La posición de una partícula cambia con el tiempo

La posición de una partícula cambia con el tiempo, siendo sus coordenadas
x=t
y = 4t 2
z = −2t
Escribir a) El vector de posición, el vector velocidad y vector aceleración en coordenadas
cartesiana
b) Componentes intrínsecas de la aceleración, así como la ecuación vectorial de la
aceleración en dichas coordenadas
c) Ecuación de la curva hodógrafa
Resolución
a) El vector de posición es
G
G
G G
r = ti + 4t 2 j − 2tk
Las componentes de la velocidad son
x´= 1
y´= 8t
z´= −2
De donde el vector velocidad es
G
G
G G
v = i + 8tj − 2k
G
2
2
El módulo de la velocidad es v = 1 + 64t + 4 = 5 + 64t
Las componentes de la aceleración son
x´´= 0
y´= 8
z´= 0
El vector aceleración es
G
G
a =8j
G
El módulo de la aceleración es a = 8
b) La componente tangencial de la aceleración es igual a la derivada respecto al tiempo del
módulo de la velocidad, por tanto
G
d v d 5 + 64t 2
128t
64t
=
=
=
at =
2
dt
dt
2 5 + 64t
5 + 64t 2
La componente normal de la aceleración es
G2
v
an =
ρ
Por otra parte, como las componentes tangencial y normal son perpendiculares se verifica
a 2 = at2 + an2
Sustituyendo valore se tiene
642 t 2
64 =
+ an2 , de donde se deduce
2
5 + 64t
642 t 2
320 + 642 t 2 − 642 t 2
320
2
64 −
=
a
=
=
n
2
2
5 + 64t
5 + 64t
5 + 64t 2
Y la aceleración normal es
320
an =
5 + 64t 2
Por tanto la aceleración, expresada en función de las componentes intrínsecas es
64t
320 G
G
G
a=
u +
un
2 t
5 + 64t
5 + 64t 2
b) La hodógrafa es la curva que describe el extremo del vector velocidad, por tanto la
ecuación de dicha curva en función del parámetro t (tiempo) es
x´= xh = 1
y´= yh = 8t
z´= zh = −2