El experimento de Michelson-Morley y la rotación de la

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El experimento de Michelson-Morley
y la rotación de la Tierra
1.12 Introducción
El análisis del clásico experimento interferométrico de Michelson-Morley supone
que, dado el corto recorrido de la luz, se realiza en un sistema de referencia inercial. No
obstante, el experimento es observado sobre la superficie de la Tierra; o sea, respecto a
un sistema rotante para el que existe un campo gravitatorio.
Vamos a suponer que los brazos del interferómetro están orientados en las direcciones N-S y E-W y están unidos a la superficie de la Tierra, es decir que la observación
es realizada en un sistema rotante para el que despreciamos los efectos procedentes del
gravitomagnetismo.
Es lógico suponer que el recorrido de la luz en la dirección del meridiano no se verá
afectada por la rotación de la Tierra. Sin embargo, no ocurrirá lo mismo con el movimiento a lo largo del paralelo, ya que la duración del viaje de la luz será diferente según
se haga en el mismo sentido que la rotación de la Tierra (duración mayor) o en el
sentido contrario.
Hay que señalar que la solución de este asunto se encuentra en el marco de la
relatividad especial y no viene afectado por el gravitomagnetismo. En contra de lo que
algunos han supuesto, la diferencia del tiempo de viaje de la luz en las dos direcciones
perpendiculares del interferómetro no es causada por la inducción gravitomagnética,
sino que es fruto de la rotación del sistema de referencia desde el cual se observa.
2.12 El elemento de línea
Partimos del elemento de línea de Lense Thirring
8
2 2 (1.12)
ds 2 1 2 c 2 dt 2 A drcdt 1 2 dr 2 r 2 sin 2 d 2 r 2 d 2
c
c c que es válido para un sistema no rotante para el que existe un campo gravitatorio, es
decir corresponde al sistema K fijo en el centro la Tierra pero que no gira con ella. No
tendremos en cuenta los términos de cuarto orden en el tensor métrico porque no serán
necesarios en la precisión que vamos a considerar.
Vamos a suponer que el eje de rotación de la Tierra está dirigido hacia la parte
positiva del eje z. Entonces para hacer la transformación del sistema K no rotante al
sistema K‘ que gira con la Tierra, habrá que hacer uso de las siguientes ecuaciones de
Wenceslao Segura González: Gravitoelectromagnetismo y principio de Mach, ISBN: 978-84-616-3522-1
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GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH
transformación
x x cos t y sin t
y x sin t y cos t ,
al sustituirlas en el elemento de línea queda, tras eliminar las primas en las nuevas
coordenadas
ω r
2 2 2 ds 2 1 2 2c c 2 dt 2 2
drcdt 1 2 dr 2 r 2 sin 2 d 2 r 2 d 2 . (2.12)
c c
c
c siendo c el potencial centrífugo, que en el caso considerado en que el cuerpo está
rotando alrededor del eje z es
1
c 2 x 2 y 2 ,
2
nótese, por último, que en el caso del sistema K‘ el término gravitomagnético no lo
estamos considerando.
3.12 Tiempo tardado por la luz en el viaje N-S
Vamos a suponer que los rayos de luz viajan por una superficie caracterizada por
r cte , o sea, estamos tratando con una trayectoria no geodésica, que sigue paralela a
la superficie de la Tierra, que consideramos esférica.
