Teoría de nudos y ADN - feriadelasciencias.unam.mx

¡No te hagas nudos con los nudos!
Contenido
Resumen ................................................................................................................................ 0
Introducción......................................................................................................................... 1
Justificación:...................................................................................................................... 1
Objetivo: ............................................................................................................................ 2
Historia de los nudos. ............................................................................................................. 2
¿Qué es un nudo? .................................................................................................................. 3
Estudio de los nudos .............................................................................................................. 5
Diagramas de lazo.................................................................................................................. 7
ADN ...................................................................................................................................... 11
Conclusión ............................................................................................................................ 22
Trabajos citados: .................................................................................................................. 23
Resumen
¿Qué relación existirá entre un cordón de zapato (agujeta) con la estructura del ADN?
¿Cómo poder explicar la estructura en la que se encuentran las sustancias en el medio?
¿Todos los nudos se pueden deshacer? Estas y muchas más interrogantes pueden ser
contestadas mediante la Teoría de Nudos, en donde las matemáticas se mezclan con
demás disciplinas científicas para explicar, mediante modelos a base de nudos, algunas
de las cosas que nos rodean.
En esta compilación de datos y argumentos, se puede concebir de mejor forma el
fascinante mundo de los nudos y sus aplicaciones.
0
Introducción
Los nudos han sido parte de la historia del hombre hasta nuestros días. Nuestros
antepasados utilizaron nudos para la elaboración de las primeras herramientas
para auxiliarse en el armado de dichas armas, así como para trenzar lianas o el
pelo de los animales para construir cuerdas y luego redes para pescar sus
alimentos, se usan por los marineros y por los scouts quienes, de cierta manera
“son expertos en nudos”.
Los nudos han estado presentes también en esculturas, manuscritos y pinturas así
como muchas otras formas alrededor de todo el mundo.
Incluso cabe mencionar que existió un sistema de numeración llamado “quipu”
como lenguaje escrito para llevar las cuentas de la población que se basaba en
nudos.
Todo esto es sabido pero el estudio matemático de los nudos es relativamente
nuevo.
El principio u origen de tan bella teoría comienza con una hipótesis de cómo
podrían estar organizados los átomos de la materia.
Justificación:
La Teoría de los Nudos es un conocimiento relativamente nuevo, reciente; el cual,
podríamos decir que desconocemos en su gran mayoría, y que sin embargo con lo
que actualmente sabemos, ya podemos encontrar una gran utilidad para la
ciencia. La Teoría en mención, es de gran importancia, pues partir de ella se
pueden establecer modelos matemáticos a fin de explicar y entender de una
manera más precisa algunos fenómenos que ocurren, teniendo transversalidad
con disciplinas como la Biología, la Física o la Química.
Es por ello, que seleccionamos el tema y presentamos una compilación de datos
acerca de los Nudos y una de sus aplicaciones: modelar la estructura del ADN.
1
Objetivo:
En el presente, pretendemos mostrar de una forma didáctica el concepto
matemático de nudo, así como resaltar la importancia que tiene la teoría dentro del
campo científico; de tal forma que sea posible comprender el por qué es necesario
desarrollar el conocimiento de esta teoría para ampliar la base de conocimientos
en cuanto a la representación mediante modelos de nuestra realidad.
Así mismo, nuestro principal argumento para fomentar el interés hacia este tópico,
a fin de ampliar la base de conocimientos que se tienen del mismo, es presentar
un compendio de datos interesantes, y lograr así que… ¡No te hagas nudos con
los nudos!
Historia de los nudos.
En el siglo XIX, los físicos se cuestionaban acerca de la naturaleza desconocida
de los átomos y fue Lord Kelvin, un físico muy importante en dicho siglo, quien
propuso en 1867 que los átomos eran vórtices tubulares de éter anudado, todo
esto apoyándose de una serie de argumentos:
Estabilidad: Decía que la estabilidad de los nudos, por su naturaleza topológica,
podría ser la explicación de la estabilidad de la metería.
