Interacción electrón-electrón: Plasmones, Apantallamiento, función dieléctrica Rubén Pérez Departamento de Física Teórica de la Materia Condensada, C 05 6 C-05, 6a planta, l t despacho d h 601 Universidad Autónoma de Madrid, Spain ruben perez@uam es [email protected] http://www.uam.es/ruben.perez Física del Estado Sólido II, Curso 2010/2011 Índice • 2.1 Interacción electrón-electrón: excitaciones colectivas (plasmones) y apantallamiento • 2.2 Plasmones • 2.3 Apantallamiento y función dieléctrica • 2.4 Función dieléctrica y Propiedades Ópticas. • 2.5 2 5 Teoría del Funcional de la Densidad 2.1 Interacción electrón-electrón: excitaciones colectivas (plasmones) y apantallamiento Sistema de partículas no interactuante N 3 2 Estado fundamental 1 Estados excitados: Suma de pares electrón-hueco electrón hueco N 3 2 N 3 2 N 3 2 1 1 1 Excitación elemental: Par electrón-hueco Estados excitados de un sistema interactuante como suma de excitaciones elementales. • • • Interacción (ε) entre las excitaciones elementales es pequeña. L excitaciones Las it i ti tienen una vida id media di suficientemente fi i t t llarga Dos tipos: Cuasi-particulas (para distinguirlas del caso no interactuante: quasi-electrones) y excitaciones colectivas 2.2 Excitaciones colectivas: Plasmones Plasmones (argumento electrostático) Todos los e e- del sistema tienen un desplazamiento longitudinal que depende de la posición que ocupan: La p polarización debida a ese desplazamiento p (con respecto a la carga ρoe que neutraliza) es: El campo eléctrico creado es (no hay cargas externas): La ecuación de movimiento clásica para los e- del gas: tiene como solución oscilaciones de g longitudinales g con frecuencia carga Plasmones ((argumento g electrostático)) eFondo de carga positiva L/3 Fondo de carga positiva Plasmones O il i Oscilaciones llongitudinales it di l d de llarga llongitud it d d de onda d d dell gas d de electrones l t Iones y electrones se mueven en oposición de fase:variaciones en densidad de carga ion (r ) 0 (Incluyendo calentamiento por compresion adiabatica)) 40 e 2 p 1016 Hz p 10eV me Los plasmones L l representan t grados d d de lib libertad t dd dell gas d de e- que están congelados (no pueden excitarse térmicamente): la interacción es tan fuerte que podemos olvidarnos de ella Plasmones (1): Perdidas en electrones transmitidos Plasmones (2) Al Mg Plasmones (3) Plasmones (5): Relación de dispersión 2.3 Función dieléctrica: aproximaciones de Thomas-Fermi y Lindhard; resultados exactos Transiciones intra- e inter-banda Metales Bandas parcialmente ocupadas: Respuesta dielectrica determinada fundamentalmente por transiciones intrabanda, con correcciones por las transiciones interbanda interbanda. Gas de e- es un modelo razonable para (0,) Semiconductores y Aislantes Bandas llenas: Respuesta dielectrica determinada fundamentalmente por transiciones interbanda. Frecuencias caracteristicas asociadas a las transiciones (excitaciones) a traves del gap Función dielectrica para semiconductores 8 e 2 (q , ) 1 2 q 2 c ,k q e v ,k dk 3 (2 ) Ec ,k q Ev ,k i v ,c iq r (dominada por las transiciones entre la banda de valencia y la de conducción) Modelo sencillo: reemplazamos Ec , k q Ev ,k por una energía de excitación promedio ħav Conduce a la función dielectrica de Lorentz p2 (0, ) 1 2 av 2 i (Clásicamente, asociada a un conjunto de cargas ligadas que pueden oscilar con frecuencia av. Metal corresponde al caso de cargas libres (av = 0)) Función dielectrica Longitudinal en sólidos 8 e 2 (q , ) 1 2 q 2 n,k q e m,k dk