∑ = ∑

1.1. SERIES NUMÉRICAS Y FUNCIONALES.
Dado el conjunto de los números reales
una aplicación de la forma:
, una sucesión de números reales es
a:Z+ →
verificando que a(1) = a1 , a(2) = a 2 , , a(n) = a n , . Usualmente en lugar de utilizar dicha
aplicación cuando se hace referencia a una sucesión, se considera el conjunto
{a1 , a2,a3, , an , } el cual se expresa mediante {a n }∞n=1
La idea del concepto de serie de números reales surge cuando a partir de una
sucesión de números reales, nos preguntamos qué pasa con la suma de todos sus
términos. Dada la sucesión de números reales de término general {a n }∞n=1 , se puede
construir otra sucesión cuyos términos sean:
S1 = a1 , S 2 = a1 + a 2 ,
, S n = a1 + a 2 +
+ an ,
y estudiar el siguiente límite: lim S n
n →∞
Definición 1. Serie de números reales.
Se llama serie de números reales asociada a la sucesión {a n }∞n=1 al par de sucesiones
({a n }∞n =1 ,{S n }∞n =1 ) . La sucesión de término general {S n }∞n=1 recibe el nombre de sucesión
de las sumas parciales de la serie y a n es el término general de la serie.
Definición 2. Serie convergente.
Se dice que la serie es convergente y que su suma vale a si la sucesión de sus sumas
parciales converge al número real a, es decir si lim S n = a . Esto se suele representar
n→∞
∞
como
∑a
k =1
k
=a
∞
En lo que sigue la serie de término general a n se representa por ∑ ak
k =1
Clasificación de las series. Podemos clasificar las series en:
1. Series convergentes cuando existe lim S n = a
n→∞
2. Series divergentes si no existe lim S n o es infinito.
n→∞
2.1. Propiamente divergentes, cuando la sucesión de las sumas parciales
diverge a ( +∞ ) o ( −∞ ) .
2.2. Finitamente oscilantes. Cuando {S n }∞n=1 no converge pero está acotada, es
decir cuando es finitamente oscilante la sucesión de las sumas parciales.
2.3. Infinitamente oscilantes. Cuando la sucesión de las sumas parciales no
converge, no está acotada y no es propiamente divergente, es decir cuando la
sucesión de las sumas parciales es infinitamente oscilante.
Ejemplos 3. Veamos como se puede calcular la suma de una serie convergente
utilizando el programa Mathematica .
La instrucción
Sum[ f(k), { k, vi, vf, inc} ]
permite calcular la siguiente suma: f(vi)+f(vi+inc)+f(vi+2*inc)+ ... +f(vi+n*inc) donde
n verifica la siguiente relación: vi+n*inc ≤ vf<vi+(n+1)*inc. Si se omite el término inc
entonces el programa toma por defecto inc=1.
Por ejemplo:
In[1]:=
Sum[1/(4*k^2-1),{k,1,1000}]
Out[1]=
1000/2001
Sin embargo para calcular la suma de una serie, en el caso en que ésta exista, o
una suma en que el término final esté en función de una variable, es necesario hacer uso
de la librería del programa Mathematica
<<Algebra`SymbolicSum`
pues en otro caso el programa devuelve la expresión introducida sin calcularla.
In[2]:=
Sum[k,{k,1,n}]
Out[2]=
Sum[k, {k, 1, n}]
In[3]:=
<<Algebra`SymbolicSum`
In[4]:=
Sum[k,{k,1,n}]
Out[4]=
n (1 + n)/2
In[5]:=
Sum[k,{k,n,m}]
Out[5]=
(1 + m - n) (m + n)/2
In[6]=
Sum[1/(4k^2-1),{k,1,Infinity}]
Out[6]=
1/2
In[7]=
Sum[1/k^2,{k,1,Infinity}]
Out[7]=
Pi^2/6
In[8]=
Sum[(-1)^(k+1)/k,{k,1,Infinity}]
Out[8]=
Log[2]
Puede observarse que el número ∞ se escribe “Infinity“ con el Mathematica. Si
la serie es propiamente divergente el Mathematica devuelve el valor + ∞ o − ∞ . En
cambio si la serie es finitamente oscilante o infinitamente oscilante el programa no
devuelve ninguna expresión .
