ESPACIO VECTORIAL

Bloque 2
Lección 2.1.-
ESPACIO VECTORIAL
PROGRAMA
1.- Concepto de espacio vectorial
Pág.
1
2.- Subespacio vectorial
2
3.- Dependencia e independencia lineal
4
4.- Base de un espacio vectorial
5
5.- Sumas directas de subespacios
8
6.- Dimensiones de los subespacios
10
7.- Espacio vectorial cociente
12
Notas
13
BIBLIOGRAFÍA
TEORÍA:
♦
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♦
“Algebra Lineal”, Juan de Burgos. Mc Graw-Hill
"Álgebra lineal con aplicaciones" Grossman. Mc Graw-Hill.
“Álgebra lineal y Geometría ” López-Pellicer y García García. Marfil
“Lecciones de Álgebra lineal” J.L. Pinilla.
"Álgebra lineal" Jesús Rojo. Mc Graw Hill.
“Álgebra básica” M. Gueysanne.
PROBLEMAS:
♦
♦
♦
♦
♦
“Problemas de Álgebra” A. de la Villa.
“Problemas de Álgebra Lineal” J.L. Pinilla.
"Problemas de Álgebra lineal" Tebar Flores.
Espada Bros.
Luzárraga.
Espacio Vectorial
1.- CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL
1.1.- Definición
Sea (K,+,·) un cuerpo y sea V, se define una ley de composición interna:
+
VxV ⎯
⎯→
V tal que (V,+) es grupo abeliano.
·
Sea también una ley de composición externa: KxV ⎯
⎯→
V tal que:
1.- α ⋅ ( x + y) = α ⋅ x + α ⋅ y ; ∀x , y ∈ V
2.- (α + β) ⋅ x = α·x + β·x; ∀α, β ∈ k
3.- α·(β·x ) = (α·β)·x ; ∀α, β ∈ k
4.- 1·x = x ; siendo 1 el elemento unidad del cuerpo K.
Al conjunto (V,+,·K) se le llama ESPACIO VECTORIAL sobre el cuerpo K, o
también K-espacio vectorial. A los elementos de V los llamaremos vectores; a los de K,
escalares y los habitualmente los escribiremos con letras griegas ; α, γ, λ, μ, β...
1.2.- Ejemplos
1.2.1.- Rn con la suma: (x 1,..., x n ) + ( y1,..., y n ) = (x 1 + y1,..., x n + y n ) , y con el producto
por números reales : α·( x 1,..., x n ) = (α·x 1,..., α·x n ) ; ∀α ∈ R .
1.2.2.- (P3 (x),+,·R) , siendo P3 ( x ) = {a 0 + a 1x + a 2 x 2 / a i ∈ R }
1.2.3.- (C,+,·R ), siendo C el cuerpo de los números complejos, + indica la suma de
números complejos y ·R el producto por un número real.
NOTA: Si K es cuerpo (Kn,+,·K) es espacio vectorial.
1.2.4.- Funciones reales definidas en un conjunto.
1.2.5.- Sucesiones reales {x n }.
1.3.- Propiedades derivadas de la definición de espacio vectorial
1.3.1.- 0·x = 0; ∀x ∈ V, siendo 0 el neutro de (K, +, ·) con la suma.
Demostración:
α + 0 = α; ∀α ∈ k → (α + 0)·x = α·x → α·x + 0·x = α·x → 0·x = 0
1.3.2.- α·0 = 0; ∀α ∈ k
Demostración:
0 + x = 0; ∀x ∈ V → α·( 0 + x ) = α·x → α·0 + α·x = α·x → α·0 = 0
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1.3.3.- Si α·x = 0 ⇔ α = 0 ó x = 0
Demostración:
Si α = 0 ya está demostrado anteriormente en la propiedad 1.3.1.
Si α ≠ 0 → ∃α −1 ∈ k → α −1 ·(α·x ) = α −1 ·0 → x = 0 , como queríamos demostrar.
1.3.4.- Si x ∈ V, x ≠ 0 y α·x = β·x → α = β
Demostración: Sea:
α·x = β·x → αx − βx = 0 ⇒ (α − β)·x = 0
como
x ≠ 0 ⇒ α−β = 0 ⇒ α = β
1.3.5.- Sea α ≠ 0 ; si α·x = α·y → x = y
Demostración:
Aplicando la propiedad simplificativa:
Si α·x = α·y → α·( x − y) = 0 ⇔ α = 0 ó x − y = 0 ; como α ≠ 0 → x = y .
