9. CUERPOS FINITOS La estructura de un cuerpo finito.

9. CUERPOS FINITOS
El objetivo de este capı́tulo es determinar la estructura de todos los cuerpos
finitos. Probaremos en primer lugar que todo cuerpo finito tiene pn elementos, donde
p es la caracterı́stica del cuerpo y n cierto natural. Después veremos que para cada
natural n y cada primo p existe un único cuerpo (salvo isomorfismos) de pn elementos.
A este cuerpo se le llama el cuerpo de Galois de orden pn y se le representa por GF (pn )
(las letras G y F son las iniciales de “Galois field”, es decir, el cuerpo de Galois).
La estructura de un cuerpo finito.
Todo cuerpo finito de caracterı́stica p (para cierto primo p) tiene orden potencia
de p.
9.1. Lema.
Sea F ≤ E una extensión de grado n, con ]F = q ∈ N. Entonces ]E = q n .
Demostración:
Sea {α1 , . . . , αn } una base de E como espacio vectorial sobre F . Cada elemento
u ∈ F se escribe de forma única como u = u1 α1 + . . . + un αn , con u1 , . . . , un ∈ F .
Como cada ui puede ser uno de los elementos de F , es decir, hay q diferentes u1 , . . . ,
q diferentes un , el número total de elementos de E es q n .
9.2. Corolario.
Si E es un cuerpo finito, entonces ]E = pn , para cierto n ∈ N, donde p es la
caracterı́stica de E.
Demostración:
Si E tiene caracterı́stica p, existe un subcuerpo F de E que es isomorfo a Zp .
Ahora aplicamos el resultado anterior a F ≤ E, que es una extensión finita de grado,
digamos n, y tenemos que ]E = pn .
Ahora miramos la estructura multiplicativa de un cuerpo finito E. El siguiente
resultado nos dice cómo se construye E a partir de su subcuerpo primo. En lo que
sigue supondremos que un cuerpo de caracterı́stica p contiene a Zp como subcuerpo.
9.3. Teorema.
Un cuerpo finito E de pn elementos es (salvo isomorfismos) el cuerpo de den
scomposición del polinomio xp − x ∈ Zp [x].
1
2
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Demostración:
Sea E un cuerpo con pn elementos, donde p es su caracterı́stica. El par (E ∗ , ·),
formado por los elementos no nulos de E y el producto del cuerpo, es un grupo con
pn − 1 elementos. Consideremos α ∈ E ∗ . Como el orden de α en (E ∗ , ·) divide al
n
orden de (E ∗ , ·), que es pn − 1, αp −1 = 1. Si multiplicamos por α esta igualdad
n
n
tenemos que αp = α. Si ahora consideramos el polinomio xp − x ∈ Zp [x], por lo
que acabamos de demostrar, resulta que α es un cero de dicho polinomio. También 0
es un cero del polinomio. Ası́, todos los elementos de E son ceros de dicho polinomio
que, como tiene grado pn , tiene a lo sumo pn ceros en E. Esto nos dice que los
elementos de E son los ceros de tal polinomio y el resultado queda probado.
9.4. Definiciones.
Un elemento α perteneciente a un cuerpo es una raı́z n-ésima de la unidad si
α = 1. Si αm 6= 1, cualquiera que sea el natural m < n, se dice que α es una raı́z
primitiva n-ésima de la unidad.
n
Según esta definición, con el resultado anterior lo que hemos probado es que los
elementos no nulos de un cuerpo de pn elementos son las raı́ces n-ésimas de la unidad.
9.5. Ejemplos.
En Z5 todo elemento no nulo α satisface α10 = 1, luego todo elemento no nulo de
Z5 es raı́z 10-ésima de la unidad. Sin embargo, ninguna es primitiva porque α4 = 1.
Sı́ son raı́ces primitivas 4-ésimas de la unidad los elementos 2 y 3. No lo es 4 (porque
2
4 = 1).
9.6. Lema.
Sea F un cuerpo, y sea Un el subconjunto de las raı́ces n-ésimas de la unidad en
F . Entonces Un es un subgrupo de (F ∗ , ·).
Demostración:
n
Si α, β ∈ Un , (αβ −1 )n = αn (β −1 ) = αn (β n )
Como 1 ∈ Un , el lema queda probado.
−1
= 1.1 = 1, luego αβ −1 ∈ Un .
9.7. Proposición.
Sea F un cuerpo. Todo subgrupo finito G de (F ∗ , ·) es cı́clico.
Demostración:
Sabemos que como G es un grupo abeliano finito es isomorfo a Zm 1 × . . . × Zm r ,
donde m1 , . . . , mr son naturales y podemos elegirlos de forma que mi−1 divida a mi ,
para i = {2, . . . , r}. Si αi ∈ Zm i , αi mi = 1, y como mi divide a mr , αi mr = 1, luego
todo elemento α de G satisface αmr = 1. Como la ecuación X mr − 1 = 0 tiene, a lo
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sumo mr soluciones en F , y ]G = Πri1 mi , necesariamente r = 1, luego G ∼
= Zm 1 , que
es cı́clico.
De este resultado se deducen de manera inmediata los siguientes corolarios:
9.8. Corolario.
Sea F un cuerpo, y sea Un el subconjunto de las raı́ces n-ésimas de la unidad en
F . Entonces Un es un subgrupo cı́clico de (F ∗ , ·).
9.9. Corolario.
Si F es un cuerpo finito, (F ∗ , ·) es un grupo cı́clico.
9.10. Corolario.
Toda extensión finita de un cuerpo finito es una extensión simple.
