Estimados padres, me dirijo a Vds para comunicarles que soy la

I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
MECÁNICA CUÁNTICA - RESUMEN
1. La hipótesis de Planck.
En el año 1900 Planck introdujo una nueva
hipótesis para tratar de explicar la radiación
emitida por los cuerpos calientes.
Según él al igual la energía emitida por los
cuerpos no puede tener cualquier valor, sino
que debe ser un múltiplo entero de una
constante “ h “ multiplicada por la frecuencia de
la radiación emitida. Es decir, la energía
emitida debía de ser de la forma:
E = nh f
Donde “ n “ es un número entero, “ h “ es la
llamada constante de Planck de valor 6,63·10-34
J·s y “ f “ es la frecuencia de la radiación
emitida.
De esta forma, al igual que la materia está
cuantizada en forma de átomos, la energía lo
está también en forma de cuantos, y, del
mismo modo que los átomos de distintos
elementos tienen distintos tamaños, los
cuantos de distintas frecuencias tienen
diferentes tamaños energéticos.
El tamaño de un cuanto de energía viene dado
por:
E = hf
donde f es la frecuencia de la radiación emitida.
- Por debajo de dicha frecuencia umbral no hay
emisión de electrones, aunque se aumente la
intensidad luminosa.
- Por encima de la frecuencia umbral, un
aumento de la intensidad luminosa produce un
incremento del número de electrones emitidos,
pero no de su energía cinética máxima.
- El número de electrones emitidos es
proporcional a la intensidad de la radicación
luminosa recibida.
Para poder explicar este fenómeno Einstein,
tomando la idea de cuantización de la energía
de Planck, propuso que la luz también estaba
cuantizada, es decir, estaba formada por
pequeños paquetes energéticos, a los que
llamó fotones, cuyo valor era E = hf, donde f es
la frecuencia de la luz correspondiente.
Según Einstein cuando un fotón de luz incide
en la superficie del metal el electrón absorbe
dicha energía y la transforma en el trabajo
necesario que debe realizar contra la fuerza de
atracción electrostática del núcleo del átomo. Si
la energía del fotón es igual o superior al
trabajo de extracción se emitirá el electrón, en
caso contrario no podrá haber emisión de
electrones.
El trabajo de extracción será igual a hf0, donde
f0 es la frecuencia umbral, frecuencia mínima
de la luz incidente para que se produzca la
emisión fotoeléctrica.
2. El efecto fotoeléctrico.
W ext = hf 0
El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de
electrones por parte de superficies metálicas al
incidir luz sobre ellas.
Este efecto obedecía a una serie de
características que no podían ser explicadas
dentro de la física clásica. Estas características
eran las siguientes:
- Sólo se emiten electrones cuando la
frecuencia de la luz incidente supera una cierto
valor, f0, llamada frecuencia umbral, y cuyo
valor es característico de cada metal.
El trabajo de extracción de un electrón será
diferente para cada metal, de ahí que la
frecuencia umbral sea característica de cada
uno de los metales.
Si la energía del fotón incidente es mayor que
el trabajo de extracción, la energía restante es
la energía cinética que adquiere el electrón una
vez extraído del átomo. Es decir:
E incidente = W extracción + Ec
Física 2º Bachillerato - Óptica Geométrica
1
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Dpto. Física y Química
Teniendo en cuenta que la energía del fotón
incidente es hf, donde f es la frecuencia de la
luz incidente, se puede expresar que:
hf = hf0 +
1
2
me v max
2
Ecuación que se conoce como ecuación de
Einstein del efecto fotoeléctrico.
Al trabajo de extracción se le suele llamar
también energía umbral, función trabajo,
potencial o energía de ionización.
Se llama potencial de corte, de detención o de
frenado al potencial necesario para frenar los
electrones emitidos y cortar la corriente
eléctrica y es igual a:
Vcorte
Ec e
=
qe
me vr = n
3º. El electrón sólo puede pasar de unas órbitas
a otras absorbiendo o emitiendo energía en
forma de cuantos. Esta energía absorbida o
emitida es igual a la diferencia de energía de
las órbitas, es decir:
ΔE = E'−E = hf
Donde f es la frecuencia de la energía emitida o
absorbida por el electrón.