1.3.6.- a) α·(− x ) = −(α·x ) = (−α)·x
b) (−α)·(− x ) = α·x
Demostración:
a) x + (− x ) = 0 → α·[ x + (− x ) ] = α·0 → α·x + α·(− x ) = 0 → α·(− x ) = −(α·x )
1.3.7.- α·( x − y) = α·x − α·y; ∀α ∈ R , ∀x , y ∈ V
Demostrarlo como ejercicio
2.- SUBESPACIO VECTORIAL
2.1.- Definición
Sea (V,+,·K) un K-espacio vectorial y S⊂V, decimos que S es subespacio vectorial
cuando (S,+,·K) es K-espacio vectorial.
Es decir, ha de ocurrir:
1.- (S,+) sea subgrupo de (V,+) ↔ ∀x, y ∈ S : x − y ∈ S .
2.- Que el producto ·K sea cerrado en S o sea: ∀α ∈ k, ∀x ∈ S : α·x ∈ S .
2.2.- Condición necesaria y suficiente de subespacio vectorial
(Como sabemos se trata de una condición (equivalente) a las dos condiciones anteriores)
Sea S⊂ V:
S es subespacio vectorial de V ⇔ ∀α, β ∈ k, ∀x, y ∈ S : α·x + β·y ∈ S (I)
Demostración:
Demostramos en primer lugar la expresión (I) a partir de las proposiciones 1 y 2 del
apartado 2.1, expuestas:
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∀α , β ∈ K, ∀x , y ∈ S → α ∈ K, , ( − β ) ∈ K;α ·x ∈ S y ( − β )·y ∈ S ;
aplicando la
proposición 1:
α ·x + ( −( − β ))·y ∈ S ↔ α ·x + β ·y ∈ S
Del mismo modo demostramos a partir de la condición (I) las dos proposiciones:
1.- 1,−1 ∈ K y x , y ∈ S → x - y ∈ S
2.- ∀α ∈ K,0 ∈ K y ∀x , y ∈ S → α ·x + 0·y = α ·x ∈ S
2.3.- Ejemplos
1.- S = {(−λ, λ ) / λ ∈ R }, es un subespacio vectorial de R2.
2.- P1 (x) es un subespacio vectorial de P2 (x).
3.- V = ({X n },+,·R ) tiene un subespacio vectorial S = ({v n }/ v n −2 + v n −1 = v n ) .
2.4.- Operaciones con subespacios vectoriales
2.4. 1.- Intersección de subespacios
Teorema: Sea (V,+,·K) un K-espacio vectorial y sean S1 y S2 dos subespacios
vectoriales de V, entonces S1 ∩ S 2 es también subespacio vectorial de V.
Demostración:
Queremos demostrar: ∀x , y ∈ S1 ∩ S 2 y ∀α,β ∈ k → α·x + β·y ∈ S1 ∩ S 2
x ∈ S1 , y ∈ S1 → α·x + β·y ∈ S1 ( por ser S1 subespacio) ⎫
x , y ∈ S1 ∩ S 2 → ⎧⎨
⎬
x
⎩ ∈ S 2 , y ∈ S 2 → α·x + β·y ∈ S 2 ( por ser S 2 subespacio) ⎭
→ α·x + β·y ∈ S1 ∩ S 2
2.4.2.- Suma de subespacios
Definición: Sean S1, S2 dos subespacios vectoriales del K-espacio vectorial (V,+,·K)
se define la suma:
S1 + S 2 = {x ∈ V / x = x1 + x2 , xi ∈ Si ; i = 1,2}
Teorema: S1+S2 es también subespacio vectorial.
Demostrar..
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3.- DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
3.1.- Definiciones
Definición 1: Sea un conjunto de vectores x 1 , x 2 ,...., x n , de un espacio vectorial,
decimos que x es combinación lineal de x i , siendo 1 ≤ i ≤ n, si :
n
∃ α1, α 2 , ..., αn ∈ R / x = ∑ αi ·x i
i=1
Definición 2: Sea el conjunto P = {x 1 , x 2 ,...., x n } , al conjunto de todas las
combinaciones lineales posibles de vectores de P le llamamos variedad lineal engendrada
por P; a P le llamamos sistema generador, y es el menor subespacio que contiene a
{x 1 , x 2 ,...., x n }. Se expresa:
⎧n
⎫
x 1 , x 2 ,...., x n = ⎨∑ α i ·x i / α1 ∈ K ⎬
⎩ i =1
⎭
Definición 3: Se dice que {x 1 , x 2 ,...., x n } es un conjunto de vectores linealmente
n
independientes (l.i.) cuando: ∀(α 1 , α 2 , ..., α n ) ∈ k se verifica si ∑ α i ·x i = 0 → α i = 0 ∀i .
i =1
A {x 1 , x 2 ,...., x n } se le llama familia libre.