Variedad: Los diferentes tipos de nudos podrían explicar la gran diversidad de
elementos químicos existentes en la Tierra.
Espectro: Que las líneas espectrales de los átomos se explican por las
oscilaciones vibraciones de los vórtices tubulares.
Y si se retoma, en nuestra época y con los conocimientos que se tienen ahora y se
ignoraban anteriormente, este postulado, se podría agregar:
Transmutación: El corte y recombinación de los nudos está relacionado con la
habilidad de los átomos de transformarse en otros átomos a muy altas energías
2
La teoría de Kelvin fue tomada con mucha
seriedad por aproximadamente 20 años hasta
ahora pero después de que se descartó su
teoría como teoría atómica, el estudio de los
nudos se convirtió en una rama esotérica de las
matemáticas puras.
Los matemáticos James Alexander y Kurt
Reidemeister
son
probablemente
los
dos
personajes más relevantes en la teoría de los
nudos.
La Teoría de Nudos se ha estado desarrollando durante más de 100 años,
estudiado por la topología y siendo una rama de la misma. Esta teoría es una
rama muy activa en la actualidad y tiene aplicaciones en el análisis de circuitos
eléctricos, o incluso la planeación de redes de avenidas y calles.
Más recientemente y de manera más reciente se encontró una conexión con la
rama de la física que se encarga de estudiar las partículas elementales y las
fuerzas que son los bloques de construcción del universo.
De igual manera y como ya se había mencionado antes, se relaciona con la
manera en que el ADN está a veces anudado y que los nudos podrían jugar un
papel en la biología molecular.
¿Qué es un nudo?
Para comprender qué es un nudo y su definición formal matemáticamente
hablando, se puede iniciar con la concepción que tenemos nosotros de nudo en la
vida diaria. Podemos visualizar el nudo de nuestros zapatos o simplemente
recordar nuestros audífonos, extensiones o series navideñas enredadas en una
maraña que parecieran ser imposibles de desanudar.
El siguiente paso es imaginar esos mismos nudos pero juntos por las puntas
3
Ahora que se tiene una mejor concepción de nudo, se pueden observar que:
“Una superficie es una extensión de puntos en que se consideran sólo dos
dimensiones; un nudo se puede considerar como una curva cerrada
sencilla, hecha de goma y que se puede retorcer, alargar o deformar de
cualquier forma en un espacio tridimensional, aunque no se puede romper.”
(Zonechain, 2001)
“Un nudo es un bucle cerrado de cuerda en
” (Roberts, Motivation, basic
definitions and questions)
“Para un matemático, es una curva, una especie de trayectoria, cerrada en
el espacio. En términos un poco más técnico, un nudo es una variedad1 de
dimensión 1 compacta y sin fronteras” (Bautista)
4
“El subconjuto
unitario
es un nudo si existe un homeomorfismo del círculo
en
cuya imagen es K. Donde
en el plano
que satisfacen la ecuación
,se denota por [
“Dados
un conjunto ordenado (con respecto al
subíndice) de puntos distintos en
]
Si [
{
[
]
” (Molina, 2011)
] al segmento determinado por p y q.
Definición 1.1.1 Sea (
y[
es el conjunto de puntos (x,y)
. A la unión de [
],…, [
]
] se le llama curva poligonal cerrada.
[
]={ } para todo i {
}y [
]
[
]
}, entonce se dice que la curva poligonal es simple.
Definición 1.1.2 Un nudo es una curva poligonal simple cerrada en
”
(Vargas, 2009)
En todas las definiciones anteriores existe una coincidencia de que un nudo es
una curva cerrada presente en los
.
Estudio de los nudos
Los nudos son estudiados con ayuda de la topología.
Topología es una rama muy joven de la matemática, contrastando con la teoría
de números, geometría y el álgebra, cuyas genealogías datan en tiempos
antiguos. Aparece en el siglo diecisiete con el nombre de analysis situs (análisis
de posición).
