potencial de interacción para los sistemas ligados partícula

REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No. 2, 2001
POTENCIAL DE INTERACCION PARA LOS SISTEMAS LIGADOS
PARTÍCULA-ANTIPARTICULA
( p p, e − e + ; µ − µ + ; etc)
J. Beltrán y J. Escobar
Departamento de Física Universidad del Magdalena
A.A 731 Santa Marta Colombia
RESUMEN
Calculamos el potencial de interacción para sistemas ligados de partícula –
antipartícula. Los términos de este potencial se obtienen tomando la transformada de
Fourier de la matriz de dispersión M, la cual se obtiene a partir de los diagramas de
Feynman, que hasta orden v 4 son dos los que contribuyen al proceso. El problema
( c)
de los niveles de energía se resuelve usando teoría de perturbación y Q.E.D. Se
calculan expresiones explicitas del potencial para el caso del positronium (estado
ligado positrón – electrón). Adicionalmente se analizan cada uno de los términos de
este potencial.
INTRODUCCIÓN
La espectroscopia de los estados ligados partícula-antipartícula proporcionan una
prueba de las teorías basadas en la electrodinámica cuántica (QED. Para partículas de
masa pequeña, tales como el electrón y el positrón, los efectos de interacciones fuertes y
débiles son despreciables comparadas con la exactitud de los actuales experimentos.
Por esta razón los estados ligados electrón-positrón (positronium) constituye en
principio un buen sistema para ser descrito con muy alta precisión por medio de QED
[1,2].
El espectro grueso de los estados partícula-antipartícula es bien descrito por la ecuación
de Schrödinger con el potencial de Coulomb. Los niveles de energía son:
mα 2
[1]
En = −
4n 2
Donde n es el número cuántico principal. Pero, la precisión de la ecuación (1) es
insuficiente para interpretar los resultados de los modernos experimentos. Las
correcciones a los niveles de energía pueden ser descritas en parte por la mecánica
cuántica, sin embargo, para una descripción completa se tiene que acudir a la teoría
cuántica de campo (QFT) [3-6].
Para el cálculo del potencial se ha hecho uso de un método llamado electrodinámica no
relativista (NRQED) [5] y teoría de perturbaciones. La ecuación (1) implica que la
velocidad característica de las partículas del sistema son del orden de la constante de
estructura fina α << 1, por tanto resulta apropiado aplicar una aproximación no
relativista al sistema.
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MODELO DE POTENCIAL: El potencial de interacción entre dos partículas
cargadas en la aproximación no relativista (hasta términos del orden (p/m)2 con respecto
a la energía cinética) se puede obtener a partir de la matriz de dispersión M, puesto que
en la aproximación de Born la amplitud de transición y el potencial de interacción es la
transformada de Fourier de la una en la otra. Hasta orden (v/c)4 son dos diagramas de
Feynman los que contribuyen al proceso.
Figura No. 1. Diagramas de Feynman que contribuyen al proceso
pp → pp
La matriz de dispersión es:
M pp = M + Ma =M pp =
e2
e2
µ
γ
γ
−
U
U
V
V
U ( 3)γ µV( 4) V ( 2 )γ µU (1) , [2]
(
3
)
(
2
)
µ (4)
(1)
q2
k2
Donde p 1 , p 3 y p 2 , p 4 son los cuadrimomentos inicial y final de la partícula y
la antipartícula respectivamente, γµ son
las matrices de Dirac, q = p1 − p3 y
k = p1 + p2 son los cuadrimomentos transferidos. Expandiendo y teniendo en cuenta
que en el límite no relativista los momentos se consideran pequeños comparados con las
masas de las partículas que interactúan se tiene el potencial V p p que se obtiene
tomando la transformada de Fourier de M, esto es:
d 3 qe −iq⋅r
V p p (r) = ∫
M pp
(2π ) 3
Donde. Integrando se obtiene:
α
r
[4]
8πα
s 1 ⋅ s 2 δ 3 (r )
3m1 m2
[5]
α  s1 ⋅ L1 s 2 ⋅ L 2 s 2 ⋅ L1 − s1 ⋅ L 2 
−
+


m1 m2
r 3  2m12
2m22

[6]
VC = −
Vss =
V so =
[3]
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Vten =
α 1  3(s 1 ⋅ r )(s 2 ⋅ r )

