UNIDAD DIDÁCTICA 1 LÓGICA DE ENUNCIADOS Profesor: Sergi Pascual Tur Asignatura: Filosofía y Ciudadanía 1 Bach. 1 ÍNDICE 0.- Introducción. 1.- El lenguaje natural. 2.- El lenguaje artificial. 2.1.- El lenguaje formal. 3.- La lógica. 3.1.- Formalización de enunciados. 3.2.- Enunciados y clases de enunciados. 3.3.- Variables de enunciados. 3.4.- Conectores: Negador, Conjuntor, Disyuntor, Implicador, Coimplicador. 4.- Actividades de formalización. 5.- Tablas de verdad. 5.1.- Conceptos teóricos. 5.2.- Actividades. 6.- La deducción. 6 a.- Las reglas básicas y actividades realizadas. 6 b.- Actividades de deducción. 7.- Actividades de formalización. 8.- Reglas derivadas y ejercicios resueltos. 9.- Bibliografía aconsejable. 2 0.- INTRODUCCIÓN. http://www.youtube.com/watch?v=0Y5g49moRrE Un poco de historia: La lógica tradicional se basaba en el silogismo como razonamiento basado en el juicio categórico aristotélico. La noción central del sistema lógico de Aristóteles es el silogismo (o deducción). Un silogismo es, según la definición de Aristóteles, «un discurso (logos) en el cual, establecidas ciertas cosas, resulta necesariamente de ellas, por ser lo que son, otra cosa diferente».Un ejemplo clásico de silogismo es el siguiente: 1. Todos los hombres son mortales. 2. Todos los griegos son hombres. 3. Por lo tanto, todos los griegos son mortales. En este ejemplo, tras establecer las premisas (1) y (2), la conclusión (3) se sigue por necesidad. La noción de silogismo es similar a la noción moderna de argumento deductivamente válido, pero hay diferencias. Definición: La Lógica es una ciencia formal y que por tanto, no tiene contenido, sino que simplemente estudia las formas válidas de inferencia. Hoy día la lógica utiliza como unidad básica la proposición y las reglas de inferencia en la argumentación discursiva. La programación lógica: La programación lógica consiste en la aplicación del corpus de conocimiento sobre lógica para el diseño de lenguajes de programación; no debe confundirse con la disciplina de la lógica computacional. La programación lógica comprende dos paradigmas de programación: la programación declarativa y la programación funcional. La programación declarativa gira en torno al concepto de predicado, o relación entre elementos. La programación funcional se basa en el concepto de función (que no es más que una evolución de los predicados), de corte más matemático. 1.- LENGUAJE NATURAL. El ser humano ha tenido la capacidad simbólica de tener una forma propia de comunicación: el lenguaje verbal articulado, mediante el cual elabora su propia experiencia y la transmite a los demás. Este lenguaje, recibe el nombre de lenguaje natural. Es el lenguaje que el ser humano utiliza en la vida cotidiana y se concreta en las distintas lenguas propias de las diferentes comunidades lingüísticas. 3 2.- LENGUAJE ARTIFICIAL. A pesar de la importancia que tiene el lenguaje natural, indispensable en la comunicación ordinaria, tanto por las dificultades que presenta el lenguaje de cada día, como por la exigencia de formas de comunicación más operativas y adecuadas a campos específicos o a necesidades determinadas, han surgido los llamados lenguajes artificiales. Dentro de los lenguajes artificiales nos interesan especialmente los lenguajes científicos, que se caracterizan sobretodo por ser precisos y operativos. Se utilizan en campos determinados: las matemáticas, la física, la química, la informática, la lógica…Si nos damos cuenta, este lenguaje se utiliza en ámbitos de trabajo en que se requieren instrucciones precisas o fórmulas. Este tipo de lenguajes se inician a partir del Renacimiento y sobretodo se multiplica en el siglo XIX. Esto ha sido un elemento fundamental para el desarrollo de la ciencia y las tecnologías modernas. 2.1.