Transformaciones Inyectivas y Sobreyectivas

Transformaciones Inyectivas y Sobreyectivas
Profesores
Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga
Instituto de Matemáticas
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
2014
Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga
Transformaciones Inyectivas y Sobreyectivas
Definición (Transformación lineal inyectiva)
Si una transformación lineal es una función inyectiva, decimos que es una
transformación lineal inyectiva.
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Transformaciones Inyectivas y Sobreyectivas
Definición (Núcleo de una transformación)
Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V −→ W una transformación
lineal, definimos el núcleo o kernel de T como el conjunto
Ker(T ) = {x ∈ V | T (x) = 0}.
Lema
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de la
transformación, entonces Ker(T ) = N ul(A).
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Transformaciones Inyectivas y Sobreyectivas
Definición (Núcleo de una transformación)
Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V −→ W una transformación
lineal, definimos el núcleo o kernel de T como el conjunto
Ker(T ) = {x ∈ V | T (x) = 0}.
Lema
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de la
transformación, entonces Ker(T ) = N ul(A).
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Transformaciones Inyectivas y Sobreyectivas
Ejemplo
Calculemos el kernel dela transformación
lineal S cuya matriz de
1 2
0
transformación es A =
0 1 −3
Teorema
Sea T : V −→ W una transformación lineal, entonces T es inyectiva si y
sólo si Ker(T ) = {0}.
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Ejemplo
Calculemos el kernel dela transformación
lineal S cuya matriz de
1 2
0
transformación es A =
0 1 −3
Teorema
Sea T : V −→ W una transformación lineal, entonces T es inyectiva si y
sólo si Ker(T ) = {0}.
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Teorema
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de la
transformación. Entonces T es inyectiva si y solo si rango(A) = n =
número de columnas de A.
Ejemplo
Usar el ejemplo anterior paradeterminar
si la transformación lineal
 
x
x + 2y
T : R3 −→ R2 definida por T y  =
es inyectiva.
y − 3z
z
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Teorema
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de la
transformación. Entonces T es inyectiva si y solo si rango(A) = n =
número de columnas de A.
Ejemplo
Usar el ejemplo anterior paradeterminar
si la transformación lineal
 
x
x + 2y
T : R3 −→ R2 definida por T y  =
es inyectiva.
y − 3z
z
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Definición (Transformación lineal sobreyectiva)
Sean V y W espacios vectoriales y T : V −→ W una transformación lineal,
1. Definimos la imagen de T , denotada por Im(T ), como el conjunto
Im(T ) = {T (v) | v ∈ V } = {w ∈ W | existe v ∈ V tal que w = T (v)}.
2. Decimos que T es una trasformación lineal sobreyectiva si
Im(T ) = W .
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Teorema
Sean T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de T ,
entonces Im(T ) = Col(A).
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Ejemplo


1
0
Sea A = 1 −2 y T : R2 −→ R3 la transformación lineal definida por
3
0
T (x) = Ax, calcular la imagen de T .
Teorema
ea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A la matriz de T , entonces T
es sobreyectiva si y solo si rango(A) = m = número de filas de A.
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Ejemplo


1
0
Sea A = 1 −2 y T : R2 −→ R3 la transformación lineal definida por
3
0
T (x) = Ax, calcular la imagen de T .
Teorema
ea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A la matriz de T , entonces T
es sobreyectiva si y solo si rango(A) = m = número de filas de A.
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Transformaciones Inyectivas y Sobreyectivas
Ejemplo
Sea T la transformación del ejemplo anterior, determine si T es una
transformación lineal sobreyectiva.
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