Si la luz se propaga en la dirección N-S el rayo irá a través de un meridiano caracterizado por una longitud geográfica constante. El vector de posición de un punto
por donde pase el rayo de luz es
r r cos sin i r sin sin j r cos k
dondees la colatitud del lugar. Téngase en cuenta que suponemos que la parte positiva del eje x está dirigida hacia el primer meridiano terrestre y que las longitudes están
medidas hacia el este. Como el planeta gira alrededor del eje z en su sentido positivo
tendremos
ω r r sin sin i r cos sin j
como
dr r cos cos d i r sin cos d j r sin d k
entonces se encuentra
ω š r ˜ dr
0,
por lo que el elemento de línea queda
2 2 2 ds 2 1 2 2c c 2 dt 2 1 2 r 2 d 2 ,
c c
c la trayectoria de la luz obedece a la ecuación
2 2 2 0 1 2 2c c 2 dt 2 1 2 r 2 d 2 ,
c c
c despejando dt
1 2 c 2
r 2 d 2
1 2 c 2 2 c c 2
de donde se deduce después de extraer la raíz cuadrada
c 2 dt 2 El experimento de Michelson-Morley y la rotación de la Tierra
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r 2 dt 1 2 2c d
c c
c el signo menos hay que usarlo si la latitud de la trayectoria del rayo de luz va aumentando (el rayo va hacia el norte), mientras que el signo más se usa cuando en el camino
seguido por la luz la latitud va disminuyendo (el rayo va hacia el sur).
Integrando la anterior expresión se obtiene el tiempo que tarda la luz de ir desde el
extremo sur al extremo norte del interferómetro
4
4
2
2
r 1
2 r
t S N ³ 1 2 d ³ 3 2 x 2 y 2 d
c c
41 41 c 2
siendo "1 y " 2 las colatitudes del extremo sur y norte del brazo del interferómetro.
Vamos a suponer que el rayo viaja hacia el norte en el plano x-z, lo que no representa
ninguna limitación. En este caso la segunda integral queda
r 2
2c 3
42
³
x 2 d 41
r 3 2
2c 3
42
³
sin 2 d 41
r 3 2
2c 3
4
1 42
1 2
d
cos 2 d ³
³
2 41
2 4 1
r 3 2 2 1 1
sin 2 2 1 0,
3 2
4
2c donde hemos supuesto pequeño el ángulo asociado con el arco del meridiano descrito
por la luz y por tanto sustituyendo el seno por el ángulo. * Entonces el tiempo que tarda
la luz de ir del sur al norte es
42
r " 2 " 1 2 2 r
t S N ³ 1 2 d 1 2 .
c c
c
c 41 Para el recorrido del rayo de norte a sur hay que tener en cuenta que el ángulo va
aumentando, por lo que habrá que usar el signo menos delante del signo integral
41
t N S r " 2 " 1 2 2 r
d 1 2 ,
2 c
c
c ³ 1 c
42
en resumen, el tiempo total de ida y vuelta de la luz en su trayecto a través del meridiano es
2r 2 1 2 2l 2 1 2 1 2 c
c c c donde l es la longitud del brazo del interferómetro. Nótese que " 2 # "1 , por lo que el
tiempo de viaje de la luz es una cantidad positiva.
t S N S 4.12 Tiempo tardado por la luz en el viaje W-E
Analicemos a continuación el tiempo que tarda la luz en hacer su recorrido en la
dirección oeste-este. Ahora la trayectoria luminosa es a través de un paralelo por lo que
la colatitud permanece constante. En este caso
* El término que hemos despreciado representa para el caso de un interferómetro de un brazo
de 1 kilómetro un tiempo de 2 ˜ 10 18 segundos, muy por debajo de los 4.7 ˜ 10 15 segundos del
término principal.
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GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH
r r cos sin i r sin sin j r cos k
dr r sin sin d i r cos sin d j.
Entonces
ω r r sin sin i r cos sin j
y
ω r dr r 2 sin 2 d con lo que el elemento de línea (2.12) resulta
2 2 2 ds 2 1 2 2c c 2 dt 2 2r 2 sin 2 dtd 1 2 r 2 sin 2 d 2 ,
c c
c para el caso de un rayo de luz tendremos la ecuación de segundo grado
2 2 c 2 2
2 2
2
2
2
2
1 2 2 c dt 2r sin dtd 1 2 r sin d 0
c c
c resolviendo esta ecuación
dt $
2r 2 sin 2 2 1 2 c 2 2 c c 2 c 2
d $
4r 4 2 sin 4 4 1 2 c 2 2 c c 2 1 2 c 2 r 2 c 2 sin 2 d ,
2 1 2 c 2 2 c c 2 c 2
simplificando y no teniendo en cuenta los términos de cuarto orden respecto a la inversa de c
r 2 sin 2 $ rc sin 1 c c 2
dt 1
r 2 2 sin 2 c 2 1 2 c c 2
1 2 c 2 2 c c 2 c 2
d r 2 2 sin 2 r 2 sin 2 $ rc sin 1 c c 2 1 2c 2
d 2
2
2
1 2 c 2 c c c
r 2 sin 2 $ rc sin 1 c c 2 1 c c 2
1 2 c 2 2 c c 2 c 2
una simplificación posterior nos lleva a
d
r 2 sin 2 r sin 2 2 c dt $
1 d .