- Lenguaje formal. Dentro de los lenguajes artificiales, un tipo especial lo constituyen los lenguajes formales que tanto la lógica como la matemática utilizan como herramienta fundamental. Todo lenguaje formal consta de un conjunto de signos y reglas que lo caracterizan: tabla de símbolos, reglas de formación y reglas de transformación. 3.- LA LÓGICA 3.1.- Formalización de enunciados Formalizar consiste en traducir las expresiones del lenguaje ordinario a un lenguaje formal o simbólico. Se sustituyen los enunciados del lenguaje ordinario por variables de enunciado y los nexos o partículas que enlazan los enunciados del lenguaje ordinario por símbolos lógicos. 3.2.- Enunciados y clases de enunciados La palabra enunciado se la considera normalmente como sinónima de oración, proposición y, a veces, de sentencia. Conviene señalar que no serán enunciados las interrogaciones y las exclamaciones por el simple hecho de no poder considerarse verdaderas o falsas. Son enunciados No son enunciados - La catedral de Valencia es bonita. - ¿Cómo estás? - Riola es una población de la comunidad - ¡Hola chaval! Valenciana. Los enunciados se dividen en atómicos o moleculares. Un enunciado atómico o simple es aquel que no lleva ningún nexo o conector. Son enunciados atómicos. - El Júcar es un río. 4 - Valencia está entre Alicante y Castellón. - El España ganó el último mundial. Un enunciado molecular está compuesto por varios enunciados atómicos, por tanto, tiene necesariamente que llevar conectores. Son enunciados moleculares: - Si luce el sol, iremos a nadar. - Los animales sufren y los humanos son animales racionales. 3.3.- Variables de enunciado Son letras que sustituyen a un enunciado atómico. Normalmente se utilizan p, q, r, s…También pueden utilizarse otras letras minúsculas exceptuando x, y, z…que se reservan para variables de predicados. Ejemplos: Sócrates es un gran filósofo p Las violetas son blancas q El carbón es negro r La miel es dulce s 3.4.- Conectores Son los símbolos que representan las partículas que, exceptuando al negador, unen los enunciados atómicos dando lugar así a enunciados compuestos. Estos signos suelen denominarse conectores, conectivas o juntores. Tales conectores son: negador, conjuntor, disyuntor, implicador y coimplicador. Negador ┐ Este símbolo representa la partícula “no” del lenguaje ordinario o cualquier otra que encierra la idea de negación, tal como “ni”, “no es vierto que”, “no es el caso de”, “es falso que”. No hay que olvidar que en español, la negación se expresa también mediante prefijos: “impreciso” “inmortal”… Para representar la negación utilizaremos el signo ┐. Lo colocaremos delante de la variable del enunciado. Hace calor p No hace calor ┐ Es cierto que Sebastián necesita trabajar q No es cierto que Sebastián necesita trabajar ┐q Javier es una persona correcta r Javier es una persona incorrecta ┐r Raul está felizmente casado s Raül está infelizmente casado ┐s 5 Definición del Negador ┐ Si un enunciado es verdadero su negación es falsa, y si un enunciado es falso su negación es verdadera. Veamos como se expresan los valores de verdad: p V F ┐p F V Conjuntor ^ Este signo representa la partícula “y” del lenguaje ordinario o cualquer otra que encierre la idea de conjunción, tal como “aunque”, “pero”, “sin embargo”, etc. Para representar la conjunción nos serviremos del signo “^”. Javi toca la trompa y Raul es fontanero. p ^ q p q Sócrates y Platón son filósofos. p ^ q Sócrates es un filósofo p Platón es un filósofo q Javi sabe mucho de música pero poco de política. p ^ q Javi sabe mucho de música p Javi sabe poco de política q Raul y Cristina se han casado p ^ q Raul se ha casado p Cristina se ha casado q En Valencia y en la China se cultiva mucho arroz. p ^ q En Valencia se cultiva arroz p En la China se cultiva arroz q Ni estudio ni quiero estudiar ┐p ^ ┐q Definición del ^ Una conjunción es verdadera cuando sus dos componentes son verdaderos, y falsa en todos los demás casos. Veamos los valores de verdad: p V V F F q V F V F p^q V F F F 6 Disyuntor Es el signo que representa la