Nota sobre la hipótesis de continuidad de los conjuntos de

ESTAOISTICA ESPAÑ^JLA
Núm. 96, 1982, p^gs. 63 a 68
Nota sobre la hipótesis de continuidad de los
conjuntos de producción y consumo
por CARMEN HERRERC^ BLAN^O
Facultad de Ciencias Econbmicaa y
Emprea^ariales.
Universidad de Alicante
RESUMEN
En este artic ulo se proporciona la prueba de una condición utilizada por
Debreu, en una economia compuesta por un número finito de agentes, para
conseguir la continuidad de los conjuntos de producción y consumo totales,
a partir de la continuidad de los individuales.
Palabras clave: con^junto de producción, conjunto de consumo, cerrado,
compacto, cono asintótico.
INTRO^DUCCI(^N
En el contexto del análisis del equilibrio competitivo de una economia compuesta
por un número fnito de agentes, suelen manejarse diversas hipótesis acerca de los
conjuntos de produccián y de consumo individuales, y tiene inter^és el estudiar las
consecuencias de la elección de algunas de estas hipótesis sobre los conjuntos de
praducción total y de consumo total.
L'na de las hipótesis habituales, tanto sobre los con^juntos de producción como sobre
los conjuntos de consumo de cada uno de los agentes, es la de continuidad. Esta
ESTADISTIC A ^.SPAÑOLA
hipótesis significa yue el correspundiente cc^njunto de prc^ducción, Y^, o c1e cc^nsumv,
X^, es cerrado en R°, siendc^ R^ el espaciu de mercancías. Interesa, por otra parte, el
estudio de condiciones que aseguren que, supuestos todos los Yf, j= 1, ..., n, o todos
los
^{;, i = 1, ..., m, cerrados, el canjunto de producción tatal Y
=^ Y;, o el
.i =
conjunto de cansumo total X =^ X;, van a ser también cerrados. La idea matemática
l=I
subyacente a este problema, es estudiar bajo qué condiciones se puede asegurar que la
suma de ciertos subconjuntos cerrados de Rp, es también un conjunto cerrado en RP,
ya que, en general, la suma de conjuntos cerrados no es un cerrado.
Es bien sabido que, en Rp, la suma de una cantidad finita de conjuntos compactos
es un conjunto compacto y, por tanto, cerrado, y también, que la suma de un
co^njunto compacto y de un cerrado es un cerrado '. Una de las formas de asegurar,
entonces, que el conjunto de producción total o ei conjunto de consumo total van a ser
cerrados, consiste en tomar los conjuntos de producción o de consumo individuaies
compactos, o ai menos, algunas de e11os 2. Sin embargo, la candición de acotación no
es necesaria para asegurac la propiedad de continuidad de los conjuntos suma.
Debreu ( 1959) proporciona condiciones con las que, sin necesidad de tomar conjuntos de producción o de consumo individuales compactos, puede asegurarse la continuidad para los conjuntos de producción totai o de consumo total 3. En ambos cas©s,
Debreu utiliza la misma condición matemática ( semi-independencia positiva de los
conos asintóticos) sabre los cor^j untos cerrados X;, != 1, ..., m, Y^ , j= 1, ..., n, para
asegurar que X =^ X;, Y=^ Y^, son también conjuntos cerrados, pero no incluye la
prueba de dicha condición.
En esta nota proporcionamos una prueba de la candición utilizada por Debreu, que,
por otra parte, constituye una generalización de las ideas anteriormente indicadas
acerca de que la suma de cerrados y compactos es cerrado. En el punto l introducimos
la noción de cono asintótico y de semiindependencia positiva, y, en el punto 2,
proporcionamos la condición indicada y la prueba.
l.
Sea Rp, con su norma habitual, que designamos ^ ^ ^ ^, y sea S un subconjunto de
' Véase, por ejemplo, Kothe, G. (1969). Cap. 3, pág. 154.
2 Así hacen, de hecho, algunos autores. Véase Arrow y Hahn (1971). Otros autores simplemente evitan el problema haciendo el supuesto de que los conjuntas de producción o de consumo
totales son cerrados. Véase al respecta McKenzie ( 1959) o Debreu ( 1962).
