q3 (x) = x3 + .7320760x2 - 1.999912x

Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
De acuerdo con la grMica del polinomio p( x)
raices
a " a 2,a 3 Y a 4
de
la
= X4
ecuacion
73
- 2x 3 - 4x 2 + 4x + 4 , se ve que todas las
polinomica
dada
son
reales ,
con
a, e [- 2,-1] , a 2 e[-1,0] , a 3 e [1,2] , a 4 e [2,3] .
Se ve claramente que p( x) satisface la hip6tesis general del metodo de Newton-Raphson en
intervalos apropiados para cada una de las rafces a " a2,a 3 Y a 4 .
Usando el metodo de Newton-Raphson para encontrar a " con criterio de aproximacion
5
5
I p(x n) 1< 5 x 10- 0 I xn - x n_, 1< 5 x 10 - , se obtiene a4 ~ 2.732076 = x 4 usando Xo = 3.0 ,
Y el correspond iente polinomio reducido de grado 3, es
q3 (x) = x 3 + .732076 0x 2 - 1.999912x - 1.463912
Deflacion ,
Usando
encontramos
una
aproximacion
de
la
rafz
a3 ~ 1.414157 = X5 tomando como aproximaci6n inicial _xo = 1.0 .
a3 ,
10
que
da
EI polinomio reducido
correspondiente de grado 2, es
q2 (X) = x 2 + 2.146233x + 1.035197
Finalmente, encontramos aproximaciones de la rafces a 2 Y a, , resolviendo la ecuacion
cuadratica q2(x) = 0,conloqueseobtiene a2~ -.7319684 Y a, ~ -1.41426
Ejemplo
X4 + 5x 3
-
•
2.9
Encontrar
todas
las
raices
reales
de
la
ecuaci6n
2
9x - 85x - 136 = 0 , usando el metodo de Newton-Raphson y Deflacion .
La grafica del polinomio p( x) = X4 + 5x 3 - 9x 2 - 85x -136 es como se muestra en la FIGURA
2.17.
De acuerdo con la FIGURA 2.17, la ecuaci6n dada solo tiene dos raices reales simples
a, e [- 5,0] y a 2 e [0,5] (verifiquelo analiticamente) .
Usando el metodo de Newton-Raphson para encontrar a,
Ip(xn) I < 5 x 10- 5 0
punto inicial Xo
con criterio de aproximaci6n
I xn - xn _,1 < 5 x 10-5 , obtenemos a , :>:-4.123123 = x 5 usando como
= - 5.0 , Y el polinomio reducido correspondiente de grado 3, es
q3 (x) = x 3 + .8768767x 2 - 12.61547x - 32.98486
Usando Deflacion, encontramos la aproximacion a 2 :>: 4 _12 3122 = x 4 , tomando como punta
inicial Xo = 5.0 , Y el polinomio reducido correspondiente de grado 2 , es
q2(X) = x 2 + 4.999999x + 8.000134
74
Capitulo 2. SOlUCI6N NUMERICA DE UNA
METODOS NUMERICOS
y
Yi p(X)
Y
0'.,2
o
5
x
Como
FIGURA 2.17
Observe que aunque la ralz Cl · O
Finalmente , las raices de la ecuaci6n cuadratica q2(X) = 0 son los numeros complejos
conjugados
(13 ""
- 2.5 + 1.322927i Y
(14 ""
-2.5 - 1.322927i . •
EI siguiente ejemplo muestra que el metoda, de Newton-Raphson puede converger y hacerlo
lentamente cuando se aplica en la busqueda de una raiz multiple de una ecuaci6n t(x) = 0
(cosa similar ocurre cuando hay rarces reales cercanas entre sf).
Ejemplo 2.10 Consideremos la ecuaci6n x - tanx = 0 .
Es claro que
(1
La grafica de
siguiente.
=
0 es raiz de esta ecuaci6n . Cual es la multiplicidad de esta raiz?
t(x) = x -
tanx alrededor de
(1
= 0 es como se muestra en la FIGURA 2. 18
podemos aplicar el metodo de
esto con criterio de aproximadO!l
resultados que aparecen en 18
Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
75
y
x
FIGURA 2.18
De aeuerdo eon esta grafiea la raiz a = 0 es una raiz multiple eon multiplieidad impar.