f ( Em , k ) f ( E n , k q ) 3 m , n (2 ) En , k q Em , k i iq q r • Sólo transiciones intrabanda (q, ) para el gas de electrones f ( Em, k ) f ( En ,k q ) 8 e 2 dk (q , ) 1 2 2 2 q (2 )3 2 2 (k q ) k i 2m 2m q0 (Drude) (0, ) 1 p2 2 i p2 4 (Se puede integrar para t tener expresiones i analíticas) líti ) 2 kTF q (q , 0) 1 2 F ( ) 2k F q (Lindhard) , 0 ( relacionada con parte real de la cond ( conductividad) cti idad) • Sólo transiciones interbanda dominan transiciones banda valencia conducción 8 e 2 (q , ) 1 2 q 2 c ,k q e v ,k dk (2 )3 Ec,k q Ev,k i v ,c i r iq q 0 + excitación promedio av (Lorentz) (cargas ligadas con oscilaciones av) p2 (0, ) 1 2 av 2 i Anomalías de Kohn Las singularidades de (q): Ek q Ek para q~2kF son responsables de las anomalias de Kohn en el espectro vibracional de metales para q~2kF : “kinks” para q correspondiente di t a diametros extremales de la superficie de Fermi 2 4 Función dieléctrica y propiedades 2.4 ópticas Metales: Función dieléctrica de Drude (0, ) 1 p2 i 2 (n i ) 1 i 2 2 1 n 2 2 2 2n 1 1 p2 2 2 p2 2 ( 2 2 ) 1 1 1 1 2 2 2 n (1 2 ) 1 2 1 1 2 2 2 (1 2 ) 1 2 Espectros ópticos: Reflectividad y Absorción (1 n) 2 2 R (1 n) 2 2 (interfase solido-vacio e incidencia normal) 2 c 2 2 Función dieléctrica y propiedades ópticas G de Gas d electrones l t (0, (0 ) 1 p2 2 i Sólido real: Al Reflectividad experimental de Al comparada con la de un gas de electrones ((con ħ=15.2 eV y =0 o =3.6 x 105 -1 cm-1 (---)) Función dielectrica transversal en sólidos A( r , t ) P2 Ho V (r ) 2m Potencial Vector electromagnético • Gauge de Coulomb A(r , t ) 0 H Ho • Aprox. dipolar: despreciamos A2 ˆ A(r , t ) A0 ee i ( q r t ) 8 e 2 T (q , ) 1 2 m ˆ A0 ee 2 1 2 e H P A ( r , t ) V (r ) 2m c i ( t q r ) Perturbación transversal dk n ,k q e eˆ P m ,k (2 )3 ( En,k q Em,k )2 / 2 m. n iq r e A( r , t ) P mc eê q 2 f ( Em ,k ) f ( En ,k q ) En ,k q Em ,k i L ff. dielectricas Las di l t i llongitudinal it di l L(q, ( )) y ttransversall T(q, ( )) coinciden i id en el límite q0 en medios isótropos q0 e i r iq iq r r P iq m E E H 0 , r i 2 8 e 2 L (0, ) 1 2 m P m f ( Em ,k ) f ( En ,k q ) dk n ,k q qˆ P m,k (2 )3 ( En,k q Em,k )2 / 2 En,k q Em,k i m.n Reflectancia en metales Al Fuerte reduccion en reflectividad para 1.5 eV debida a transiciones interbanda cerca de W y K Bandas paralelas: muchas h ttransiciones i i a la misma energía Transiciones intrabanda en banda 4s (ocupacion ~ ½) Las transiciones interbanda 3d4s dominan debido a la alta densidad de estados asociada a los orbitales 3d pesar de que los metales son generalmente buenos El Color de Aespejos, precibimos visualmente que Au tiene un color amarillo Cu rojizo, rojizo mientras que Ag no presenta ningún los metales amarillo, color. Relacionado con la energia minima para transiciones interbanda ds Cu: 3d 4s Emin ~ 2 eV Perdemos las > 2 eV en el espectro reflejado color rojizo (rojo= 1.59 -1.99 eV) Ag: 4d 5s Emin ~ 4 eV Reflectividad f ~ 100 % en todo el rango óptico (1.59-3.18 eV). Función dielectrica y espectros para un modelo con excitación p promedio av p2 ((0,, ) 1 2 av 2 i p2 (av2 2 ) 1 1 2 (av 2 ) 2 2 2 p2 2 2 (av 2 ) 2 2 2 Funcion de perdidas centrada en: ( ) 2 p 2 av 1 2 (ħav = 4 eV, ħ= 1 eV, ħp =√60 eV= 7.7460 eV) Reflectancia y absorción en Si Los picos en absorción (E1=3.5 y E2=4.3 eV) y en reflectividad están asociados con t transiciones i i en llas cercanias i d de L y X Reflectancia (%) Las transiciones indirectas son menos probables porque es necesaria la emisión/absorción de un fonón para conservar el momento