La topología trabaja con figuras que permanecen invariantes, cuando se plegan,,
dilatan, contraen o deforman pero de modo tal que no aparezcan nuevos puntos, o
se hagan coincidir con puntos diferentes. Esta transformación permitida presupone
que haya una correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura que se tenía
originalmente con la que ya se ha transformado, y que la deformación antes
mencionada hace corresponder puntos próximos a puntos próximos. A la
5
propiedad que se menciona al último se le denomina continuidad”, y lo que
requiere es que la transformación y su inversa sean continuas: se trabaja con
homeomorfismos.
“Además de aquella parte de la geometría que trata sobre cantidades y que
se ha estudiado en todo tiempo con gran dedicación, el primero mencionó la
otra parte, hasta entonces desconocida, fue G. Leibnz, el cual la llamó
geometría de posición. Leibniz determinó esta que esta parte tenía que
ocupar de la sola posición y de las propiedades provenientes de la posición
en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades, ni su
cálculo…Por ello, cuando recientemente se mencionó cierto problema que
parecía realmente pertenecer a la geometría pero estaba dispuesto de tal
manera que ni precisaba la determinación de cantidades ni admitía solución
mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la geometría de la
posición…” L. EULER (Stadler, 2002)
La topología estudia los aspectos geométricos de las curvas simples cerradas,
llamadas nudos. Esta rama ha estado teniendo más participación en el estudio de
la Física, Química y Biología Molecular.
“La topología es una rama de las matemáticas que estudia ciertas propiedades de
las figuras geométricas. Se la llama a menudo geometría de la cinta elástica, de la
lámina elástica o del espacio elástico, pues se preocupa de aquellas propiedades
de las figuras geométricas del espacio que no varían cuando el espacio se dobla,
da la vuelta, estira o deforma de alguna manera” (Zonechain, 2001)
Las restricciones son que dos puntos distintos no pueden coincidir así como que
no se puede romper el espacio.
La topología se encarga sólo de propiedades como la posición relativa y la forma
general. Los topólogos están interesados en una variedad de superficies, tratar de
descubrir y comprender qué distingue una superficie de otra y entender la relación
que tiene alguna superficie con el espacio que está ocupando.
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La teoría de nudos es una rama de la topología que aún tiene varios problemas
para resolver. Uno de estos problemas es la clasificación; dice que dos nudos son
equivalentes si se puede deformar uno de ellos para lograr llegar al otro; si esto no
es posible, los nudos son distintos. En estos momentos aún no se ha establecido
un conjunto completo de características suficientes para poder distinguir o
diferenciar los distintos tipos de nudos.
Diagramas de lazo
Para el estudio de los nudos se utiliza una manera de representar que sea sencilla
y fácil la manera de diferenciar un nudo de otro. Los cruces se representan con un
pequeño espacio en blanco para indicar dicho cruce y si se encuentra por encima,
se considera un cruce positivo y si se encuentra por debajo, se considera un cruce
negativo. Estas especificaciones son útiles para la solución de problemas con
nudos.
Cruzamientos 1
Esta información acerca de los cruces se nos indica en un diagrama de lazo, el
cual nos proporciona, como información más importante, el patrón de enlace que
7
sigue el nudo: El corte en el dibujo nos indica que la línea cortada está por debajo
de la continua, distinguiendo así los cruces positivos de los negativos.
Tabla con los nudos más simples 1
“Un segmento continuo en el diagrama es llamado arco, y los arcos se unen en los
cruzamientos. Todos los diagramas de nudos y lazos tienen un número finito de
8
cruzamientos y los arcos sólo se unen en los cruzamientos. Los arcos de un
diagrama se dividen en clases diferentes llamadas componentes, éstas
corresponden intuitivamente a los diferentes trozos de cuerda que son utilizados al
realizar el nudo o lazo. Por definición el diagrama de nudo tiene una componente y
el de lazo tiene un número finito de componentes. La orientación en un diagrama
de lazo es la elección de una dirección para cada componente y ésta es indicada
en el diagrama por flechas, así:” (Zonechain, 2001)
Diagrama de flechas en nudos 1
Como menciona la autora, en los diagramas se procura de evitar la mayor
cantidad de ambigüedades para tener más clara la estructura del nudo; cómo está
“anudado”.