Como
f'(x) = 1- see 2 x , f'(0) = 0
f"(x)= - 2see 2 xtanx , f"(O)=O
f'''( x) = - 4 see 2 xtan 2 x - 2 see 4 x,
entonces a
=0
es ralz de multiplieidad
f'''( 0) = -2 ;t 0
m= 3 , segun el teorema 2.3.
Observe que aunque la raiz a = 0 es multiple, f'( x);t 0 para x eerea de 0, X;t 0, asi que
podemos aplicar el metodo de Newton-Raphson para aproximar la raiz a = O. Si haeemos
esto con eriterio de aproximaci6n I f(x n ) 1< 5 x 10- s 0 I xn - xn - 1 1< 5 x 10-5 , obtenemos los
resultados que apareeen en la TABLA 2.14 siguiente.
n
xn
f( xn)
0
1
.3
2.024312 x 10- 1
2
1.356958 x 10 -
1
-9.33... x 10- 3
-2.8L x10 - 3
-8.39 .. x10 -4
3
4
9.068650 x 10 - 2
6.052418 x 10- 2
5
4.036921 x 10-2
-2.49.. x10 - 4
- 7.40 ... x10-5
- 2.19...x10-s
Ixn -
xn - 1 I
9.75688 x 10­ 2
6.67354 x 10 - 2
4.50093 x 10 - 2
3.016232 x 10- 2
2.015497 x 10-2
TABLA 2.14
Observando los resultados de la TABLA 2.14, vemos que aunque If(xs)1 es pequeno, Xs no
es una buena aproximaei6n de a = 0 , ademas se ve la lentitud de la eonvergeneia del
metodo de Newton-Raphson. •
76
Capitulo 2. SOLUCI6N NU_RICA
METODOS NUMERICOS
Ejercicio 2.6 Use el metodo de Newton-Raphson para encontrar las dos raices de la
ecuaci6n X2 - 2.0001x + 1.0001 = 0, usando como puntos iniciales Xo = .5, ~ = 1.5 Y criterio
5
de aproximaci6n ! f(x n )!< 5 x 10- 0 I Xn- Xn_1 1< 5 x 10 -5 . Cuales son las raices exactas
de esta ecuaci6n?
..t ' . / ~..
•
+. r
(
./
I
,J)
~x ==
~x) _ x_
X- M'(X) ­
=­
En situaciones como la del ejemplo anterior (ra fZ .m.ulti.pJe.), se recomienda utilizar el metodo
de Newton-Raphson modificado .
es decir,
2.2.4 Metodo de Newton-Raphson modificado: EI metodo de Newton-Raphson modificado
se basa en el siguiente resultado : Si a es una raiz de multiplicidad m > 1 de una ecuacion
f(x) = 0 Y f '(x) *- 0 para toda x en alguna vecindad de a , x *- a , entonces a es una raiz
10 que requiere que f "(X) sea continua "
simple de la ecuaci6n M(x) = 0 , donde la funci6n M esta definida como sigue
Si aplicamos el metodo de f(x)
aproximar
f '( x) ,
M(x) =
1
0,
Ixn -
x =a
X
n- 1
la
rafz
\ < 5 x 10-
5
a:; 0 , ,
siguiente.
La funci6n M resulta continua en la raiz a .
n
En efecto : Como por definicion de la funcion M, M(a) = 0, entonces a es ra iz de la ecuaci6n
M(x) = O. Veamos que a es una raiz simple .
