interacción gravitatoria

INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1. Evolución de los modelos del movimiento planetario y enunciado de la
leyes de Kepler.
La explicación del movimiento de los planetas y cuerpos celestes estuvo
dividida en dos teorías contrapuestas: teoría geocéntrica y teoría heliocéntrica.
Teorías geocéntricas
El movimiento diario del Sol, La Luna y estrellas hacía posible la idea de que
todo giraba en torno a la Tierra, desde la antigüedad se suponía que las estrellas eran
los límites del Universo.
•
Teoría geocéntrica de Aristóteles (384-322 a.C.).
Esta teoría postulaba que todos lo cuerpos celestes giraban en esferas
concéntricas alrededor de la Tierra. Su teoría incluía la constitución del Universo; así,
éste estaba formado por los cuatro elementos de la región terrestre (tierra, agua, aire y
fuego) y un elemento de la región celestial, el éter.
Consideraba que la última esfera engendraba el movimiento del Universo, al
trasferirlo a las demás por rozamiento.
Pero tenía muchas contradicciones, así no explicaba el movimiento retrógrado
que en ciertos momentos parecía describir los planetas, ni explicaba las variaciones
del brillo observado para esos planetas.
•
Teoría geocéntrica de Ptolomeo de Alejandría (100-170).
Sugirió un esquema geocéntrico modificado que daba una explicación
satisfactoria de los problemas planteados anteriormente. Según él, la Tierra seguía
estando inmóvil en el centro del Universo y los planetas, excepto el Sol y la Luna,
efectuaban dos tipos de movimientos: un
movimiento orbital en el llamado epiciclo
del planeta, y otro movimiento que llevaba a
cabo el centro del epiciclo alrededor de la
Tierra en la órbita, llamado deferente.
Teorías heliocéntricas
El otro punto de vista situaba al Sol, como fuente necesaria de calor y vida, en
el centro del Universo. La primera que se conoce es de Aristarco de Samos (siglo III
1
a.C.) y sugiere que el Sol se encuentra en el centro del Universo. Así la Tierra tiene
dos tipos de movimientos: la rotación diaria y la traslación anual.
Esta teoría fue desechada por sus
detractores porque de cumplirse debería
observarse el “error de paralaje” de ciertas
estrellas, cosa que nadie había conseguido.
Según esto la Tierra estaría unas veces
más cerca y otras más lejos del fondo
estelar,
lo
que
haría
que
desde
determinadas posiciones se viera como si la
estrella sufriera un desplazamiento.
Paralaje.- Ángulo formado por la dirección de dos visuales relativas a la observación de un mismo objeto
desde dos puntos distintos, suficientemente alejados entre sí y no alineados con él.
•
Teoría heliocéntrica de Copérnico (1473-1543).
Para él, el Sol se encuentra en el centro del sistema
y todos los planetas, incluidos la Tierra, se movían en
esferas concéntricas. Uno de los mayores aciertos de la
teoría fue el establecimiento de los períodos orbitales de los
planetas alrededor del Sol, bastante aproximados a los que
conocemos en la actualidad. Otros logros de esta teoría era
explicar sencillamente el movimiento retrógrado de los
planetas. Este movimiento consiste en que si fijamos la
visión desde la Tierra a algún planeta exterior, da la
impresión que durante cierto tramo de su órbita, éste se
desplaza en el sentido contrario al de la Tierra. Este
fenómeno ocurre al ser el período de revolución alrededor del Sol más corto para la
Tierra que para el otro planeta.
•
Aportaciones de Galileo Galilei (1564-1642).
Junto con Kepler (1571-1630), fueron los científicos que más contribuyeron a la
teoría heliocéntrica. Las aportaciones de Galileo, fruto de la observación desde su
telescopio, son:
-
Júpiter tiene cuatro planetas girando alrededor de él.
-
La superficie lunar no era lisa ni perfectamente esférica, sino que contenía
rugosidades, montañas y valles, por lo que se desterraba la idea que salvo la
2
Tierra los demás cuerpos celestes debían ser perfectamente esféricos y
uniformes.
-
Las estrellas fijas no parecían aumentar con el telescopio por lo que estaban
increíblemente lejos, de aquí que no se observase el paralaje estelar.
-
La Vía Láctea estaba formada por infinidad de estrellas indistinguibles a simple
vista.
En 1632, se publica la obra de Galileo “Diálogos sobre los dos grandes
sistemas del mundo”, en la que defiende el sistema copernicano y expone el principio
de inercia y la idea de la caída libre de los cuerpos.
•
Las Leyes de Kepler.
Contemporáneo de Galileo, y recogiendo los datos de su amigo Tycho Brahe
(1546-1601), que se dedicó a recabar datos sobre las posiciones de los planetas
conocidos en la época, quiso justificar los datos con el modelo de Copérnico. Pero
hubo un problema a la hora de ajustar la órbita de Marte, ya que los datos de Brahe lo
situaban 0.13º fuera del esquema de órbitas circulares de Copérnico.
Para resolver el problema se fijó en la elipse como posible trayectoria de los
planetas y los datos encajaron perfectamente. Así, enunció tres leyes que describían
el movimiento planetario y que contribuyeron, más tarde, al nacimiento de la Ley de la
Gavitación Universal de Newton.
Las tres Leyes de Kepler son:
-
Primera Ley. Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol,
que está situado en uno de los focos de la elipse.
-
Segunda Ley. La recta que une el planeta con el Sol (radiovector) barre áreas
iguales en tiempos iguales, es decir, la velocidad areolar es constante.
En la figura si t1 = t2 ; entonces A1 = A2.
Esto significa que los planetas no se
mueven con la misma velocidad en todos
los puntos de la trayectoria orbital, sino que
lo hacen con mayor velocidad en las
proximidades
del
perihelio
(punto
más
próximo al Sol) y más lentamente en el
afelio (punto más alejado).
-
Tercera Ley. Los cuadrados de los períodos orbitales de los planetas son
proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol.
T2 = k·r3
3
Momento angular
En cursos anteriores se ha definido una magnitud vectorial, llamada momento
lineal o cantidad de movimiento, que nos informa del estado de movimiento de un
objeto.
r
r
p = mv
Esta magnitud no es práctica en el estudio de movimientos curvilíneos; ya que
en estos movimientos, incluso cuando haya constancia en el módulo de la velocidad,
existirá variación en su dirección, es decir, se producirá un cambio en la velocidad.
Como en Física es habitual explicar los fenómenos en función de la constancia