− s1 ⋅ s 2 
m1 m 2 r 3 
r2

πα s 2 3
VA =
δ (r )
m2
Vret =
[7]
[8]
α
α
iα p1 ⋅ r iα p 2 ⋅ r
+
+
p1 ⋅ p 2 −
L2
2m1m2 r 3 2m1m2 r 3 2m1m2 r 3
m1m2 r
[9]
p4
=− 3
4m
[10]
1 
απ  1
 2 + 2 δ 3 (r )
2  m1 m2 
[11]
VEK
VD =
Donde VC es el potencial Coulumbiano, V ss (espín-espín), VSO (espín-órbita), Vten
(tensorial), V A (potencial de aniquilación) son las interacciones dependientes del espín
que dan lugar a la estructura hiperfina. Los términos
Vret (potencial de retardo), VEK
(correcciones a la energía cinética) y, que remueven la degeneración con respecto al
momento angular, esto es, dan lugar a la estructura fina. El término VD es independiente
tanto del espín como del momento angular orbital y su contribución se manifiesta en
subir o bajar los niveles de energía como se verá en la siguiente sección.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
El espectro energético del positronium (e + e − ) se calcula utilizando la ecuación de
Schrödinger:
Hψ nl = E nlψ nl ,
donde
H = H 0 + H 1 , con
H0 =
P2
p 2 α s (r )
+ V (r ) =
−
2µ
2µ
r
[12]
[13]
[14]
Donde µ = m1 m 2 /( m1 + m 2 ), m1 , m 2 son las masas de la partícula y antipartícula
respectivamente, H 1 es el Hamiltoniano perturbativo dado por la suma de las
ecuaciones (5 al 11)
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H 1 son: ∆E EK , ∆E SS , ∆E SO , ∆E ten , ∆E A , .
∆E D y ∆E ret . Luego los niveles de energía corregidos E nlj son:
Las correcciones perturbativas debidas a
E nlj = E n + ∆E nlj
[15]
donde de acuerdo con la teoría de perturbación
∆E nlj = H 1 = ∆E EK + ∆E ret + ∆E D + ∆E SS + ∆E SO + ∆E ten + ∆E A
[16]
Las expresiones explicitas para cada uno de los términos se dan a continuación
∆EEK =
α 2 En  1
3
− 

8 n  2l + 1 8n 
∆E ret = −α 2
α 2 En
δ l0
2 n
∆E ss = −
α 2 En
∆E A = −
s ( s + 1)δ l 0
2 n
∆E so = −
∆E D = −
∆E ten = −
α 2 En
[2s(s + 1) − 3]δ l0
3 n
En 
1  3
1 
δ l0 − 
− 

2n  2l + 1 n 
n 
α 2 En
[2 s( s + 1) − 3]δ l 0
3 n
3α 2 E n j ( j + 1) − l (l + 1) − s ( s + 1)
4 n
l (l + 1)( 2l + 1)

1
para j = l

2
α
l

para j = l +1
−
−
2l(l + 1)(2l + 1)  2l + 3
 l + 1 para j = l -1
− 2l + 1
Donde l ≠0 y s = 1.
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Figura No. 2. Espectro energético del Positronium
Un hecho a destacar en el cálculo del potencial de interacción para los sistemas p p es la
aparición del término VD que origina el desplazamiento de los niveles de energía, que
resultan significativas para los estados ns, pero para los siguientes estados son nulas.
En general las contribuciones a la energía debidas al término perturbativo H1 son
menores del 1% para los estados ns y del orden 1por 1000, para los estados np, lo cual
justifica el uso de teoría de perturbaciones.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen a la Universidad del Magdalena por su apoyo para desarrollar este trabajo.
REFERENCIAS
[1]. Mills, Jr., A., in The Spectrum of Atomic Hydrogen: A-vances, edited by G. W. Series (World Scientific,
Singapore, 1988), Chap. 8.
[2]. Sapirstein, J. and Yennie, D. in Quantum Electrodynamics, edited by T. Kinoshita ~World Scientific,
Singapore, (1990), p. 560.
[3]. Barbieri, R. and Remiddi, E., Nucl. Phys. B 141, 413 (1978).
[4]. Gross, F., Phys. Rev. 186, 1448 (1969).
[5]. Lepage, G., Phys. Rev. A 16, 863 (1977).
[6]. Caswell, W. and Lepage, G., Phys. Lett. 167B, 437 (1986).
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