Como a es una raiz de multiplicidad m > 1 de la ecuaci6n f(x) = 0 , entonces f( a ) = 0 y
para x *-a, f(x)= (x -at h(x) con
limh(x) *- O
x.... a
Por ser f(x) = (x - a)m h(x), entonces f '(x) = m( x - at-'h(X) + (x - a th '(x), asi que
Newton-Raphso n xo ' Para el ejemplo, para x *- a ,
con lim
x-+a
M(x) = f(x)
f '(x)
h(x)
mh(x) + (x - a)h'( x)
=
(x -at h(x)
== (x- a )
h( X)
1
(x - a t - [mh(x) + (x -a )h '(X)]
mh(x) +( x - a)h'(x)
lim h(x)
x~a
(
)
m lim h x
==
~ *- 0 , ya que
m
lim h(x) *- O .
Luego a es una ra iz
x .... a
X"" a
simple de la ecuaci6n M(x) = O.
Observe que lim M(x) = 0 = M(a) , 10 que significa que la funcion M es continua en a . V
X"" a
EI metodo de Newton-Raphson modificado consiste en aplicar el metodo de Newton­
Raphson a la nueva funci6n M, asi que la funci6n de iteraci6n 9 del metodo de Newton­
Raphson modificado esta definida como
se obtiell8ll Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
77
f( x)
g(x) = x- M(x) = xfTx)
M'(x)
[f'(X)r -f(x)f"(x)
[f'(XW
es decir,
g(x)=x-
f~X)f'(X)
[f'(x)] - f(x)f"(x)
10 que requiere que f"( x) sea continua en alguna vecindad de a .
Si aplicamos el metodo de Newton-Raphson modificado a la funci6n f( x) = x - tanx para
a = 0,
con criterio de aproximaci6n
I M(x n) 1< 5 x 10- 5 0
aproximar la rafz
I xn
- x n- 1 I < 5 x 10- 5
,
se obtienen los resultados que se niuestran en la TABLA 2.15
siguiente.
I
n
0
1
2
xn
I
.3
-1.595052 x 10-2
2.164831 x 10-6
I
M(x n)
I
I xn
- xn- 1 I
I
2
9.75 ... x1 0-5.31...x10- 3
7.21... x1 0- 7
TABLA 2.15
_31595052
1.595268 x 10- 2
Instrucci6n en DERIVE:
NEWTON_MOD( f( x), x, x o , N): aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de
Newton-Raphson modificado aplicado a la funci6n f( x) , tomando como aproximaci6n inicial
xo. Para el ejemplo, aproXime la expresi6n NEWTON_MOD( x- tanx, x, 0.3, 2).
Observando la TABLA 2.15 vemos que el valor de x 2
'
0
obtenido por el metodo de Newton­
Raphson modificado, es mucho mas cercano a 0 que el valor de X5 obtenido por el metodo
de Newton-Raphson aplicado a la funci6n f( x) = x - tanx .
luego a es una rafz
En el ejemplo anterior M( x) = x - ta~x y la grafica de M en la vecindad de a = 0 se muestra
1- sec x
en la FIGURA 2.19. •
78
MtTODOSNUM~ruCOS
y
\
y = M(x)
I
-2
0
2
x
FIG URA 2.19
2.2.5 Metodo de la Secante: EI metodo de Newton-Raphson para aproximar una raiz simple
a de una ecuaci6n f( x) = 0 , consiste en gen erar la sucesi6n { xn} n a partir de la f6rmula de
iterac ion
y escogiendo Xo ce rcano a la ra iz a .
Como
entonces si queremos evitar el uso de la derivada en la formu la de iteracion de l metodo de
.
f(x n _ 1)-f(xn_2 }
Newton-Raphson, una forma es tomar x = x n _ 2 , Y aproxlmar f'(x n_ 1 ) por
,
xn - 1 - xn - 2
que no es otra cosa que la pendiente de la recta secante L a la grafica de f por los puntos
(x n _ 1,f(xn _1)),
(x n_2 ,f(x n _ 2 ) (ver la FIGU RA 2.20).
Remplazando , en la formu la de iteraci6n del metodo de Newton-Raphson , f '( xn_,) por su
aproximacion
f(xn_ 1)
-
f(xn _2 )
x n ·- 1 - xn _2
, obtenemos
n = 2, 3, ..
que const itu ye la formula de iteraci6n para el metodo de la Seca nte.