In[9]=
Sum[1/k,{k,1,Infinity}]
Out[9]=
Infinity
In[10]=
Sum[(-1)^k,{k,1,Infinity}]
Out[10]=
Sum[(-1)^k,{k, 1, Infinity}]
Para observar el carácter de estas últimas series pueden calcularse las sumas
parciales, Sn, para distintos valores de n, y observar el resultado en forma de una lista
con el comando:
Table[ g(n),{n,vi,vf,inc} ]
siendo n la variable, vi el valor inicial de la misma, vf el valor final y inc el incremento
que en cada paso toma la variable. Con ello se genera la lista formada por
{f(vi),f(vi+inc), f(vi+2inc),...,f(vi+n*inc)} donde n cumple la relación:
vi+n*inc ≤ vf<vi+(n+1)*inc.
In[11]:=
Table[Sum[(-1)^k,{k,1,n}],{n,1,6}]
Out[11]=
{-1, 0, -1, 0, -1, 0}
y se observa que la sucesión de las sumas parciales no converge.
El programa Mathematica trabaja con la aritmética de los números complejos y
en algunas ocasiones el resultado puede estar expresado en función de un número
complejo aunque el término general de la serie sea una sucesión de números reales. Es
el caso del siguiente ejemplo:
In[12]:=
Sum[1/k*Sin[k*Pi/2],{k,1,Infinity}]
Out[12]=
-I*(-Log[1 - I] + Log[1 + I])/2
En cambio al aproximar el resultado en notación decimal con el comando //N se
obtiene la correspondiente aproximación real de la suma de la serie.
In[13]:=
%//N
Out[13]=
0.785398 + 0. I
Si el valor de la suma es un número irracional cuya notación es desconocida para
el Mathematica, el resultado sólo puede obtenerse si se trabaja con aritmética decimal, o
se usa la función NSum la cual permite aproximar la suma de una serie y cuya sintaxis
es similar a la de la función Sum. Por ejemplo:
In[14]:=
Sum[(1/k-Log[1+(1/k)]),{k,1,Infinity}]
Out[14]=
Sum[(1/k-Log[1+(1/k)]),{k,1,Infinity}]
In[15]:=
NSum[(1/k-Log[1+(1/k)]),{k,1,Infinity}]
Out[15]=
0.577216
El comando Table[] permite observar que la convergencia de esta última serie
en las 4 primeras cifras decimales es bastante lenta.
In[16]:=
Table[Sum[(1/k-Log[1+(1/k)]),{k,1,n}],{n,0,1000,100}]//N
Out[16]=
{0, 0.572257, 0.574726, 0.575554, 0.575968, 0.576217,
0.576383, 0.576502, 0.576591, 0.576661, 0.576716}
Definición 4. Serie funcional.
Dada una sucesión de funciones reales de variable real { f n ( x )}∞n=1 se define una
serie funcional como el par de sucesiones de funciones:
({ f n ( x )}∞n=1 ,{Sn ( x )}∞n =1 )
donde f n (x) es el término general de la serie y la sucesión de las sumas parciales de la
serie viene dada por: {S n ( x ) = f1 ( x ) + f 2 ( x )+ + f n ( x )}∞n=1
Definición 5. Convergencia de la serie funcional.
∞
Se dice que una serie funcional
∑ f ( x ) converge puntualmente a una función f
k
k =1
en un subconjunto de
lim S n ( x ) = f ( x )
denotado por B, si para cada x ∈ B se cumple que
n →∞
La suma de la serie funcional es otra función definida en el subconjunto de
el que la serie converge.
en
∞
Ejemplo 6. Dada la serie geométrica:
∑x
k
, obtener su suma.
k =1
Se trata de una serie funcional suya suma puede obtenerse con el programa
Mathematica en los valores de x en los que esta converge:
In[17]:=
Sum[x^k,{k,1,Infinity}]
Out[17]=
x/(1-x)
Hay que analizar los valores de x en los que la serie es divergente pues, por ejemplo, si
se calcula la suma para x=2, el resultado es infinito.
In[18]:=
Sum[2^k,{k,1,Infinity}]
Out[18]=
Infinity
Puede comprobarse que la serie geométrica converge en los valores tales que
− 1 < x < 1 , es propiamente divergente para x ≥ 1 , es finitamente oscilante cuando
x = −1 e infinitamente oscilante en los valores en que x < −1.