' Asi, para los conjuntos de producción Y^, basta tomarlos cerrados y convexos y de
modo que Y ^1 - Y={ 0} ; y, para los conj untos de consumo X;, basta t^marlos cerrados
y con la condic ión de acotac ión inferior para ^(Debreu, 1959. )
NOTA SOBRE LA H[POTESIS DE CONTINUIDAD DE LOS C4NJUNTOS DE PRUDUCCION Y Ct)NSUMO
65
R°: Yara cada k^ R, k pasitivo, consideramos el cunjunto Sk ={ X E S^ ^^ x( ^ > k}.
Llamamos C^(Sk) al cono cerrado rnás pequeño de vértice el origen, que contiene Sk.
Dc^,f inic•ión
1
Dado S C R°, Ilamamos cono asintótico de S, y lo designamos
As = xzo
n r(sk^
Como consecuencia de la definición, pueden hacerse algunas c^bservaciones inmediatas:
1)
AS es un cono cerrado de vértice el origen.
2)
3)
4)
AS es cerrado, por serlo cada C'(S^`).
AS contiene a las direcciones «no acatadas» de S.
Si S es acotado, se tiene que AS ={Q} .
Si ^^ E Rp, se tiene que AS = A(^^ + S).
S^
D^^finic•ión 2
Sean A;, i= 1, ..., r, conos en R°, de vértice el origen. Diremos que { A; }; ^
r
son positivamente semiindependientes si y sálo si de tener ^ z; = 0, x; E A;, i= l, ...,
r, se ded uce que x; = 0 para todo ^= 1, ..., r.
Es inmediato observar q ue si los conos A, , A2 son positivamente semiindependientes, esto signi^ca geométricamente que no contienen semirrectas opuestas.
2. La condición utilizada por Debreu para asegurar que la suma de cerrados en Rp
es cerrada, viene expresa^da en la siguiente proposición:
Prop^^sición.
Sean S; cerrados i= 1, ..., r, S; ^C Rp . Sean AS; , i= 1, .,., r, los
conos asintóticos de S; , re spectivamente. Si los { AS; };_ ^,...., son positivamente
r
semiindependientes, entonces el conjunto S=^ S; es cerrado en RP.
;=i
Una observación inmediata que se puede hacer, es que la proposición anterior tiene
los siguiente corolarios:
C^rvlurio 1.
rrad o e n R°.
Sean S; i= 1, ..., r, compactos, S; C R^; la suma ^ S;
^-i
e s ce-
ESTADISTiCA ESPAÑOLA
66
Puesto que si S^ es compacto, AS; ={ 4} , y los conos { AS; },,^ ^....^^ son trivialmente,
positivamente semiindependientes.
Cur^^luric^ 2: Sean S, compacto, S^ cerrado, S, , S^ ^ R°. Se tiene que S= S, + S^
es cerrado en Rp .
Yuesto que, al ser AS, ^{o} , los conos AS, y AS^ son positivamente semiindependientes.
D^muslrUC•ivn de lu prvnc^sic•iórr
La haremos para el caso de dos cerrados. La generalización al caso de r es
inmediata.
Sean, pues, S, , S^ ce rrados en Rp , tales que los conos asintóticos AS, , AS^ son
positivamente semiindependientes. ^amos a probar que el conjunto S= S, + S2 es un
subconjunto cerrado de Rn.
Sea {^n } C S una su^cesión convergente, y sea ^ su limite. Cada zn = xn + y„ , con
x,^ E S,, ^*n E S2. ^ueden presentarse los siguientes casos:
u) La sucesión {.xn}nEnr es acotada. Entonces, la sucesián {yn}n^:N también será
acotada por ser {4n }^^^ convergente y, por tanto, acotada. Por ser ambas sucesiones
{ xn },{ y^ } acotadas poseer. subsucesiones convergentes { xn },{ yn }, Pero el límite de
estas subsucesiones está, respectivamente, en S,, S^, por ser cerrados. Asi,
{XRS} ^ x ^ S^ ^
{yns } ^ ^' £ S^
Yero {_^r„s + ti^ns } es una subsucesión de { ^M }. Su límite es x+ y=^, , por lo que ^^ S,
yaquext; S,,ti^t= S^.
ba La sucesión {xn }n^N es no acotada. Entonces, la sucesión {yn } es también no
acotada, pero {xn +^^n} converge a z. Veremos que este segundo caso no puede darse,
pues si se verificase, entonces los conos AS,, ASZ, no serían positivamente semiindependientes. Ello se obtiene del siguiente modo;
6.1) Existen das sucesiones {.r,*}n^N C AS, ,{ ti^,*}„^N C AS2, tales que ambas
son divergentes en norma, pero {x,* + yñ } converge al origen.
