UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA " SEDE MEDELL[N

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
ESCUELA DE MATEMÁTICAS - GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA (1000008)
SEMESTRE 02, 2009, TALLER 9
Tema:(Clases 17-18) VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS: Cálculo de valores
y vectores propios. Factorización A = PDP 1 : Valores propios y vectores propios de matrices
simétricas.
1. Sea A =
3 3
4 1
:
(a) Determine cuáles de los siguientes vectores son vectores propios de A; justi…cando su respuesta:
3
4
1
2
i)
ii)
iii)
iv)
2
5
2
0
(b) Halle los valores propios de la matriz A:
(c) Encuentre el conjunto de los vectores propios de A correspondiente a cada valor propio, interprételo
geométricamente y grafíquelo.
(d) Analice si la matriz A tiene factorización de la forma A = P DP 1 ; con P matriz invertible y D
matriz diagonal. En caso a…rmativo, halle matrices P y D que satisfagan tales condiciones. ¿Las
matrices P y D son únicas? Explique:
2. Considere la matriz simétrica A =
2 6
6 7
:
(a) Veri…que que A tiene dos valores propios distintos.
(b) Veri…que que los vectores propios de A correspondientes a valores propios distintos son ortogonales.
Ilustre grá…camente esta situación.
(c) Encuentre una matriz P invertible y no ortogonal y una matriz diagonal D tales que A = P DP
(d) Encuentre una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D1 tales que Q = m (R ) con 0 <
y
QT AQ
<
1:
2
= D1 : Indique cuál es el ángulo :
3. Sea T la transformación lineal del plano cuyos valores propios son 1 = 2 y 2 = 5: Si el conjunto de
1
vectores propios de T correspondiente al valor propio 1 es t
= t 2 R; t 6= 0 y el conjunto de vec4
x
0
tores propios de T correspondiente al valor propio 2 es
2 R2
=x 2y = 0 ; encuentre
y
0
la matriz de T .
4. Sea A una matriz simétrica de orden 2 con valores propios
propios de A correspondiente al valor propio
1
3. Si el conjunto de vectores
3
es la recta generada por el vector
; exceptuando el
4
1
=1y
2
=
origen O :
(a) Encuentre el conjunto de vectores propios de A correspondiente al valor propio
geométricamente.
2
e interprételo
(b) Halle una matriz Q que sea la matriz de rotación por un ángulo ; con 0 < < ; tal que QT AQ sea
2
una matriz diagonal. Indique claramente cuál es es el ángulo y cuál es la matriz diagonal obtenida.
(c) Encuentre la matriz A.
continúa en el reverso de la hoja
5. Considere las siguientes matrices:
i) A =
1
3
3
0
ii) A =
0 6
0 0
4
3
iii) A =
(a) Diga cuál(es) no tiene(n) factorización de la forma P DP
su respuesta.
1
2
3
iv) A =
5 18
3 10
con P invertible y D diagonal. Explique
(b) Diga cuál(es) no tiene(n) factorización de la forma QDQT con Q matriz de una rotación y D diagonal.
Explique su respuesta.
(c) Diga cuáles tienen factorización de la forma P DP 1 con P invertible y D diagonal y factorización
de la forma QD1 QT con Q matriz de una rotación y D1 diagonal. Explique su respuesta.
6. Determine cuáles de las siguientes a…rmaciones son verdaderas y cuáles son falsas, justi…cando brevemente
su respuesta:
(a) Si Q es una matriz ortogonal, entonces det (Q) = 1 o det (Q) =
1:
(b) Toda matriz correspondiente a la transformación rotación en el plano por un ángulo ; con
2 < < 2 ; es una matriz ortogonal.
1
(c) Si V =
es un vector propio de una matriz A de orden 2, correspondiente al valor propio
4
3
= 3; entonces AV =
.
12
(d) Si X1 y X2 son vectores propios de una matriz correspondientes a un mismo valor propio, entonces
X1 + X2 también es vector propio de la matriz.
(e) Si X es un vector propio de una matriz A asociado a un valor propio ; entonces
vector propio de A correspondiente al mismo valor propio :
(f) Si A =
2
+5
a b
c d
6 = 0.
con a + d =
3X también es
5 y det (A) = 6; entonces la ecuación característica de A es
2