A partir de estos postulados pudo de mostrar
que:
1º El radio de las órbitas permitidas venía dado
por:
r=
3. Espectros atómicos y átomo de Bohr.
Cuando se hace pasar la luz emitida por los
distintos átomos a través de un prisma se
obtiene su espectro atómico, formado por un
conjunto de líneas de distintos colores (distintas
frecuencias) característico de cada uno de los
átomos. Son espectros discontinuos, es decir,
los átomos no emiten energía en todos los
valores posibles sino sólo en unos valores
determinados.
Rydberg y Ritz encontraron que las longitudes
de onda de la líneas de los espectros se
adecuaban a una expresión de la forma:
⎛ 1
1
1⎞
= R⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟
λ
⎝ n1 n2 ⎠
Donde R es la constante de Rydberg y n1 y n2
son números enteros.
Para poder explicar estos espectros Bohr
expuso un modelo de átomo basado en tres
postulados:
1º. Existen sólo unas orbitas determinadas en
las que puede estar el electrón girando sin
emitir energía. Estas órbitas las llamo
estacionarias o permitidas.
2º. Estas órbitas estacionarias corresponden a
aquellas en las que el momento angular del
electrón toma valores discretos tales que:
h
2π
ε0h2 2
n
πmee2
2º. La energía total de un electrón en una órbita
viene dada por:
E=−
me e 4
8ε02n2h2
3º. Que la longitud de onda de la energía
emitida por un electrón al pasar de una órbita
superior a una inferior viene dada por:
1 mee4 ⎛⎜ 1
1⎞
= 2 3 ⎜ 2 − 2 ⎟⎟
λ 8ε0h c ⎝ n1 n2 ⎠
Ecuación que es muy parecida a la obtenida
experimentalmente por Rydberg y Ritz. El gran
acierto de la teoría de Bohr fue que ql sustituir
los valores de las constantes que aparecen
fuera del paréntesis se obtiene el valor de la
constante de Rydberg.
Este hecho supuso el espaldarazo definitivo a
la teoría cuántica de Planck y Einstein.
4. Dualidad onda-corpúsculo: hipótesis de
De Broglie.
De Broglie postuló que del mismo modo que los
fotones se comportan como partículas o como
ondas, también los electrones se comportan
como partículas o como ondas.
Física 2º Bachillerato - Mecánica Cuántica
2
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
Es decir, que si una onda tiene propiedades
corpusculares, un corpúsculo debe tener
propiedades ondulatorias.
Toda partícula material que se mueve con una
velocidad v tiene una longitud de onda
asociada λ que viene dada por la expresión:
λ=
5.
Principio
Heisenberg.
de
mínimo, igual a la constante de Planck dividida
por 2π, de modo que cuanto mayor sea la
precisión en la medida de la posición, mayor
será la imprecisión del momento lineal y
viceversa.
Matemáticamente la podemos expresar de la
forma:
h
mv
Δx ⋅ Δp ≥
indeterminación
de
h
2π
Donde Δx es la indeterminación en la medida
de la posición y Δp, la indeterminación en la
medida del momento lineal.
Este principio afirma que no pueden medirse
simultáneamente con total precisión la posición
y el momento (mv) de un lectrón. Establece que
el producto de las indeterminaciones de medida
de la posición y del momento lineal es, como
Física 2º Bachillerato - Mecánica Cuántica
3
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Dpto. Física y Química
MECÁNICA CUÁNTICA - CUESTIONES Y EJERCICIOS
La relación entre sus longitudes de onda será:
CUESTIONES
1. Explica de qué depende la energía
máxima de los electrones emitidos en el
efecto fotoeléctrico.
PAU - Universidad Islas Canarias.
Según la ecuación del efecto fotoeléctrico:
hf = hf 0 + Ec max
λ1 m2v 2
=
λ 2 m1v1
Y sustituyendo la relación entre las masas
obtenida a partir de la energía tendremos que:
λ1 m2v 2 v12 v 2 v1
=
=
⋅
=
λ 2 m1v1 v 22 v1 v 2
⇒
λ1 =
v1
λ2
v2
Luego λ1 p λ2 si v1 p v 2 . Por lo tanto, tendrá
menor longitud de onda la que tenga menor
velocidad.