Demostración:
Sea F ≤ E una extensión finita, y sea F finito. Por (9.7), (E ∗ , ·) es un grupo
cı́clico, luego existe α ∈ E que genera tal grupo cı́clico. En tal caso, E = F (α).
9.11. Ejemplos.
Consideremos el cuerpo Z11 . Por el Corolario 9.9, (Z∗11 , ·) (Z∗11 en adelante), es
cı́clico. Tratemos de encontrar un generador. Para ello, comencemos con 2. Como
Z∗11 tiene 10 elementos, por el Teorema de Lagrange el orden de 2 divide a 10, es
2
5
decir, es 2, 5 o 10. Como 2 = 4 6= 1 y 2 = −1 6= 1, 2 es un generador; dicho con
otras palabras, 2 es una raı́z primitiva 10-ésima de la unidad en Z11 .
Ahora, determinemos todas las raı́ces primitivas 10-ésimas de la unidad en Z11 ,
equivalentemente, los generadores de Z∗11 . Sabemos que todo generador de este grupo
n
ha de ser de la forma 2 , con n primo relativo con 10. Por tanto, las raı́ces primitivas
1
3
7
9
10-ésimas de la unidad en Z11 son: 2 , 2 = 8, 2 = 7 y 2 = 6.
Si ahora queremos conocer las raı́ces primitivas 5-ésimas de la unidad en Z11 ,
m
hemos de tener en cuenta que éstas son de la forma 2 , siendo el máximo común
2
4
6
8
divisor de m y 10 igual a 2, y éstas son: 2 = 4, 2 = 5, 2 = 9 y 2 = 3.
5
Raı́ces primitivas 2-ésimas de la unidad en Z11 sólo hay una: 2 = 10 = −1.
Observemos que hablar de raı́ces m-ésimas es lo mismo que hablar de los elementos de un subgrupo H de orden m en Z∗11 (por el Teorema de Lagrange m sólo
puede ser 1, 2, 5 o 10), y que hablar de las raı́ces primitivas m-ésimas es hablar de
los generadores de H.
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Álgebra Clásica. Curso 03/04
La Existencia de GF(pn ).
9.12. Lema.
n
Sea F un cuerpo finito de caracterı́stica p. Entonces f (x) = xp − x ∈ F [x] tiene
pn ceros distintos en el cuerpo de descomposición K de f (x) sobre F (F ≤ K ≤ F ).
Demostración:
Veamos que la multiplicidad de cada cero de f (x) en K es 1. Sea α 6= 0 un cero
n
de g(x). Como α es no nulo, será también un cero de g(x) = xp −1 − 1, luego (x − α)
divide a g(x). Sea
h(x) =
n
n
n
n
n
g(x)
= xp −2 + αxp −3 + α2 xp −4 + . . . + αp −3 x + αp −2 .
(x − α)
Observemos que h(x) tiene pn − 1 sumandos, y que cada sumando al ser evaluado
pn −1
n
en α da αp −2 = α α = α1 , luego h(α) = [(pn − 1) · 1]α−1 = −α−1 6= 0, lo que
concluye la demostración.
9.13. Teorema.
Para cada primo p y cada natural n existe un cuerpo que tiene pn elementos.
Demostración:
n
Sea K ≤ Zp el cuerpo de descomposición de f (x) = xp − x ∈ Zp [x] sobre Zp , y
sea F el subconjunto de K formado por todos los ceros (en K) de f (x). Es inmediato
probar que F es cerrado para la suma, el opuesto, el producto y el inverso; además 0
y 1 están en F , lo que demuestra que F es un cuerpo, subcuerpo de K, que contiene
a Zp . Como K es el menor subcuerpo de Zp que contiene a Zp y a las raı́ces de
f (x), K = F . Además, por el resultado anterior, todos los ceros de f (x) tienen
multiplicidad 1, luego ]F = pn .
9.14. Definición.
Para cada primo p y cada natural n existe un cuerpo que tiene pn elementos y es
n
el cuerpo de descomposición de xp − x en Zp (Teorema 9.13). Llamémosle GF (pn ).
Además, si E es otro cuerpo con pn elementos, por el Teorema 9.3, E es el cuerpo de
n
descomposición de xp − x sobre Zp (en realidad, sobre el subcuerpo de E isomorfo
a Zp ), luego GF (pn ) y E son isomorfos, ası́ que GF (pn ) es único salvo isomorfismos.
A este cuerpo de orden pn , único salvo isomorfismos, se le llama el cuerpo de Galois
de orden pn .
9.15. Corolario.
Sea F un cuerpo finito. Para cada natural n existe un polinomio irreducible
f (x) ∈ F [x] de grado n.
Álgebra Clásica. Curso 03/04
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Demostración:
Supongamos que F tiene pr elementos, donde p es su caracterı́stica. Por el
Teorema 9.13 existe un cuerpo, E = GF (prn ), que contiene una copia de Zp , y es el
rn
cuepo de descomposición de xp − x sobre Zp . Por el Teorema 9.3 todo elemento
r
de F es un cero de xp − x. Si ahora tenemos en cuenta que para cualquier s ∈ N,
r
rn
prs = pr pr(s−1) y que todo elemento α de F satisface αp = α, tenemos: αp =
r r(n−1)
r
pr(n−1)
r(n−1)
r
αp p
= (αp )
= αp
= . . . = αp = α, ası́ que F ≤ E. Por el primer
resultado del tema, [E : F ] = n. Por otro lado, por el Corolario 9.10, F ≤ E es una
extensión simple, luego existe β ∈ F tal que E = F (β). Como [E : F ] = deg(β, F ),
irr(β, F ) debe tener grado n.