Una manera más sencilla de definir un diagrama de lazo es viéndolo como una
manera de atar uno o más círculos en tres dimensiones
Semejanzas
Un nudo podría ser exactamente el mismo que otros (nudos equivalentes), por
ejemplo si se tienen dos nudos frente a nosotros y a simple vista se ven diferentes
pero observando con detenimiento que si se “desenrolla” uno, se obtiene el otro.
9
Esto
se
puede
observar
si
se
miran
los
nudos
siguientes.
Nudos equivalentes 1
El nudo de la izquierda representa al ya conocido “nudo cero”, sin ningún cruce y
el de la derecha es exactamente el nudo cero pero está enrollado. Nótese que se
puede regresar a la forma original sin ser cortado y desanudado, sólo necesita ser
desenrollado.
Dos nudos NO son equivalentes si se necesita cortar uno para desanudarse y
llegar al otro.
Entrando de lleno a los nudos, se puede continuar mencionando que existen
nudos que pueden llamarse “semejantes” debido a que se considera que un nudo
es igual al otro si tienen el mismo número de cruces. Tal vez no se vea la
semejanza a primera vista pero si se observa que se modificó la orientación,
proyección o incluso si se coloca la imagen del nudo como si estuviera frente a un
espejo, se puede comprobar que existe una semejanza y, por lo tanto, se trata del
mismo nudo.
Un modo de clasificar los nudos es mediante el número de entrecruces que
tengan. El mínimo número de entrecruzamientos es de 3. Sólo existe un tipo de
nudos que tienen 3 y 4 cruzamientos, hay nudos que tienen 5 cruzamientos y 3
tipos de nudos con 6 cruces.
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ADN
El ADN, una macromolécula que se encuentra en gran parte de los núcleos
celulares, se considera como el destinado a dirigir y regular las actividades
principales de cada célula de cualquier organismo como la síntesis de proteínas,
además permite transmitir información genética con precisión de una generación a
otra.
El ADN es un ácido nucléico constituido por la unión de varias unidades llamadas
nucleótidos. Cada nucleótido consta de tres partes:
1. Un grupo fosfato
2. Un azúcar llamado desoxirribosa
3. Una de cuatro bases nitrogenadas (adenina, guanina, timina o cistosina
:A,G,T y C respectivamente); Las cuales se fijan al carbono uno de la
desoxirribosa, mientras que el grupo fosfato se une a la desoxirribosa en el
carbono cinco.
Nucleótido 1
Una cadena de nucleótidos, llamada polinucleótido, se hace mediante la unión del
carbono tres de azúcar de un nucleótido con el grupo fosfato de otro nucleótido, a
esta unión se le llama puente 3´-5´fosfodiéster, y se dice que lleva una dirección
5´-3´
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a) polinucleótido, b)forma B del ADN 1
Topología en enzimología
La estructura del ADN, cuyo descubrimiento se otroga a J.D. Watson y F.H.C.
Crick en 1953 es llamada la forma B del ADN, en ésta la molécula del ADN está
conformada por dos largas cadenas de polinucleótidos alineadas de forma
antiparalela (3´-5´) mientras que la otra cadena tiene dirección opuesta (3´-5´).
Ambas cadenas se enrollan y forman una doble hélice alrededor de un eje central
imaginario y se unen por dos enlaces de hidrógeno entre las adeninas de una
cadena y las timinas de otra cadena y por tres enlaces de hidrógeno entre las
guaningas de una cadena y las citosinas de la otra cadena. Además, estas bases
son perpendiculares a el eje de la hélice y por cada enrollamiento de la hélice
existen 10 pares de bases, la distancia entre cada vuelta alrededor del eje
imaginario es de 3.4 nanómetros (nm) mientras que el ancho es de 2nm.