c2
c c 2 c 2 Ahora tenemos que interpretar el doble signo que aparece en la anterior fórmula. El
término
r sin 2 1 d
c c2 es el tiempo tardado por la luz en ausencia de rotación de la Tierra pero teniendo en
cuenta el efecto de su gravedad. Esto significa que tendremos que utilizar el signo
positivo siempre y cuando la longitud aumente, es decir cuando el rayo vaya hacia el
El experimento de Michelson-Morley y la rotación de la Tierra
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este. El signo menos será el que hay que utilizar cuando el rayo vaya hacia el oeste, pero
en este caso el signo de d será negativo. Al integrar nos sale
r sin 2 r 3 2 sin 3 r 2 sin 2 1 2 c
c3
c2
c r sin 2 r 3 2 sin 3 r 2 sin 2 t E W 1 2 c
c3
c2
c donde%es la longitud geográfica del extremo este del brazo del interferómetro; el otro
extremo se encuentra a longitud 0 como antes hemos supuesto. El tiempo de ida y
vuelta del viaje en la dirección este-oeste es
t W E 2r sin 2 2r 3 2 sin 3 2l 2 2r 2 2 sin 2 1 2 l
1 c
c3
c c2 c3
c hemos supuesto que las longitudes de los dos brazos del interferómetro son iguales. La
anterior expresión nos viene a decir que es mayor el tiempo de viaje por el paralelo que
por el meridiano. La diferencia de tiempo es
t W E W 2r 2 2 sin 2 2l M 2 r 4 sin 2 2
l
c3
c3
M 2r 2
M es la masa de la Tierra. El momento angular de rotación de la Tierra depende de su
distribución de masas, pero es tal que
t J Mr 2Z
con un factor numérico cercano a la unidad, que en el caso de una esfera homogénea es
2/5. Si definimos el coeficiente a por
J
a
Mc
nos quedará que la diferencia de tiempo entre los viajes de los dos rayos es
l a2
sin 2 .
c r2
Si el experimento se realizara en los polos no se encontraría ninguna variación en
los tiempos de viaje de los dos rayos luminosos ya que la colatitud es nula. Pero en el
ecuador la diferencia tomaría un valor máximo.
La diferencia de tiempo entre el movimiento de los dos rayos corresponde a una
diferencia de camino óptico, pero esta situación no es observable. Es necesario alterar
la orientación del interferómetro para observar el desplazamiento de las líneas
espectrales.
Si se gira el interferómetro noventa grados, cambiará la duración de los tiempos de
viaje de los dos rayos. La situación es equivalente al desplazamiento de las líneas
espectrales que se produciría en un montaje de dos espejos en cuña si uno de ellos
variara una distancia
a2
ct 2l 2 sin 2 r
lo que induciría un desplazamiento de las franjas dada por
2
m .
t 152
GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH
Una estimación numérica para un interferómetro de 1 kilómetro de longitud de su
brazo y para luz amarilla nos daría para el caso de que el experimento fuera realizado
en el ecuador de la Tierra los valores
' t | 1.6 ˜ 10 17 s
'm | 0.079 .
El experimento que hemos descrito exige unas guía de ondas para conseguir que
los rayos luminosos vayan a través de trayectorias caracterizadas por r cte . Otra
opción experimental sería que los rayos desscribieran trayectorias geodésicas, o sea,
siguieran un camino libre. Sin embargo, dada la pequeñez de la longitud de los brazos
del interferómetro con respecto al radio terrestre, el tiempo que aumenta el recorrido de
los rayos en trayectorias geodésicas con relación a los que siguen la trayectoria r cte
es despreciable.