partícula “o” del lenguaje ordinario. Esta partícula tiene un sentido inclusivo y otro es el sentido exclusivo. Disyunción inclusiva v Para representar la disyunción inclusiva utilizaremos el signo “v”. La idea que expresa la disyunción inclusiva de dos enunciados es que la verdad de uno de los dos componentes de la disyunción no excluye la verdad simultánea del otro. ___q____________ _______ Necesito un empleado alto o con barba p v q p Como vemos en el caso anterior, cabe la posibilidad que el empleado sea alto y con barba. ___q___ _______ Pepe es médico o científico p v q p En este caso, tampoco se excluye la posibilidad de que Pepe sea médico y científico a la vez. Definición del v Una disyunción inclusiva es falsa cuando sus dos componentes son falsos y verdadera en todos los demás casos. De aquí que los valores de verdad de la disyunción sean: p V V F F q V F V F pvq V V V F Disyunción exclusiva w Para representar la disyunción exclusiva, utilizaremos el signo “w”. Aquello que representa la disyunción exclusiva de dos enunciados es que la verdad de uno excluye la verdad del otro enunciado. Ejemplos: ___q____ ________ Sergio es cristiano o musulmán p pwq 7 En el ejemplo anterior, queda clara la exclusión. Sergio sólo puede pertenecer a una de las dos religiones, pero no a ambas a la vez. _________ __ Nuria tiene 13 años o 12 pwq En este ejemplo, está claro que Nuria no puede tener 13 años y 12. Si tiene 13 no tendrá 12 y viceversa. Definición del w Una disyunción exclusiva es verdadera cuando uno de sus dos componentes es verdadero y el otro falso, y falsa en todos los demás casos. p V V F F q V F V F pwq F V V F Aunque haya quedado clara la distinción entre el disyuntor inclusivo e exclusivo, en el desarrollo de esta unidad solamente utilizaremos la disyunción inclusiva. Esto lo haremos puesto que en el lenguaje formal podemos prescindir de la disyunción exclusiva, sirviéndonos de todos los restantes conectores. Implicador → Es el signo que representa las partículas “sí....entonces” del lenguaje ordinario o cualesquiera que que encierren la idea de condición, tales como “sólo sí...entonces” “cuando...entonces”. etc. Para representar la implicación utilizaremos el signo → Hay que tener en cuenta que en la implicación tenemos el antecedente y el consecuente. La partícula “si” introduce el antecedente, mientras que la partícula “entonces” introduce el consecuente. Un enunciado tal como “si me toca la lotería me haré rico”, “tocarme la lotería” (p) es el antecedente y es una condición suficiente, aunque no es necesaria, para que se dé el enunciado “hacerme rico” (q), que se convierte en el consecuente. El consecuente (q) puede darse sin que ocurra el antecedente. Yo puedo hacerme rico sin que me haya tocado la lotería; por ejemplo, mediante la donación de cualquier filántropo o mediante una herencia. Formalmente, el enunciado quedaría así: p→q Hay un caso, que conviene subrayar, es cuando la partícula “si” se le antepone “sólo si”. Esto modifica el sentido de la implicación, porque “sólo si” introduce no el antecedente sino el “consecuente” y “entonces” introduce el antecedente. En el enunciado “Solo si me toca la lotería me haré rico”, “tocarme la lotería” (p) es una condición necesaria, aunque no suficiente para que se dé “hacerme rico” (q); es decir, si yo llego a hacerme rico alguna vez sera porque necesariamente me habrá tocado la lotería. Su formalización quedaría de la siguiente manera: q→p 8 Como podemos observar, la partícula “sólo” al anteponerla a “si” invierte el sentido de la implicación. Ejemplos: - De haber tomado las medidas necesarias, no hubiéramos tenido este accidente. p → ┐q - Quien a hierro mata, a hierro muere p → q - Si los enanitos crecen, entonces el circo tendrá que cerrar. p → q Definición del → Una implicación es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y verdadera en todos los demás casos. Veamos los valores de verdad: p V V