El ADN no es una molécula rígida, la temperatura, el pH y la acción de algunos
compuestos químicos provocan alteraciones en la forma del ADN y puede adoptar
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diferentes estructuras como juntura de Holliday, en forma de cruz, forma circular,
también puede unirse a otra cadena de ADN originando un truplete, unirse a otra
hélice o simplemente diferentes formas helicoidales, donde las bases cambian su
ubicación con respecto al eje imaginario de la hélice. Se sabe también que el ADN
dada la unión de sus bases tiene cierta curvatura y flexibilidad en todas
direcciones, de manera que el ADN pueda doblarse
¿Cómo se enrolla el ADN?
Sabiendo las propiedades y características del ADN anteriormente mencionadas,
se puede explicar que el ADN tiene la capacidad de adoptar diversas formas,
especialmente la de adquirir una forma circular; para lo cual, ambos finales de la
doble hélice se unen por medio de dos puentes 3´-5´fosfodiéster, es decir el grupo
fosfato y el carbono tres (en el cual el grupo fosfato y el carbono tres pertenecen a
diferente cadena) de un final se unen al carbono tres y al grupo fosfato (ambos
siendo de diferente cadena) del otro final respectivamente. Esta unión no se da de
otra manera, es por ello que si el ADN se enrolla sobre sí mismo antes de
cerrarse, este enrollamiento debe ser de 360°.
De manera que el introducir o quitar enrollamientos al ADN antes de cerrarlo
incrementa o reduce los giros de la doble hélica al tiempo de cerrarla, es decir, el
sobre-enrollamiento afecta al número de enlace del ADN y éste a su vez afecta la
forma geométrica del ADN. Para ADN en forma circular se define el
entrelazamiento o twist del ADN, denotado por
, la descripción cuantitativa de
cómo las dos cadenas de ADN se enrollan entre sí con respecto al eje imaginario,
y el retorcimiento o “writhe” del ADN, denotado por
, a la descripción cuantitativa
de cómo se enrolla al eje imaginario en el espacio.
Hay enzimas que se ubican en los cruces del nudo formado por la molécula, y la
cambian de alguna manera. Estas enzimas cambian la topología de la molécula
pero no cambian su química, es decir, generan isómeros, de ahí el nombre de
topoisomerasas. En general hay diferentes enzimas con distintos efectos en la
molécula; y por experiencia no se sabe qué efecto tienen una cierta enzima, por lo
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que se requiere de resultados matemáticos no triviales para poder determinar el
tipo de “x” enzima.
Cambio de la enzima 1
“Se sabe que en cada reacción que se efectúa en un sistema biológico, existe una
intervención de las enzimas, éstas son proteínas que tienen la función de actuar
como catalizadores biológicos, es decir, aumentan la velocidad con que una
reacción química se lleva a cabo y a demás no se consumen en las reacciones
que promueven permaneciendo sin cambio alguno.” (Vargas, 2009)
Las enzimas tienen un alto grado de especificidad con respecto a los tipos de
sustrato, puesto que catalizan, a lo mucho, algunos cuantos tipos de reacciones
químicas, por lo general sólo participan en una reacción en la que intervienen una
o dos moléculas específicas.
Las enzimas tienen una zona llamada “sitio activo” en el cual se pueden entrar las
moléculas de los reactivos, llamadas sustratos. Es sitio activo de cada enzima
tiene una forma y distribución de cargas eléctricas diferentes que se
complementan con las de sustrato.
Teniendo la gran cantidad de nudos y enlaces que existen, es posible recopilar
más información de una enzima a partir del tipo de nudo o enlace resultante en los
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productos obtenidos de la recombinación producida por la enzima en una
estructura primaria. El proceso, mejor conocido como topología enzimática,
consiste básicamente en:
a) Se separa un sutrato circular (desanudado) en el cual actuará una enzima
b) Dicha reacción produce un espectro de nudos y enlaces deADN,
fraccionándose por electroferesis en gel.
c) Se recubren las moléculas para hacerlas perceptibles en microscopio
electrónico, y se micro fotografían.
d) Se utiliza la topología y geometría para realizar un análisis de la reacción
efectuada.