5.12 Diferencia de tiempos entre rayos luminosos que circundan
una esfera rotante en las direcciones N-S y W-E
El anterior experimento se puede modificar haciendo que las guías de ondas permanezcan fijas (o sea, no rotantes). El experimento de laboratorio consistiría en un
cuerpo rotando y un doble sistema de guías de ondas que circulen el cuerpo según su
ecuador y a través de un meridiano. Las guías de ondas se encontrarían en reposo, al
igual que el interferómetro situado en uno de los puntos de cruce de las dos guías de
ondas.
Entonces habrá un efecto gravitomagnético, producto de la rotación del cuerpo
central. Nótese que para la explicación de este fenómeno sí hay que hacer uso de la
teoría gravitoelectromagnética, algo que no fue necesario en el precedente experimento.
Para analizar este experimento partimos del elemento de línea de Lense-Thirring
en coordenadas no rotantes (1.12), donde el potencial vector para el caso de un cuerpo
esférico con densidad uniforme viene dado por (2.5). Para la trayectoria de la luz se
cumple ds 2 0 lo que para el caso del movimiento en la dirección N-S será
8
2 2 0 1 2 c 2 dt 2 A drcdt 1 2 r 2 d 2 .
c
c c Supongamos que el rayo luminoso viaja por el meridiano (por tanto A dr 0 ) y
que la fuente está rotando en el sentido positivo del eje z. Entonces la ecuación de la
trayectoria de este rayo de luz queda
2 2 0 1 2 c 2 dt 2 1 2 r 2 d 2
c c de donde obtenemos para el tiempo de viaje alrededor del meridiano
2 r 2 tm 1 .
c c2 Ahora vamos a calcular el tiempo de viaje del rayo que circunda la esfera por un
paralelo, entonces la ecuación de la trayectoria luminosa será
4GJ z
2 2 0 1 2 c 2 dt 2 sin 2 d dt 1 2 r 2 sin 2 d 2 ,
2
rc
c c al resolver la ecuación de segundo grado, se encuentra para el tiempo del viaje alrededor de un paralelo en el sentido este-oeste es
El experimento de Michelson-Morley y la rotación de la Tierra
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2 GJ z
2 r sin 2 sin 2 1 2 ,
c
rc 4
c en efecto, si no existiera gravitomagnetismo el primer sumando sería nulo, entonces el
tiempo de viaje sería el segundo sumando, que debe tener el signo positivo, descartando el signo negativo que surge al resolver la ecuación de segundo grado. La integración
se ha hecho de 0 a 2, ya que la longitud geográfica la estamos contando positiva hacia
el este, por este motivo sale el signo menos en el primer sumando.
Para el caso de que el rayo viaje en el sentido W-E, se encuentra
te 2 r sin 2 2 GJ z
sin 2 .
1 2 c
rc 4
c La diferencia de tiempo entre los dos recorridos de la luz es
te 4 GJ 4 GM a
rc 4
c3 r
que es un término de cuarto orden y por tanto completamente despreciable. En efecto, si
tomamos una esfera de 10 kilogramos, 1 metro de radio y que gira con una frecuencia
de 1.000 revoluciones por segundo, entonces t 2.6 10 39 s .
Debemos notar que en este experimento, el dispositivo para la medición del desfase
de tiempo entre ambos rayos se encuentra unido al montaje, que como hemos dicho no
participa de la rotación del cuerpo central.
tm t e 6.12 Referencias
1.- TARTAGLIA, Angelo; RUGGIERO, Matteo Luca: «Angular momentum effects in Michelson-Morley
type experiments», General relativity and Gravitation 34-9 (2002) 1371-1382.
2.- RUGGIERO, M. L.; TARTAGLIA, A.: «Gravitomagnetic effects», Il Nuovo cimento B, 117-07 (2002)
743.