Por lo tanto:
Ec max = hf − hf0 = h(f − f0 )
Luego la energía cinética máxima de los
electrones emitidos dependerá de la diferencia
existente entre la frecuencia de la luz incidente
y la frecuencia umbral para el metal de que se
trate.
Como la frecuencia es inversa a la longitud de
onda, tendrá menor frecuencia la que tenga
mayor velocidad.
--------------- 000 ---------------
--------------- 000 ---------------
2. Dos partículas tienen igual energía
cinética pero diferente masa. ¿Cuál de ellas
tendrá la longitud de onda más pequeña?
¿Cuál tendrá la frecuencia menor?.
La longitud de onda asociada a una partícula
viene dada por:
λ=
3. Si se triplica la frecuencia de la radiación
incidente sobre un metal, ¿puede afirmarse
que se triplicará la energía cinética de los
fotoelectrones?.
La energía cinética de los electrones emitidos
viene dada por:
Ec max = hf − hf0 = h(f − f0 )
Como puede observarse si la frecuencia
incidente, f, se hace tres veces mayor, 3f, la
energía cinética aumenta pero no se triplica ya
que:
h
mv
Si las partículas tiene igual energía cinética
pero diferente masa tendrán también diferente
velocidad y deberá cumplirse que:
1
1
m1v12 = m2v 22
2
2
m2 v12
⇒
=
m1 v 22
⇒
m1v12 = m2v 22
⇒
3f − f0 ≠ 3(f − f0 )
--------------- 000 ---------------
Física 2º Bachillerato - Mecánica Cuántica
4
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Dpto. Física y Química
PROBLEMAS
1. Se desea construir una célula
fotoeléctrica que emita electrones con una
energía cinética de 3 eV, cuando incida
sobre ella un haz de radiación ultravioleta
de longitud de onda 300 nm. Calcula la
longitud de onda umbral del material a
utilizar en la construcción de la célula. ¿Qué
ocurrirá si se utilizara un material con una
longitud de onda umbral inferior a la
calculada?.
PAU - Universidad de Valencia.
2. La función de trabajo de una superficie
limpia de Na es 2,5 eV.
a) Determina la frecuencia fotoeléctrica
umbral.
b) ¿Emite electrones la superficie al ser
iluminada con luz de 550 nm?. Razona la
respuesta.
Sol: 6,04.1014 Hz, b) no.
PAU - Universidad La Rioja.
a) La función trabajo es el trabajo de extracción
de electrones cuyo valor en julios será:
Wext = 2,5 eV ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 J / eV = 4 ⋅ 10 −19 J
La energía cinética de los electrones será:
Ec = 3 eV ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 J / eV = 4,8 ⋅ 10 −19 J
La energía de la luz incidente será:
Einc = hf =
hc 6,63 ⋅ 10 −34 Js ⋅ 3 ⋅ 108 ms −1
=
=
λ
300 ⋅ 10 −9 m
= 6,63 ⋅ 10 −19 J
Luego la frecuencia umbral será:
Wext = hf 0
E − E c 6,63 ⋅ 10 −19 J − 4,8 ⋅ 10 −19 J
f0 = inc
=
=
h
6,63 ⋅ 10 −34 Js
= 2,76 ⋅ 1014 Hz
f0 =
Wext
4 ⋅ 10 −19 J
=
=
h
6,63 ⋅ 10 −34 Js
= 6,03 ⋅ 1014 Hz
b) La energía de la luz incidente será:
Einc = hf =
Aplicando la ecuación del efecto fotoeléctrico
tendremos que la frecuencia umbral será:
⇒
hc 6,63 ⋅ 10 −34 Js ⋅ 3 ⋅ 108 ms −1
=
=
λ
550 ⋅ 10 −9 m
= 3,61 ⋅ 10 −19 J
Al ser esta energía incidente inferior al trabajo
de extracción de electrones no podrán ser
arrancados de la superficie del metal.
