Vida del más eminente matemático indio

SRINIVASA RAMANUJAN
-Vida del más eminente matemático indio-
Recordad este día, mortales. Porque hoy, 22 de diciembre de 1887, está a punto
de nacer un hombre llamado a convertirse en uno de los más grandes matemáticos que
hayan visto los siglos. Será despreciado por muchos, pero unos pocos tendrán la
oportunidad de aprender del gran ingenio que será sin apenas quien le enseñe.
Alba pasó la página de aquel libro, desvencijado y mohoso, ávidamente, con ansia,
deseando saber más. Sumergióse en la lectura, y por un tiempo fue parte de ella: de
repente ya no estaba en su habitación, sino en una destartalada casa del siglo XIX. Una
mujer llamaba a gritos a su hijo.
-¡Srinivasa! ¡¿Qué haces ahí?! ¡Baja del desván, que han venido unos señores a hablar
contigo!
Un niño de 7 años, travieso y algo asustado, bajó con parsimonia las escaleras
del desván.
-Saluda a estos señores, hijo. Te harán mucho bien.
-Hola, pequeño Ramanujan. Supongo que sabrás de dónde venimos.
El pequeño negó con la cabeza.
-Bueno, tampoco pasa nada. Somos de Kumbakonam, y hemos venido a llevarte donde
puedas cultivar el gran talento que tienes con los números – dicho esto, se acercó a una
mesa; sobre ella, papeles desordenados y llenos de garabatos, aparentemente sin sentido,
pero que leyó con gran interés – este chico es un prodigio, señora. Le hará bien estudiar
fuera.
Entre llantos, el niño abrazó a su madre y salió de la casa, acompañado de los
dos hombres.
Todo el mundo dio vueltas alrededor de Alba; cuando se disipó la tempestad,
hallábase en una biblioteca, donde un joven indio de unos dieciséis leía un libro y
escribía frenéticamente en un montón de papeles, que yacían desordenados encima de la
mesa. Varios chicos cuchicheaban a su alrededor:
-Sí, éste es Ramanujan, el de los teoremas imposibles.
-¿El que superó al profesor en su propio examen el mes pasado?
-El mismo.
-¿Y qué hace ahora?
-Está demostrando el Synopsis of pure mathematics, de Karr.
-¿Demostrándolo?
-Sí, y lo mejor de todo es que no vienen las demostraciones en el libro. Lo está haciendo
solo.
Uno de los chicos acercóse al joven lector, y llamándole levemente la atención, le dijo:
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-Oye, ¿tú cómo demuestras todos esos teoremas?
-La diosa de Namakkal me inspira en mis sueños.
El chico se levantó, miró a su compañero con cara de incredulidad y salió de la
biblioteca. El joven indio seguía a lo suyo, hasta un momento en que se detuvo de
repente, cogió el libro y los papeles y se encaminó hacia la puerta. Alba lo siguió a toda
prisa: aquel misterioso joven le resultaba fascinante. Al cruzar la puerta de la biblioteca
se halló, para su sorpresa, en un estudio. Durante horas trabajó el joven en diversos
teoremas matemáticos, días, semanas. Tanto fue así que descuidó las demás materias,
suspendió los exámenes y le fue denegada su beca.
Durante este tiempo pululaba cerca de la casa una joven india, hermosa, de tez
morena y ojos grandes y profundos.
-Cásate conmigo.
-Sí. Sí, sí; me haría muy feliz
Cogiéronse de la mano y caminaron juntos hacia la puesta de sol; Alba los siguió
con disimulo, hasta que tropezó con un periódico y cayó con estrépito. El margen
rezaba: Número 12 – abril de 1909. Sí que había pasado el tiempo. Levantóse Alba y
salió corriendo en pos de ellos. Ella se encaminó hacia su casa y él, con una carta en la
mano, llamó a una puerta decorada con el letrero: “Ramachandra Rao, matemático y
recaudador”. Entró sin hacer ruido.
Alba no pudo entrar tras él, por lo que decidió esperar en la puerta. Por ella salió
un hombre más adulto y maduro que el joven que había entrado, pero con el mismo aire
desaliñado y la misma mirada desafiante que lo caracterizaba. Llevaba una carpeta con
el anagrama del año 1913. Vióle Alba dar una carta al cartero, a nombre de Harold
Hardy.
Horas después despedían al hombre de su trabajo en el puerto de Madrás.