F F q V F V F p→ q V F V V En el primer caso no se plantea ningún problema porque en una implicación lo que se pretende es que de la verdad del antecedente se siga la del consecuente (primer caso), de tal manera que si se sigue la falsedad del consecuente (segundo caso), la implicación es falsa. En cambio, los dos últimos casos plantean siempre algún problema intuitivo. En el tercer caso, hay que tener en cuenta que el antecedente es siempre una condición suficiente para el consecuente, por tanto, aunque el antecedente sea falso, el consecuente puede ser verdadero y con ello la implicación sería verdadera. En el último caso, el mismo valor de verdad que posee el antecedente se da para el consecuente, y por ello la implicación es verdadera. Coimplicador ↔ Es el signo que representa la partícula “si y sólo si” del lenguaje ordinario o cualquier otra que encierra una condición bicondicional: “equivale a”, “cuando y solamente cuando”, etc Para representar la coimplicación utilizaremos el signo ↔. El signo este significa que un enunciado es condición necesaria y suficiente para otro. Volviendo al ejemplo anterior: “si y solo si me toca la lotería me haré rico”, podemos considerar que quedaría estructurado de la siguiente manera: (p → q) ^ (q→p) O también: p↔q Conviene destacar que “si...entonces” y “sólo si...entonces” son distintos de “si y sólo si” 9 Ejemplos: - Un triángulo es rectángulo si y sólo si tiene 180 grados. p↔q - Cuando hablo digo verdades si y sólo si no digo mentiras. p ↔ ┐q - En el mundo habrá paz cuando y sólo cuando no haya guerra. p ↔ ┐q - El que haya progreso equivale a que no haya incultura. p ↔ ┐q Definición del ↔ Una coimplicación es verdadera si y sólo si, ambos miembros tienen el mismo valor de verdad y falsa en caso contrario. Veamos los valores de verdad. p V V F F q V F V F p↔q V F F V Uso de conectores Hasta ahora, hemos utilizado los conectores para unir enunciados atómicos. Sin embargo, podría darse el caso de que los conectores enlazaran dos enunciados moleculares o un enunciado molecular junto con un atómico. En este caso, hay que saber que enunciados se enlazan. Veamos los siguientes ejemplos: Si la pintura es buena y el pintor responsable, la casa quedarà bien pintada. p^q Si Sebastián encuentra trabajo y Sergio tiene ganas, entonces harán un viaje y se lo pasarán muy bien. p^q→r^s Muchas veces, es conveniente utilizar los paréntesis para así poner de manifiesto cuál o cuáles son los conectores que, en la formalización de los distintos enunciados, dominan sobre los otros, evitando así cualquier posible ambigüedad o incorrección. Veamos algunas indicaciones: 10 A.) Cuando el ┐se aplique a una proposición atómica no hace falta paréntesis. En caso contrario, si va delante de una proposición molecular si que llevarà paréntesis. Si ponemos ┐p^q→r, el negador se aplica sobre p. Si ponemos ┐(p V q) → r , el negador afecta a toda la expresión del paréntesis. B.) Cuando haya dos o más símbolos ^en una misma expresión, no se requiere paréntesis. Podemos poner: p ^ q ^ r ^ s C.) Ocurre lo mismo que en B, con el disyuntor v p v q v r v s D.) La existencia en una misma expresión de símbolos ^ y v requiere paréntesis. Es incorrecto, por tanto: p^qvr pvq^rvs En su lugar, debería escribirse así: p ^ (q v r) ó (p ^ q) v r (p v q) ^ ( r v s) ó [(p v q )^ r] v s......también.....(p v q v r) ^ s.... E.) Cuando existan en una misma expresión, dos o más símbolos → y ↔requiere la utilización de paréntesis. Son incorrectas, por tanto: p→q→r p↔q↔r En su lugar, debería escribirse: p→(q→r) ó (p→q)→r p↔(q↔r) ó (p↔q)↔r F.) Los símbolos → y ↔ priorizarán sobre los signos ^ y v. Por tanto, cuando prevalezca alguno de los dos primeros, pueden omitirse algunos paréntesis. Estas expresiones.............................las podemos escribir (p ^ q)→r p^q→r (p ^ q)→ (r ^ s) p ^ q→ r ^ s Sin embargo, es aconsejable utilizar paréntesis para salir de dudas. 4.