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
79
N6tese que para calcular con el metodo de la Secante se requ iere conocer dos
aproximaciones iniciales Xo Y Xl '
y
L
x
FIGURA 2.20
Observe la relaci6n entre el metodo de la Secante y el metodo de Regula Falsi Ambos
metodos usan dos puntos iniciales 0 de arranque para encontrar una nueva aproximacion a
la rafz buscada , pero hay una gran diferencia entre la escogencia de esos dos puntos :
mientras que en el metodo de Regula Falsi los dos puntos deben encerrar a la raiz buscada y
el metodo siempre converge, en el metodo de la Secante los dos puntos iniciales no
necesariamente encierran a la rafz buscada 10 que puede provocar divergencia del metodo .
EI metodo de la Secante converge bajo las mismas hip6tesis de convergencia del metodo de
Newton-Raphson.
Algoritmo 2.6 (Secante) Para encontrar una aproximaci6n a
de una raiz a de una
ecuaci6n f(x) = 0 conocidas dos aproximaciones iniciales Xo Y Xl :
Entrada: f( x) ; dos aproximaciones iniciales Xo Y Xl ; una tolerancia Tol , y un numero
maximo de iteraciones N.
Salida: Una rafz aproximada a '
0
un mensaje .
Paso 1: Tomar n = 2 , Yo = f(xo) Y Yl = f(Xl) '
Paso 2: Mientras que n :-: ; N seguir los pasos 3-7:
Paso 3: Si Y1 - Yo = 0 , entonces salida: "No se puede aplicar e\ metodo, porque el
denominador en la f6rmula de la Secante se anuI6". Terminar.
80
METODOS NUMERICOS
Paso 5: Si
I x2 -
x1 1< Tol, entonces salida: "Una aproximaci6n de una raiz de la
La eficiencia de un metodo
sucesi6n {xn} n converge
ecuaci6n dada es a' = x 2 " . Terminar.
a a,
necesarias para tener ~ •
Paso 6: Tomar n = n + 1 . para algun E > 0 dado. .Una
iterativo de los que estudl8mD1.
Paso 7: Tomar Xo = x1 Notaci6n:
Yo = Y1 Si
I II
e,,'" xn - a
I
En = En = xn - a denotl
Y1 = f(x 1)
Paso 8: Salida: "Se alcanz6 el numero maximo de iteraciones N pero no la tolerancia" .
Terminar.
En la siguiente definici6n
sucesi6n, usando el IlmiII.
sucesi6n.
Definici6n 2.4
Ejemplo: 2.11 Si aplicamos el metodo de la Secante para encontrar la menor raiz positiva de
la ecuacion x - tanx = 0, con criterio de aproximacion I xn - xn_11<5 x 10- 5
resultados que se muestran en la TABLA 2.16 siguiente .
,
obtenemos los
n
xn
xn +1
f( x n+1)
0
1
4.4
4.5
4.5
4.490469
-.137. ..
.1
5.85... x10-2
9.531 x 10 - 3
2
4.490469
4.494723
-2.66... x 10- 2
4.254 x 10- 3
3
4.494723
4.492822
1.901 x 10-3
4
4.492822
4.493671
1.18 .. x10- 2
-5.28. .x 10-3
5
4.493671
4.493292
6
4.493292
4.493461
7
4.493461
8
4.493386
I xn +1 - xn I
2.37 .x 10- 3
-1.04 .. x10- 3
4
4.493386
4.73 .. x104.493419
-1.92 .. x 10 - 4
TABLA 2.16
asint6tico L. V
8.490 x 10 - 4
3.790 x 10-4
1.690 x 10-4
7.500 x 10-5
3.300 x 10- 5
Instrucci6n en DERIVE:
SECANTE( f(x) , x, xo , x 1, N)
aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de la
Secante aplicado a la funci6n f( x) tomando aproximaciones iniciales Xo Y x 1.