Llegó un hombre corriendo, plantóse ante él y le dijo: Srinivasa, lo he
conseguido. Te vas a Cambridge.
Éste se preparó rápidamente, hizo sus maletas, se despidió de su esposa y partió
en un carro en dirección a Londres.
Perdió Alba el carro, y tuvo que realizar un largo, intenso e incómodo viaje;
algunos tramos a pie, otros en carro, pagado con el sudor de su frente; tras múltiples
penurias y algún que otro momento de tensión mortal, llegó finalmente a Cambridge.
Con ayuda de su ingenio amasó una pequeña fortuna jugando al póker y, una vez fue
suficiente como para mantenerse holgadamente, se inscribió en la universidad; gracias a
su más que notable inteligencia, consiguió asistir a las clases de Harold Hardy en
calidad de alumna. Preguntándole por el misterioso indio, Hardy le respondió:
-Mi querida Alba, voy a necesitar un buen consejo por primera vez en muchos años, y
quién mejor para dármelo que una de mis mejores alumnas.
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Alba se turbó ligeramente; Hardy se sentó apaciblemente en una silla de su
escritorio y aguradó a que ella hiciese lo mismo.
-Hállome ante el problema de enseñar matemáticas modernas a alguien cuya ignorancia
en el conocimiento de la matemática es tan asombrosa como su profundidad. Sin duda
me encuentro ante un alumno como no volverá a haber en generaciones; de los 120
teoremas que me envió en aquella carta de 1913 – la sacó de un cajón, y Alba pudo
admirar el montón de hojas de papel de que constaba, cuidadosamente apiladas esta vez
– sólo puedo decir que tienen que ser ciertos, porque, si no lo fueran, nadie habría
tenido suficiente imaginación como para inventarlas.
-Yo… yo creo que debería motivarlo, señor.
Al decir esto agachó la cabeza, y Hardy tuvo la sensación de estar resultando
incómodo para su interlocutora; llamó éste a una asistenta, pidió que le trajera dos tazas
de té verde y esperó.
El silencio se le hizo pesado a Alba. Sentía una extraña presión, como si la
aplastara: tenía un montón de cosas que decirle a aquel profesor sobre el joven indio,
pero, por alguna extraña razón, simplemente no pudo – no mencionó su infancia, ni el
libro que descifraba en la biblioteca, ni a Rao... nada. Simplemente calló.
-Por dónde iba… ¡Ah, sí, el té! Muchísimas gracias, Martha- ella asistenta hizo una leve
reverencia, musitó unas palabras y se retiró – Bien, veamos… decías que había que
motivarlo; estoy de acuerdo contigo, pero ¿qué te lleva a pensar eso?
-Creo, señor, que su genialidad, que queda patente al leer algunas de estas fórmulas,
que, como dijo usted, tienen que ser ciertas por la imposibilidad de inventarlas, reside
precisamente en que no ha sido instruido en un sentido estricto; siempre ha seguido su
propio camino en la matemática. Para explicárselo de forma más mundana: creo que, si
se le hubiera dado una educación estricta, hubiera desembocado en algo que sería más
profesor de matemáticas y menos Ramanujan. ¿Es un buen ejemplo?
Hardy se levantó de la silla.
-El mejor, querida, el mejor. Ahora, por favor, acompáñame; nuestro buen amigo
Ramanujan ha enfermado de repente – tuberculosis, dicen – yace ahora mismo en el
sanatorio de Cambridge.
-y… ¿cómo lo ha sabido usted, si ha estado aquí conmigo?
Hardy, para sorpresa de Alba, rió ante la pregunta.
-Lo sabía ya antes de que llegaras. Pero antes necesitaba tu opinión al respecto:
marchemos, un carruaje nos espera.
Profesor y alumna llegaron al sanatorio de Putney – se enteraron de que el joven
había sido trasladado debido a su situación- donde yacía su amigo; pálido, delgaducho y
muy débil, aún conservaba energías, y se alegró al verlos llegar. Hardy decidió romper
el hielo con una pequeña anécdota:
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-¿Sabes, Srinivasa? Hoy he encontrado un número tremendamente aburrido. Muestro
coche de caballos, en el que viajamos la señorita y yo llevaba por matrícula el número
1729.
Ramanujan rió alegremente.
-Es en realidad un número muy interesante; de hecho, es el número más pequeño que se
puede descomponer en la suma de dos cubos de dos formas distintas.