- ACTIVIDADES DE FORMALIZACIÓN. En las siguientes actividades se trata de traducir del lenguaje ordinario al lenguaje de la lógica formal. No hay ninguna regla que nos indique como tenemos que formular, eso sí, hay que tener en cuenta los conectores, las letras proposicionales y utilizar un poco la imaginación. 1) Los animales, las plantas y las personas somos seres animales 11 2) El hombre es un animal racional, entonces debería comportarse correctamente con su medio ambiente. 3) Un triángulo es rectángulo si sus tres ángulos miden 180 grados. 4) Si estudiamos filosofía, aprenderemos. Si todo esto ocurre nos divertiremos reflexionando. 5) Si seguimos las explicaciones de clase, suspenderemos. Si suspendemos, entonces aburriremos la filosofía. 6) Si el hombre es libre, entonces no está determinado por las fuerzas de la naturaleza. A continuación, hacemos una formalización más compleja como modelo para las actividades que siguen: Si Hume rechaza la causalidad y pone en entredicho la existencia del mundo exterior, entonces, si de alguna manera no recobrara dicho mundo, habría que incluirle entre los escépticos. p^q→(┐r→s) Lo haremos de la siguiente manera: Hume rechaza la causalidad.........p Pone en entredicho la existencia....q Recobrara dicho mundo............r Habría que incluirle entre.......s 7) O la televisión modifica las programaciones y las nuevas tecnologías se racionalizan o se producirá un anestesiamiento de nuestro espíritu crítico. 8) Raquel es inteligente o guapa. 9) No es verdad que Arturo y Marta hayan estudiado para el examen. 10) Si no consigo aprobar, entonces lo pasaré mal y me dejaré los estudios. 11) Si los alumnos trabajan, necesariamente tendrán que aprobar. 12) Si no me haces caso, entonces me entristeceré. 13) Si la filosofía es tomada en serio por las autoridades políticas, conseguiremos personas reflexivas. Si todo esto ocurre, dejaremos de mirar en la oscuridad y pasaremos a mirar en la luz solar. 14) Si los pensadores callaran, los políticos trabajarían en el circo y los religiosos asistirían a conciertos Heavys. 15) Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. 16) Si Pablo no atiende en clase o no estudia en casa, fracasará en los exámenes y no será aplaudido. 12 17) Si los filósofos callasen, la nieve quemaría y los círculos serían cuadrados. Si los círculos fueran cuadrados, entonces los matemáticos se dedicarían a cazar brujas y las abejas a fabricar acero. Ni los matemáticos se dedican a cazar brujas, ni las abejas a fabricar acero. Por tanto, los filósofos no callarían. 5.- TABLAS DE VERDAD. 5 a.- Conceptos teóricos. El método de tablas de verdad es un procedimiento mecánico que, a través de un número de pasos, nos permite decidir si una fórmula es tautología, contradicción o contingencia. Veamos los pasos que tendremos que seguir: 1.- Columnas. Habrá tantas columnas como variables enunciativas. Por ejemplo: (p v ┐q) → ┐r p q r 2.- A continuación, añadiremos una nueva columna por cada variable distinta que aparezca p q r ┐r ┐q 3.- Finalmente se añaden tantas columnas cuantos sean los conectores materialmente presentes en la fórmula: p q r ┐q ┐r P v ┐q (pv┐q)→┐r 2.- Número de filas y distribución: Para saber el número de filas se utilizará la fórmula 2n. n Serán el número de variables enunciativas distintas. En este caso, como existen 3 variables enunciativas se elevará 2 a 3 y el resultado será 8. Con lo cual, en la primera columna empezaremos con 4 verdaderas y 4 falsas. A continuación, 2V y 2F y finalmente 1V y 1F. Como vemos, vamos dividiendo entre dos. p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F ┐q F F V V F F V V ┐r F V F V F V F V P v ┐q (pv┐q)→┐r Como vemos, la columna 4 y 5 son la negación de la 2 y 3. 13 3.