Definición 4: El conjunto de vectores {x 1 , x 2 ,...., x n }se dice que es un conjunto de
vectores linealmente dependientes (l.d.) cuando:
∀(α1, α 2 , ..., αn ) ∈ k se verifica si
n
∑ α ·x
i =1
i
i
= 0 → ∃α i ≠ 0 para cierto i .
Ejemplos:
1.- En R2 {(1,2 ), (− 2,−4 )} es linealmente dependiente.
2.- En R3 {(1,0,0 ), (0,1,0 ), (0,0,1)} es linealmente independiente.
3.2.- Propiedades
Teorema 1: Sea el sistema {x 1 , x 2 ,..., x n } un conjunto de vectores linealmente
dependientes entonces {x 1 , x 2 ,..., x n , x n +1 ,..., x n + m } es también linealmente dependiente.
Teorema 2: Sea el sistema {x 1 , x 2 ,..., x p ,..., x n } linealmente independiente entonces
{x , x ,..., x } es también linealmente independiente.
1
2
p
Teorema 3: El sistema de vectores {x 1 , x 2 ,..., x n }es ligado ⇔ alguno de sus vectores
es combinación lineal de los restantes.
Teorema 4: El sistema P = {x 1 , x 2 ,...., x n } es libre ⇔ ∀x n +1 ∉ x1 ,..., x n
entonces
{x 1 , x 2 ,..., x n +1 } es libre.
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Teorema 5: Dados n vectores {x 1 , x 2 ,..., x n } al formar con ellos n+1 combinaciones
n
lineales se forma un sistema ligado {y1 , y 2 ,..., y n +1 } con y i = ∑ α i ·x i .
i =1
RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES. TEOREMA DE EXISTENCIA.v
Si S= {v 1, v 2 ,....., v p .} p vectores, no todos nulos, entonces:
I/ Hay algún sistema S0 ⊂ S de vectores l.i. / todos los demás son dependientes de S.
II/ Todos los sistemas S0 ⊂ S que cumplen lo anterior tienen el mismo nº de vectores.
A este nº r se le llama rango del sistema de vectores. ( es el nº máximo de vectores l.i.)
Recordar del tema anterior:
- Rango y operaciones elementales. Enfoque matricial.
- Cálculo efectivo del rango de un sistema de vectores.
Extensión a la definición de RANGO DE UNA MATRIZ. ( rango de las filas y de las columnas).
4.- BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. Coordenadas.4.1.- Definiciones
Definición 1: Sea un K-espacio vectorial se dice que {v1 ,..., v n }es una base de V
cuando:
1.- {v1 ,..., v n } es linealmente independiente.
2.- {v1 ,..., v n } es un sistema generador de V.
Definición 2: Al número natural n = número de vectores de una base, se le llama
dimensión del espacio vectorial.
Ejemplos:
1.- En R2 una base es la canónica B = {e1 , e 2 } donde e1 = (1,0 ) y e 2 = (0,1) .
2.- En ( P3 (x), +, ·R) tenemos {1, x, x2, x3}, base del espacio vectorial.
Para comprobar que la definición de dimensión es coherente debemos comprobar que
todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores.
Teorema: Todas las bases de un K-espacio vectorial tienen el mismo número de
vectores.
Demostración:
Sean B n = {v1 , v 2 ,..., v n } y B m = {w 1 , w 2 ,..., w m } dos bases de un espacio vectorial
dado.
Supongamos que m>n entonces el sistema {w 1 , w 2 ,..., w m } sería ligado por el
Teorema 5 de las propiedades de las combinaciones lineales ya expuesto.
(Ver demostración al final del tema, nota 1 de la pag. 13)
Según esto m no puede ser mayor que n y de la misma forma razonaríamos y n
tampoco puede ser mayor que m, por tanto m=n, o sea, todas las bases tienen un mismo
número de vectores.
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Definición 3: Sea un K-espacio vectorial V y B = {v1 , v 2 ,..., v n } una base suya,
entonces todo x ∈ V puede expresarse como una combinación lineal de los vectores de la
n
base, esto es:
∑ α ·v ,
i
i
α i ∈ k . A los elementos α i , siendo i = 1,...,n se les llama
i=1
coordenadas del vector x en la base B. Se suele expresar:
x ∈ V → x B = (α1, α 2 ,..., α n )B
⎛ α1 ⎞
⎜ ⎟
=⎜ : ⎟
⎜α ⎟
⎝ n ⎠B
Teorema: Las coordenadas de un vector respecto de una base son únicas.