En efecto: Consideramos la sucesión {xn + y„ - ^}, que converge a 0. Dado ^> 0,
existe un natural N^ tal q ue si n> N^ se tiene
I^xn + yn
^( I ^
a•
3
NOTA SOBRE L^l HIPOTESIS DE CONTINUlDAD DE LOS CONJUNTOS DE PRODUCCION Y CONSUMO
67
Tanto la sucesión { x„ }n F ^/ como la {^^„ -^, }„^ N son no acotadas. Por ser la sucesión
{.r„ }n^;N no acotada, posee una subsucesión divergente en norma, {x„s }. Entonces, existe
una sucesión {_r,*s } C AS, tal que, para todo d> 0, existe N^ E N de modo que, si
b
ns ^ N^• i^X^s - XRSI!< 3•
Por ser {yn - z},^£ ^, no acotada, posee una subsucesi8n divergente en norma.
Podemos tomar los s ubí nd ices de la subsucesión idénticos que antes, { V„s - ^}. Existe,
entonces, una sucesión {^^,*s } C A(S^ -^) tal que, para todo á> Q, existe N^ E N, de
modo que si
á
ns ^ N2, lIyR -- y^ s +Z1 I <3 .
Así, tomando n s> Max(N^, N, , N2), se tiene:
i I XRS + y^s l l = I ixñ J- xn s+ x„s +
.^^ns - y^s - ^ + ^ + y*s I I ^
s I I xñs - X^sI I + I I x^s + y„s - z I I+
+ Ilyñs - yns + ^II < s
lo que significa que la suce sión { zñ + yñ s} converge tanbién a 0, y se tiene que {x^ } C
C AS^ ; { y*s } C A(Sz - z)= AS2 . Por tanto, se pueden encontrar sucesiones {xñ } C
C AS^, {y„*} C AS^, ambas divergentes en norma, pero tales que {x,* + y,*} -.^ p,
b.2 )
Existen sucesiones { z,^ }, {y,^ } en AS, , AS2, respectivamente, tales que
Y
IIXnII = IIynII = l+
x*
n
En efecto, si llamamos zn
^
i Ix^ i I
+
yñ
{zn + yn} ---^ o.
*
, y„ = y"
I ly^ I I
se tiene:
X*IIyñII + IIxñllyñ
IIX ^ + y n ll =1k X*
* 11=1!
^
II =
II nII
IIy^iI
Ii z*nII IIynII
_-k! xñllyñll + yñIIYnII
+ IIxñII^n -II=
* - yñllyñll
*
!iX„II Ilynll
= IIynII(xn + yn ^ + y^ ^Ilxnli - IIyñII ) < Xn + yn +
^I
,^
,^
^I ^I
i I X^ I I I I yn II
I I Xn* i I k^
+
kl
yñ
*
IIynII
t) (x ñ
- I IynII^
*
Ilxnll
II
^ 2 IIXñ
+ ynll
*
IIX„^II
ESTADISTICA ESPAÑOI._A
bñ
h.3 )
Las sucesione s{ X„ }„^, N,
{ y } ^t.N están en la bola unidad de R^, a la que
ilamamos B. {.z,^} C B I'1 AS,, que es un compacto, por lo que posee una subsucesión
convergente en un .x E 8 ^`1 AS, . Del mismo modo, ia sucesión { ti•„ } C B (^ AS,, que
es también un compacto de R^ posee una subsucesión convergente a un r^^ ^ B ^1 AS^.
Pero, entonces, _"r +^^ es el límite de la subsucesión de la {x„ + v„ }, por lo que .x + y=
0, x E AS, , y^ A S^ , x ^ fl, y * 0, ya que ^^ z I i =^ I y^( = 1• Obtenemos asi una
contradicción con la semiindependencia positiva de los conos AS^ , AS:, lo que indica
que el caso b) no puede darse,
y, S= S, +
S^ es cerrado en R^ .
BIBLIOGRAFIA
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General C'ompetitivo». Fondo de Cultura Económica, 1977.)
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SUMMARY
In this paper, we give a proof of a condition used by Debreu, to get
the continuity in the production and consumption total sets, by the
continuity in the production and consumption individual sets, in an
economy with a finite number of agents.
K^y K^c^rds:
pact.
Production set.
Asympotic cone.
Consumption
AMS, 1970. Subject classification: 62P20.
set.
Closed.
Com-