Diagramas de frecuencias relativas

LECCIÓN
CONDENSADA
10.1
Diagramas de frecuencias relativas
En esta lección
●
●
●
crearás diagramas de círculo
calcularás frecuencias relativas
crearás diagramas de barras de frecuencias relativas y diagramas de círculo
de frecuencias relativas
Tanto los diagramas de barras como los diagramas de círculo resumen los datos
agrupados en categorías. Los diagramas de frecuencias relativas muestran el
porcentaje del valor total que cada categoría representa. En esta lección verás
cómo hacer diagramas de círculo de frecuencias relativas y diagramas de barras de
frecuencias relativas.
Investigación: Diagramas de círculo y diagramas de barras
El diagrama de barras de la página 550 de tu libro muestra
el área superficial de cada uno de los siete continentes.
Puedes usar el diagrama para aproximar el área de cada
continente y el área total.
Para convertir los datos en un diagrama de círculo, necesitas
estimar la medida del ángulo de cada sección de la gráfica.
Para hacerlo, usa el hecho de que hay 360 grados
en un círculo.
Por ejemplo, para hallar el número de grados en la sección
que representa a Australia, resuelve esta proporción usando
los datos de la tabla a la derecha.
Superficie de
Australia
Medida del ángulo para
la sección de Australia
Superficie
Continente
millones de km2
Australia
7
Europa
9
Antártida
14
América
del Sur
18
América
del Norte
24
África
30
Asia
45
Total
147
7
x
___
___
147 360
Superficie total de
todos los continentes
Total de medidas de ángulo
para todas las secciones
Esta tabla muestra la medida de ángulo para cada sección:
Continente
Medida de ángulo
Australia
17°
Europa
22°
Antártida
34°
América del Sur
44°
América del Norte
59°
África
73°
Asia
110°
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(continúa)
CHAPTER 2
135
Lección 10.1 • Diagramas de frecuencias relativas (continuación)
Abajo a la izquierda tenemos el diagrama terminado. Para cambiar el diagrama a
un diagrama de círculo de frecuencias relativas, rotula cada sección con el
porcentaje del área total del continente. Puedes calcular los porcentajes
escribiendo y resolviendo proporciones. Por ejemplo, para encontrar el porcentaje
7
a
del área total de Australia, puedes resolver la proporción 147 100 . Abajo a la
derecha tenemos el mismo diagrama de círculo en el que las secciones se
rotularon con porcentajes.
Superficies Continentales
(millones de km2)
Antártida
América
del Sur
Antártida
América
del Sur
12%
18
América
del Norte
Superficies Continentales
14
9
24
América
del Norte
Europa
7
10%
6%
16%
5%
Europa
Australia
Australia
20%
31%
30
45
África
En ambos diagramas de círculo, el tamaño
relativo de cada sección indica la porción del
área total de cada continente.
Superficies Continentales
Australia
Europa
Antártida
Continente
Una gráfica de barras de frecuencias relativas
para estos datos muestra los porcentajes de la
superficie total, en vez del área misma de la
tierra. A la derecha está el diagrama completo
de barras de frecuencias relativas.
Asia
África
Asia
Observa que, al igual que las gráficas de caja,
las gráficas de frecuencias relativas no muestran
los valores reales de los datos. Por ejemplo,
ambos diagramas de frecuencias relativas
muestran que Asia constituye 31% de la
superficie total de los continentes, pero ninguno
de los diagramas indica cuál es la superficie de Asia.
América del Sur
América del Norte
África
Asia
0
5
10
15
20
Porcentaje
25
30
35
El Ejemplo A en tu libro te muestra los pasos para crear un diagrama de círculo
de frecuencias relativas y un diagrama de barras de frecuencias relativas para un
conjunto diferente de datos. En el ejemplo se utiliza una calculadora para calcular
las medidas de ángulo de los diagramas de círculo y para calcular frecuencias
relativas. Lee el ejemplo y síguelo en tu calculadora.
El Ejemplo B muestra cómo usar los porcentajes para hallar la posibilidad de que
ocurra un evento aleatorio. Lee este ejemplo atentamente.