Proceso de topología enzimática 1
Un ejemplo de esto se es cuando en E.coli, se puede elaborar un sustrato en el
laboratorio, dicho sustrato es una molécula de ADN circular, y busca en este dos
sitios en los que se realice la recombinación. Después, se manipula físicamente
junto. En la configuración se hace actuar la enzima en los sitios preseleccionados
y se obtiene una nueva molécula, que es el producto, luego de la acción de la
enzima. Esta nueva molécula producto es químicamente igual al sustrato original,
pero con un tipo topológico diferente.
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Se sabe que para algunos procesos el sobre-eenrollamiento del ADN es necesario
para que tenga lugar la reacción, sin embargo para otros procedimientos como la
transcripción, el sobre-enrollamiento es una consecuencia del a reacción que se
tiene para controlar. En la transcripción se genera sobre-enrollamiento tanto
positivo como negativo y en la recombinación el ADN tiende a anudarse, este tipo
de conversiones se deben controlar par que el ADN siga funcionando
normalmente, de manera que las topoisomerasas rompen y unen una o ambas
cadenas de doble hélice del ADN de forma que éste pueda replicarse, combinarse
o traducirse.
Reacciones de topoisomerasas 1
Se tienen la idea de que las topoisomerasas rompen una cadena o ambas de la
doble hélice permitiendo a la cadena o cadenas libres rotar con respecto al eje
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imaginario de la hélice y luego uniendo de nuevo a la cadena o cadenas, este
proceso puede cambiar el número de enlace, un mecanismo alterno del
funcionamiento de las topoisomerasas es que éstas dividen una o ambas cadenas
de la doble hélice, luego un segmento de ADN se pasa por la abertura, puede ser
un segmento de cadena o segmentos de ambas cadenas de la hélice para luego
cerrarse.
Otra forma de verlo es, primeramente, tomando en cuenta que la naturaleza doble
hebra del ADN tiene varias implicaciones para su función biológica, como la
replicación, que se facilita debido a que la información genética está codificada por
duplicado en la estructura del ADN.
“También, las limitaciones impuestas por la naturaleza de doble hélice en el DNA
implica que muchos eventos que involucran desenrollamiento (relajación causan
tensión en la molécula” (depa.fquim.unam.mx)
ADN de forma súper-enrollada a relajada 1
El ADN que se encuentra súper-enrollado tiene la capacidad de viajar más
rápidamente que una molécula relajada del mismo tamaño.
El ADN separado solamente difiere en su topología, es por esta razón que a las
distintas formas se les llama topoisómeros.
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Electroforesis en geles agarosa 1
La electroforesis en geles agarosa permite ver las
diferentes tipos de bases en una sección de ADN con
ayuda de la electricidad y el gel, los cuales permiten
“atraparlo” y separarlas para distinguirlas por pesos
mediante un proceso parecido a la filtración en el que
se distinguen mediante los pesos y qué tanto pasaron por alguna etapa.
Partiendo desde el conocimiento de que muchos eventos metabólicos del ADN
requieren la apertura de la doble hélice, se puede decir que:
1. La apertura de la doble hélice está restringida puesto que las hebras que se
separan no tienen rotación libre. El desenrollamiento de las dos hebras se
convierte en un evento topológicamente imposible
2. A un segmento de ADN que está constituido en la rotación de los extremos,
se le denomina dominio topológico
3. Un ejemplo de un dominio topológico es un ADN circular, que es típico en
bacterias y genomas, cloroplastos, mitocondria o los plásmidos.
“Aunque los cromosomas eucariontes son lineales, forman asas de ADN
que están unidas a la matriz nuclear.