- Fórmulas A continuación, consiste en analizar conector por conector. En la última columna, se realizará la evaluación del conector principal, pudiendo ocurrir varias cosas: a) Que la columna final resulte todo valores de verdad V. TAUTOLOGÍA b) Que la columna final conste sólo de valores de verdad F. CONTRADICCIÓN. c) Que la columna final conste de valores de verdad V y de verdad F. CONTINGENCIA Veamos el resultado: p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F ┐q F F V V F F V V ┐r F V F V F V F V P v ┐q V V V V F F V V (pv┐q)→┐r F V F V V V F V ↑ CONTINGENCIA Como en la columna final hay signos V y F, entonces la fórmula (p v ┐q) → ┐r es una CONTINGENCIA. 5 b.- Actividades Basándote en los contenidos explicados, realiza las siguientes tablas de verdad: a) (p → q)→(┐q → ┐p) b) (p v q)↔(r ^ s) c) [p→(q^r)]→[(t→t) ^ ((┐sv┐q)→(┐pv┐s))] 14 Atención, en este caso, al existir muchas variables enunciativas, el procedimiento será más lento y laborioso. Atención: tienes 5 letras distintas, no te olvides de elevar 5 al número de letras proposicionales. A continuación, es recomendable ir desglosando por bloques y darnos cuenta de que predomina el conector → 6.- LA DEDUCCIÓN. 6 a.- Las reglas básicas y actividades realizadas. En este apartado, vamos a estudiar la manera como llegaremos a una conclusión partiendo de unas premisas. Para ello, necesitaremos saber las reglas básicas de deduccción. Antes de ver las reglas básicas de deducción, conviene detenerse para las partes de que consta un ejercicio de deducción ─1 p ^ t → r ^ s ─2 q → t ─3 q ^ w ├p→s Los apartados 1, 2, 3 los llamaremos premisas. No olvidaremos poner el ─ para diferenciar entre las premisas dadas y las conclusiones sacadas. La conclusión, la escribiremos en la parte derecha de la línea correspondiente al último supuesto inicial. La conclusión la designaremos mediante el símbolo “├” denominado deductor. 15 A continuación nos pondremos a trabajar. Se trata de utilizar las premisas y las reglas deductivas para llegar a la conclusión. Antes de empezar con el estudio de las reglas deductivas, conviene saber que se nos puede pedir llegar a una deducción sin disponer de supuestos iniciales. En este caso, debemos introducir cuantos supuestos subsidiarios sean necesarios para obtener la conclusión, teniendo presente que deben ser cancelados correctamente. Por ejemplo, se nos podría pedir construir una deducción de: ├ p → ( q → r v s) Sin embargo, empezaremos con deducciones sencillas y poco a poco iremos ascendiendo en complejidad. Reglas básicas Las reglas básicas son de dos tipos: reglas de introducción y reglas de eliminación de conectores. Los conectores principales son los siguientes: “→” “┐” “^” “v”. Como existen estos 4 conectores y dos reglas por conector, entonces tendremos un total de 8 reglas deductivas. Modus Ponens A→B A____ B Esta regla permite eliminar el implicador, y nos dice que si en una línea de una derivación contamos con una implicación A→B y en la otra línea tenemos el antecedente, A, de dicha implicación , entonces podemos deducir el consecuente B. 1) ─1 p → q ─2 q → r ─3 p ├r 4 q MP 1,3 5 r MP 2,4 2) ─1 p ^ q ─2 r→s ─3 p ^ s ├s 4 r MP 1,3 5 s MP 2,4 16 3) ─1 p v q → r ─2 r → s ^ t 4r MP 1,3 5 s ^ t MP 2,4 4) ─1 ┐p→┐s ^ t ─2 ┐p ├t 3 ┐s ^ t MP 1,2 Teorema de la deducción TD ┌A │ └B A→B EJERCICIOS REALIZADOS Mediante esta regla se introduce el Implicador. Viene a decir lo siguiente: Si en una línea introducimos A y llegamos a la conclusión B, entonces podemos escribir A→B en la nueva línea. 1) -1p→ q -2q→ r ├p→r ┌3 p │4 q MP1,3 │ 5 r MP 2,4 └6 p→r TD 3,5 2) ─1 p → q ─2 q → r ^ t ─3 r ^ t → s ─4 s → t ├ p→t ┌5 p │6 q MP 1, 5 │7 r ^ t MP2, 6 │8 s MP 3,7 └9 t MP 4, 8 10 p→ t TD 5-9 17 3) ─ 1 p→ q ^ s ─2q^s→rvt ─ 3 r v t → (w→ s) ├ p→ (w→ s) ┌4 p │5 q ^ s │6 r v t └7 w → s 8. p→ (w → s) 4) ─ 1 ┐p → ( q → r v s) ├ q →( ┐p → r v s) ┌2q │┌3 ┐p ││4 q→ r v s MP 1, 3 │└5 r v s MP 2, 4 └ 6 ┐p→r v s 7 q→ (┐p→ r v s) 5) ─ 1 p → (q→(r→s)) ├ q→(r→(p→s)) ┌─2 q │┌3 r ││┌4 p │││5 q→(r→s) MP 1,4 │││6 r→s MP5,2 ││└7 s MP 6,3 │└8 p→s TD 4-7 └─9 r→(p→s) TD 3-8 10 q→(r→(p→s))TD 2-9 Simplificación A^B A A^ B B Mediante esta regla podemos eliminar el conjuntor. Si en una línea tenemos una conjunción de enunciados, podemos concluir cualquiera de los términos. 