Pero en otras ocasiones el cálculo de los valores de x en los que la serie
converge puede ser complicado si no se hace uso de algún criterio capaz de indicar el
dominio de convergencia y/o divergencia de la serie. Es el caso de la serie dada en el
siguiente ejemplo:
In[19]:=
Sum[4^(2n)/(n+2)(x-3)^n,{n,1,Infinity}]
Out[19]=
(-1104 + 752 x - 128 x^2 - Log[49 - 16 x])/(256 (-3 + x))
Criterio de D'Alembert o del cociente.
a n+1
=λ
n→∞ a
n
Dada una serie de números reales no nulos, supongamos que lim
Entonces se cumple que
a) Si λ < 1 la serie converge.
b) Si λ > 1 la serie diverge.
El criterio del cociente no proporciona ningún tipo de información para el caso
en que λ = 1. Dicho caso tiene que ser analizado por medio de otros criterios. De todas
formas es interesante tener en cuenta la siguiente propiedad.
+∞
Propiedad 7. Si
∑a
k =1
k
converge entonces lim a n = 0
n→∞
Como consecuencia de esta propiedad se verifica que si el límite del término
general es distinto de cero la serie debe ser divergente.
Ejemplo 8. A continuación vamos a estudiar la convergencia de la serie funcional
estudiada en el ejemplo anterior y cuya suma ha sido calculada en Out[19]. Para ello
recordamos que la función:
Solve[ f(x)==g(x),x]
permite hallar las soluciones de una ecuación de la forma f(x)=g(x). La forma de
proceder con el Mathematica es la siguiente:
In[20]:=
a[n_,x_]=4^(2n)/(n+2)(x-3)^n
In[21]:=
co[x_]:=Limit[a[n+1,x]/a[n,x],n->Infinity]
Out[21]=
4^(2n) (-3 + x)^n/(2+n)
In[22]:=
co[x]
Out[22]=
16 (-3 + x)
In[23]:=
Solve[co[x]==1,x]
Out[23]=
{{x -> 49/16}}
In[24]:=
Solve[co[x]==-1,x]
Out[24]=
{{x -> 47/16}}
In[25]:=
%//N
Out[25]=
{{x -> 2.9375}}
In[26]:=
%%%//N
Out[26]=
{{x -> 3.0625}}
Con ello se observa que la serie sólo converge en el intervalo [2.9375,3.0625].
De esta forma el valor exacto de la suma de la serie que el Mathematica proporciona
para x=2 no coincide con el verdadero.
In[27]:=
Sum[a[n,x],{n,1,Infinity}]/.x->2
Out[27]=
(-112 - Log[17])/256
Si por ejemplo se calcula la suma de los cien primeros valores de la serie se
observa la divergencia de la misma. Lo mismo ocurre si se calcula el valor aproximado
de la suma de la serie para x=2 con la función NSum. En cambio para valores de x en
los que la serie converge los valores con las funciones NSum y Sum coinciden.
In[28]:=
Sum[a[n,x],{n,1,100}]/.x->2//N
Out[28]=
2.38131 10118
In[29]:=
NSum[a[n,x],{n,1,Infinity}]/.x->2.95
Out[29]=
-0.168417
In[30]:=
Sum[a[n,x],{n,1,Infinity}]/.x->2.95
Out[30]=
-0.168417
Cabe señalar que el programa no siempre es capaz de calcular la suma de una
+∞
1
serie funcional. Ello ocurre por ejemplo con la suma de la serie: ∑
k , con x > 0 .
k =1 1 + x
Después de aplicar el criterio del cociente se observa que el programa no puede expresar
a
el limite lim n +1 = λ como una función continua en x. De hecho para valores de
n→∞ a
n
x > 1 el limite tiende a
1
y en cambio para valores 0 < x ≤ 1 el resultado es igual a 1.
x
Dado que en este último caso el límite del término general no tiende a cero
entonces la serie sólo converge para valores de x>1. En dichos valores de x es posible
calcular la suma de la serie con el comando Sum[]//N o con NSum.
