A la hora de resolver la ecuación de Schródinger con Hamiltoniano

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A la hora de resolver la ecuación de Schródinger con Hamiltoniano (1.8), resulta bastante útil el
uso de unidades atómicas efectivas. El procedimiento consiste en expresar todas las longitudes y
las energías en unidades de radio de Bohr y Rydberg efectivos, respectivamente, así:
h2e
Radio de Bohr efectivo: ao = me
*
4
m e
Rydberg efectivo: - Ry= 2 62 h2
(1.9a)
(1.9b)
Usando coordenadas cilíndricas (p, 0, z) el Hamiltoniano (1.8) se puede escribir como:
1
2
= —V 2 +- p2 7 2 +7Lz — —
(1.10)
4
he B
Donde, y =es una medida adimensional del campo magnético y
representa la
2m cR,
proyección del operador momentum angular a lo largo del campo magnético. El término
contiene el efecto del campo magnético y describe la fuerza de Lorentz sobre el electrón, cuyo
p2
efecto será producir un encogimiento de la función de onda. El término diamagnético, 4
describe un oscilador armónico bidimensional.
El uso de las unidades (1.9) tiene grandes ventajas, pues permiten liberar al Hamiltoniano de todo
tipo de constantes. De esta manera se tiene un Hamiltoniano completamente adimensional,
permitiendo que los resultados teóricos que se obtengan se puedan utilizar en una gran variedad
de situaciones y desde el punto de vista computacional se podrán agilizar los cálculos, evitando a
su vez desagradables sorpresas con las unidades.
1.4 DATOS EXPERIMENTALES PARA LAS ESTRUCTURAS DE POZO CUÁNTICO
DE GaAs-Gai_xAlxAs.
El desarrollo de las técnicas de crecimiento cristalino, tales como: Haces moleculares[34-35]
(MBE), deposición metal-orgánica de vapor químico(MOCVD)[34-35], haces químicos
(CBE)[34-35] y la epitaxia en fase líquida(LPE)[36-37], han permitido crecer una serie de
estructuras a partir de la superposición de capas semiconductoras, en las que es posible manipular
convenientemente y a escala atómica el dopaje y la composición química. Una de estas
estructuras se obtiene a partir de dos semiconductores base, A y B, cuando una pequeña capa del
material B, cuyo espesor puede llegar a ser hasta de 20Á y poseer impurezas donadoras, se rodea
de capas de material A. Dado que la longitud de onda de De Broglie de los portadores de carga
es mayor que el espesor de la capa B, entonces de esta manera es posible llegar a confinar
electrones en 2,1 y 0 dimensiones, generándose de esta forma efectos electrónicos nunca antes
observados.
Los semiconductores base que participan en la formación de la estructura ABA deben cumplir
dos requisitos fundamentales[38]:
Poseer un parámetro de red muy parecido y
Los anchos de sus bandas deben ser lo más diferente posible.
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Con la primera condición se asegura que las interfaces va a presentar el mínimo de
deformaciones posible y la segunda garantiza que las propiedades electrónicas del material
resultante difieran apreciablemente de los materiales constituyentes.
La estructura ABA que se ha estudiado con mayor éxito, por su gran importancia tecnológica, ya
que se puede usar en la fabricación de dispositivos de alta velocidad, se basa en el uso de
GaAs = B y de la aleación Ga i _xAl,As = A, donde 0 x 1. Todo los cálculos y resultados que
se reportarán en el presente trabajo se basan en el uso de estos materiales. Por esta razón se
considera necesario describir los principales parámetros que los caracterizan, como por ejemplo:
Estructuras de bandas, masa efectiva, ancho de la banda prohibida, y constante dieléctrica.
Ambos materiales cristalizan en estructura del tipo Zinc-Blenda y la zona de Brillouin posee un
punto de simetría en su centro; es decir, en k = 0 ( Punto y ). Lo anterior significa que los
materiales son de gap directo. Se han obtenido resultados experimentales que permiten expresar
el Eg para la mezcla de Ga i _,,A1),As como: Eg = (1.52 + 1.155x + 0.37x 2 )eV [34], donde x = 0
corresponde al GaAs. Dado el carácter empírico de este resultado, existen otros autores que
consideran más apropiado el uso de un Eg = (1.52 + 1.247x)eV [35]. Los dos resultados que se
exhiben en la figura 1.3 arrojan resultados muy similares para la concentración de aluminio que
se utilizarán en los cálculos. Con el propósito de comparar los que se obtengan acá., con datos
teóricos y experimentales, se deberá hacer uso de ambas expresiones, lo cual se hará explícito en
su debido momento.
Las estructuras de bandas posee una discontinuidad en la interface de magnitud
AEg = (1.155x + 0.37x2)eV o AEg (1.247x)eV, según sea la expresión que se utilice. Se ha
encontrado que el mínimo de la banda de conducción (BC) del Ga i.xAl„As está alrededor de
0.65AEg por encima del mismo borde para el GaAs, mientras que le máximo de su banda de
valencia (BV) se ubica 0.35AEg por debajo del máximo valor de la BV para el GaAs.
AEg Eg
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
Figura 1.3 dependencia del Eg y del AEg con la concentración x de
aluminio así: Eg = 1,52 + 1,155x + 0.37x 2 y A.Eg = 1,155x + 0.37x2
Al graficar el perfil de los bordes de estas bandas (mínimo de la BC y máximo de la BV), figura
1.4, para una capa de GaAs entre capas de Ga i _xikl„As aparece una estructura de pozo cuántico.
Este es justamente el nombre más común con el cual se denomina la estructura ABA
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Handa
de
conducc i ón
0 55 AEg
E n (Gai-xAix As)
-r-
Es (Cla As)
1
0.35 ZsEg
1
Gat-->cAix Asi
na As
Hancla
de
-va 1e* ncja
As
Figura 1.4 Perfil de las bandas de valencia y de conducción para el GaAs dopado con
aluminio.
En las figuras 1.5 y 1.6, respectivamente, se muestran los resultados obtenidos por varios
autores[36] para la masa efectiva y la constante dieléctrica del Ga. 1.0111„As en función de la
concentración de aluminio x.
X
Figura 1.5 Dependencia de la masa efectiva nit*
con la concentración de aluminio x:
m / m = (0.067 + 0.083x)
Figura 1.6 dependencia de la función dieléctrica
del Gal„„Al.As con la concentración de aluminio
x: £ = 12,53x — 2.5