Para el
ejemplo , aproXime la expresi6n SECANTE( x - tanx , x, 4.4 , 4.5,6). 0
De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.16, la menor raiz positiva de la ecuacion
x-tanx = O es ao:::: 4.493419=x s . •
2.3 RAPIDEZ DE CONVERGENCIA
Los metodos numericos estudiados aqu i para hallar una raiz a de una ecuacion f( x) = 0
consistieron en generar una sucesi6n {x n } n tal que lim xn = a .
n--> oo
limEn=O .
n.... oo
I
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
81
La eficiencia de un metodo numerico depende, en parte, de la "rapidez" con la cual la
sucesi6n { xn} n converge a a, donde "rapidez" significa el numero minimo de iteraciones N
necesarias para tener xN
a una distancia dada de la raiz a, es decir, tal que I xn - a I < £
para algun £ > 0 dado . Una forma de medir la "rapidez" de la convergencia de un metodo
iterativo de los que estudiamos , es en los siguientes terminos .
Notaci6n:
En
En= Xn - a,
Si
= I En I = IXn
- a
I
entonces
En
puede
ser
pos itiv~ ,
negativo
0
cero
y
denota el valor absoluto del error de truncamiento en la iteraci6n n.
En la siguiente definici6n se introduce el concepto de orden de convergencia de una
sucesi6n , usando el limite. Hay otras formas de definir orden de convergencia de una
sucesi6n.
Definici6n 2.4 Supongamos que lim xn = a E R, es decir, lim En= 0
n~ ~
0
equivalentemente
n~ ~
lim En = O. Si existen constantes positivas /... y L tales que
n---+ oo
E l
l Xn +1 - a I
lim ~= lim
=L
n---+ oo E~
n---+ oo I xn _ a I A
entonces se dice que la sucesi6n { xn } n converge a a con orden de convergencia /... y error
asint6tico L . V
Veamos que la definici6n 2.4 es una buena definici6n en el sentido que si /... y L existen,
entonces son unicos.
Supongamos que existen /... 1' /... 2' L1 Y L2 constantes positivas , tales que
· En+ 1 = L 1 y
IIm--
n ---+ oo
EA
,
n
Basta probar que /... 1 = /...2' pues si esto ocurre, entonces L1 = L2 (por la unicidad del limite ,
cuando existe) .
Supongamos, por reducci6n al absurdo, que existen /... 1 y /...2 con /...1 > /... 2 > 0 y tales que
I·Im -En+1
- = L1
EA,
n-to o:>
I
n
Como /... 1> /...2 > 0, entonces /...1 - /... 2 > 0 , Y
82
METODOS NUMERICOS
_ _ _
E
E'-2
Ejemplo 2.12 Consideremos las sucesiones
= ~ _n_
lim xn = 0
n--+oo
sucesiones.
Como
asi que
li m __1_ = lim EM1 E~2
n-+oo EnA, - A2 n-+", EA,
n En+1
Encontremos el orden de convergencia de II
Pero
lim __1_
n____ n EA '- :z
n
= Xl
'
ya que
lim E A,-A2 = 0
n.....-+ C()
n
y
)
Como
y
entonces
10 cual es una contradiccion . Luego "1 = 71. 2 ,
n).
V
.
lim-= 11m
n.... oo n +1 n"'"' n
De la definicion 2.4 se tiene que, para n suficientemente grande
Luego el orden de convergencia dI
converge linealmente a cern
y' asi , fijado L, entre mayor sea A, mas rap idamente converge la sucesion { xn} n a a, es
Procediendo de manera similar
decir, entre mayor sea el orden de convergencia de una sucesion { xn } n' menor sera el
numero de iteraciones necesarias para tener a xn a una distancia dada del limite de esa
de la sucesi6n {xn)n con
sucesion .
cuadraticamente a cera, con
Casos especiales:
Encontremos ahora, los
i) Si 71. =1, en la definicion 2.4 , es decir, el orden de convergencia es uno, se dice que la
convergencia es lineal.