Demostración:
Sea B = {v1 , v 2 ,..., v n } y x ∈ V ; por reducción al absurdo, supogamos que x tuviese
dos juegos de coordenadas disntintas:
⎧ x = α1·v 1 + α 2 ·v 2 + ... + α n ·v n ⎫
x∈V → ⎨
⎬ ⇒ 0 = (α1 − β1 )·v 1 + ... + (α n − β n )·v n
⎩ x = β1·v 1 + β 2 ·v 2 + ... + β n ·v n ⎭
Por ser los v i vectores linealmente independientes :
α i − β i = 0, i = 1,2,...,n → α i = β i , es decir, las coordenadas son únicas.
Teorema de la base incompleta: Sean
{t , t
1
2
,..., t p } p vectores linealmente
independientes del espacio vectorial de dimensión n (n ≥ p), entonces podemos encontrar
t p +1 ,..., t n ( n-p vectores), de tal forma que {t 1 , t 2 ,..., t p ,..., t n }sea una base del espacio
vectorial.
Demostración:
Si n=p ya está demostrado. Para n>p tomamos t p +1 ∉
t 1 , t 2 ,..., t p , ya que
dim t 1 , t 2 ,..., t p = p < n; de tal forma que por la propiedad 4 de las combinaciones lineales
el conjunto {t 1 , t 2 ,..., t p , t p +1 } es linealmente independiente. Utilizando sucesivamente este
proceso tendremos {t 1 , t 2 ,..., t p , t p +1 ,..., t n } , obteniendo así los n-p vectores que también
forman parte de una base de este espacio vectorial.
4.2.- Cambios de bases en un espacio vectorial
Según la definición un conjunto de vectores {x 1 , x 2 ,..., x n } es base de V cuando :
1.- {x 1 ,..., x n } es linealmente dependiente.
2.- {x 1 ,..., x n } es un sistema generador de V.
Veamos ahora como calcular las coordenadas de un vector x ∈ V en una base
determinada conociendo las coordenadas respecto a otra base.
Sean dos bases B1 = {x 1, x 2 ,..., x n } y B2 = {y1, y 2 ,..., y n }
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n
y sea x ∈ V / x = ∑ α i ·y i (αi coordenadas en B2)
i =1
Como los y i ∈ V tendrán unas coordenadas en B1 supongamos que los vectores y i ,
i= 1,...,n, vienen dados por la expresión:
y 1 = β11·x 1 + ... + β1n ·x n
y 2 = β 21·x 1 + ... + β 2 n ·x n
:
:
y n = β n1·x 1 + ... + β nn ·x n
Queremos calcular las coordenadas de x respecto de la base B1, es decir queremos
n
hallar los γ i ∈ K / x = ∑ γ i ·x i .
i =1
Veamos:
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
x = α1·⎜ ∑ β1i ·x i ⎟ + α 2 ·⎜ ∑ β 2i ·x i ⎟ + ... + α n ·⎜ ∑ β ni ·x i ⎟
⎝ i=1
⎠
⎝ i=1
⎠
⎝ i=1
⎠
Sacando factor común los x i con i= 1,...,n, después de multiplicar los αi por cada
sumando, obtenemos:
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
x = x 1 ·⎜ ∑ α i ·β i1 ⎟ + x 2 ·⎜ ∑ α i ·β i 2 ⎟ + ... + x n ·⎜ ∑ α i ·β in ⎟ = γ 1 ·x 1 + γ 2 ·x 2 + ... + γ n ·x n
⎝ i =1
⎠
⎝ i =1
⎠
⎝ i =1
⎠
Es decir, obtenemos los γi que buscábamos:
γ 1 = α1·β11 + α 2 ·β 21 + ... + α n ·β n1
γ 2 = α1·β12 + α 2 ·β 22 + ... + α n ·β n 2
:
:
γ n = α1·β1n + α 2 ·β 2 n + ... + α n ·β nn
Estas son las ecuaciones paramétricas del cambio de base.
En forma matricial se escribiría:
(γ
1
γ2
........ γ n ) = (α1
Donde X B
1
α2
⎛ β 11 β 12
⎜
β 22
⎜β
........ α n ).⎜ 21
... ...