o regularidad de ciertos parámetros o magnitudes, se define una nueva magnitud más
apropiada para el estudio de este tipo de movimientos: el momento angular.
Considérese un cuerpo o partícula de
masa “m” que se mueve con un velocidad
r
r
“ v ” y tiene una posición “ r ” con respecto a
un punto determinado (origen).
r
Se llama momento angular “ L ” al momento con respecto al punto “O” del
r
vector “ p ”:
r r r
r r
L = r × p = mr ×v
El momento angular, por tanto:
-
depende del origen de referencia escogido.
-
es perpendicular al plano que forman los vectores “ r ” y “ v ”.
-
el módulo será
-
m2
Su unidad en el S.I. es kg
s
-
el sentido puede determinarse mediante la regla de la mano derecha:
r
r
r
L = L = m r v senα
4
Conservación del momento angular
Si derivamos la expresión del momento angular con respecto al tiempo, se
obtiene la siguiente expresión:
r
r r
r
r
dL d ( r × p ) dr r r dp
=
=
×p + r ×
dt
dt
dt
dt
Se sabe que:
r
r
dr
=v
dt
y
r
dp r
=F
dt
por lo que al sustituir, se obtiene:
r
r
r
r r r r
dL
= v × p + r ×F
dt
Lógicamente v y p forman un ángulo de 0º, por lo que el módulo del producto
r
r
será nulo. Así: v × p = 0 y nos quedará:
r
r
r
r r
dL
= r ×F
dt
r
al producto r × F , se le llama momento de la fuerza “ M ”, por lo que finalmente la
derivada del momento angular con respecto al tiempo resulta ser:
r
r
dL
= M
dt
r
Si M es nulo, el momento angular del cuerpo permanecerá constante y esto
puede ocurrir en dos situaciones:
-
r
movimiento será rectilíneo y uniforme.
-
r
si no actúa ninguna fuerza sobre el cuerpo. F = 0 ⇒ M = 0 ; y por lo tanto, el
r
r
r
si r y F tienen la misma dirección. En este caso se dice que F se trata de
una “fuerza central”, es decir, una fuerza dirigida siempre hacia el mismo
punto fijo que, en esta ocasión, es el punto de referencia escogido para medir
el momento angular.
“El momento angular de un cuerpo permanece constante si
sobre él no actúan fuerzas o las fuerzas que actúan son
centrales”
r
Si L es constante, lo es en módulo, dirección y sentido; por lo tanto:
“La trayectoria de un punto material que se mueve bajo la
acción de una fuerza central es siempre plana”
5
Consecuencias de la constancia del momento angular planetario
Si se tiene en cuenta todo lo anterior en el movimiento planetario, se puede concluir:
-
la fuerza que gobierna el movimiento planetario es central y actúa en la
dirección que une el planeta y el Sol; y dirigida hacia él.
-
las órbitas de los planetas son planas, debido a la constancia en dirección
del momento angular.
-
las órbitas planetarias son estables. Asumiendo que la masa del planeta
apenas varía, su distancia media al Sol permanece constante.
-
la fuerza que gobierna el movimiento de los satélites en torno a los
planetas es de tipo central.
-
las órbitas de los satélites en torno a los planetas también son planas y
estables.
La Ley de gravitación universal
Utilizando las leyes enunciadas por Kepler, Isaac Newton (1642-1727) dedujo
la ley de la gravitación universal. Esta Ley se puede enunciar de la siguiente manera:
“La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva
y puede expresarse mediante un fuerza central que es
directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
los separa.”
Fα
m ⋅ m'
r2
La constante de proporcionalidad es la llamada constante de gravitación universal, G,
cuyo valor es:
Así se puede escribir:
G = 6 ,67 ⋅ 10
F =G
m ⋅ m'
r2
−11
N m2
kg 2
o vectorialmente:
r
m ⋅ m' r
F = −G
ur
r2
r
donde el signo negativo indica el carácter atractivo de la fuerza y el vector unitario ur
se emplea para dar a entender que la actuación es radial, a lo largo de la línea que
une los centros de los cuerpos.
La distancia r se considera como la distancia que existe entre los centros de los
cuerpos; esta conclusión es aplicable a los planetas. Además, según el Tercer
6
Principio de la Dinámica, la fuerza que actúa sobre la masa m es igual a la que actúa
sobre m’, pero dirigida en sentido contrario.
Esta Ley es aplicable globalmente tanto al movimiento de una piedra, que se
precipita sobre el suelo, como al movimiento de La Luna, La Tierra, los planetas y
satélites, de aquí su carácter UNIVERSAL. Explicaría la caída libre de los cuerpos,
que en el caso de La Tierra, en todos los casos, los cuerpos caen con la misma
aceleración de 9,8 m/s2.
Fuerzas gravitatorias en un conjunto de masas
La fuerza que actúa sobre una masa cualquiera en un conjunto de masas es
igual a la resultante de las fuerzas que las demás ejercen sobre ella, consideradas
individualmente:
n r
r
r
r
r
Ftotal ,1 = F21 + F31 + L + Fn 1 = ∑ Fi 1
i =2
Consecuencias de la Ley de la gravitación universal
El enunciado de la Ley de la gravitación universal permite dar una respuesta
satisfactoria a dos de los problemas científicos de la época:
•
-
se avala matemáticamente las ideas de Galileo de la caída libre de los cuerpos.
-
permite dar el significado físico de la constante de la Tercera Ley de Kepler.
Aceleración de la caída libre de los cuerpos en la superficie de un planeta.
Supóngase que un cuerpo de masa m se encuentra a una altura h sobre la
superficie terrestre. Estaría sometido a una fuerza de valor:
F =G
MT m
(rT + h )2
esta fuerza le comunicará una aceleración, de manera que según la Segunda Ley de
la Dinámica:
m
/ ⋅a = G
MT ⋅ m
/
(rT + h )2
analizando esta expresión, se extraen las siguientes conclusiones:
-
la aceleración con que cae a tierra un cuerpo sólo depende de la masa de la
Tierra y no de la del cuerpo.
-
la aceleración varía de manera inversa al cuadrado de la distancia al centro de
la Tierra.
si
h << rT
7
a =G
MT
rT2
si se sustituye el valor de G, rT = 6370 km y MT = 6·1024 kg, se obtiene un
valor para la aceleración de g = 9,8 m/s2, que coincide con el valor de g medido
en la superficie terrestre.
•
Significado físico de la constante de la Tercera Ley de Kepler.
La Ley de la gravitación universal permite calcular el valor de k en la Tercera
Ley de Kepler. Ya Kepler supuso que la razón del movimiento planetario residía en el
Sol, y en parte tenía razón, pues k sólo depende, para el caso de los planetas, de la
masa solar, pero no de los planetas.
Considérese un planeta de masa m que orbita alrededor del Sol Ms a una
distancia media r, si se considera que la fuerza gravitacional es la fuerza centrípeta
que permite describir el movimiento alrededor del Sol, quedará:
G
Ms ⋅ m
v2 
=
m