In[31]:=
co[x_]:=Limit[a[n+1,x]/a[n,x],n->Infinity]
In[32]:=
a[n_,x_]:=1/(1+x^n)
In[33]:=
co[x]
Out[33]=
1+ xn
limit[
, n − > Infinity]
1 + x 1+ n
In[34]:=
<<Calculus` Limit`
In[35]:
co[x]
Out[35]=
Indeterminate
In[36]:=
Sum[a[n,x],{n,1,Infinity}]
Out[36]=
Sum[1/(1+x^n), {n, 1, Infinity}]
In[37]:
NSum[a[n,x],{n,1,Infinity}]
Out[37]=
NSum[1/(1+x^n), {n, 1, Infinity}]
In[38]:=
Table[NSum[1/(1+x^n),{n,1,Infinity}],{x,1,10}]
Out[38]=
{ComplexInfinity, 0.7645, 0.404063, 0.2794, 0.215062, 0.175418,
0.148393, 0.128724, 0.113736, 0.10192}
In[39]:=
Table[NSum[1/(1+x^n),{n,1,Infinity}],{x,0.1,1,0.1}]
Out[39]=
{ComplexInfinity,ComplexInfinity,ComplexInfinity,ComplexInfinity,
ComplexInfinity, ComplexInfinity,ComplexInfinity, ComplexInfinity,
ComplexInfinity, ComplexInfinity}
Definición 9. Serie de potencias.
Se llama serie de potencias en torno a x 0 a toda serie funcional de la forma
+∞
∑a
n =0
n
( x − x0 ) n
(1)
donde si a n , x, x 0 ∈ , ∀n ≥ 0 , la serie de denomina serie de potencias real y en caso
contrario serie de potencias compleja. Trabajaremos con series de potencias reales.
Definición 10. Radio de convergencia.
Dada un serie de potencias definida por (1) y supuesto que
λ = lim
n→∞
n
an
se define radio de convergencia al valor:
1
ρ = , si λ ∈ , a ρ = +∞ si λ = 0 y a ρ = 0 si λ = +∞
λ
Teorema 11. Dada la serie de potencias (1), entonces dicha serie converge en el
conjunto A= {x : x − x 0 < ρ }, llamado intervalo de convergencia y es divergente en.
{x : x − x0 > ρ}. Además la convergencia es uniforme en cada subconjunto compacto
incluido en A.
Teorema 12. Dada un serie de potencias expresada mediante (1) se cumple:
+∞
1) la función f ( x ) = ∑ an ( x − x0 )n es continua en el intervalo de convergencia.
n= 0
2) f ( x ) es derivable en el intervalo de convergencia, y la derivada es otra serie
de potencias:
df ( x ) +∞ d (an ( x − x0 )n ) +∞
=∑
= ∑ nan ( x − x0 )n−1
dx
dx
n =0
n =0
con el mismo radio de convergencia que f ( x ) .
x
3)
∫
x0
+∞ x
+∞
an
( x − x0 )n+1
n
+
1
n =0
f ( t )dt = ∑ ∫ an (t − x0 )n dt = ∑
n =0 x
0
y esta última serie tiene el mismo radio de convergencia que f ( x ) .
Ejemplos 13. El anterior teorema proporciona un método para obtener nuevas series de
potencias a partir de algunas cuya suma es conocida. Por ejemplo a partir de la serie
n
+∞
 x
x/a
geométrica: ∑   (siendo a > x > 0 una constante) cuya suma es
, derivando
 
x
n =1 a
1−
a
se obtiene otra serie numérica que tiene el mismo intervalo de convergencia de la
primera.
In[40]:=
Sum[n*x^(n-1)/a^n,{n,1,Infinity}]
Out[40]=
1
 x
a1 − 
 a
2
Teorema 14. Fórmula de Taylor.
Si una función f ( x ) tiene derivada de orden (n+1) y dicha derivada es continua
en el conjunto de los números reales entonces, dado un punto x0 ∈ , f ( x ) se puede
expresar alrededor de x 0 de esta forma:
f (x) = f ( x0 ) + f
(1)
( x 0 )( x − x 0 ) +
f
( 2)
(x0 )
2!
( x − x0 )
2
+
+
f
( n)
(x0 )
n!