18 EJERCICIOS REALIZADOS 1) ─1 p→q ─2 q→r ─3 p^s ├r 4 p Simp 3 5 q MP 1,4 6 r MP 2,5 2) ─ 1 p→ q^r ─ 2 r→ s^t ├p→t ┌3 p │4 q^r MP 1,3 │5 r Simp 4 │6 s^t MP 1,3 └7 t Simp 6 8 p → t TD 3-7 3) ─1 p^q→ (p→r) ─2 (p^q) ^ r 3 p^q 4 p→r 5p 6r ├r Simp 2 MP 1,3 Simp 3 MP 4,5 4) ─1 ┐┐p → ┐┐q ─2 ┐┐p ^ s ├ ┐┐q 3 ┐┐p Simp 2 4 ┐┐q MP 1,3 Producto (Prod) A B ─── A^B 19 En esta línea se introduce el conjuntor. Nos viene a decir que si en una línea de una derivación tenemos un enunciado, A, y en otra línea tenemos un enunciado B, entonces podemos escribir la conjunción A ^ B EJERCICIOS REALIZADOS 1) ─1 p → q ^ r ─2 q ^ r → s ─3 s → u ─4 p ├ u 5 q ^ r MP 1,4 6 s MP 2,5 7 u MP 3,6 2) ─1 p→ q ^ r ─2 p ─3 p → s ^ ┐s ├ q ^ ┐s 4 q ^ r MP 1, 2 5 s ^ ┐s MP 3, 2 6 q Simp 4 7 ┐s Simp 5 8 q ^ ┐s Prod 6,7 3) ─1 (p→┐q)→(┐s→┐t) ─2 ┐s ─3 p→┐q ├ ┐t ^ ┐s 4┐s→┐t MP 1,3 5 ┐t MP 4,2 6 ┐t ^ ┐s Prod 2,5 Reglas básicas de disyunción. Adición A ─── Ad1 AvB B ──── Ad2 AvB Esta regla permite introducir el disyuntor, y nos dice que si en una línea de una derivación tenemos un enunciado A, en la siguiente podemos añadir el disyuntor, en este caso A v B. 20 EJERCICIOS REALIZADOS 1) ─ 1 r v t → ┐q ─2r ├ ┐q v s 3 r v t Ad 2 4 ┐q MP 1, 3 5 ┐q v s MP Ad 4 2) ─1r→s ─2p^r ├svt 3 r Simp 2 4 s MP 1, 3 5 s v t Ad 4 3) ─1 p ^ q → r ^ s ─2 p ─3 q ├p^q→svt ─4 p ^ q ┌5p^q │ 6 r ^ s MP 1,5 │ 7 s Simp 6 └ 8 s v t Ad 7 9 p^q → s v t TD 5-8 Prueba por casos (Cas) AvB ┌A │ └C ┌B │ └C ──── C 21 EJERCICIOS REALIZADOS 1) ─1 p v q ─2 p → s ─3 q → s ┌4 p └5 s MP 2,4 ┌6 q └7 s MP 3,6 8 s Casos 1, 4-5, 6-7 2) ─1 p v q ─2 p → r ─3 q → s ├ r v s ┌4 p │5 r MP 2,4 └6 r v s Ad 5 ┌7 q │8 r MP 2, 7 └9 r v s Ad 8 10 r v s Casos 1, 4-6, 7-9 3) ─1 p → q v r 2p 3q→s ─ 4 r → t ├ (s v t) v r 5 q v r MP 1,2 ┌6 q │7 s MP 3,6 └8 s v t Ad 7 ┌9 r │10 t MP 4,9 └11 s v t Ad 10 12 (s v t) P. Casos 5, 6-8, 9-11 13 (s v t) v r Ad 12 Otro modo de hacerlo: 4) ─1 p → q v r 2p 3q→s ─ 4 r → t ├ (s v t) v r 22 5 q v r MP 1, 2 ┌6 q │7 s MP 3,6 │8 s v t Ad 7 └9 (s v t) v r Ad 8 ┌10 r │11 t MP 4,10 │12 s v t Ad 11 └13 (s v t) v r Ad 12 14 (s v t) v r P Casos 5, 6-9, 10-13 Doble Negador (DN) ┐┐A A EJERCICIOS REALIZADOS 1) ─1 p → ┐┐q ─2 p 3 ┐┐q MP 1,2 4 q DN 3 2) ─1 p v q ─2 p →┐┐ r ─3 q → ┐┐s ├ r v s ┌4 p │5 ┐┐r MP 2,4 │6 r DN 5 └7 r v s Ad 6 ┌7 q │8┐┐ r MP 2, 7 │9 r DN 8 └10 r v s Ad 9 10 r v s Casos 1, 4-7, 7-10 23 3) ─ 1 p→ q^r ─ 2 r→ s^┐┐t ├p→t ┌3 p │4 q^r MP 1,3 │5 r Simp 4 │6 s^┐┐t MP 1,3 │7┐┐ t Simp 6 └6 t DN 7 8 p → t TD 3-7 Reducción al Absurdo (R. Abs) ┌A │ │ └B ^ ┐B ────── ┐A EJERCICIOS REALIZADOS 1) ─1 p→ q ─2 ┐q ├ ┐p ┌3 p │4 q MP 1, 3 └5 q ^ ┐q 6 ┐p R Abs. 3-5 2) 1p→s 2s→t 3 ┐t ├ ┐p ┌4 p │5 s MP 1, 4 │6 t MP 2, 5 └7 t ^ ┐t Prod 3,6 8 ┐p R Abs 4-7 24 3) 1 p → ┐q ^ r 2r→q ├p→s ┌─ 3 p │ ┌4 ┐s │ │5 ┐q^r MP 1,3 │ │6 r Simp 7 │ │7 q MP 2, 6 │ │8 ┐q Simp 5 │ └9 q ^┐q Prod 7,8 └─ 10 s R Abs 4-9 11 p → s TD 4-10 4) 1 p → ┐(q ^r) ├ q ^r→ ┐p ┌─2 q ^r │┌3 p ││4 ┐(q ^r) │└5 q ^r ^ ┐(q ^r) └─6 ┐p Abs 3-5 7 q ^r→ ┐p TD 2-6 5) ─1 p v s → ┐(q ^r) ─2 t → u v r ─3 u → p ─4 r → s ─5 ┐(q^r)→┐t ├ ┐t ┌── 6 t │ 7 u v r MP 2,6 │ ┌8 u │ │9p MP3,8 │ └10 p v s │ ┌11 r │ │12 s MP 4,11 │ └13 p v s │ 14 p v s Casos 7, 8-10, 11-13 │ 15 ┐(q ^r) MP 1,14 │ 16 ┐t MP 5, 15 └───17 t ^┐t Prod 6,16 18 ┐t R Abs 6-17 25 RECORDEMOS LAS REGLAS BÁSICAS DE DEDUCCIÓN: MODUS PONENS (MP) A→B A____ B TEOREMA DE DEDUCCIÓN (TD) LA SIMPLIFICACIÓN (Simp ó EC) A^B A ┌A │ └B A→B PRUEBA Casos) POR CASOS (P. REDUCCIÓN ABSURDO (R. Abs) AL DOBLE (DN) AvB ┌A │ └C ┌B │ └C ──── C ┌A │ │ └B ^ ┐B ────── ┐A ADICIÓN (Ad) PRODUCTO (Prod ó IC) A B ─── A ^B A ─── Ad1 AvB B ──── Ad2 AvB A^ B B NEGADOR ┐┐A A 6 b.- Actividades de deducción. 