136
CHAPTER 10
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LECCIÓN
Resultados e intentos
probabilísticos
CONDENSADA
10.2
En esta lección
●
●
●
calcularás las probabilidades experimentales o frecuencias relativas
de los eventos
calcularás las probabilidades teóricas de los eventos
compararás las probabilidades experimentales con las probabilidades teóricas
La probabilidad de un evento o resultado es un número entre 0 y 1 (o entre 0%
y 100%) que expresa la posibilidad de que tal evento suceda. Puedes encontrar
una probabilidad calculando la razón del número de maneras en que el evento
puede ocurrir al número total de maneras que se consideran. Por ejemplo,
la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es 12 porque una de los
dos resultados posibles es cara.
EJEMPLO
Joe trabaja en una estación de ferrocarril vendiendo café y jugo de naranja a los
usuarios. El martes pasado vendió 60 cafés grandes, 25 cafés chicos, 45 jugos
grandes, y 20 jugos pequeños. Si esta distribución refleja con precisión la
preferencia de sus clientes, ¿cuál es la probabilidad de que su primer cliente del
siguiente martes compre un jugo de naranja grande? ¿Un café? ¿Un té?
Solución
La probabilidad de que el cliente compre un jugo de naranja grande puede
expresarse como la razón
número de clientes que compraron un jugo de naranja grande
5
4
número total de clientes
150 0.3
La probabilidad de que el cliente compre café es
número de clientes que compraron café
85
60 25
número total de clientes
150 150 0.57
Ninguno de los clientes compró té, pues no estaba dentro de las opciones.
Por eso, la probabilidad de que el primer cliente compre té es
número de clientes que compraron té
0 0
número total de clientes
150
Lee ahora el ejemplo en tu libro y el texto que sigue, que explica los términos
intento, probabilidad experimental, y probabilidad teórica. Piensa en cómo se
aplica cada uno de estos términos al ejemplo anterior.
Investigación: Colores dulces
Esta investigación implica el hallar las probabilidades de seleccionar diferentes
colores de una bolsa de dulces. Al llevar a cabo un experimento, puedes encontrar
las probabilidades experimentales, o frecuencias relativas. Al contar el número de
dulces de cada color, puedes encontrar las probabilidades teóricas.
Para llevar a cabo el experimento, escoges al azar un dulce de la
bolsa, registras el color y regresas el dulce a la bolsa. Repite el proceso 40 veces.
Pasos 1–2
(continúa)
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CHAPTER 10
137
Lección 10.2 • Resultados e intentos probabilísticos (continuación)
El número total de veces que es seleccionado cada color se conoce como la
frecuencia experimental del color.
A partir de las frecuencias experimentales y el número total de intentos (40),
puedes calcular la probabilidad experimental o frecuencia relativa de cada color.
Por ejemplo, la probabilidad experimental de escoger un dulce rojo será
número total de dulces rojos escogidos
número total de intentos
Aquí se presentan los datos y las probabilidades experimentales que encontró un grupo.
Resultados experimentales
Rojo
Naranja
Café
Verde
Amarillo
Azul
Total
40
Cuenta
Frecuencia
experimental
Probabilidad experimental
(frecuencia relativa)
3
13
8
5
10
1
43
0 7.5%
3
14
0 32.5%
48
0 20%
45
0 12.5%
0
14
0 25%
40
41
0 2.5% 100%
Debido a que la tabla toma en cuenta cada color posible, las probabilidades
totales suman 1, ó 100%.
El grupo que reunió los datos anteriores vació la bolsa y contó los
dulces de cada color. Después calculó la probabilidad teórica de escoger cada
color. Por ejemplo,
Pasos 3–6
número de dulces rojos en la bolsa
P(rojo) número total de dulces en la bolsa
Aquí están sus resultados.
Resultados
Número de
dulces
Probabilidad
Probabilidad
teórica
teórica
Rojo
Naranja
Café
Verde
Amarillo
Azul
Total
2
14
14
10
12
4
56
2
2 3.6%
5566 3.6%
144
1
25%
25%
5566 144
1
25%
25%
5566 100
1
17.9%
17.9%
5566 122
1
21.4%
21.4%
5566 4
4 7.1%
5566 7.1%
100%
100%
En esta situación, cada dulce tiene igual posibilidad de ser escogido que los otros,
pero algunos colores tienen una probabilidad más alta de ser escogidos. En los
datos se muestra que hay más posibilidad de escoger el naranja y el café, y que el
rojo es el menos posible. Observa que las probabilidades teóricas, al igual que las
frecuencias relativas, suman 100%.