⎜
⎜β
⎝ n1 β n 2
son las coordenadas de x
en la base B1, y
.... β 1n ⎞
⎟
.... β 2 n ⎟
⇔ X B = X B .( B 2 ) B
.... ... ⎟
⎟
.... β nn ⎟⎠
1
XB
2
2
1
las coordenadas de x en la base B2 y
( B 2 ) B es la matriz que representa las coordenadas de los vectores de la base B2 en la base B1.
1
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5.- SUMAS DIRECTAS DE SUBESPACIOS
5.1.- Definiciones
Definición 1: Sea E un K-espacio vectorial y sean dos subespacios F1, F2
representamos la suma de ambos como E= F1+ F2, cuando:
∀x ∈ E , x = x 1 + x 2 con x 1 ∈ F1 y x 2 ∈ F2
Definición 2: Cuando esta descomposición es única se dice que es suma directa y se
denota E = F1 ⊕ F2 .
Ejemplos:
1.- Sea B = {v1 , v 2 ,..., v n } una base del K-espacio vectorial V entonces:
V = v1 ⊕ v 2 ⊕ .... ⊕ v n , siendo v i la variedad lineal generada por v i , pues
∀x ∈ V x = α1 ·v1 + ... + α n ·v n , con α i ·v i ∈ v i .
2.- Un ejemplo de suma no directa es: S = (1,0 ), (1,1) y L = (3,1) ya que el vector
(6,2) puede obtenerse de dos formas distintas a partir de S y L:
(6,2)=0·(1,0)+0·(1,1)+2·(3,1)
(6,2)=2·(1,0)+1·(1,1)+1·(3,1)
3.- Sea V= F(R,R) el espacio vectorial de las funciones reales de variable real y sean
V1=P(x) y V2= funciones acotadas, no se da suma directa pues:
p + f = (p + k ) + (f − k ) ∀ k = constante
Sin embargo para el mismo espacio vectorial con V1= polinomios sin término
independiente y V2= funciones acotadas, sí se da suma directa ya que:
p+f = q+g ↔ p-q = g-f ↔ g-f es una función acotada y p-q = 0 ya que tiene que ser
polinomio sin término independiente → p=q y g=f, es decir, la descomposición es única y la
suma directa.
5.2.- Teoremas de caracterización de las sumas de subespacios
Teorema 1: Sea un K-espacio vectorial y F1 y F2 dos subespacios suyos entonces:
E = F1 ⊕ F2 ↔ F1 ∩ F2 = {0}
Demostración:
(⇒) Por reducción al absurdo:
⎧ x = 0 + x donde x ∈F2 , 0∈F1
Sea x ∈ F1 ∩ F2 → ⎨
⎩ x =x + 0 donde x ∈F1, 0∈F2
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Por tanto no tiene expresión única, es decir, la suma no es directa.
x =x1 + x 2 ⎫
(⇐)Sea ⎧⎨
⎬ → x 1 + x 2 = x '1 + x ' 2 → x 1 − x '1 = x 2 − x ' 2 ,donde
⎩ x =x '1 + x '2 ⎭
x − x '1 ∈ F1 ∩ F2 ⎫ ⎧ x 1 − x '1 = 0 ⎫ ⎧ x 1 = x '1 ⎫
x 1 − x '1 ∈ F1 y x 2 − x ' 2 ∈ F2 → ⎧⎨ 1
⎬
⎬→⎨
⎬→⎨
⎩ x 2 − x ' 2 ∈ F1 ∩ F2 ⎭ ⎩ x 2 − x ' 2 = 0 ⎭ ⎩ x 2 = x ' 2 ⎭
Por tanto tienen una única expresión, es decir, es suma directa.
Teorema 2: La suma E=F1+F2 es directa ⇔ 0 = x 1 + x 2 donde x i ∈ Fi → x i = 0 .
Demostración:
⎧
⎫
(⇒ )Si ⎨ x ≠0 ⎬ → x
1
⎩ x 2 ≠0 ⎭
1
+ x 2 = 0 → x 1 = − x 2 → − x 2 ∈ F1 → x 2 ∈ F1 → x 2 ∈ F1 ∩ F2 por
el
teorema anterior si E = F1 ⊕ F2 → F1 ∩ F2 = {0}.
(⇐) Queremos demostrar F1 ∩ F2 = {0}, por reducción al absurdo:
⎧ x = 0 + x 0∈ F1,x∈F2 ⎫
Sea x ≠ 0 ∈ F1 ∩ F2 → ⎨
⎬ → debería ser x = 0 y 0 = x .
