Tema 6. Funciones de varias variables: Continuidad y

Problemas de Cálculo
Curso 2005-2006
M. Moncayo
Tema 6. Funciones de varias variables: Continuidad y diferenciabilidad
PROBLEMAS DE CLASE
1.
Esboza la gráca de
(a) f (x, y) = x − y + 2
(b) f (x, y) = 3x
2.
Usar las curvas de nivel para esbozar las grácas de las siguientes supercies.
(a) z = x2 + y 2 Paraboloide de revolución
(b) z = −y 2 Cilindro parabólico
(c) x2 + y 2 = 25 Cilindro circular
(d) x2 + y 2 − z 2 = 4 Hiperboloide de revolución
(e) x2 + y 2 − z 2 = 0 Cono
(f)
3.
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 Elipsoide
(a) Sea f (x, y) = x2 + y 2 + 2. Calcula lı́m(x,y)→(0,0) f (x, y)
x2 − y 2
.
x2 + y 2
x2 + y 2
Demuestra que no existen lı́m(x,y)→(0,0) f (x, y) y lı́m(x,y)→(0,0) g(x, y)
(b) Sean f (x, y) = p
x
y g(x, y) =
4.
Calcula, cuando sea posible, los siguientes límites.
x2 y 2
xy − x + y
(a) lı́m(x,y)→(0,0) 2
(b) lı́m(x,y)→(0,0)
2
x + y − xy
x+y
xy
xy 2
(c) lı́m(x,y)→(0,0) 2
(d) lı́m(x,y)→(0,0) 2
x + y2
x + y4
x sen (x2 + y 2 )
(e) lı́m(x,y)→(0,0) ey/x
(f) lı́m(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
5.
Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

3
 xy + y
(x, y) 6= (0, 0)
(a) f (x, y) = x2 + y 2

0
(x, y) = (0, 0)
(
y
x>0
(b) f (x, y) =
−y x ≤ 0

2
 x y
(x, y) 6= (0, 0)
(c) f (x, y) = x2 + y 2

0
(x, y) = (0, 0)
(d)
−
→
f : D ⊂ R2 :
7→ R2
µ 2 2
¶
x y
x + sen (x + y)


x 6= −y

 x4 + y 4 ,
x+y
(x, y) 7→



(1, 0)
x = −y
6.
Calcula las derivadas parciales indicadas de las siguientes funciones:
(a) f (x, y) = x2 y + y 3 ,
∂f
∂x
y
∂f
∂y
(b) z = cos xy + x cos y ,
∂z
∂x
y
∂z
∂ y |(2,π/2)
(c) f (x, y, z) = xyz ,
(d) u =
exyz
fx , fy , fz en (1, 1, 1)
(xy + xz + yz),
∂u
∂x
y
∂u
∂y
7.
Halla las ecuaciones del plano tangente y recta normal a la supercie z = 6xy 2 +42y−8x3 +1
en el punto A = (0, 0, 1).
8.
Encuentra la aproximación lineal de función
f (x, y) = x2 + 4y 2
en el punto (a, b, f (a, b)), donde (a, b) = (2, −1).
9.
Estudia la existencia de las derivadas parciales de las funciones siguientes:
x