1. p ^ q 2. p → r 3. s 1. q ^ r→ s v t 2. ┐ s v t ├ (r v s) v t 1.p → q 2.q → r v s 3. r → t 4.s → t ├ ┐q^r 1. t → p v q 2. p → m ^ s 3. q → ┐ m 4.s v ┐m → ┐ (p v q) 1.p → m v t 2. m → r 3.t → r ^ s 4.q → t ^ r ├pvq→r -1 p → q -2 ¬ q 1. ¬ t → r -1 p → (q ∨ r) 3. ¬ r -2 q → r ├ t ├p→t ├ ┐t ├¬p -3 r → s ├ p→s 26 1. p ∨ q 1 p → (q ∨ r) 1. (p → q) 2. p → s 2p∨q 2. (r → s) 3. q → r ├q∨r 2. (s ∧ q) → t ├r∨s ├ (p ∧ r) → t 1. (p ^ q) v r 2. p ^ q → s 3. 3. r → t 1. p ^ q 2. p → s ├ (s v t) v r 1. p → q 2. r → s 3. (s ∧ q) → t ├ (p ∧ r) → t 1. p v q 2. p → r 3. q → s 1. p → q 2. q → s ├ (r v s) v t ├ (s v t) v r ├ p → (s v t) 7.- ACTIVIDADES DE FORMALIZACIÓN. a) Las ranas no son príncipes encantados. b) No es verdad que Sergio ha escrito este libro y si es verdad que las fiestas de Nuestra Señora de la Salud de Algemesí han recibido el premio de Patrimonio de la Humanidad. c) Si las fiestas de la Mare de Déu son patrimonio de la humanidad, los habitantes de algemesí estarán contentos. d) En este mundo se vivirá bien si los humanos no somos animales autodestructores 27 e) Si los humanos solo pensamos en tecnologías, dejaremos de leer, si dejamos de leer dejaremos de saber hablar y si esto sucede cambiará el concepto de humanidad. f) Si la filosofía no existiera, los hombres dejarian de pensar y si esto sucediera convendría plantearnos la definición de ser humano. g) Si el hombre es un animal social deberá luchar para no perder esa virtud. Si por contra, es un animal egoista, deberá luchar para dejar de serlo. h) El hombre es libre porque no está determinado. Sin embargo, está condicionado por su medio ambiente. i) Platón, Kant y Nietzsche han sido unos grandes pensadores. Esto es así porque sus teorías filosóficas han pasado a la historia. j) La materia no muere, la materia se transforma. Si esto es así, entonces no tengo motivos para tenerle miedo a la muerte. k) Si los hombres actuáramos con buena voluntad, dejaríamos de ser imperfectos. Solamente caben dos posibilidades de que ésto ocurra: o somos dioses o estamos soñando. l) Si los humanos utilizamos la tecnología como único medio educativo se perderá la cultura popular. 28 8.- REGLAS DERIVADAS. MODUS TOLLENS A→B ¬B -------------¬ A)[MT] REGLA DEL DILEMA TOLLENDO PONENS SILOGISMO HIPOTÉTICO A∨B ¬B --------A [TP] A→B B→C ---------A→C LEYES DE MORGAN A∨B A→R B→S --------R∨S 1. ¬ (P ∧ Q) ≡ (¬ P ∨ ¬ Q) DEFINICIÓN DE LA IMPLICACIÓN EN UNA CONECTIVA 1. A → B -------------¬ (A ∧ ¬ B) 2. ¬ (P ∨ Q) ≡ (¬ P ∧ ¬ Q) 3. (P ∧ Q) ≡ ¬ (¬ P ∨ ¬ Q) 4. (P ∨ Q) ≡ ¬ (¬ P ∧ ¬ Q) DEFINICIÓN IMPLICACIÓN DISYUNTIVA DE EN LA COMMUTACIÓN UNA CONJUNCIÓN DE A∧B ------B∧A A→ B ----------¬A∨B LA COMMUTACIÓN DISYUNCIÓN DE LA A∨B -------B∨A Ejercicios resueltos con reglas derivadas. -1 s ∨ ¬ r -2 t → ¬ s -3 t |--- ¬ r 4 ¬ s [MP 2,3] 5 ¬ r [TP 1,4] Aplicación del Modus Tollendo Ponens 29 -------------------------------------1 (r ∧ s) ∨ p -2 q → ¬ p -3 t → ¬ p -4 q ∨ t |--- s ∧ r 5 ¬ p [Dil 4,2,3] Aplicación de la Regla del Dilema 6 (r ∧ s) [TP 1,5] Aplicación del Tollendo Ponens 7 (s ∧ r) [CC 6] Aplicación de la Conmutativa conjunción ----------------------------------------1 p ∨ t -2 ¬ t -3 p → (q ∧ s) 4 p [TP 1,2] |--- s ∧ q Aplicación del Modus Tollendo Ponens 5 (q ∧ s) [MP 3,4] 6 (s ∧ q) [CC 5] Aplicación de la conmutativa de la conjunción. -----------------------------------------1 ¬ (p ∨ ¬ r) -2 q ∨ p -3 r → s -4 (q ∧ s) → (t ∧ s) |--- s ∧ t 5 ¬ p ∧ ¬ ¬ r [DM 1] Aplicación de De Morgan. 6 r [DN 5] 7 ¬ p [EC 5] 8 q [TP 2,7] Aplicación de Tollendo Ponens 9 s [MP 3,6] 30 10 (q ∧ s) [IC 8,9] 11 t ∧ s [MP 4,10] 12 s ∧ t [CC 11] Aplicación de la Conmutativa de la conjunción. -1 ¬ q ∨ s -2 ¬ s -3 ¬ (r ∧ s) → q |--- r 4 ¬ q [TP 1,2] 5 r ∧ s [MT 3,4] 6 r [EC 5] 9.- BIBLIOGRAFÍA ACONSEJABLE. - Amador Antón, Pascual Casañ, Lógica matemática, Nau Llibres. 10.- RECURSOS INTERNET. TABLAS DE VERDAD: http://www.youtube.com/watch?v=pwJK-4Op438 http://www.youtube.com/watch?v=JBl2b8GMQeI http://www.youtube.com/watch?v=-QZcJ3dG19I&feature=fvwrel FORMALIZACIÓN: http://www.youtube.com/watch?v=QLXIY3-U5hA 31 32