⎩ x =x + 0 x∈ F1, 0∈F2 ⎭
5.3.- Subespacios suplementarios
Definición: Dado un K-espacio vectorial (V,+,·K) y sean L y M dos subespacios
suyos, decimos que L y M son suplementarios (o complementarios) cuando:
a) L+M=V
b) L ∩ M = {0}
Es decir cuando la suma de L y M es directa L ⊕ M = V.
Ejemplo: R 2 = (1,0 ) ⊕ (0,1) = (1,0 ) ⊕ (1,1)
NOTA: El subespacio suplementario no es único.
(Una demostración al final del tema, ver nota 2 pág. 13)
6.- DIMENSIONES DE LOS SUBESPACIOS. Ecs de los subesopacios.-
Teorema de ampliación de la base: Sea (V,+,·K) un K-espacio vectorial de dimensión
n y sea L un subespacio de dimensión r/ r<n, entonces ∀ base de L existe otra base de V que
contiene a la de L, tal que los vectores añadidos a la base de L son base del subespacio
vectorial complementario de L.
Demostración:
Sea {e1 , e 2 ,..., e r } base de L, obviamente existe e r +1 ∉ e1 ,..., e r /{e1 , e 2 ,..., e r +1 } es
linealmente independiente.
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Pueden ocurrir dos cosas:
a) Que {e1 , e 2 ,..., e r +1 } sea sistema generador de V, y al ser linealmente independiente
sea base del K-espacio vectorial y por tanto n=r+1. En este caso, además, er +1 sería
r +1
complementario
de
L
pues
∀x ∈ V → x = ∑ α i ·ei ,
por
tanto
i =1
α 1 ·e1 + ... + α r ·e r ∈ L y α r +1 ·e r +1 ∈ e r +1 . Además como e r +1 ∉ e1 ,..., e r , entonces
e r +1 ∩ L = {0}, es decir e r +1 ⊕ e1 ,..., e r = V , la suma es directa y por tanto son
complementarios.
b) Que {e1 , e 2 ,..., e r +1 } no sea sistema generador de V, entonces y por ser linealmente
independientes dim e1 ,..., e r +1 = r + 1 < n, y entonces existirá un vector
e r + 2 ∉ e1 ,..., e r +1 /{e1 , e 2 ,..., e r + 2 } sea linealmente independiente. Con este nuevo
conjunto de vectores podríamos hacer análogo razonamiento al anterior, si éste fuera
sistema generador de V o no, y así sucesivamente.
Después de (n-r) pasos obtendríamos un conjunto {e1 , e 2 ,..., e r , e r +1 ,..., e n } que es
base de V y {e r +1 ,..., e n } genera un subespacio complementario de L.
Corolario: Si L y M son dos subespacios complementarios de V entonces:
dim L+dim M= dim V
6.1.- Teorema de las dimensiones
Sea V un espacio vectorial y L y M dos subespacios suyos tales que dim L= r y dim
M= s. Se cumple que:
dim (L+M) + dim (L∩M) = dim L + dim M
Demostración:
Supongamos que dim (L∩M) = t, obviamente (t≤ r,s). Sea B = {e1 , e 2 ,..., e t } una base
de L∩M. La ampliamos hasta obtener una de L y otra de M:
B L = {e1 , e 2 ,..., e t , e t +1 ,..., e r }, B M = {e1 , e 2 ,..., e t , e ' t +1 ,..., e 's }
Vamos a probar que el conjunto {e1 , e 2 ,..., e t , e t +1 ,..., e r , e ' t +1 ,..., e 's } es base de la
suma. De esta forma el teorema queda demostrado pues:
dim (L+M)= r+s-t= dim L+dim M –dim L∩M
Para que este conjunto sea una base del espacio vectorial tiene que cumplir que:
1.- Sea sistema generador:
∀x ∈ V → x = x L + x M
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r
Como x L ∈ L → x L = ∑ α i ·ei =α1 ·e1 + ... + α r ·e r
i =1
s
Como x M ∈ M → x M = ∑ β i ·ei =β1 ·e1 + ...β t ·e t + β t +1 ·e ' t +1 +β s ·e 's
i =1
t
r
s
i =1
t +1
t +1
Por tanto x = ∑ (α i + β i )·ei + ∑ α i ·ei + ∑ β i ·e 'i , es decir x es combinación lineal
de dichos vectores.