--------------- 000 ---------------
Y la longitud de onda umbral será:
c
3 ⋅ 10 8 ms −1
λ0 =
=
= 1,086 ⋅ 10 −6 m =
f0 2,76 ⋅ 1014 Hz
= 1086 nm
Si la longitud de onda umbral del material fuera
inferior a la anterior, su frecuencia umbral sería
superior y, por lo tanto, el trabajo para extraer
al electrón sería mayor lo que originaría que a
los electrones se les comunicaría menos
energía cinética e, incluso, si el trabajo de
extracción (hf0) fuese superior a la energía de
la luz incidente no se produciría el efecto
fotoeléctrico.
--------------- 000 ---------------
3. Si iluminamos la superficie de un metal
con luz de 512 nm, la energía cinética
máxima de los electrones emitidos es
8,65.10-20 J. ¿Cuál será la máxima energía
cinética de los electrones emitidos si
incidimos sobre el mismo metal cpn luz de
365 nm?.
PAU - Universidad de Cantabria.
La energía de la luz incidente será:
Einc = hf =
hc 6,63 ⋅ 10 −34 Js ⋅ 3 ⋅ 108 ms −1
=
=
λ
512 ⋅ 10 −9 m
= 3,88 ⋅ 10 −19 J
Por lo tanto, el trabajo de extracción o energía
umbral será:
Física 2º Bachillerato - Mecánica Cuántica
5
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Dpto. Física y Química
Wext = Einc − Ec = 3,88 ⋅ 10 −19 J − 8,65 ⋅ 10 −20 J =
= 3,01 ⋅ 10 −19 J
Wext = 3,7 eV ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 J / eV = 5,92 ⋅ 10 −19 J
La energía de la luz incidente será:
Este trabajo de extracción es característico del
metal e independiente de la luz que incide
sobre él.
Einc = hf =
La energía de la segunda luz que incide será:
= 6,63 ⋅ 10 −19 J
Einc = hf =
hc 6,63 ⋅ 10 −34 Js ⋅ 3 ⋅ 108 ms −1
=
=
λ
365 ⋅ 10 −9 m
= 5,44 ⋅ 10 −19 J
Por lo tanto la energía cinética máxima de los
electrones emitidos será:
E c = E inc − Wext = 6,63 ⋅ 10 −19 J − 5,92 ⋅ 10 −19 J =
Por lo tanto, la energía cinética máxima de los
electrones será en este caso:
= 7,1⋅ 10 −20 J
Y la velocidad máxima de los electrones será:
E c = E inc − Wext = 5,44 ⋅ 10 −19 J − 3,01⋅ 10 −19 J =
= 2,43 ⋅ 10
−19
hc 6,63 ⋅ 10 −34 Js ⋅ 3 ⋅ 108 ms −1
=
=
λ
300 ⋅ 10 −9 m
2 Ec
=
m
v=
J
--------------- 000 ---------------
4. Calcula la longitud de onda de De Broglie
para un coche de 1000 kg que se mueve con
la velocidad de 72 km/h.
PAU - Universidad Castilla La Mancha.
La longitud de onda viene dada por:
h
6,63 ⋅ 10−34 Js
= 3,31 ⋅ 10 −38 m
λ=
=
−1
mv 1000kg ⋅ 20ms
a) El trabajo de extracción vale:
9,1 ⋅ 10 − 31kg
= 3,95 ⋅ 105 ms −1
b) La máxima longitud de onda corresponde a
la mínima frecuencia de la luz incidente. Está
mínima frecuencia corresponde a la frecuencia
umbral, es decir:
f0 =
w ext
5,92 ⋅ 10 −19 J
= 8,92 ⋅ 1014 Hz
=
h
6,63 ⋅ 10 −34 Js
Y la correspondiente longitud de onda será:
λ=
c
3 ⋅ 108 ms −1
= 3,36 ⋅ 10 −7 m = 336 nm
=
f 8,92 ⋅ 1014 Hz
--------------- 000 ---------------
--------------- 000 ---------------
5. Si la energía de extracción de un metal,
debida al efecto fotoeléctrico, es de 3,7 eV,
determina:
a) La velocidad máxima con que son
emitidos los electrones de la superficie del
metal cuando incide sobre ella una
radiación ultravioleta de un longitud de
onda de 300 nm.
b) La máxima longitud de onda que tiene
que tener dicha radiación, para que sean
emitidos los electrones del metal.
me=9,1.10-31 kg.
