e - Universidad Autónoma de Madrid

Interacción electrón-electrón: Plasmones,
Apantallamiento, función dieléctrica
Rubén Pérez
Departamento de Física Teórica de la Materia Condensada,
C-05, 6a planta, despacho 601
Universidad Autónoma de Madrid, Spain
[email protected]
http://www.uam.es/ruben.perez
Física del Estado Sólido II, Curso 2010/2011
Índice
• 2.1 Interacción electrón-electrón: excitaciones
colectivas (plasmones) y apantallamiento
• 2.2 Plasmones
• 2.3 Apantallamiento y función dieléctrica
• 2.4 Función dieléctrica y Propiedades Ópticas.
• 2.5 Teoría del Funcional de la Densidad
2.1 Interacción electrón-electrón:
excitaciones colectivas
(plasmones) y apantallamiento
Sistema de partículas no interactuante
N
3
2
Estado fundamental
1
Estados excitados: Suma de pares electrón-hueco
N
3
2
N
3
2
N
3
2
1
1
1
Excitación elemental:
Par electrón-hueco
Estados excitados de un sistema
interactuante como
suma de excitaciones elementales.
• Interacción (ε) entre las excitaciones elementales es pequeña.
• Las excitaciones tienen una vida media suficientemente larga
• Dos tipos: Cuasi-particulas (para distinguirlas del caso no
interactuante: quasi-electrones) y excitaciones colectivas
2.2 Excitaciones colectivas: Plasmones
Plasmones (argumento electrostático)
Todos los e- del sistema tienen un desplazamiento longitudinal que
depende de la posición que ocupan:
La polarización debida a ese desplazamiento
(con respecto a la carga ρoe que neutraliza) es:
El campo eléctrico creado es (no hay cargas externas):
La ecuación de movimiento clásica para los e- del gas:
tiene como solución oscilaciones de
carga longitudinales con frecuencia
Plasmones (argumento electrostático)
eFondo de carga positiva
L/3
Fondo de carga positiva
Plasmones
Oscilaciones longitudinales de larga longitud de onda del gas de electrones
Iones y electrones se mueven en oposición de fase:variaciones en densidad de carga
ion (r )  0
(Incluyendo
calentamiento
por compresion
adiabatica)
4 0e 2
p 
 1016 Hz   p  10eV
me
Los plasmones representan grados de libertad del gas de e- que
están congelados (no pueden excitarse térmicamente): la interacción es tan fuerte
que podemos olvidarnos de ella
Plasmones (1): Perdidas en electrones
transmitidos
Plasmones (2)
Al
Mg
Plasmones (3)
Plasmones (5): Relación de dispersión
2.3 Función dieléctrica: aproximaciones de
Thomas-Fermi y Lindhard; resultados
exactos
Transiciones intra- e inter-banda
Metales
Bandas parcialmente ocupadas:
Respuesta dielectrica
determinada fundamentalmente
por transiciones intrabanda, con
correcciones por las transiciones
interbanda.
 Gas de e- es un modelo
razonable para (0,)
Semiconductores y Aislantes
Bandas llenas: Respuesta
dielectrica determinada
fundamentalmente por
transiciones interbanda.
 Frecuencias caracteristicas
asociadas a las transiciones
(excitaciones) a traves del gap
Función dielectrica para semiconductores
8 e2
 (q ,  ) 1  2
q
2
 c ,k  q e  v ,k
dk

3

(2 ) Ec ,k  q  Ev ,k    i
v ,c
iq r
(dominada por las transiciones entre la banda de valencia y la de conducción)
Modelo sencillo: reemplazamos Ec ,k  q  Ev ,k
por una energía de excitación promedio ħav
 Conduce a la función
dielectrica de Lorentz
 p2
 (0,  ) 1  2
av   2  i
(Clásicamente, asociada a un conjunto de cargas ligadas que pueden oscilar
con frecuencia av. Metal corresponde al caso de cargas libres (av = 0))
Función dielectrica Longitudinal en sólidos
8 e2
 (q ,  ) 1  2
q
2
 n ,k  q e  m,k
dk
 f ( Em,k )  f ( En,k  q ) 

3



m , n (2 ) En , k  q  Em , k    i
iq r
• Sólo transiciones intrabanda  (q, ) para el gas de electrones
8 e2
dk
 (q ,  ) 1  2 
q
(2 )3
f ( Em,k )  f ( En ,k  q )
2
2m
q0
(Drude)
 (0,  ) 1 
 p2
 2  i
(k  q ) 
2
2
 p2