(a) f (x, y) = y
0
y 6= 0
y=0
(b) f (x, y) =
µ

x cos

1
x2 + y 2
0
¶
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
cos x + exy
. Justica que f es diferenciable en todos los puntos (x, y) 6= (0, 0).
x2 + y 2
(
x y tg ( xy ) y 6= 0
11. Sea f (x, y) =
0
x=0
10.
Sea f (x, y) =
(a) Comprueba que se verica la relación
x
∂f
∂f
(x, y) +
(x, y) = 2 f (x, y) ∀(x, y) : x 6= 0, y ∈ R
∂x
∂y
(b) Estudia la continuidad y diferenciabilidad de f en (0, 0).
(c) Existen las derivadas parciales en (0, 0)?
12.
Calcula las derivadas parciales de la función
µ
f (x, y) = y log
x2 y
x2 + y 2
¶
en los puntos de Ω = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} y determina la diferencial en el punto
(1, 1).
13.
Dada la función f : R2 7→ R2 , denida por
→
−
f (x, y, z) = (x2 + y 3 , x2 y 2 − 3y 2 )
→
−
(a) Calcula la matriz jacobiana de f en el punto (1, 1)
→
−
(b) Comprueba que f es diferenciable en dicho punto.
−
→
(c) Obtén el valor de Dv f (1, 1), para cualquier vector unitario v = (v1 , v2 ) ∈ R2
14.
Encuentra la máxima razón de cambio de f en el punto indicado. Indica la dirección en la
que ésta se verica.
(a) f (x, y) = x e−y + 3y en P = (1, 0) (b) f (x, y, z) = x +
15.
y
en Q = (4, 3, −1).
z
Se supone que una función f : R2 7→ R, es diferenciable en un punto (a, b) ∈ R2 y que
las derivadas direccionales en (a, b) según las direcciones marcadas por los vectores (2, 3)
y (1, 1) son iguales a 1 en ambos casos.
(a) Calcula el gradiente de f en (a, b)
→
→
(b) Representa en el plano el conjunto de vectores {−
u ∈ R2 : D−
u f (a, b) = 6}
16.
Calcula la matriz jacobiana correspondiente a las siguientes funciones
(a)
17.
−
→
f (x, y) = (ex , sen xy) en (1, 3)
(b)
−
→
f (x, y, z) = (x + ez + y, yx2 ) en (1,1,0)
Verica la regla de la cadena para
(a) z = xy, x = t3 , y = t2
(b) h(x, y) = f (u(x, y), v(x, y)), donde f (u, v) = uv , u(x, y) = x2 − y 2 , v(x, y) = x2 + y 2
(c) h(x, y, z) = f (u, v, w), donde f (u, v, w) = u2 +v 2 −w, u(x, y, z) = x2 y , v(x, y, z) = y 2 ,
w(x, y, z) = e−x z
18.
Sea f (x, y) una función en x y en y . Se considera el cambio de variables {x, y} 7→ {r, θ}
∂f
denido mediante x = r cos θ, y = r sen θ. Calcula
∂θ
19.
Dadas g(x, y) = (x2 + 1, y 2 ) y f (u, v) = (u + v, u, v 2 ) se pide calcular mediante la regla de
la cadena la matriz jacobiana de (f ◦ g)(x, y) = f (g(x, y)) en (x, y) = (1, 1).
20.
Calcula la matriz jacobiana de la composición de las dos funciones en el punto dado
(a) z = f (x, y); x = u sen v, y = euv en (u, v) = (0, 1)
(b) w = f (u, v); u = xyz, v = x + y + z en (3, 3, 3)
21.
Comprueba que para las ecuaciones siguientes es posible denir y como función implícita
de x en un abierto alrededor del punto x0 , que se especica en cada caso. Calcula, además,
el desarrollo de Taylor de orden tres de dicha función implícita.
(a) x2 + xy + y 3 − 11 = 0, en (x0 , y0 ) = (1, 2)
(b) sen x + cos y − 1 = 0, en (π/2, π/2)
22.
Sea F (x, y, z) = x2 + 4y 2 − 2yz − z 2
(a) Demostrar que la ecuación F (x, y, z) = 0 dene a z como función implícita de x e y
en un entorno del punto P = (2, 1, −4).
(b) Calcula las derivadas parciales de la función implícita obtenida y el plano tangente a
la supercie que describe en el punto especicado.
23.
Igual que el ejercicio anterior, para F (x, y, z) = x y ez + zcos (x2 + y 2 ) y P = (0, 0, 0).
24.
Sean f y g dos funciones de clase C 2 (R). Se considera u(x, t) = f (x−t)+g(x+t). Demostrar
que u verica la ecuación de ondas
∂2 u
∂2 u
(t,
x)
=
(t, x) x ∈ R, t > 0
∂t2
∂x2
25.
Dada una función f : R3 7→ R de clase C 2 , se dene el laplaciano de f como
∆f (x, y, z) =
∂2 f
∂2 f
∂2 f
(x,
y,
z)
+
(x,
y,
z)
+
(x, y, z)
∂x2
∂y 2
∂z 2
Calcula la forma del laplaciano al realizar el cambio de coordenadas cilíndricas