r2
r 
v = ω ⋅r


2π
ω=

T

⇒
G
4π 2
Ms ⋅ m
2
=
m
r
=
m
r
ω
r2
T2
si se tiene en cuenta la mencionada Ley de Kepler: T2 = k·r3 y se sustituye y se
despeja k, se obtiene:
Ms 4π 2
G 2 =
r
r
k·r 3
→
4π 2
k=
G ⋅ Ms
Por tanto es el Sol la causa del movimiento, pues k sólo depende de la masa
del Sol y no de la de los planetas.
Si se aplica lo anterior al movimiento de los satélites alrededor de un planeta,
se obtendrá un valor de k que sólo depende de la masa del planeta.
Masa inercial y masa gravitacional
De la segunda Ley de la Dinámica, F = m ·a, se sabe que la masa m de un
cuerpo es el factor de proporcionalidad existente entre la fuerza que actúa sobre él y la
aceleración que produce. De aquí que a la propiedad de un cuerpo responsable de su
oposición, resistencia o inercia al cambio de velocidad se le llame masa inercial.
8
Por otra parte, según la Ley de la gravitación universal, se puede decir que la
masa de un cuerpo es la propiedad responsable de que sea atraído por otro mediante
la fuerza gravitatoria, por lo que se le llama masa gravitatoria.
El término “masa de un cuerpo” caracteriza, pues, a dos propiedades
diferentes: masa inercial y masa gravitatoria.
Las diversas experiencias hechas desde Newton hasta hoy, demuestran que
ambas varían en la misma proporción; es decir, son proporcionales. Uno de las
experiencias es la medida de la aceleración de caída libre de objetos diferentes cerca
de la superficie terrestre. Para un objeto tendremos que la fuerza gravitatoria produce
una aceleración de caída:
G
despejando la aceleración: a = G
MT ⋅ mg
MT
rT2
rT2
= mi ⋅ a
 mg 