Hardy sonrió ampliamente, al ver la energía que aún desprendía el que fuera su
discípulo.
-¿Te has planteado ya el mismo enigma pero con cuartas potencias?
Ramanujan se rascó la cabeza.
-La solución no es obvia, sin duda, pero debe de ser un número muy grande.
Alba sonrió para sus adentros: ella conocía el tal número – lo mencionaron una
vez en clase. Ella siempre se quedaba con ese tipo de detalles. Se prometió a sí misma,
sin embargo, acudir a su profesor en cuanto saliese de allí.
Mientras se hallaba sumergida en sus pensamientos, no se dio cuenta de que el
escenario cambió bajo sus pies: hallábase en una habitación de una casa de madera
destartalada, sobre una mesa, yacía inerte el matemático indio. A su lado, un apenado
Harold Hardy reprimía lágrimas de duelo por la pérdida de tan eminente figura y buen
amigo. “Me gustaría decir unas palabras”, dijo.
-…Al igual que sus matemáticas, mostraba los más extraños contrastes. Yo diría que le
interesaba muy poco la literatura como tal, y tampoco el arte, pero podía distinguir la
buena literatura de la mala. Por otra parte era un filósofo sutil, aunque nebuloso, y un
ardiente político, pacifista y ultrarradical. Se ajustaba a las prescripciones religiosas de
su casta con una severidad muy poco corriente en los indios residentes en Inglaterra.
Pero su religión era materia de rito, no de convicción intelectual. Recuerdo bien su
confidencia - que me sorprendió mucho - de que todas las religiones le parecían más o
menos igualmente verdaderas. Tanto en literatura, como en filosofía y en matemáticas,
tenía verdadera pasión por lo inesperado, extraño y estrambótico. Tratemos por un
instante, amigos, de imaginar la calidad de la mente de Ramanujan, que le condujo a
trabajar incesantemente mientras moría, y suficientemente grande para crecer más
profundamente mientras su cuerpo se debilitaba. Me asombra su talento, su
entendimiento me sobrepasa. Admiraríamos a un matemático cuya producción fuera la
mitad de lo que Ramanujan descubrió en el último año de su vida mientras moría. En
palabras de una gran alumna y amiga de él: Probablemente, Ramanujan habría sido
mejor matemático si lo hubieran descubierto y educado un poco en su juventud. Habría
descubierto más cosas nuevas y, sin duda, de mayor importancia. Por otra parte, habría
sido más semejante a un profesor europeo y menos parecido a Ramanujan, y así la
pérdida hubiera sido tal vez mayor que la ganancia…
Enjugadas las lágrimas, el cuerpo de Ramanujan fue quemado con una tea, para
de esta forma conservar intacto su recuerdo en la mente de todos.
4
Apareció en la mente de Alba una página en blanco con una firma estampada y
una fecha. “Alba Manrique Escobar, noviembre de 1923”
Alba despertó de golpe, sobresaltada. Se había dormido leyendo el libro; recordó
el discurso de despedida de Hardy, y le resultó familiar – en ese momento encontró,
escondidas en el doble forro del libro un paquete marrón arrugado. Lo abrió, y su
contenido le maravilló: eran las cartas de Harold Hardy, dirigidas a una mujer llamada
Alba Manrique Escobar - ¿A mi abuela? – se preguntó. Al leerlas detenidamente,
advirtió cuál era la esencia del discurso de Hardy: las cartas. Eran fragmentos de las
cartas. Estaban fechadas entre 1925 y 1928, por lo que dedujo que Hardy había querido
reconstruir el recuerdo de su pupilo y amigo, que murió, en sus palabras: “con un
estatus científico y una reputación como ningún indio había disfrutado antes”.
Cerró los ojos e imaginó a su abuela, siguiendo los mismos pasos que ella había
dado durante su transcurso por la novela, y entonces lo vio claro: el libro era un portal
en el tiempo. Había revivido la vida de su abuela durante los años de Ramanujan. Sintió
una eterna gratitud hacia ella, cerró el pesado libro y bajó del desván hasta su cama,
pensando en cuán rica debió de ser la herencia que dejó Ramanujan a todos los
matemáticos.