Si la convergencia es lineal , entonces para n suficientemente grande
10 que significa que el error en un paso es aproximadamente proporcional al error en el paso anterior (en este caso debe tenerse 0 < L ~ 1, casi siempre L < 1 ). ii) Si 71.= 2 , en la definicion 2.4 , la converg enc ia se dice cuad ratic3. Si la convergencia es cuadratica, entonces para n suficientemente grande sucesi6n {
es decir, el error en un paso es aproximadamente proporcional al cuadrado del error en el
paso anterior. En este caso es claro que el error En decrece mas rapidamente que en el
caso lineal , y as! la convergencia sera mas "rapida" .
hi
X.
Capitulo 2.
SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
Ejemplo 2.12 Consideremos las sucesiones {Xnt con xn
Como
lim xn = 0
y
n 4C()
a
lim xn = 0 , entonces
=
=-;- , y
n
{xn }
con xn
n
83
= -1-n .
102
0 , en la definicion 2.4 , para ambas
n 4ct:l
sucesiones . Encontremos el arden de convergencia de la sucesion {xn } n . Como entonces
1
- = I'1m
=L
I·1m -nA
n + 1 n-. <o n1-A + n- A
n-><()
E
R , L > 0, si
Y solo si A = 1
1
Luego el orden de convergencia de la sucesi6n {xn } n con xn = - 3 es uno, es decir, {xn } n
n
converge linealmente a cera. Observe que si A = 1 , entonces L = 1 .
Pracediendo de manera similar al caso anterior, se puede ver que el orden de convergencia
1
xn = - n es dos, es decir, la sucesion
n
10 2
cuadraticamente a cero, con error asintotico L = 1 .
de la sucesion
•
{
xn
}
con
A
{Xn } n converge
Encontremos ahara , los valores mfnimos de N, y N2 tales que
En =-;- < 10 - 3 c:> n 3 > 10 3 c:> n > 10, asiqueN, =11 .
n
n~ , que converge linealmente a
a I < 10 - 3 , mientras que para la
La anterior nos dice que para la sucesi6n {xn } n can xn =
a = 0, son necesarias 11 iteraciones para que
A}
sucesi6n {xn
A
can xn
n
=
I xn -
- 1-n , que converge cuadraticamente a a = 0 , son necesarias solo
10 2
2 iteraciones para que I xn - a I < 10 - 3
.
•
Can base en la definici6n 2.4 , estudiaremos el orden de convergencia de los metodos
abiertos que ya vimos.
84
Capitulo 2. SOLUCION
METODOS NUMERICOS
2.3.1 Orden de convergencia del metodo de iteracion de Punto Fijo: Sea a un punto fijo
g(x)
de una funci6n g. es decir a = g(a) .
i) Si g' es continua en alguna vecindad de a, g'( a) ~ 0 , y la sucesi6n {xn} n definida por
g"(~)
= a + -2-(x-a)
En efecto
y
como
g"
es continua en
n..... '"
Ahora , como g' es continua en a, entonces lim g'( c,n) = g'( a), ya que c'n ~ a cuando
n-.'"
n ~ 00 , y entonces
y entonces
asfque
10 cual significa que la
10 que significa que la convergencia es lineal.
V'
ii) Si g" es continua en alguna vecindad de a, g'(a) = 0 , g"(a)
~ 0 (el punto (a,g(a)) no es
de inflexi6n de la grafica de g) , y la sucesi6n { xn} n definida por
Un teorema que generalizl
ii) vistos antes, es el
converge a a, entonces la convergencia es cuadratica , es decir, {xn} n converge a a
con orden de convergencia dos.
En efecto .
Como g" es continua en un intervalo abierto que contiene a a , entonces para x en ese
intervalo, se tiene
g"(c,)
g(x)=g(a)+ g'(a)(x-a)+--( x - a)2
2
Como g(a) =a y g'(a) = O, entonces
eI
lim g"(c,n)=g"(a), 10 que implica que
con c'n entre xn Y a .
con E, entre x y a
2
En particular, cuando x = xn ' n EN, se tiene
Por tanto
converge a a, entonces la convergencia es lineal .