 mi 
todas las experiencias realizadas muestran que todos los objetos caen con la misma
aceleración que se simboliza con g. Además, G, MT y rT, son constantes; por lo tanto el
término entre paréntesis debe ser constante. Dicho de otro modo, la razón mg/mi es
una constante para todos los cuerpos, es decir, son proporcionales. Esta
proporcionalidad puede transformarse en igualdad si se escoge adecuadamente la
unidad de masa gravitatoria de modo que la constante de proporcionalidad valga uno;
y eso es lo que se hizo al determinar la constante de gravitación universal, G.
Así pues, no es necesario mantener la distinción entre masa gravitatoria y
masa inercial, por lo que simplemente hablamos de masa para referirnos a una u otra
propiedad de la materia. Esta es la base del Principio de equivalencia, fundamental
en la teoría einsteniana de la gravitación.
9
2. Introducción a la idea de campo gravitatorio.
Interacción a distancia. Concepto de campo
Newton cuando enunció la Ley de la gravitación universal no dijo nada acerca
de la naturaleza de las fuerzas de atracción. Posteriormente, como estas fuerzas se
ponen de manifiesto sin que los cuerpos entren en contacto y sin necesidad de que
haya medio material, se habló de fuerzas o acciones a distancia. Hoy se postula que
en el espacio en donde se hace sentir el efecto de estas fuerzas se ha producido una
perturbación que se conoce con el nombre de campo de fuerzas.
Así se habla del campo creado por una partícula y del efecto que dicho campo
tiene sobre una segunda partícula, denominada “partícula testigo”.
“Campo es la región del espacio cuyas propiedades son
perturbadas por la presencia de una partícula”
Por tanto, se deben precisar cuáles son las propiedades que se asocian a una
región espacial. Así, un campo es definido mediante magnitudes que adquieren
distintos valores en cada punto del espacio y tiempo. El conjunto de valores Ai(x,y,z,t)
que adoptan dichas magnitudes definen el campo.
Cuando las magnitudes son vectoriales, el campo será vectorial (campo
gravitatorio, electromagnético). Si las magnitudes son escalares se habla de un campo
escalar (campo de temperaturas, de presiones).
La existencia de un campo determinado se pone de manifiesto al situar en su
seno una partícula dotada de la propiedad necesaria para interactuar con dicho
campo. Por ejemplo, para que una partícula interaccione con un campo gravitatorio
debe tener la propiedad masa. La interacción se manifiesta cuando actúa una fuerza
sobre la partícula.
El campo gravitatorio
Se puede hacer uso de la noción de campo en la gravitación, considerando que
una masa m, creadora del campo gravitatorio, perturba las propiedades del espacio
circundante.
Este campo se hace evidente cuando una partícula m’ se sitúa a una distancia
r del centro de m; en cuyo caso, el campo interacciona con dicha partícula ejerciendo
sobre ella una fuerza que sigue la Ley de la gravitación.
r
m ⋅ m' r
Fm' = − G
ur
r2
10
Esta fuerza es radial, se dirige al centro de m, por tanto es una fuerza central.
Esta fuerza no es una magnitud propia del campo, pues es una función de la masa
testigo m’. Así, para describir el campo, se distinguirá entre:
-
Magnitudes que definen el campo:
•
Intensidad del campo en un punto, desde una perspectiva dinámica.
•
Potencial del campo en un punto, desde un enfoque energético de la
interacción.
-
Magnitudes que definen la interacción del campo con una partícula:
•
Fuerza que actúa sobre la partícula, desde una perspectiva dinámica.
•
Energía potencial de la partícula asociada a su posición relativa en el
campo, desde una perspectiva energética.
Intensidad del campo gravitatorio
La magnitud representativa del campo sólo debe depender de la masa de la
partícula que lo origina y de la distancia a ésta.
Se elige como magnitud representativa la aceleración que adquiriría una
partícula situada en un punto del mismo, ya que es independiente de la masa de la
partícula testigo.
r
Si se designa dicha aceleración mediante g :
−G
r
m ⋅ m' r
ur = m' ⋅g
2
r
r
mr
g = − G 2 ur
r
Por tanto:
r
“La intensidad del campo gravitatorio, g , es la magnitud
que define el campo gravitatorio desde el punto de vista
dinámico y puede considerarse como la fuerza que
actuaría sobre la unidad de masa testigo colocada en dicho
punto. Es decir:
r
r F
g=
m'
r
r
m
r
ur
11
r
g
m’
Las propiedades de la intensidad del campo gravitatorio, considerando puntual
la masa creadora del campo, serán:
-
r
g es una magnitud vectorial radial.
-
su sentido apunta hacia m, creadora del campo.
-
su valor varía inversamente al cuadrado de la distancia.
-
en el S.I. la unidad es el N/kg que equivale a m/s2.
El campo gravitatorio terrestre
Para calcular la intensidad del campo gravitatorio terrestre, en la superficie, se
considera que toda la masa del planeta está concentrada en su centro y a una
distancia igual al radio de la Tierra. Con estas consideraciones:
r
r
m r
g = − G 2T ur = − 9,8 ur m/s 2
rT
Pero el valor de la intensidad del campo gravitatorio varía con la altitud. Para
estudiar la variación de g con la altitud consideraremos la expresión escalar de g:
g =G
mT
r2
Para establecer como varía g con la altitud, para alturas pequeñas comparadas
con el radio terrestre, se deriva la expresión anterior con respecto a r.
dg
m
= − 2 ⋅ G 3T
dr
r
→
dg = − 2 ⋅ G
mT
dr
dr = − 2g
3
r
r
En esta expresión dr simboliza el cambio de distancia al centro de la Tierra, es
decir, la altura sobre el nivel del mar, y r es el radio terrestre. Así, a esa altura el valor
de la intensidad del campo lo llamaremos g’ y será:
g' = g + dg = g − 2g
dr
r
 2h 