Compara las probabilidades teórica y experimental. Por ejemplo, las probabilidades
experimentales predicen que el naranja será elegido aproximadamente 1 de cada
3 veces. La probabilidad teórica predice que el naranja será escogido 1 de cada
4 veces. En general, cuantos más intentos lleves a cabo, más cerca estarán las
probabilidades experimentales de la probabilidad teórica.
138
CHAPTER 10
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LECCIÓN
CONDENSADA
10.3
Resultados aleatorios
En esta lección
●
●
●
calcularás las probabilidades experimentales de un proceso aleatorio
usarás una calculadora para simular lanzamientos de monedas
harás un diagrama en el que se comparan las probabilidades experimentales
con la probabilidad teórica de lanzar una moneda y obtener cara
Un proceso es aleatorio (random) si no puedes predecir exactamente qué
sucederá en el siguiente intento. Lee el texto introductorio y el ejemplo en tu
libro. En el ejemplo se muestra que en ocasiones, incluso si no puedes predecir
los resultados exactos de una situación, puedes usar los resultados recolectados
para predecir qué pasará a largo plazo. Aquí tienes otro ejemplo.
EJEMPLO
Una tarde, Johanna registró el número de autos y camiones que pasaban enfrente
de su ventana durante un período de una hora. (Consideró como camiones las
minivans y los SUV.) Contó 72 autos y 40 camiones. Usa estos resultados para
predecir aproximadamente cuántos de los siguientes 100 vehículos que pasan por
la ventana serán camiones.
Solución
La probabilidad experimental de que un vehículo que pase sea un camión es
número de camiones
0
4
número total de vehículos
112 0.36 36%
Johnna puede calcular la probabilidad de que el siguiente vehículo sea un camión,
pero no puede saberlo con seguridad. Desde la perspectiva de Johnna el evento es
aleatorio. Como la probabilidad observada es 36%, Johnna puede esperar que
36 de los siguientes 100 vehículos que pasen por su ventana sean camiones.
Cuando lanzas una moneda una sola vez, no puedes predecir si saldrá cara o cruz
porque el resultado es aleatorio. Sabes, sin embargo, que hay dos resultados
igualmente probables: cara o cruz. Por tanto, la probabilidad teórica de obtener
cara es 12.
Investigación: Lanzamiento de monedas en calculadora
En esta investigación usarás tu calculadora para simular 100 lanzamientos de una
moneda. Después crearás una gráfica de dispersión para comparar la probabilidad
teórica con la experimental de obtener cara para 100 intentos.
Lee y sigue los Pasos 1–4 de tu libro. Estos pasos te guían para que
puedas generar 100 lanzamientos de una moneda. Cuando termines, la tabla de tu
calculadora mostrará esta información.
Pasos 1–4
●
●
La lista L1 mostrará el número de intento.
La lista L2 mostrará el resultado de cada lanzamiento, en ésta 0 representa cruz
y 1 representa cara. Por ejemplo, en la tabla de tu libro se muestra que el
resultado del intento 1 fue cruz y el resultado del intento 2 fue cara.
(continúa)
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CHAPTER 10
139
Lección 10.3 • Resultados aleatorios (continuación)
●
●
La lista L3 mostrará el número de caras obtenidas hasta ese momento. En el
ejemplo de tu libro, se obtuvieron tres caras en los primeros siete intentos.
La lista L4 mostrará la probabilidad experimental, calculada después de cada
intento. En el ejemplo de tu libro, se obtuvieron tres caras en los primeros siete
intentos, de modo que la probabilidad experimental después de siete intentos es
3
ó aproximadamente 0.43.
7
Pasos 5–8 Puedes hacer una gráfica de dispersión en la que se muestre la
probabilidad experimental después de cada intento. Usa los valores de la lista L1
(el número de intentos) como los valores x y los valores de la lista L4 (las
probabilidades experimentales) como los valores de y. Puesto que hay 100
intentos, debes configurar la ventana para que muestre valores de x desde 0 hasta
100. Como el valor más alto de probabilidad es 1, especifica el valor máximo de y
como 1. Tu gráfica debe verse parecida a esto.