(x − x0 )
siendo x1 un punto comprendido entre x y x0 y donde f
orden “n” de la función f (x ) .
( n)
n
f ( n + 1) ( x )
1 x− x n+1
+
(
)
0
( n + 1)!
( 2)
( x0 ) denota la derivada de
f ( n +1) ( x1 )
( x − x0 )n +1 es el
( n + 1)!
La fórmula (2) se conoce como fórmula de Taylor y el término
denominado resto. Si ocurre que
lim
n→+∞
f ( n+1) ( x1 )
( x − x0 )n+1 = 0
( n + 1)!
entonces tomando límites en (2) se cumple que la fórmula de Taylor converge hacia
f ( x ) , es decir:
f ( x) = f ( x0 ) + f
(1)
( x 0 )( x − x 0 ) +
f ( 2) ( x0 )
( x − x0 ) 2 +
2!
+
f
( n)
( x0 )
( x − x0 ) n +
n!
=
=
+∞
∑
k =0
f
(k )
( x0 )
( x − x0 ) k
k!
Con ello f ( x ) puede expresarse como una serie de potencias denotada como serie de
Taylor.
Ejemplo 15. Las funciones sen( x), cos( x), exp( x) pueden expresarse como una serie de
Taylor ∀x ∈ . El programa Mathematica dispone del comando
Series[f(x),{x,a,n}]
para calcular la fórmula de Taylor en el punto x = a para el valor de "n" prefijado de
una función f ( x ) que cumpla las necesarias condiciones de continuidad y
derivabilidad. Con ello puede calcularse el desarrollo alrededor del cero para n=8, de
las funciones sen( x ), cos( x ), exp( x ) .
In[41]:=
Series[Sin[x],{x,0,8}]
Out[41]=
x3 x5
x7
+
−
+ o[ x]9
x−
6 120 5040
In[42]:=
Series[Cos[x],{x,0,8}]
Out[42]=
x2 x4 x6
x8
1− + −
+
+ o[x ]9
2 24 720 40320
In[43]:=
Series[Exp[x],{x,0,5}]
Out[43]=
x 2 x3 x 4 x 5
1+ x + + + +
+ o[ x ]6
2 6 24 120
El término o[x ]6 es el valor del resto de la fórmula de Taylor. Expresa un
infinitésimo de orden mayor que el del término anterior en la fórmula. A partir del
comando Series[] se podrá obtener la fórmula de Taylor, pero sin el resto, utilizando la
función Normal[expr]. Es el conocido como polinomio de Taylor.
In[44]:=
Normal[Series[Exp[x],{x,0,5}]]
Out[44]=
x 2 x 3 x 4 x5
1+ x + + + +
2 6 24 120
Los polinomios de Taylor se podrán representar de manera simultánea con la
propia función a través del comando Plot[ ] y la función Evaluate[ ], que evaluará la
lista obtenida en cada uno de los valores utilizados. Recordemos que el comando:
Plot[{f1(x),f2(x),...,fn(x)},{x,xmin,xmax}]
dibuja las n funciones, f1,f2,...,fn conjuntamente para valores de x comprendidos entre
xmin y xmax. Utilizando el comando:
Show[{G1,G2,...}] o Show[GraphicsArray[{{......},{.......}}]]
se puede dibujar los gráficos G1,G2,...y con ello puede observarse mejor el
comportamiento de los polinomios de Taylor para distintos valores de “n”.
In[43]:=
M[n_]:=Normal[Series[Cos[x],{x,0,n}]]
In[44]:=
G[n_]:= Plot[Evaluate[{Cos[x],M[n]}],{x,-Pi,Pi}]
In[45]:=
Show[GraphicsArray[{{G[2],G[4]},{G[6],G[8]}}]]
1
-3
-2
-1
-1
1
1
2
0.5
3
-2
-3
-2
-3
-3
-2
-1
-0.5
-4
-1
1
1
0.5
0.5
-1
-0.5
-1
1
2
3
-3
-2
-1
-0.5
1
2
3
1
2
3
-1
Puede observarse que con el polinomio de Taylor se obtiene una buena
aproximación alrededor del punto x = a , aunque a medida que nos alejamos de dicho
punto “a” el error aumenta. Dicho error en la aproximación disminuye al aumentar el
grado del polinomio de Taylor.