g' = g ⋅  1−
rT 

Esta expresión sólo será válida para altitudes muy pequeñas (diferenciales) en
comparación con el radio terrestre.
Principio de superposición de campos
Si varias masas m1, m2, m3, ...... mn están a las distancias r1, r2, r3, ...... rn de un
punto dado, la intensidad del campo gravitatorio resultante en este punto, de acuerdo
con el principio de superposición, viene dado por la suma vectorial de los campos
creados en dicho punto por cada una de las masas:
n
r r r r
r
m r
g = g1 + g 2 + g 3 + L + g n = − G ⋅ ∑ 2i ur
i =1 ri
12
Descripción energética de la interacción gravitatoria
•
Generalización del concepto de trabajo a una fuerza variable.
Empecemos recordando que el trabajo mecánico realizado por una fuerza
r
r
constante F que actúa sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento ∆r , es igual
al producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento:
r r
W = F ⋅ ∆r = F ⋅ ∆r ⋅ cos α
La mayoría de las fuerzas que actúan en la naturaleza varían con la posición,
de modo que no son constantes mientras producen el desplazamiento; esto es lo que
ocurre con las fuerzas elásticas, gravitacionales, electrostáticas.
En estos casos:
“El trabajo realizado por una fuerza variable al desplazar un
cuerpo desde una posición ro, hasta una posición final r, será la
r
r
integral definida entre ro y r de F ⋅ dr ”
Es decir:
W =
∫
r
ro
dW =
∫
r
ro
r r
F ⋅ dr
Si fuesen varias fuerzas las que actúan sobre un mismo cuerpo, el trabajo total
r
realizado por todas ellas al desplazar el cuerpo una distancia dr equivale al que
efectuaría la resultante de dichas fuerzas:
n
Wtotal = ∑ Wi =
i =1
r r
r r
(
)dr = ∫
F
+
F
+
L
+
F
∫
r
ro
1
2
n
r
ro
r
r
FR ⋅ dr
El trabajo realizado por fuerzas variables dependerá no sólo de su posición
inicial y final, sino de la trayectoria descrita por el móvil en su desplazamiento, puesto
que al ser un producto escalar, hay que tener en cuenta las direcciones y sentidos de
las fuerzas y el desplazamiento realizado.
Sin embargo estas consideraciones son generales, puesto que para algunas
fuerzas el trabajo no depende de la trayectoria descrita, sino sólo de las posición inicial
y final. Éstas son denominadas fuerzas conservativas.
•
Fuerzas conservativas: trabajo y energía potencial.
Supóngase
que
un
cuerpo
cae,
después
de
haber
sido
lanzado
horizontalmente, bajo la acción de una fuerza gravitatoria y describe una trayectoria
parabólica. Considérense dos puntos cualesquiera de su trayectoria, el inicial (xo, yo) y
el punto P (x, y).
13
r
El desplazamiento efectuado ∆r será:
r
r
r
r
En forma diferencial: dr = dx i + dy j
r
(xo , yo)
r
La fuerza que actúa es: F = − mg j
r
r
r
∆r = (x − xo ) i + (y − y o ) j
r
Por tanto, F ⋅ dr = − mg dy
y – yo
r
-mg j
r
dr
x – xo
P(x, y)
Así pues, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria en el descenso del
cuerpo entre el punto inicial y P a lo largo de la trayectoria parabólica ha sido:
W =
∫
P
0
r r
P
F ⋅ dr = − mg ∫ dy = − mg (y − y o ) = − (mgy − mgy o )
0
Donde mgy es la energía potencial gravitatoria en un punto a una altura y.
Deduciéndose de la expresión anterior que:
“El trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre los cuerpos
es igual a la variación negativa de su energía potencial
gravitatoria.”
Wgrav = − ∆E p
Un hecho importante es que el resultado obtenido no variaría si la trayectoria
entre el punto inicial y P fuera recta o cualquier otra trayectoria; sólo habría interesado
a la hora de calcular el trabajo, las posiciones iniciales y finales. Esto sólo ocurre para
las “Fuerzas conservativas”.
Así, podemos definir las fuerzas conservativas como: “Aquellas cuyo trabajo
realizado sólo depende de la posición inicial y final del cuerpo, siendo independiente
de la trayectoria seguida para pasar de un punto a otro. Este trabajo equivale a la
variación de energía potencial.”
W = − ∆Ep
Por tanto el trabajo realizado por las fuerzas conservativas a lo largo de una
trayectoria cíclica o de ida y vuelta es nulo.
Son fuerzas conservativas, además de la gravitatoria, la elástica y la