[0, 100, 10, 0, 1, 1]
Introduce 12, la probabilidad teórica de obtener cara, en Y1 de la pantalla Y.
Esto grafica la recta y 12 en la misma pantalla que tu gráfica de dispersión.
Al observar la cercanía de los puntos a la recta, puedes comparar las
probabilidades experimentales con la probabilidad teórica. Observa que a medida
que aumenta el número de intentos, los puntos se acercan más a la recta; esto es,
las probabilidades experimentales se acercan cada vez más a la probabilidad
teórica. Agrega los datos de 100 intentos más a tu tabla y haz otra gráfica de
dispersión. Debes observar que los puntos se acercan aún más a la recta.
Cuantas más veces lances una moneda, más cerca de 12 estará la probabilidad
experimental de obtener cara. Sin embargo, incluso si emergiera un patrón a largo
plazo, no te sería de ayuda para predecir un resultado específico. Cuando lanzas
una moneda, conoces la probabilidad teórica de obtener cara o cruz. En algunas
situaciones, no puedes calcular probabilidades teóricas. En tales casos, puedes
llevar a cabo muchos intentos y determinar las probabilidades experimentales
basándote en tus resultados.
140
CHAPTER 10
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LECCIÓN
CONDENSADA
10.4
Técnicas de conteo
En esta lección
usarás diagramas de árbol para ayudarte a calcular las probabilidades
● aprenderás el principio de conteo para determinar los números de
posibilidades
● aprenderás acerca de tipos especiales de disposiciones llamadas
permutaciones y combinaciones
Has aprendido que la probabilidad de un resultado es la razón entre el número de
resultados deseados y el número total de resultados posibles. A veces hay muchos
resultados posibles, y contarlos es difícil. Una manera de contar los resultados es
usar un diagrama de árbol para ayudar a organizar la información.
●
Investigación: ¡Premios!
Pasos 1–3 Si se entrega un premio a un grupo de cuatros personas, hay cuatro
posibles ganadores del premio: A, B, C, o D.
Si hay dos premios, un disco compacto y una entrada para el cine, que se otorgan
a un grupo de cuatro personas, el diagrama de árbol es útil para organizar los
resultados posibles. El primer grupo de ramas muestra quién puede ganar el disco
compacto, y para cada una de esas ramas el próximo grupo muestra quién puede
ganar la entrada para el cine.
CD
Entrada
A
B
C
D
B
A
C
D
C
A
B
D
D
A
B
C
Al leer a través de las ramas, puedes ver que hay 12 grupos posibles de dos
ganadores: AB, AC, AD, BA, BC, y así sucesivamente.
Si se reparten tres premios distintos a un grupo de cuatro personas, hay 24
resultados posibles: ABC, ABD, ACB, y así sucesivamente. No necesitas dibujar el
diagrama de árbol completo; necesitas dibujar sólo lo suficiente para ver cómo
funciona.
(continúa)
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CHAPTER 10
141
Lección 10.4 • Técnicas de conteo (continuación)
Para un premio otorgado a cuatro personas, hay cuatro
resultados posibles. Para dos premios otorgados a cuatro personas, hay
(4 opciones) (3 opciones) 12 resultados posibles. Para tres premios otorgados
a cuatro personas, hay (4 opciones) (3 opciones) (2 opciones) 24
posibilidades. Siguiendo este patrón, si cinco estudiantes se presentan a una
prueba de selección para tres papeles, hay 5 4 3 60 disposiciones de reparto.
Pasos 4–5
CD
Entrada
A
B
C
D
Comida
C
D
B
C
D
El Ejemplo A muestra el mismo tipo de situación que se presentó en la
investigación -una disposición en la cual el orden es importante y no se permiten
las repeticiones. (Es decir, la misma persona no puede ganar dos premios
distintos.) Estas disposiciones se llaman permutaciones. El Ejemplo C muestra
una situación diferente, llamada una combinación, en la cual el orden no es
importante pero tampoco se aceptan las repeticiones. Lee los ejemplos y el texto y
asegúrate de entender cuándo es importante el orden.
El Ejemplo B muestra una disposición que no es ni una permutación ni una
combinación porque se permiten las repeticiones. El principio de conteo, descrito
en la página 572, se puede usar para encontrar los números de disposiciones en
todos estos ejemplos.