NUM~RICA
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
85
g "(~ )
g(x)=a+ - - (x-a)2 con ~ entre x y a
2
En particular, cuando x = xn ' n EN , se tiene
Por tanto
y como
g"
es continua
en el
intervalo que contiene
a
xn
y a , entonces
lim g"( ~ n) = g"(a ) , 10 que implica que
n....'"
lim En+1
E2
n
n .... ao
= lim g"(~ n) = g"(a )
n .... ao
2
2
yentonces lim En+1
ao E~
H
= lim
1 En+ 1 1=1 g"(a )
n..... ao 1 En 12
2
I=L>O 10 cual significa que la convergencia es cuadratica . V
Si queremos tener esquemas iterativos
con orden de convergencia mayor, tenemos que poner condiciones sobre g.
Un teorema que generaliza las ideas anteriores y cuya prueba es sim ilar a la de los casos i) y
ii) vistos antes, es el siguiente:
Teorema 2.4 Sea a una raiz de una ecuaci6n x = g( x). Si 9 tiene las primeras k-derivadas
continuas en alguna vecindad de a, g{;l (a ) = 0 para i = 1,2,,,., k - 1, g{kl (a);,; 0 , y la sucesion
{xn} n definida por
converge a a , entonces la convergencia es de orden k, es decir, {x n} n converge a a con
orden de convergencia k. V
Observaci6n: Por 10 general, la can tid ad de calculos involucrados en la formula de un
metodo iterativ~ aumenta a medida que el orden de convergencia crece , por 10 tanto, la
ganancia en el orden de convergencia no debe medirse por el numero de iteraciones
necesarias para que el error de truncamiento alcance cierta tolerancia , sino por el numero
total de operaciones 0 tiempo del computador.
Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA
86
METODOS NUMERICOS
Sin embargo, los metod os de convergencia cuadratica parecen estar en un punto de
equ ilibrio si tenemos en cuenta la dificultad de los metodos , el numero de operaciones
requeridas y los resultados obtenidos; es por eso, que uno de los metodos mas usados es el
de Newton-Raphson que , como vere mos enseguida , es de convergencia cuadratica
En
f( Xn )
~ f'(a) + f "(~n ) En
==
.
d f(X) en la ultima ecuaci6n anterior,
y sustltuyen O n '
2.3.2 Orden de convergencia del meto d o de Newton-Raphson: Sea a una raiz de una
ecuacion f(x) == O.
Si la funcion f ti en e sus dos primeras derivadas continuas en alguna
vecindad de a, f '(x);t: O para todo x en esa vec indad , f "(a);t: O (el punto (a, f(a)) no es de
~ [2f"(~n )-f"(~n)
inflexion de la 9 rafica de f ), y la sucesi6n { x n} n definida por
2[ f'(a) +
f"(~n) ~J
Luego
converge a a, entonces la convergencia es cuadr<ltica . En efecto Como la funci6n f tiene segunda derivada continua en algun intervalo que contiene a a , entonces para todo x en ese intervalo , se tiene f "(~)
f(x)==f(a)+ f '(a)( x ~a )+ - (x ~ a ) 2 con ~ entre x y a
s
Como { Xn } n converge a a, entonce
como for es continua en converge a O,y
2
lim En+1 _
Pero f( a) = 0 , asi que
n->'"
~
­
f " (~ )
2
f ( x) == f ' (a )(x ~ a )+ -- ( x ~a)2 con ~ entre x y a
De la misma manera
Por tanto
f' ( x)= f '(a )+f " (~) ( x ~ a )
con
~
entre x y a
En particu lar, cuando x = xn ' n EN , se tiene
(recuerde que f'(a)~O Y
Observe, en el
multiplicidad dos
Sustituyendo f '( xn) en la formula de iteracion del metodo de Newton-Raphson , obtenemos
.
