Tema 14 Mecánica Cuántica

Tema 14
Mecánica Cuántica
24/02/2004
Bases Físicas y Químicas del
Medio Ambiente. Tema 14
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14.1 Fundamentos de la mecánica cuántica
14.2 La ecuación de Schrödinger
14.3 Significado físico de la función de onda
14.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger
para el átomo de hidrógeno
14.5 Números cuánticos
14.6 Orbitales atómicos
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14.1 Fundamentos de la mecánica cuántica
A finales del siglo XIX se habían acumulado una serie
de resultados experimentales que no era posible explicar
con la teoría existente (Mecánica clásica)
Nacimiento de la mecánica cuántica
Planck, Einstein, Bohr, De Broglie, Schrödinger,
Heisenberg ...
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Se sabe que los objetos calientes emiten luz de diferentes
colores, por ej.
Rojo oscuro: Elemento calefactor de un horno eléctrico.
Blanco: Filamento de una bombilla eléctrica.
La luz emitida por un objeto radiante caliente puede ser
dispersada por un prisma produciendo un ESPECTRO DE
COLOR CONTINUO.
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por un cuerpo caliente
Como puede verse en la Figura,
Intensidad
Espectro de la radiación emitida
7000 K
5000 K
la intensidad de la luz varía
Longitud de onda
ligeramente con la longitud de
onda, con un máximo a una cierta
λ determinada por la temperatura
de la fuente.
Resultado experimental:
Cuanto mayor es T, menor
es λmáxima.
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Como en el caso de los espectros atómicos, la física
clásica no podía proporcionar una completa explicación
de la emisión de la luz por los sólidos calientes, conocida
como la radiación del cuerpo negro.
La RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO es la que
emite un cuerpo cuando se calienta.
El Sol se comporta muy aproximadamente como un
cuerpo negro
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La teoría clásica predice que la intensidad de la radiación emitida
debería aumentar indefinidamente (ver líneas discontinuas en la figura).
Predicciones de la
Intensidad
mecánica clásica
7000 K
5000 K
Longitud de onda
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En 1900, Planck, para explicar que la intensidad no aumenta
indefinidamente al disminuir la frecuencia, hizo una propuesta revolucionaria:
la energía como la materia, es discontinua.
Esta es la diferencia esencial entre la FÍSICA CLÁSICA
y la nueva TEORÍA CUÁNTICA.
La física clásica no limita la cantidad de energía que un
sistema puede tener, mientras que la teoría cuántica
limita esta energía a un conjunto discreto de valores
específicos.
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La diferencia entre dos de las energías permitidas de un
sistema también tiene un valor específico llamado CUANTO
de energía.
El postulado de Planck puede resumirse por la ecuación:
E = h ν
E =energía de un cuanto de radiación electromagnética
h= constante de Planck
ν = frecuencia
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En resumen:
Ni la materia ni la radiación son continuas, están
divididas en “partículas” de materia (partículas
subatómicas) o de energía (fotones).
Esta hipótesis explica:
•Los espectros de emisión de los elementos (H, He ...)
•El efecto fotoeléctrico
•La radiación de cuerpo negro
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La mecánica cuántica establece límites a la información
que podemos tener de un sistema.
Principio de Incertidumbre (Heisenberg, 1927)
∆x ∆p ≥ h/ 4π
π
Error en la medida
Error en la medida
de la posición
del momento
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Es una limitación
de la naturaleza
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14.2 La ecuación de Schrödinger
Sabemos que la radiación se puede comportar como
partículas o como ondas, y lo mismo ocurre con la
materia (difracción de electrones)
Las ondas de materia son ONDAS ESTACIONARIAS
La ecuación de propagación de las
ondas de la materia es la
ecuación de Schrödinger
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Un e- o cualquier otra partícula que posea propiedades
de onda podría ser descrita mediante una función
matemática denominada FUNCIÓN DE ONDA ψ.
Las funciones de onda son las soluciones de la
ecuación de Schrödinger
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Función de onda
Energía total del sistema
H ( x) Ψ ( x) = E Ψ ( x)
Operador hamiltoniano (equivalente cuántico a la suma
de las energías cinética y potencial clásicas).
La ecuación de Schrödinger es el equivalente
a la conservación de la energía en la mecánica clásica
E es lo que hay que comparar con la energía
experimental del sistema. En Mecánica Cuántica
a las magnitudes mensurables experimentalmente
se les llama OBSERVABLES
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En una dimensión (x) la ec Schrödinger se escribe
H ( x )Ψ ( x )
Energía cinética
=
E
Ψ ( x)
Energía potencial
d Ψ( x)
−
+
Ψ
=
Ψ
V
(
x
)
(
x
)
E
( x)
2
2m dx
2
2
2
2
d
T ( x) = −
2
2m d x
V(x)
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 =h