142
CHAPTER 10
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LECCIÓN
CONDENSADA
10.5
Experimentos de múltiples etapas
En esta lección
aprenderás la regla de multiplicación para calcular probabilidades
más complicadas
● estudiarás probabilidades independientes y condicionales (o dependientes)
La investigación demuestra cómo calcular las probabilidades a lo largo de las
ramas de un diagrama de árbol.
●
Investigación: Pinball Pupils
Lee la investigación en el libro. Una clase de 30 alumnos realizan
los Pasos 1–3 cuatro veces y obtienen estos resultados.
Pasos 1–5
Totales Experimentales
1er Lanzamiento
16
SyE
42
26
SyO
78
15
RyU
41
RyP
22
RyC
S
Total Inicial
2do Lanzamiento
120
R
La suma de los números en las cinco puntas es 16 26 15 41 22 120.
Esto tiene sentido porque 30 alumnos hicieron la simulación cuatro veces, un
equivalente a 120 resultados.
De 120 alumnos, 42 fueron a “Cuadrado”, entonces
42
78
0.35. De manera similar, P(R) 0.65. Observa que
P(S) 120
120
0.35 0.65 1.
Pasos 6–11
De 42 estudiantes en S, 16 fueron a E, entonces P(E) 1462 0.38. De manera
similar, P(O) 2462 ≈ 0.62. Usando los 78 alumnos en R, puedes calcular
P(U) 1758 0.19, P(P) 4718 0.56, y P(C) 2728 0.28. (Observación: Estas
probabilidades suman 0.99 en vez de 1 debido al error de redondeo.)
P(S y E) indica la probabilidad de que un alumno vaya a S y luego a E. Hay 16 de
16
estos alumnos, de los 120 alumnos en total. Por lo tanto P(S y E) 120 0.13.
Calcula cada unas de las probabilidades restantes, y comprueba que obtienes 0.22,
0.13, 0.34, y 0.18.
Comprueba que P(S)
uno de los caminos.
P(E) P(S y E). La misma relación es válida para cada
Observa que la suma de las cinco probabilidades finales es 1. Esto tiene sentido
porque 100% de los alumnos deben llegar a uno de los círculos finales.
(continúa)
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CHAPTER 10
143
Lección 10.5 • Experimentos de múltiples etapas (continuación)
Paso 12 Puedes crear un diagrama de árbol con las probabilidades teóricas en
vez de las probabilidades experimentales tomando en cuenta la probabilidad de
cada resultado cuando tiras un dado. Por ejemplo, P(S) P(1 ó 4) 26, ó 13, y
P(E) P(2 ó 3 ó 5 ó 6) 46, ó 23. Encuentra las probabilidades P(U), P(P), y
P(C). Luego, multiplica a lo largo de las ramas para encontrar las probabilidades
de cada uno de los resultados finales. Comprueba que su suma sea 1. Tus
resultados deberían aproximarse a los resultados experimentales obtenidos en los
Pasos 7–9.
Al considerar un evento con múltiples etapas, la probabilidad de cualquier
secuencia dada de eventos puede encontrarse multiplicando la probabilidad de
cada resultado. Esto se llama regla de multiplicación.
El Ejemplo A muestra cómo usar la regla de multiplicación para calcular las
probabilidades teóricas de echar dos monedas a cara o cruz. Al echar una moneda
y luego la otra, los dos eventos son independientes. Es decir, el resultado de echar
la primera moneda y sacar una cara no afecta el resultado de sacar una cara la
segunda vez—no tienes ni mayores ni menores probabilidades de obtener el
mismo resultado.
Algunos eventos son condicionales (o dependientes), por ejemplo el evento del
Ejemplo B. Lee el Ejemplo B y observa la notación para probabilidad condicional.
144
CHAPTER 10
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LECCIÓN
CONDENSADA
10.6
Valor esperado
En esta lección
aprenderás sobre el valor esperado
Esta lección te presenta el valor esperado, que es un tipo de promedio. El valor
esperado se puede calcular usando probabilidades. Lee el texto que está antes de la
investigación en la página 584 para ver un ejemplo de una situación con valor esperado.
