Pregunta 1 - U

Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Universidad de Chile
MA2001-2: Cálculo en Varias Variables
Profesores: José Aliste, Natacha Astromujoff.
Auxiliares: Sebastián Cea, José Mendez
Pregunta 1:
a) Decimos que una función f : Rn −→ R es homogénea de grado p si cumple:
f (λx) = λp f (x)
para todo λ > 0 y todo x ∈ Rn . Demuestre que si f : Rn −→ R es diferenciable y homogénea
de grado p, entonces:
n
X
∂f
x · ∇f (x) =
(x)xi = pf (x).
∂xi
i=1
b) Sean f : R → R y g : R → R dos funciones dos veces derivables. Defina z : R2 → R por
z(x, y) = xf (x + y) + yg(x + y).
Pruebe que:
∂ 2z
∂ 2z
∂ 2z
−
2
+
=0
∂x2
∂x∂y ∂y 2
Pregunta 2:
Supongamos que estamos sobre el punto (−1, 5, 8) en un cerro cuya superficie está dada por la
ecuación:
74 − x2 − 7xy − 4y 2 − z = 0.
El eje Y apunta hacia el norte y el eje X hacia el este, y las distancias se miden en metros.
a) Si nos movemos hacia el sur ¿subimos o bajamos? ¿Con qué rapidez?
b) ¿En que dirección está el descenso más rápido?
c) ¿En que direcciones no hay ascenso ni descenso?
d) Encuentre el punto de altura máxima del cerro y determine dicha altura.
Pregunta 3:
a) Considere la superficie S dada por la ecuación
x2 + 2y 2 + z 2 = 1.
Sea P un plano tangente a S con ecuación normal:
h(x, y, z) − (x0 , y0 , z0 ), (1, −1, 2)i = 0.
Donde (x0 , y0 , z0 ) es un punto de tangencia. Determine los valores posibles para (x0 , y0 , z0 ).
b) Probar que la ecuación
x2 y − xy 2 + z 2 cos(xz) = 1
√
define una función implı́cita z = z(x, y) en un entorno del punto (0, 2, 1).
Tiempo: 3 horas
2
1.
pauta
Pregunta 1:
a) Para x ∈ Rn fijo, se define g : R+ → R como g(λ) = f (λx). Aplicando la regla de la cadena se
tiene que
∂f
∂f
∂f
g 0 (λ) =
(λx)x1 +
x2 + . . . +
xn = x · ∇f (λx).
∂x1
∂x2
∂xn
Pero como f es homogenea, también se tiene:
g(λ) = λp f (x), de donde se tiene que g 0 (λ) = pλp−1 f (x), de donde se sigue que
x· ∇f (λx) = pλp−1 f (x)
para λ > 0. Finalmente, la igualdad deseada se obtiene evaluando λ = 1.
b) Derivando, se obtiene que:
∂ 2z
(x, y) = 2f 0 (x + y) + xf 00 (x + y) + yg 00 (x + y)
2
∂x
∂ 2z
(x, y) = 2g 0 (x + y) + xf 00 (x + y) + yg 00 (x + y)
∂y 2
∂ 2z
(x, y) = f 0 (x + y) + g 0 (xy) + xf 00 (x + y) + yg 00 (x + y)
∂x∂y
Y sólo hay que sumar!
Pregunta 2:
a) Como el eje Y apunta hacia el norte, es claro que el sur está en la dirección (0, −1). Como la
superficie está dada por z = 74 − x2 − 7xy − 4y 2 , podemos verla como la función f (x, y) =
74 − x2 − 7xy − 4y 2 . Ası́, hacia el sur, la derivada direccional es
∂f
∇f (x0 , y0 )· (0, −1) = − (x0 , y0 ).
∂y
La formula para el gradiente:
∇f (x, y) = (−2x − 7y, −8y − 7x)
De donde se obtiene.
∇f (−1, 5)· (0, −1) = (−33, −33)· (0, −1) = 33
Luego, subimos a una rapidez de 33 [magnitud longitud/magnitud tiempo]
b) El ascenso más rápido es en la dirección en la que apunta −∇f (−1, 5) = (33, 33) es decir en la
dirección NORTE-ESTE.
c) Para ver en qué dirección v no subimos ni bajamos debemos estar en la superficie de nivel en
la que se encuentra el punto. Otra forma, es decir que la derivada direccional tiene que ser 0.
Cualquiera de estos argumentos nos dice que
∇f (−1, 5) · v = 0
para dicha dirección v = (v0 , v1 ). Se sigue que −33v0 −33v1 = 0 y se deduce que v0 = −v1 . Luego
las direcciones están dadas por (1, −1) y (−1, 1), i.e. la dirección SUR-ESTE y NOR-OESTE.
d) Para encontrar el maximo usamos la condición necesaria ∇f (x, y) = (0, 0), luego debemos
resolver el sistema:
−2x − 7y = 0
−7x − 8y = 0
3
que es claramente invertible,
luegola solución es (0, 0). Para ver que es un maximo, se verifica que
−2 −7
la matriz hessiana H =
es definida negativa, lo que es claro, puesto que det(H) > 0
−7 −8
y h11 < 0
Pregunta 3
a) Tomamos f (x, y, z) = 0 x2 + 2y 2 + z 2 − 1 = 0 podemos calcular el plano tangente a la superficie
en todo punto no singular.
La normal del plano viene dada por ∇f (x, y, z) = (2x, 4y, 2z) Estamos buscando un punto
de la superficie en el que el plano tangente sea paralelo a x − y + 2z = 0, plano cuya normal
está dada por (1, −1, 2)
luego:
(2x, 4y, 2z) = λ(1, −1, 2) con λ ∈ R, λ 6= 0
(x, y, z) = (λ/2, −λ/4, λ)
Debo garantizar que pertenezca a la superficie:
2
λ2
+ 2 λ16 + λ2 = 1
4
q
q
q
q
2
1
8
2 √1
8
√
los puntos son ( 11 , − 22 , 11 )y (− 11 , 22 , − 11
)
b) Probar que la ecuación
x2 y − xy 2 + z 2 cos(xz) = 1
√
define una función implı́cita z = z(x, y) en un entorno del punto (0, 2, 1).
Solución: Primero tomamos la función: f (x, y, z) = x2 y − y 2 x + z 2 cos(xz) − 1 y verificamos
que se cumplan
las condiciones para el teorema de la función implı́cita.
√
f (0, 2, 1) = 0 se cumple.
Existen las derivadas parciales y son continuas:
∂f
= 2xy − y 2 − z 3 sen(xz) ,
∂x
∂f
= x2 − 2xy ,
∂y
∂f
= 2z cos(xz) − z 2 x sen(xz) ,
∂z
√
∂f
(0,
2, 1) = 2 6= 0 ,
∂z
√
Por lo tanto puedo√despejar z = z(x, y) en un entorno de (0, 2, 1) , esta función es única
y cumple con z(0, 2) = 1