π
2


Operador energía
cinética
Operador energía potencial
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La ec de Schrödinger es una ecuación diferencial que se puede
resolver en algunos casos aplicando métodos matemáticos.
Solo algunas de esas soluciones tienen sentido físico
En principio nosotros sabemos (o suponemos) como son los
operadores energía cinética y energía potencial
(interacciones eléctricas entre las partículas,
ley de Coulomb) y RESOLVIENDO la ecuación de Schrödinger
se obtienen E y ψ.
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14.3 Significado físico de la función de onda
En una onda convencional el cuadrado de la función
de onda es proporcional a la intensidad de la
radiación.
En una onda de materia el cuadrado de la función
de onda da la probabilidad de encontrar materia
en ese determinado punto.
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z
r
x
y
Probabilidad de encontrar
2
Ψ(r ) d V = la partícula en un pequeño
volumen dV
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14.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger
para el átomo de hidrógeno
z
Las funciones de onda se
m
(x,
y ,z)
e
analizan en función de las
3 coordenadas (x, y, z)
necesarias para definir
x
M
+
p
y
un punto con respecto
El átomo de hidrógeno
al núcleo.
consta de un protón en el
centro y un electrón girando
a su alrededor
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El átomo de H es uno de los pocos sistemas para el cual se
puede resolver la ec. de Schrödinger EXACTAMENTE
(…pero podemos resolverla para otros muchos átomos de
una manera aproximada).
Las soluciones de la ecuación de Schrodinger para el
átomo de H proporcionan las funciones de onda para
el e- en el átomo de H. Estas funciones de onda se
llaman ORBITALES.
ORBITALES Es decir, un orbital es la función
de ondas de un solo electrón.
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Función de onda para el átomo de hidrógeno
Ψ = Ψ(r) = Ψ( x, y, z )
Depende de r(x,y,z)
2
2
2

∂
Ψ
∂
Ψ
∂
Ψ

 + V ( r ) Ψ = E Ψ
−
+
+
2
2
2
∂
∂
∂
2m  x
y
z 
2
masa del electrón
2
Z
e
V (r ) = −
4πε0 r
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Interacción Coulombica
electrón-núcleo
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14.5 Números cuánticos
Cuando resolvemos la ecuación de Schrödinger para el
átomo de H vemos que solo tiene solución para posibles
valores de energía.
E = -
R
Constante de
n2
Rydberg
n es un número entero (1,2,3 ...) que llamamos
número cuántico.
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Cada valor de n caracteriza un nivel de energía
del átomo de hidrógeno. n se denomina número
cuántico principal
EN EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO la energía depende
SOLAMENTE de n
En los demás átomos la energía depende de otros
números cuánticos
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El valor de la energía para n = 1 es el estado
fundamental del sistema
El resto de los estados (n ≠ 1) se llaman estados
excitados
Se puede pasar de un estado excitado a otro o
al estado fundamental liberando energía
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n2
∆ E
∆ E = R
n1
1
1
n12
n22
La fórmula que explica qué líneas aparecen en
los espectros de emisión es una consecuencia
de cómo son las soluciones de la ecuación de
Schrödinger
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Al resolver la ec de Schrödinger no solo obtenemos
las energías sino las funciones de onda ψ.
Esas ψ son los ORBITALES ATÓMICOS que
están definidos por TRES números cuánticos.
•n (número cuántico principal) n = 1,2,3 ...
•l (número cuántico secundario) l = 0,1,2 ... n-1
Determina las regiones de máxima probabilidad
de encontrar al electrón y está relacionado con el momento angular
•ml (número cuántico magnético) ml = -l,...0...,+l
Determina la orientación en el espacio de un orbital.
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14.6 Orbitales atómicos
Todos los orbitales con el mismo valor de n se
encuentran en la MISMA CAPA
Las capas se numeran de acuerdo a n
Todos los orbitales con los mismos valores de n y
l pertenecen a la MISMA SUBCAPA
Las subcapas se definen mediante letras
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Orbitales atómicos
CAPA
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SUBCAPA
ORBITAL
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CAPA n = 4
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Nº cuánticos posibles para n =4
l =n-1
ml = -l ...+l
Tipo de orbital
n
n = 4
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
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ml
ml
ml
ml
ml
ml
ml
ml
ml
=
=
=
=
=
=
=
=
=
ml
ml
ml
ml
ml
ml
ml
0
1
0
-1
2
1
0
-1
-2
=
=
=
=
=
=
=
3
2
1
0
-1
-2
-3
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4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
s
px
py
pz
dxy
dxz
dyz
dx2-y2
dz2
f
f
f
f
f
f
f
2 e6 e10 e-
14 e-
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Orbitales s
Nube
electrónica
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Probabilidad
Poseen simetría
esférica
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Orbitales p
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Orbitales d
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Para definir EL ELECTRÓN DENTRO DE LOS
ORBITALES se necesita un cuarto número cuántico
Número cuántico de espín
ms= +1/2
s =
ms = -1/2
Está relacionado con las propiedades magnéticas
intrínsecas del electrón
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El experimento de Stern-Gerlach
Sirvió para detectar el espín del electrón
IMÁN
Haz de átomos de Ag
rendija
ms = +1/2
N
S
ms = -1/2
El haz se desdobla en 2
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Número cuántico de spin
El experimento de Stern y Gerlach en
1920 reveló la necesidad de un cuarto
número cuántico, asociado a un momento
Angular intrínseco al electrón
S=1/2
Dos estados posibles
ms=+1/2
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ms=-1/2
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Spin del electrón
• Las funciones de onda de un solo electrón al
considerar el spin se llaman spin orbitales.
• Podemos relacionar el spin con un momento
angular intrínseco del electrón
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Funciones de distribución radial
PROBABILIDAD
Proporcionan la probabilidad de encontrar al electrón
en función de la distancia electrón-núcleo:
2p
2s
1s
Distancia a0
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