electrostática. El calificativo de conservativas se debe a que bajo su acción la energía
mecánica del cuerpo permanece siempre constante.
14
•
Conservación de la energía mecánica.
Supóngase un sistema donde sólo actúan fuerzas conservativas.
Según se ha visto, el trabajo realizado por cualquier fuerza es igual a la
variación de la energía cinética del sistema:
W = ∆Ec
pero si son conservativas, el trabajo de esa fuerza cumple:
W = − ∆E p
por lo tanto, y puesto que el trabajo es el mismo:
W = − ∆Ep = ∆Ec
→
∆Ec + ∆Ep = 0 → ∆(Ec + E p ) = 0
“Así,
un
sistema
si
sobre
sólo
actúan
fuerzas
conservativas, la suma de la energía cinética y potencial
del sistema no varía, permanece constante”.
La expresión anterior puede escribirse de otra forma:
(E
c
+ E p )f − (Ec + E p )i = 0
Como Ec + Ep = Em ,
(E
c
+ E p )i = (Ec + E p )f
∆Em = 0 y el Principio de conservación de la energía
mecánica se puede enunciar como:
“La energía mecánica de un sistema permanece constante
si las fuerzas que actúan sobre él son conservativas”
•
Conservación de la energía en presencia de fuerzas no conservativas (disipativas).
Cuando intervienen fuerzas no conservativas, como las fuerzas de rozamiento,
se produce una disminución de la energía mecánica del sistema, por eso, estas
fuerzas se denominan disipativas.
“El trabajo realizado por fuerzas no conservativas es igual
a la variación de la energía mecánica del sistema”
Así, el trabajo realizado por el rozamiento, hace que parte de la energía
mecánica del sistema se disipe en forma de calor, Q:
∆(Ec + Ep ) = − Q
∆(E c + E p ) + Q = 0
15
•
Energía potencial gravitatoria.
Una partícula de masa m’, situada en un campo gravitatorio creado por m, está
sometida a la acción de fuerzas gravitatorias y, por ello, posee energía potencial
gravitatoria.
Para obtener una expresión de la energía potencial, se va a partir de la
definición del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria. Ya que W = - ∆Ep
Además se necesita fijar el valor cero para la energía potencial, y eso se
tomará como el lugar en el que la interacción entre las masas sea nula, eso
matemáticamente ocurrirá a una distancia infinita.
Se calcula, como se ha dicho, la energía
r
r
potencial asociada a una posición r, como el
trabajo realizado por la fuerza gravitatoria
ejercida por una masa m, creadora del campo,
m
r m’
F
r
ur
sobre otra masa m’ para llevarla desde el
infinito hasta dicha posición r.
W =
r
r r
r 1
m ⋅ m'
 1
F
d
r
G
m
m
'
dr
G
m
m
'
⋅
=
−
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
⋅
−
∫∞
∫∞ r 2
 r =G r
 ∞
r
por otro lado:
W = − ∆E p = − [E p (r ) − E p (∞ )] = − E p (r ) + E p (∞ )
al tomar como referencia que E p (∞ ) = 0 , nos quedará, igualando ambas expresiones:
W = − E p (r ) = G
m ⋅ m'
r
E p (r ) = − G
m ⋅ m'
r
Por tanto, la energía potencial es siempre negativa. Su sentido físico es que el
trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a una disminución de la energía
potencial, así cuando la fuerza gravitatoria realiza un trabajo de aproximación de dos
masa, la energía potencial disminuye.
Si inicialmente Ep es cero, al final del desplazamiento será negativo. El trabajo
de aproximación lo realiza la fuerza gravitatoria a
costa de la disminución de la energía potencial.
Cuando dos cuerpos se alejan hay que
aplicar una fuerza exterior. Esta fuerza realiza un
trabajo que se emplea en aumentar la Ep, la cual es
máxima en el infinito y vale cero.
16
Ep(r)
r
En cursos anteriores se ha usado la expresión ∆Ep = mgh, ¿cuándo es válida
esta expresión?
Vamos a deducir esta expresión a partir de la expresión obtenida para la
energía potencial gravitatoria:
E p (r ) = − G
m ⋅ m'
r
Un cuerpo de masa m, sometido a la acción del campo gravitatorio terrestre,
tendrá como energía potencial:
E p (rT ) = − G
en la superficie de la Tierra:
a una altura h de la superficie:
mT ⋅ m
rT
E p (rT + h ) = − G
mT ⋅ m
rT + h
La variación que experimenta la energía potencial gravitatoria del cuerpo de
masa m cuando lo trasladamos desde un punto situado sobre la superficie terrestre
hasta otro de altura h, viene dada por:
1
1 