x = rcos θ
y = rsen θ


z=z
26.
Encuentra el máximo y mínimo local y los puntos de silla de f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy + 1
27.
Encuentra y clasica los puntos críticos de la función
f (x, y) = 10x2 y − 5x2 − 4y 2 − x4 − 2y 4
28.
Calcula los extremos locales y puntos de silla de las siguientes funciones
(a) f (x, y) = xy + x−1 + y −1 , denida en (R\{0}) × (R\{0})
(b) f (x, y) = x3 + y 3 − 9xy + 27 denida en todo R2 .
29.
Encuentra la distancia más corta del punto (1, 0, −2) al plano de ecuación x + 2y + z = 4.
30.
♣ Se va a construir una caja rectangular sin tapa de un trozo de cartón de 12m2 . Encuentra
el máximo volumen de la caja.
31.
Encuentra los valores máximo y mínimo absolutos de f (x, y) = x2 −2xy+2y en el compacto
rectangular R = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, 3], y ∈ [0, 2]}.
32.
Resuelve el problema ♣ como un problema de extremos condicionados.
33.
Encuentra los valores extremos de la función f (x, y) = x2 + 2y 2 sobre la circunferencia
x2 + y 2 = 1.
34.
Encuentra los valores extremos de la función f (x, y, z) = x log x + y log y + z log z sobre
el plano x + y + z = 6.
35.
Calcula los extremos de f (x, y) = x2 + 2y 2 en el compacto x2 + y 2 ≤ 1
36.
Encuentra el máximo valor de la función f (x, y, z) = x + 2y + 3z en la curva intersección
del plano x − y + z = 1 y el cilindro x2 + y 2 = 1.
37.
38.
Calcula
los extremos de la función f (x, y, z) = xy + 2xz + yz sujetos a las condiciones
(
x+y+z =6
x−y =1
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
−
→
Dada una aplicación F : R3 7→ R3 de clase C 1 , denominada también campo vectorial, se
dene su divergencia mediante la fórmula
div F =
∂ F1 ∂ F2 ∂ F3
+
+
,
∂x
∂y
∂z
−
→
donde F = (F1 , F2 , F3 ). Calcula la divergencia del campo
F (x, y, z) = (cos (xy), x2 − z + log(1 + y), x + y + z)
39.
Dos supercies se denominan ortogonales en un punto de intersección si sus rectas normales
son perpendiculares en ese punto.
(a) Demuestra que las supercies de ecuaciones F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0 son ortogonales en un punto P , para el que ∇F (P ) y ∇G(P ) son distintos de cero, si y sólo
si
Fx Gx + Fy Gy + Fz Gz = 0 en P
(b) Utiliza el apartado anterior para demostrar que z 2 = x2 + y 2 y x2 + y 2 + z 2 = r2 con
r > 0, son ortogonales en todos sus puntos de intersección.
40.
Se dice que una curva está expresada en forma paramétrica si está denida como una
aplicación
σ : [a, b] ⊂ R 7→ R3
t
7→ (f (t), g(t), h(t))
(a) El vector tangente a la curva σ en σ(t0 ) se dene como el vector de coordenadas
σ 0 (t0 ) = (f 0 (t0 ), g 0 (t0 ), h0 (t0 ))
Calcula el vector tangente a la curva σ(t) = (t, cos t, et cos t ) en t0 = 1.
(b) Teniendo en cuenta que las deniciones anteriores son análogas si se consideran curvas
planas, escribe la ecuación paramétrica de una elipse de semiejes a y b y demuestra
que el vector tangente en cualquier punto de la elipse es perpendicular al vector de
posición del punto.
41.
Se supone que la temperatura en un punto del espacio (x, y, z) es T (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
Si una partícula se mueve sobre una hélice circular de ecuaciones paramétricas
σ(t) = (cos t, sen t, t),
t≥0
se pide:
(a) Calcular T 0 (t)
(b) Encontrar un valor aproximado para la temperatura en t = (π/2) + 0,01.
42.
Sabemos que para una función f (x, y) y un punto (a, b) de su dominio, para el que, además
existen las derivadas parciales, el plano tangente a la supercie z = f (x, y) en el punto
(a, b, f (a, b) constituye una aproximación lineal de f que es conocida como el polinomio de
Taylor de primer grado de f en (a, b). Si f tiene derivadas parciales continuas de segundo
orden en (a, b), entonces el polinomio de Taylor de segundo grado de f en (a, b) es
Q(x, y) = f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)
1
1
fxx (a, b)(x − a)2 + fx,y (a, b)(x − a)(y − b) + fyy (a, b)(y − b)2
+
2
2
La aproximación f (x, y) ≈ Q(x, y) se denomina aproximación cuadrática a f en (a, b).
(a) Verica que las derivadas parciales de primer y segundo orden de Q en (a, b) coinciden
con las correspondientes derivadas parciales de f en (a, b).
2 −y 2
(b) Calcula la aproximación cuadrática de f (x, y) = e−x
43.
en (0, 0)
Una función se denomina armónica si satisface la ecuación
∂2 u
∂2 u
(x,
+
(x, y) = 0
y)
∂x2
∂y 2
(a) Comprueba que u(x, y) = x3 − 3xy 2 es armónica.
(b) Demuestra que la familia formada por todas las funciones armónicas es un subespacio
lineal del espacio de funciones de clase C 2 .