PAU - Castilla y León.
2 ⋅ 7,1 ⋅ 10 −20 J
6. Calcula la longitud de onda asociada a
una pelota de golf de 50 g de masa que se
mueve con una velocidad de 250 m.s-1.
PAU - Universidad Islas Canarias.
La longitud de onda será:
λ=
h
6,63 ⋅ 10 −34 Js
= 5,3 ⋅ 10 −35 m
=
mv 0,05kg ⋅ 250ms −1
--------------- 000 --------------7. Un haz de luz monocromática , de
longitud de onda en el vacío 450 nm, incide
sobre un metal cuya longitud de onda
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6
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Dpto. Física y Química
umbral, para el efecto fotoeléctrico, es de
612 nm. Determina:
a) La energía de extracción de los
electrones del metal.
b) La energía cinética máxima de los
electrones que se arrancan del metal.
PAU - Universidad de Madrid.
a) La energía de extracción será:
Wext = hf0 =
hc 6,63 ⋅ 10 −34 Js ⋅ 3 ⋅ 108 ms −1
=
=
λ0
612 ⋅ 10 −9 m
λ0 =
c
3 ⋅ 108 ms −1
= 1171 ⋅ 10 −9 m = 1171 nm
=
f0 2,56 ⋅ 1014 Hz
b) La luz visible contiene longitudes de onda
inferiores a la umbral (frecuencias superiores a
la frecuencia umbral), por lo tanto, los fotones
de la luz visible impresionaran la placa
fotográfica. En cambio, la frecuencia de la
radiación de la antena de televisión, 100
MHz=108 Hz) es inferior a la frecuencia umbral
y no podrá impresionarla, independientemente
de la potencia de la señal.
= 3,25 ⋅ 10 −19 J
--------------- 000 ---------------
b) La energía de la luz incidente es:
Einc = hf =
= 4,42 ⋅ 10
hc 6,63 ⋅ 10 −34 Js ⋅ 3 ⋅ 108 ms −1
=
=
λ
450 ⋅ 10 −9 m
−19
J
Por lo tanto, la energía cinética máxima de los
electrones será:
E c = E inc − Wext = 4,42 ⋅ 10 −19 J − 3,25 ⋅ 10 −19 J =
= 1,17 ⋅ 10 −20 J
--------------- 000 ---------------
8. El material fotográfico suele contener
bromuro de plata, que se impresiona con
fotones de energía superior a 1,7.10-19 J.
a) ¿Cuál es la frecuencia y la longitud de
onda del fotón que es justamente capaz de
activar una molécula de bromuro de plata?.
b) La luz visible contiene longitudes de
onda entre 380.10-9 m y 780.10-9 ,m. Explique
el hecho de que una luciérnaga, que emite
luz visible de intensidad despreciable,
pueda impresionar una película fotográfica,
mientras que no puede hacerlo la radiación
procedente de una antena de televisión que
emite a 100 Mhz, a pesar de que su potencia
es de 50 kW.
PAU - Universidades Andaluzas.
a) La frecuencia y la longitud de onda umbral
serán:
f0 =
−19
w ext
1,7 ⋅ 10 J
= 2,56 ⋅ 1014 Hz
=
h
6,63 ⋅ 10 −34 Js
9. Un electrón se acelera mediante una
diferencia de potencial de 5.103 V.
a) Haga un análisis energético del proceso y
calcule la velocidad y la longitud de onda de
los electrones, una vez acelerados.
b) Explique, sin necesidad de hacer
cálculos, los cambios respecto del apartado
anterior si la partícula acelerada fuera un
protón.
Datos: Carga del electrón = 1,6.10-19 C.
me=9,1.10-31 kg.