E p (rT + h ) − E p (rT ) = G ⋅ mT ⋅ m −
 rT rT + h 
operando:
 r + h − rT 


h
 = G ⋅ mT ⋅ m

E p (rT + h ) − E p (rT ) = G ⋅ mT ⋅ m T
(
)
(
)
r
r
+
h
r
r
+
h
 T T

 T T

si se puede considerar que estamos en puntos próximos a la superficie terrestre,
entonces h << rT, y se puede despreciar h frente a rT:
E p (rT + h ) − E p (rT ) = G ⋅
mT ⋅ m ⋅ h
;
rT2
teniendo en cuenta que g = G ⋅
mT
rT2
E p (rT + h ) − E p (rT ) = m ⋅ g ⋅ h
En cursos anteriores se le daba el valor cero a la energía potencial en el suelo,
Ep(rT) = 0; esta elección era totalmente arbitraria, puesto que sólo tenía interés medir
variaciones de la energía potencial entre dos puntos que nos daba idea del trabajo que
había que realizar apara llevar ese cuerpo hasta ese punto h sobre la superficie
terrestre. Por todo esto, se utilizaba la expresión: Ep = mgh.
17
•
Energía potencial de un sistema de varias partículas.
Se
puede
extender
lo
expuesto
m2
anteriormente a tres o más partículas, siendo la
r12
energía potencial total del sistema la suma de las
r23
energías potenciales llevada a cabo sobre todos m1
m3
los pares de partículas.
r13
m ⋅m
m ⋅m
m ⋅ m3 

E p = E p 12 + E p 13 + E p 23 = − G ⋅  1 2 + 1 3 + 2
r
r
r
12
13
23


La energía potencial de un sistema de partículas nos da medida del trabajo que
debería realizarse para separar el sistema hasta hacer infinita la distancia entre las
partículas.
•
Potencial gravitatorio.
Se ha visto anteriormente que el campo de fuerzas gravitatorio queda mejor
r
definido por el vector g
r
en cada punto que por la fuerza F que actúa sobre una
r
r
masa “testigo” en cada punto; es decir, se prefiere la función g = g (x , y , z ) a la
r r
F = F (x , y , z ) .
De igual forma, el campo escalar de energía potenciales queda mejor definido
si calculamos en cada punto, no la energía potencial gravitatoria que adquiere una
masa cualquiera, sino la que adquiere la unidad de masa, magnitud que se denomina
potencial gravitatorio:
V =
Ep
m'
= −G ⋅
m
r
Por tanto:
“Se define potencial gravitatorio (V) en un punto, como la
energía potencial que adquiere la unidad de masa colocada
en dicho punto”
Una ventaja importante de definir el potencial gravitatorio como magnitud
representativa del campo gravitatorio es su carácter escalar; es decir, resulta más fácil
r
r
r r
determinar V = V (r ) que g = g (r ) .
Si se consideran varias masas m1, m2,..., mn que están a unas distancias r1,
r2,...,rn respectivamente del punto P. El potencial en ese punto será:
m m
m 
V = V1 + V2 + L + Vn = − G ⋅  1 + 2 + L + n 
r2
rn 
 r1
18
Analizando las expresiones del campo y el potencial gravitatorio, se puede
obtener la relación entre ambas magnitudes:
m
r 2 