4
2m
k 2    i
(Se puede integrar para
tener expresiones analíticas)
2
kTF
q
 (q , 0) 1  2 F (
)
q
2k F
(Lindhard)
, 0
( relacionada con parte real de la conductividad)
• Sólo transiciones interbanda  dominan transiciones banda valencia  conducción
8 e2
 (q ,  ) 1  2
q
2
 c ,k  q e  v ,k
dk

 (2 )3 Ec,k q  Ev,k    i
v ,c
iq r
q  0 + excitación promedio av
(Lorentz)
(cargas ligadas con
oscilaciones av)
 p2
 (0,  ) 1  2
av   2  i
Anomalías de Kohn
Las singularidades de (q):
Ek  q  Ek
para q~2kF
son responsables de las
anomalias de Kohn en el
espectro vibracional de
metales para q~2kF : “kinks”
para q correspondiente a
diametros extremales de la
superficie de Fermi
2.4 Función dieléctrica y propiedades
ópticas
Metales: Función dieléctrica de Drude
 (0,  ) 1 
 p2
  i
2
(n  i )  1  i 2
2
1  n 2   2
 2  2n
1 1 
 p2
 
2
2
 p2
2 
2
2
 (   )


1


1
1
1

2
2 2
n   (1   2 )  1 
2

1
1

2
2 2
   (1   2 )  1 
2

Espectros ópticos: Reflectividad y Absorción
(1  n)2   2
R
(1  n) 2   2
(interfase solido-vacio
e incidencia normal)
2
 
c
2
2
Función dieléctrica y propiedades ópticas
Gas de electrones
 (0,  ) 1 
 p2
 2  i
Sólido real: Al
Reflectividad experimental de Al
comparada con la de un gas de
electrones (con ħ=15.2 eV y
=0 o =3.6 x 105 -1 cm-1 (---))
Función dielectrica transversal en sólidos
A(r , t )
P2
Ho 
 V (r )
2m
2
1  2 e

H
P

A
(
r
,
t
)
 V (r )


2m 
c

Potencial Vector
electromagnético
• Gauge de Coulomb   A(r , t )  0
H  Ho 
• Aprox. dipolar: despreciamos A2
Perturbación
transversal
ˆ i ( q r t )  A0ee
ˆ i (t q r )
A(r , t )  A0ee
8 e2
 T (q ,  ) 1  2
m
dk  n,k  q e eˆ  P  m,k

3
2
2

(2

)
(
E

E
)
/
m. n
n,k  q
m,k
iq r
e
A( r , t )  P
mc
ê  q
2
f ( Em,k )  f ( En ,k  q )
En,k  q  Em,k    i
Las f. dielectricas longitudinal L(q, ) y transversal T(q, ) coinciden
en el límite q0 en medios isótropos
q0
 e
iq r

iq  r   r   
8 e2
 L (0,  ) 1  2
m
m
iq 
  P 
 H 0 , r   i
E  E
dk  n ,k  q qˆ  P  m,k

 (2 )3 ( En,k q  Em,k )2 /
m. n
2
2
m
P
f ( Em,k )  f ( En,k  q )
En ,k  q  Em,k    i
Reflectancia en metales
Al
Fuerte reduccion en
reflectividad para 1.5 eV
debida a transiciones
interbanda cerca de W y
K
 Bandas paralelas:
muchas transiciones
a la misma energía
Transiciones
intrabanda en banda
4s (ocupacion ~ ½)
Las transiciones
interbanda 3d4s
dominan debido a
la alta densidad de
estados asociada a
los orbitales 3d
pesar de que los metales son generalmente buenos
El Color de Aespejos,
precibimos visualmente que Au tiene un color
los metales amarillo, Cu rojizo, mientras que Ag no presenta ningún
color.
 Relacionado con la
energia minima para
transiciones interbanda ds
Cu: 3d 4s Emin ~ 2 eV
 Perdemos las  > 2 eV en el
espectro reflejado  color rojizo
(rojo= 1.59 -1.99 eV)
Ag: 4d 5s Emin ~ 4 eV
 Reflectividad ~ 100 % en todo
el rango óptico (1.59-3.18 eV).
Función dielectrica y espectros para un
modelo con excitación promedio av
 p2
 (0,  ) 1  2
av   2  i
 p2 (av2   2 )
1 1  2
(av   2 )2   2 2
 p2
2  2
(av   2 ) 2   2 2
Funcion de perdidas centrada en:
 (   )
2
p
2
av
1
2
(ħav = 4 eV, ħ= 1 eV, ħp =√60 eV= 7.7460 eV)
Reflectancia y
absorción en Si
Los picos en absorción (E1=3.5 y E2=4.3 eV)
y en reflectividad están asociados con
transiciones en las cercanias de L y X
Reflectancia (%)
Las transiciones indirectas son menos probables
porque es necesaria la emisión/absorción de un
fonón para conservar el momento