PAU - Universidades Andaluzas.
a) El campo eléctrico realiza un trabajo sobre el
electrón, trabajo que se invierte en adquirir
energía cinética, supuesto el electrón
inicialmente en reposo. Este trabajo es:
W = q ⋅ ΔV = E c
E c = 1,6 ⋅ 10
−19
⇒
C ⋅ 5000 V = 8 ⋅ 10 −16 J
La velocidad será:
v=
2 Ec
=
m
2 ⋅ 8 ⋅ 10 −16 J
9,1 ⋅ 10
− 31
kg
= 4,19 ⋅ 107 ms −1
La longitud de onda asociados a los electrones
será:
λ=
h
6,63 ⋅ 10 −34 Js
=
=
mv 9,1⋅ 10 −31kg ⋅ 4,19 ⋅ 10 7 ms −1
= 1,73 ⋅ 10 −11 m
Física 2º Bachillerato - Mecánica Cuántica
7
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Dpto. Física y Química
b) el protón tiene la misma carga pero una
masa muy superior a la del electrón. Por lo
tanto:
λ=
- La energía cinética que adquirirá será igual a
la del electrón.
- Su velocidad será bastante más pequeña que
la del electrón, al ser su masa superior.
En cuanto a la longitud de onda asociada
tendremos que la relación entre las los
longitudes de onda será:
λ e mp v p
=
λp me v e
Y si tienen la misma energía cinética se
cumplirá que:
1
1
me v 2e = mp v p2
2
2
Y sustituyendo
tendremos:
en
mp
⇒
la
me
=
v 2e
v p2
ecuación
anterior
h
6,63 ⋅ 10 −34 Js
=
= 1,10 ⋅ 10 −33 m
mv 0,6kg ⋅ 1 ms −1
--------------- 000 ---------------
11. En un experimento fotoeléctrico se
iluminó la placa metálica con una radiación
λ1 = 521,8 nm dando un potencial de
detención de 0,596 V, mientras que al
iluminarla con una radiación de λ2 = 656,6
nm, el potencial de detención era de 0,108 V.
Calcula:
a) La función trabajo del metal.
b) La frecuencia umbral.
c)
La
velocidad
máxima
de
los
fotoelectrones.
a) Teniendo en cuenta que el potencial de
detención o de corte es:
Vcorte =
2
λ e mp v p v e v p v e
=
= 2
=
λ p me v e v p v e v p
Y como la velocidad del electrón es mayor que
la del protón su longitud de onda será mayor
que la del protón.
Ec e
qe
La energía cinética de los electrones en el
primer caso será:
Ec e = 0,596 V ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 C = 9,53 ⋅ 10 −20 J
La energía de la luz incidente es:
--------------- 000 ---------------
10. Imagina una bola de billar de 600 g que
se mueve con una velocidad de 1 m.s-1.
Calcula su energía, su frecuencia y la
longitud de onda asociada.
Einc = hf =
hc 6,63 ⋅ 10 −34 Js ⋅ 3 ⋅ 108 ms −1
=
=
λ
521,8 ⋅ 10 − 9 m
= 3,81 ⋅ 10 −19 J
La función trabajo (trabajo de extracción) del
metal será:
W ext = E inc − E c = 3,81⋅ 10 −19 J − 9,53 ⋅ 10 −20 J =
La energía será:
Ec =
(
)
2
1
0,6kg ⋅ 1ms −1 = 0,3 J
2
= 2,85 ⋅ 10 −19 J
b) La frecuencia umbral será:
f0 =
Su frecuencia:
f=
E
0,3J
=
= 4,52 ⋅ 1032 Hz
h 6,63 ⋅ 10−34 Js
Y su longitud de onda asociada:
w ext
2,85 ⋅ 10 −19 J
=
= 4,29 ⋅ 1014 Hz
− 34
h
6,63 ⋅ 10 Js
c) La velocidad máxima en el primer caso será:
v1 =
2 Ec
=
m
Física 2º Bachillerato - Mecánica Cuántica
2 ⋅ 9,53 ⋅ 10 −20 J
9,1 ⋅ 10 −31kg
= 4,57 ⋅ 105 ms −1
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Dpto. Física y Química
La energía cinética de los electrones en el
segundo caso será:
--------------- 000 ---------------
Ec e = 0,108 V ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 C = 1,72 ⋅ 10 −20 J
Y la velocidad correspondiente:
v2 =
2 Ec
=
m
2 ⋅ 1,72 ⋅ 10 −20 J
9,1 ⋅ 10 −31kg
= 1,94 ⋅ 105 ms −1
Física 2º Bachillerato - Mecánica Cuántica
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