m
V = −G ⋅ 
r 
g = −G ⋅
→
g=−
dV
dr
vectorialmente:
r
 ∂V r ∂V r ∂V r 
dV r
g=−
ur = − 
i +
j +
k  = − grad V
∂y
∂z 
dr
 ∂x
•
Representación gráfica del campo gravitatorio.
Según la magnitud que se emplee para definir el campo gravitatorio, se
representará usando las líneas de fuerza o las superficies equipotenciales:
-
Representación mediante líneas de fuerza.
•
Las líneas de fuerza o líneas de campo cumplen la condición de que,
r
en cada uno de los puntos, el vector intensidad de campo, g , es
tangente a dicha línea de fuerza. Su sentido es siempre hacia la
masa que crea el campo.
•
Nunca se cortan entre sí en ningún punto del espacio, ya que sólo
puede haber una dirección del campo gravitatorio en cada punto.
•
El número de líneas de fuerza es infinito, pues por cada punto pasa
una, pero al representarlo en un dibujo se traza un número finito de
ellas; conviniendo que el número de líneas de fuerza que pasa por
unidad de superficie normal a las mismas es proporcional al valor de g.
-
Representación mediante superficies equipotenciales.
•
El campo escalar de potencial gravitatorio puede representarse
gráficamente mediante las llamadas superficies equipotenciales,
entendiendo por tales el lugar geométrico de los puntos del espacio
en que el potencial gravitatorio tiene el mismo valor.
•
En el caso del potencial gravitatorio creado por una masa puntual
aislada o por una distribución de masa con simetría esférica, el
potencial toma el mismo valor en todos los puntos que distan una
misma distancia r de la masa m; es decir, las superficies
equipotenciales serán superficies esféricas concéntricas en la
partícula.
19
•
Las superficies equipotenciales y las líneas de fuerza se cortan
perpendicularmente.
•
Cuando se desplaza una masa desde un punto a otro, siguiendo la
superficie equipotencial, la fuerza gravitatoria no realiza trabajo alguno
sobre el cuerpo; puesto que al ser la variación de potencial cero,
también lo sería la de energía potencial y, por tanto, también el trabajo
sería nulo.
-
En la siguiente figura se representan las líneas de fuerza
y las superficies equipotenciales
para un campo creado por una masa puntual.
Aspectos energéticos del movimiento de los cuerpos en un campo gravitatorio
Aquí se aplicará el principio de conservación de la energía mecánica a algunos
aspectos de interés relacionados con el movimiento de los cuerpos en un campo
gravitatorio.
•
Relación entre energía y movimiento orbital.
Consideremos un cuerpo de masa m que se mueve, a la distancia r, con
velocidad v alrededor de otro de masa M mucho mayor, como es el caso del Sol y los
planetas o el de la Tierra y un satélite artificial. Suponiendo que M está en reposo,
podemos escribir la energía mecánica de m en dicho sistema como:
Em = Ec + E p = 21 mv 2 − G
M ⋅m
r
Si el movimiento de m alrededor de M es circular, que es el caso más simple,
pero al mismo tiempo muy importante debido a que muchos satélites y planetas tienen
órbitas casi circulares, la fuerza de atracción gravitatoria es centrípeta y se puede
escribir:
m ⋅v2
M ⋅m
=G 2
r
r
20
→
v= G
M
r
esta ecuación muestra que, para un radio dado, la velocidad lineal está determinada y
que el movimiento del satélite no depende de su masa. Si se sustituye esta expresión
en la de la energía mecánica, se obtiene:
Em = 21 mv 2 −
G⋅M ⋅m G⋅M ⋅m G⋅M ⋅m
G⋅M ⋅m
=
−
=−
r
2r
r
2r
El hecho de que la energía mecánica total sea negativa implica que la energía
cinética, siempre positiva, es menor que la energía potencial, razón por la cual la masa
m habrá de estar girando en torno a M en órbitas cerradas, ya que no posee energía
suficiente para alejarse de él indefinidamente.
Aumentar el radio r de la órbita supone aumentar la energía mecánica (se hace
menos negativa). A esta energía se le denomina energía de enlace:
“Energía que debe tener un satélite para mantenerse en
una órbita circular estacionaria de radio r alrededor de un
planeta”.
Em = −
•
G⋅M ⋅m
G.mT ⋅ m
=−
2r
2 ⋅ (rT + h )
Velocidad de escape.
Es la velocidad que hay que proporcionar a un cuerpo, de masa m, para que
escape de la atracción de un planeta de masa M y radio R. Como el lanzamiento se
realiza en un campo conservativo, la energía mecánica se conserva.
En el infinito la velocidad será cero, al igual que su energía potencial, en
consecuencia: Em,f = 0.
como ∆Em = 0; Em,i = Em,f ;
despejando ve:
•
ve =
1
2
por tanto:
2 ⋅G ⋅ M
R
mv e2 − G
en la Tierra: v e =
M ⋅m
=0
R
2 ⋅ G ⋅ MT
RT
Energía de amarre o ligadura.
Si se quiere que un cuerpo de masa m abandone el campo gravitatorio
terrestre y no vuelva a él, en términos físicos sería lo mismo que el cuerpo llegase a
una distancia infinita de la superficie terrestre.
21
El trabajo debería ser como mínimo el mismo del trabajo realizado por la fuerza
gravitatoria para llevar el cuerpo desde el infinito hasta la superficie, pero teniendo en
cuenta que la fuerza externa tiene signo contrario a la gravitatoria.
F = − FG = G
W =
mT ⋅ m
r2
r r
∞ dr
G⋅m ⋅m
F
∫rT ⋅ dr = G ⋅ mT ⋅ m ⋅ ∫rT r 2 = rTT
∞
por tanto:
W =
G ⋅ mT ⋅ m
rT
Esta es la energía que hay que suministrar a un cuerpo de masa m, para que
abandone el campo gravitatorio terrestre; este valor se denomina energía de amarre o
ligadura; por tanto, si se lanza el cuerpo aportándole una energía menor queda ligado
al campo.
Repaso de primero sobre fuerzas elásticas o restauradoras.
Si tenemos un resorte o muelle y lo deformamos,
aparece una fuerza elástica o restauradora que intenta
recuperar la forma inicial del muelle.
La fuerza restauradora que un muelle ejerce sobre un
cuerpo es proporcional a la deformación producida y actúa
oponiéndose a dicha deformación.
El trabajo realizado por la fuerza recuperadota para
restaurarlo después de deformarlo por una fuerza externa será:
xf
x2 
W = ∫ Fdx = ∫ ( −K x ) dx = − K ∫ x dx = − K  
xo
xo
xo
 2  xo
xf
xf
xf
W = − 21 K x f2 + 21 K x o2 = − ∆E p ,elástica
ya que se define E p ,elástica = 21 K x 2
es decir, el trabajo realizado por las fuerzas elásticas es igual a la variación negativa
de la energía potencial elástica, tal como ocurre con la fuerza gravitatoria.
22