VOLVEMOS SOBRE FERMAT
-Números cuadrados como suma de dos cuadradosFermat, en el que es considerado su último teorema, establece que
“ x  y u  z u para u≤2, u   , x, y, z   ”. Dado que 2 es el máximo exponente que
cumple este teorema, nos planteamos qué números z cumplen esta condición.
u
Esta idea de la suma de los cuadrados de dos números naturales nos hace pensar
en el teorema de Pitágoras; ahora bien, ¿cómo podemos representar tríadas de números
que cumplan el teorema de Pitágoras en un papel? En una hoja cuadriculada; las tríadas
de números se definen como triángulos rectángulos con vértices en tres puntos de la
trama. Una hoja cuadriculada se define por una trama cuadrada de puntos, lo que nos
lleva a reformular la pregunta como sigue: “¿Qué distancias es posible representar en
una trama cuadrada de puntos?”.
Mostramos en primer lugar una trama de puntos con las referencias que voy a utilizar:
Una vez definidos a y b, segmentos de longitud
no necesariamente idéntica, aplicamos el teorema de
Pitágoras para calcular el valor de c:
c2  a2  b2
Cabe preguntarse qué números c cumplirán esa
propiedad: para introducirnos en ella, acudiremos a
5
una cualidad que tienen o no todos los números: la paridad. Los números se dividen en
pares e impares, y son representados de la siguiente manera:
PARES: Definimos un número par como aquél natural que es divisible entre 2.
x  2n
n  
(Apréciese que un número natural multiplicado por 2 siempre es par)
IMPARES: Definimos un número impar como aquél natura no divisible entre 2.
y  2n  1
n  
(Al sumar 1 a un número par, lo convertimos en impar)
-Dado que los números c2 se expresan como la suma de dos cuadrados, parece
conveniente encontrar la paridad de los cuadrados perfectos para que nos ayude, de
existir.
Para x par: x 2  2n   4 n 2  0 mod 4
2
El cuadrado de un número par es siempre múltiplo de 4, y con ello par
Para x impar: x 2  2n  1  4 n 2  4 n  1  4n 2  n   1  1 mod 4
2
El cuadrado de un número impar es siempre múltiplo de 4 más 1.
Al sumar dos números, el número obtenido es congruente con la suma de las
congruencias en el mismo módulo de los sumandos (al sumar dos múltiplos de 4 más 1,
el resultado es un múltiplo de 4 más 2. Ejemplo: 5 (1mod4) + 9 (1mod4) = 14 (2mod4)
Ahora tenemos un número c2 que es la suma de dos cuadrados:
consecuentemente con el anterior principio, su congruencia módulo 4 será la suma de
las congruencias de los cuadrados sumandos, lo que nos permite diferenciar tres casos
diferentes (desarrollaremos todo el operando para despejar dudas acerca de la validez de
esta propuesta):
CASO 1: a par, b par, a y b naturales.


c 2  a 2  b 2  2n   2k   4n 2  4k 2  4 n 2  k 2  0 mod 4
2
2
Los números cuyo cuadrado sea múltiplo de 4, es decir, citando las congruencias
para los cuadrados anteriormente desarrolladas, los números c pares pueden escribirse
como la raíz de la suma de dos cuadrados perfectos.
6
CASO 2: A impar, B par (o viceversa), A y B naturales.


c 2  a 2  b 2  2n  1  2k   4n 2  4n  1  4 k 2  4 n 2  n  k 2  1  1 mod 4
2
2
Los números cuyo cuadrado sea un múltiplo de 4 más 1, es decir, citando las
congruencias de los cuadrados, los números impares, pueden escribirse como la raíz de
la suma de dos cuadrados perfectos.
CASO 3: a impar, b impar, a y b naturales.
2
2
c 2  a 2  b 2  2n  1  2k  1  4n 2  4n  1  4 k 2  4k  1 
 4nn  1  k k  1  2  2 mod 4
Estos cuadrados no pueden serlo de números naturales; buscamos, pues, la raíz
de estos números aludiendo a su congruencia en módulo 4:
c 2  4  2 n  2  c  4  2n  2  2( 4n  1)  2 4n  1
Llamamos 2n a este número porque la observación empírica determina que los
números cuya estructura es 4n + 2 con a impar no aparecen en la trama de puntos, y con
ello no pueden ser cuadrados perfectos.
Recapitulemos. Son números c tales que c2=a2+b2:
-
Los
c
Los
c
números pares: c  2n , y en general los números de la forma
4n  2 n
números impares: c  2n  1 , y en general los números de la forma
4n  1
Los números de la forma c  2 4n  1
Queda así resuelto el problema.
Por Germán García Butenegro
IES Práxedes Mateo Sagasta
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