2.- Que los vectores sean linealmente independientes:
r
s
i=r
t +1
Queremos demostrar: ∑ α i ·e i + ∑ β i ·e ' i = 0 ...(I)... →α i = β i = 0, ∀i ,esto es:
t
r
s
s
r
i =1
t +1
t +1
t +1
i =1
∑ α i ·ei +∑ α i ·ei +∑ β i ·e'i = 0 →∑ β i ·e'i = − ∑ α i ·ei , teniendo en cuenta que el
primer término de la igualdad pertenece a M y el segundo a L, entonces pertenece a L∩M:
s
s
t
s
t
t +1
t +1
i =1
t +1
i =1
∑ β i ·e'i ∈ L ∩ M → ∑ β i ·e'i =∑ p i ·ei →∑ β i ·e'i +∑ p i ·ei = 0 , entonces, y por ser
{e1 , e 2 ,..., e t , e t +1 ,..., e r , e ' t +1 ,..., e 's } base: p i
= 0, β i = 0; ∀i .
Si β i = 0 ∀i , llevándolo a la expresión (I):
r
∑ α ·e
i=r
i
i
= 0 , por ser base: α i = 0, ∀i . De
esta forma queda demostrado que dichos vectores son linealmente independientes.
Por todo ello:
{e1 , e 2 ,..., e t , e t +1 ,..., e r , e ' t +1 ,..., e 's }es base de L+M.
Siendo:
{e1 , e 2 ,..., e t }base de L∩M.
{e1 , e 2 ,..., e t , e t +1 ,..., e r }base de L.
{e t , e t +1 ,..., e r , e ' t +1 } base de M.
NOTA: Obsérvese que la demostración se basa en construir bases de L y M a partir de L∩M que
está incluido tanto en L como en M.
-Se utiliza pues que s.g. {L+M}={s.g.L}∪{s.g. M}.
-Se construye una base por el teorema de ampliación de las bases vectoriales.
Ecs. de los subespacios: paramétricas e implícitas.Ver nota 3 al final del tema.
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7.- ESPACIO VECTORIAL COCIENTE
Todo subespacio vectorial de un K-espacio vectorial engendra una relación binaria
de equivalencia (R.B.E.) de la siguiente forma:
Teorema: Sea (V,+,·K) un K-espacio vectorial, y S un subespacio suyo. Se define la
R.B. xRy ↔ x − y ∈ S , R es R.B.E.
Demostración:
a) Demostramos en primer lugar que dicha relación cumple la propiedad reflexiva:
xRx, ∀x ∈ V, pues x - x = 0 ∈ a todo espacio vectorial.
b) Comprobamos también que cumple la propiedad simétrica: Si
xRy → x − y ∈ S → −(x − y ) ∈ S → y − x ∈ S → yRx.
c) Por último, para ser R.B.E. debe cumplir la propiedad transitiva: Si
xRy
yRz → xRz , demostramos que es cierta para la R.B. definida:
xRy→x − y∈S
( ) (
)
yRz→ y−z∈S → x − z ∈ S, ya que : x - y + y − z ∈ S, es decir, xRz.
}
}
Por tanto es R.B.E. y se forma un espacio vectorial cociente:
[x ] = {y ∈ V / x − y ∈ S}; ∀x ∈ V
NOTA: Se puede comprobar que R es compatible con la suma, que es una ley de
composición interna, y el producto, ley de composición externa.
Al conjunto cociente se le denota por V/S, y dotándole de las operaciones (+,·K)
tenemos:
1.- [x ] + [y ] = [x + y]; ∀[x ], [y] ∈ V / S
2.- α·[x ] = [α·x ]; ∀α ∈ k
Se puede comprobar que:
1.- (V/S,+) es grupo abeliano.
2.- (V/S,·K) es una ley de composición externa que cumple las cuatro propiedades de
espacio vectorial.
Por tanto, (V/S,+,·K) es un espacio vectorial llamado espacio vectorial cociente:
dim (V/S)=dim V-dim S
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NOTA1.- Demostración teorema 5 (viene de la página 5)
Queremos demostrar que dados n vectores {x 1 , x 2 ,..., x n } al formar con ellos n+1
n
combinaciones lineales se forma un sistema ligado {y1 , y 2 ,..., y n +1 } con y i = ∑ α i ·x i .