Estas asas representan dominios topológicos que son equivalentes a los
dominios de ADN circular” (depa.fquim.unam.mx)
Ecuaciones
Los micrográficos electrónicos del compuesto enzima-ADN muestran la enzima
como un grupo, con el ADN formando lazos en su exterior.
La configuración del ADN dentro del grupo, no puede ser determinada por el
microscopio electrónico. Por lo que muchas veces, se utiliza la teoría matemática
de nudos para determinar dicha configuración.
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ADN dentro del grumo 1
Si se piensa en la molécula circular de ADN antes
de la reacción (Substrato) como si estuviera hecha
de dos enredos: el enredo substrato (S), que no
sufre cambios por la acción de la enzima, y el
enredo de posición (P), donde actúa la enzima.
Sustitución de enredo de posición P-R 1
Ésa enzima sustituye el enredo de posición por un nuevo enredo llamado el
enredo de recombinación R y asumimos que sabemos cuál es el nudo que
conforma el substrato, y podemos señalar cuál es el nudo que resulta como
producto. Las tres variables incógnitas son los tres enredos S, P y R.
Si denotamos por N(Q) el nudo o enlace que obtenemos al unir entre sí los dos
extremos superiores y uniendo entre sí los dos extremos inferiores de un enredo
Q. O bien, N (Q) es el nudo o enlace asociado a Q.
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Q y N (Q) 1
Dados dos enredos Q y V, definíamos la suma de Q y V como el enredo obtenido
uniendo el externo superior derecho de Q con el extremo superior izquierdo de V,
y uniendo el extremo inferior derecho de Q con el extremo inferior izquierdo de V;
y la denotamos Q+V
Q+V 1
Con la notación anterior, explicada por (Vargas, 2009) se puede ver que el hecho
de que el substrato esté conformado por los enredos S y P, y los productos S y R,
se expresa como:
Substrato y Producto 1
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Lo anterior es lo que comúnmente conocemos como un sistema de ecuaciones
con tres incógnitas: S, P y R. (Dos nudos serán iguales topológicamente hablando)
Debido a que se tienen más variables que ecuaciones, no se puede determinar en
general S, T y R conociendo únicamente el anudamiento del substrato y del
producto.
Sin embargo, si se conoce uno de los tres enredos, se pueden determinar los
otros dos.
(Vargas, 2009) propone un ejemplo en el que encuentra fácilmente la solución a
dos ecuaciones:
Ejemplo de ecuación 1
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En el ejemplo se necesita observar cómo están anudados los lados P y R para
poder determinar el nudo S, y de esa manera averiguar la solución a la ecuación.
Es un ejemplo sencillo, pues se trabaja con el nudo cero y el nudo trébol, así que
se usa la imaginación para averiguar la respuesta, en este caso, se trata de la
estructura del substrato.
Metodología y análisis de resultados.
En la elaboración de este proyecto de investigación consultamos diferentes
fuentes y procesamos la información necesaria para comprender un nuevo tema
para poder incentivar a la comunidad universitaria e incluso externa a que se
muestre un mayor interés por este tema y poder lograr que se encuentren más
aplicaciones en la vida para beneficio del ser humano o simplemente por amor a la
ciencia.
Dentro del presente trabajo se muestra la manera en la que las ideas convergen o
divergen dependiendo de cada investigador, demostrando que la mente humana
trabaja diferente en cada individuo y así se logra una mayor aportación al
conocimiento científico.
Conclusión
La Teoría de los Nudos es un paso más, dentro del amplio desarrollo que las
matemáticas experimentan con el paso del tiempo, y es sin duda, una de las
contribuciones cuya multifuncionalidad y transversalidad con otras disciplinas, le
han dado una importancia dentro del campo científico.
El comprender el concepto de un nudo, nos ayuda a comprender cada vez más y
mejor nuestra realidad, y explicar cómo es que está conformado lo que nos rodea
o lo que implican los fenómenos que diariamente vivimos.
Fomentar el estudio del mismo, es forjar y consolidar beneficios para la ciencia y,
por ende, para la humanidad.
22
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24