con
~n
entre xn Y a
Restando a a ambos miembros de la ecuaci6n anterior, se obtiene
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
f'(a) En
+f"(~n) E~
87
- f(x n)
f'(a) + f"(~ n) En
y sustituyendo f( Xn) , en la ultima ecuaci6n anterior, obtenemos
,,(~
•
f '(a) En
+f"(~n) E~
-f'(a) En -
f
)
-fE~
f '(a) + f"(~n) En
E~ [2f"(~n) - f"(~n)]
2[f'(a) + f"(~n) En]
Luego
Como {Xn} n converge a a, entonces
{~n) n
y
{~n} n
tambien convergen a a, y {En) n
converge a 0, y como f" es continua en a, entonces
2f"(a) - f"(a)
f"(a)
2[f'(a)]
2f'(a)
Por tanto
I ~I=
2f '( a)
(recuerde que f'(a) *-
°
L>O
y f"(a) *- 0), asi que la convergencia es cuadratica. VI
Observe, en el trabajo anterior, que si f(a) = 0, f'(a) =
°
y f"(a) *-
°,
es decir, a es raiz de
multiplicidad dos de la ecuaci6n f(x) = 0, entonces el metoda de Newton-Raphson puede aun
converger, pero la convergencia es lineal con error asintotico L = ~
2
que: Si
.
En general, se tiene
°
=f(a)= .. . =f(m-l)(a) y f(m)(a) *-0 , es decir, a es una ralz de multiplicidad m ~ 2
de una ecuaci6n
f( x) = 0, y el metodo de Newton-Raphson converge, entonces la
convergencia es lineal con error asit6tico L = m - 1 .
m
88
METODOS NUMERICOS
,
, I,
'
or den d e convergencla
cuand 0 converge, tlene
1+/5
=- "" 16
. 2, Y que el
decimales exactas, usando el me
'
metodo
de Regula
2
Falsi es de convergencia lineal sie mpre que la grafica de la funcion f sea concava hacia abajo
o hacia arriba en la vecindad de la ra iz Ct., EI metodo de Biseccion se considera de
convergencia lineal.
6. Se quiere encontrar la menor ralz
.
TALLER 2.
usando el metodo de IteracI6n de
iteraci6n de punto fijo y un
Teorema 2,1, Y calcule una
menos tres cifras decimales
a) e- x -cosx=O
1. EI metodo de Biseccion se puede aplicar siempre que f(a)f(b) < 0, Si f(x) tiene mas de
un cera en ( a, b) , se podra saber de ante mano cual cera es el que se encuentra al aplicar
'6 de
7. Estudie la funci6n ri.,x) ==
P
que no es convergente la
el algoritmo 21? /lustre su respues ta con ejemplos,
2. Las siguientes funciones cumplen la condici6n f( a)f(b) < 0 donde a = 0 y b = 1, Si se
8. a) Verifique que cada una
aplica el metodo de Biseccion en el intervalo [a, b] a cada una de esas funciones, que
iteraci6n
punto se encuentra en cada caso? Es este punto un cero de f ?
a = 9;(a):::)f(a) =O. j
a) f(x)
=(3x-1t
b) f(x) = cos(10x)
1 x> 0
c) f(x)= { '
-1, x ~ 0
2
3. Pruebe que la funcion f( x)
=
e X -1 - x -
~ tiene un unico cero, precisamente en x = 0 ' 2
b)
Sugerencia: Puede usar el residuo en una expansion en serie de Taylor de e X alrededor
de 0,
Evalue en una calculadora 0 un computador la funcion f( x) para valores de x cercanos a
cero,
Nota cambios de signo en los valores f( x) para numeros x, a un mismo lado de '
cero? De haber cambios de signo, que hara el metodo de Bisecci6n en uno de los
intervalos en los que hay uno de esos cambios? Comente sobre la posibilidad de
encontrar, por un metodo numenco, un "fal so cero" ,
, 4. Verifique que se puede aplicar el metodo de Biseccion para aproximar el unico cero de la
funci6n f(x) = x 3
-
x -1 en el intervalo [1.2J, Cuantas iteraciones seran necesarias para
que al aplicar el metodo de Biseccion en el intervalo [1,2] se logre una aproximacion de la
raiz, con una precision de por 10 menos 3 cifras decimales exactas?
aproximacion ,
Calcule tal
(2i
5. Encuentre una aproximaci n Atado
Se puede demostrar, vease Ralston ,1965, paginas 326 y 327, que el metodo de la Secante,
de
PunlO