i =1
Como la afirmación es evidente para n =1 la suponemos cierta para este valor y la probamos
para n:
α
Podemos suponer que α11 ≠ 0. Entonces los vectores y'i = y i − i1 ·y1 , siendo
α 11
i=2,...,n son linealmente dependientes por la hipótesis de inducción ya que son
combinaciones lineales de x 2 ,..., x n . Existen por tanto n-1 escalares β 2 , β 3 ,..., β n , no todos
n
⎛
⎞
α
β
=
→
βi ·⎜⎜ yi − i1 ·y1 ⎟⎟ = 0 →
·
y
'
0
∑
∑
i
i
α11 ⎠
i=2
i=2
⎝
Sustituyendo y operando obtenemos:
n +1
⎛ n +1 α i1 ⎞
⎟⎟·y1 + ∑ β i ·y i = 0
⎜⎜ − ∑ β i ·
α11 ⎠
i=2
⎝ i=2
n
nulos y tales que:
Lo que demuestra que {y1 , y 2 ,..., y n +1 } son linealmente dependientes.
__________________
NOTA 2.- Vamos a demostrar en un caso concreto que el subespacio complementario no es
único ( viene de la pág. 11):
Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y sea L un subespacio vectorial suyo de
dimensión n-1 con base formada por los vectores {e1 , e 2 ,..., e n −1 }.
Como V es de dimensión n → e n ∈ V /{e1 , e 2 ,..., e n } es base de V y el subespacio
generado por e n es el complementario de L:
{}
⎧⎪ L∩ e n = 0
. Llamaremos
e n = LC → ⎨
⎪⎩ L+ e n =V
M= e n .
Veamos que se puede construir otro subespacio complementario de L.
Consideramos el subespacio engendrado por e1 + e n = 1·e1 + 0·e 2 + ... + 0·e n −1 + 1·e n .
⎧e + e n ∉ L, pues : e n ∉ L
→ N = e1 + e n
Teniendo en cuenta que ⎨ 1
⎩ e1 + e n ∉ M, pues : e1 ∉ M
complementario de L, ya que:
a) B = {e1 , e 2 ,..., e n −1 , e1 + e n } es base de V:
Veamos que son l.i.:
n −1
n
i =1
i=2
es otro subespacio
∑ α i ·ei + α n ·(e1 + e n ) = 0 → (α1 + α n )·e1 + ∑ α i ·ei = 0
→ α 1 + α n = 0, α 2 = 0,..., α n = 0 → α i = 0; ∀i
b) N≠M
c) N ∩ L = {0}, ya que de no ser así el conjunto B no sería linealmente
independiente, y por tanto N ⊕ L = V.
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NOTA 3.- Ecs. de los subespacios: paramétricas e implícitas:
Sea el e.v. V con base B= {x 1, x 2 ,..., x n } y sea el sub-e.v. L generado por los vectores
{v ,..., v } suponiendo que es de dimensión p (o sea son
1
p
l.i.) que tienen como coordenadas:
v 1 = β11·x 1 + ... + β1n ·x n
n
con expresión genérica v i = ∑ β ij x j donde i=1,...p
v 2 = β 21·x 1 + ... + β 2 n ·x n
j=1
:
:
v p = β p1·x 1 + ... + β pn ·x n
p
Si x ∈ L (como los vi son generadores de L) → x = ∑ α i v i ( sustituyendo la expresión
i =1
p
anterior)=
n
∑ α (∑ β x )
i =1
i
n
p
j=1
i =1
j=1
ij
j
y sacando factor común los x i tendremos:
x = ∑ (∑ α i .β ij ).x j llamando a las coordenadas de x = ( γ 1, γ 2 ,...., γ n ) e igualando
por la unicidad de coordenadas tendremos:
γ 1 = α1·β11 + α 2 ·β 21 + ... + α p ·β p1
γ 2 = α1·β12 + α 2 ·β 22 + ... + α p ·β p 2
:
:
γ n = α1·β1n + α 2 ·β 2 n + ... + α p ·β pn
de
Estas son las ecuaciones paramétricas de L donde las γi son las n coordenadas
x , βij las coordenadas de los generadores de L, y αi i=1, 2, ..p. los p parámetros .
Se trata de un sistema de n ecuaciones lineales con p parámetros.
Eliminando los parámetros obtenemos
tipo:
⎧A 11γ 1 + A 12 γ 2 + ..... + A 1n γ n = 0
⎪
⎪A 21γ 1 + A 22 γ 2 + ..... + A 2 n γ n = 0
⎨
⎪.............
⎪A P1γ 1 + A P 2 γ 2 + ...... + A pn γ n = 0
⎩
n-p ecuaciones no paramétricas o implícitas del
que son las n-p ecs. (lineales homogéneas) implícitas de L.
Siendo Aij los coeficientes de las ecuaciones y γi las variables o coordenadas del vector de L.
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