●
Investigación: Viaje por carretera
Pasos 1–5 Intenta los Pasos 1-3 unas pocas veces, y encuentra el promedio de
los números de ciudades visitadas en cada viaje. También puedes usar la
simulación de la calculadora CITIES varias veces y comparar el promedio que
produce con el promedio que obtuviste al tirar un dado.
Paso 6 Puedes usar un diagrama de árbol para representar esta situación. En él
puedes registrar la probabilidad de cada vez que de visitar una nueva ciudad o
una ciudad previamente visitada. Hay seis ciudades, por lo tanto no tirarás el
dado más de seis veces. La séptima vez que lo tires, tendrás la garantía de obtener
el número que obtuviste antes.
Al tirar el dado por primera vez, determinas la ciudad inicial. Al tirarlo por
segunda vez, la probabilidad de que visites una ciudad que has visitado antes es
de 16. La probabilidad de que visites una nueva ciudad es de 56. Si visitas la ciudad
previamente visitada, se te termina el viaje. Si no, tiras de nuevo. Esta vez, has
visitado dos ciudades, entonces la probabilidad de visitar una ciudad que has
visitado antes es de 26. La probabilidad de que visites una nueva ciudad es de 46.
Aquí está el diagrama de árbol completo, con la probabilidad de cada resultado.
El número en paréntesis indica el número de ciudades visitadas.
(1)
Ciudad
previamente 2
_
visitada
6
Nueva
ciudad
_4
6
_1
6
Ciudad inicial
_5
6
(2)
Ciudad
previamente 3
_
visitada
6
Nueva
ciudad
_3
6
(3)
Ciudad
previamente 4
_
visitada
6
Nueva
ciudad
_2
6
(4)
Ciudad
previamente _5
visitada
6
Nueva
ciudad
_1
6
(5)
Ciudad
previamente 6
_
visitada
6
Nueva
ciudad
_0
6
(6)
Ciudad
previamente
visitada
Nueva
ciudad
Para calcular la probabilidad de visitar cada número de ciudades,
multiplica las probabilidades a lo largo de las ramas. Entonces P(1) 16 0.17
(donde P(1) significa la probabilidad de visitar una ciudad),
Pasos 7–8
P(2) 5
6
2
6
P(4) 5
6
4
6
3
6
4
6
P(6) 5
6
4
6
3
6
2
6
5
18
1
6
5
18
5
18
5
27
0.28, P(3) 1
6
5
27
25
324
3
6
0.19, P(5) 5
6
6
6
5
324
5
324
5
6
4
6
4
6
5
18
0.28,
3
6
2
6
5
6
25
324
0.08, y
0.02. También,
1.
(continúa)
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CHAPTER 10
145
Lección 10.6 • Valor esperado (continuación)
El valor esperado (el número esperado de ciudades que visitarás) es
251
5
5
5
25
5
1
1 2 3 4 5 6 2 324 2.77.
18
18
27
324
324
6
Este número debería aproximarse a tus resultados en los Pasos 1–5.
Lee los Ejemplos A y B. Estos muestran cómo calcular el valor esperado en dos
situaciones diferentes. Aquí hay otro ejemplo.
EJEMPLO
Supón que juegas este juego en el carnaval de tu escuela: Pagas $1 para echar tres
monedas de un centavo a cara o cruz. Si sacas todas caras o cruces, ganas $3. Si
sacas cualquier otra combinación, no ganas nada. ¿Cuál es el valor esperado de
tus ganancias?
Solución
Puedes hacer un diagrama de árbol de las posibilidades para ver que hay dos
maneras de ganar (las tres caras o las tres cruces) de ocho posibilidades.
1er Lanzamiento
2do Lanzamiento
3o Lanzamiento
H
H
H
HHH
T
HHT
H
HTH
T
HTT
H
THH
T
THT
H
TTH
T
TTT
T
H
T
T
Entonces, la probabilidad de ganar $2 (ganas $3, pero pagas $1 para jugar)
es 28, ó 14 ; y la probabilidad de perder $1 es 68, ó 34. Puedes hacer una tabla
para organizar esta información y calcular el valor esperado.
Resultado
Probabilidad
Producto
Ganar $2
Perder $1
1
4
0.50
3
4
0.75
Suma
0.25
Por lo tanto el valor esperado es 0.25, es decir que en promedio esperas perder
$0.25 cada vez que juegas.
146
CHAPTER 10
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