una serie de potencias
en 0 (o equiv. R = 0), i.e., fC no es analı́tica en x0 = 0.
Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Métodos Matemáticos: Análisis Funcional
Programa de la Asignatura
Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Series de potencias en C
Teorema (Condición necesaria y suficiente de analiticidad de una
función real)
Para que una función f (x) infinitamente derivable en todo un
entorno de x = x0 sea analı́tica es necesario y suficiente que el
P
(k)
resto de Taylor de la función Rn (x) = f (x) − nk=0 f k!(a) (x − x0 )k ,
tienda a cero para todo x de dicho entorno.
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Definición de R y C
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Series de potencias en C
Teorema (Condición necesaria y suficiente de analiticidad de una
función real)
Para que una función f (x) infinitamente derivable en todo un
entorno de x = x0 sea analı́tica es necesario y suficiente que el
P
(k)
resto de Taylor de la función Rn (x) = f (x) − nk=0 f k!(a) (x − x0 )k ,
tienda a cero para todo x de dicho entorno.
El caso complejo es mucho más sencillo. De hecho se tiene el
siguiente sorprendente resultado
Teorema (Goursat)
Sea Ω ⊂ C una región (abierto y conexo) y sea f : Ω 7→ C una
función diferenciable (holomorfa). Entonces, para cada punto
z0 ∈ Ω, P
f (z) admite una serie de potencias
n
f (z) = ∞
n=0 an (z − z0 ) con radio de convergencia R > 0.
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Aprendiendo algo más
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Los conjuntos númericos R y C
Definición de R y C
Convergencia en C
Aprendiendo algo más
Consultar los apuntes del curso para profundizar el:
1
Funciones de variable compleja
2
Funciones “elementales” de variable compleja
3
Funciones holomorfas o analı́ticas: Condición de Cauchy
Rieamann.
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1
Funciones de variable compleja
2
Funciones “elementales” de variable compleja
3
Funciones holomorfas o analı́ticas: Condición de Cauchy
Rieamann.
Bibliografı́a
◮ J.E. Marsden y M.J. Hoffman. Basic Complex Analysis. W. H.
Freeman & Co. 1987.
◮ D. Zill y P. Shanahan. A first course in complex analysis with
applications. Jones and Bartlett Publishers, 2003.
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Métodos Matemáticos: Análisis Funcional