Raíces múltiples y Muller

Raíces múltiples
Las raíces múltiples ofrecen ciertas dificultades a los métodos expuestos anteriormente:
1. El hecho de que la función no cambie de signo en las raíces múltiples pares impide el
uso de los métodos que utilizan intervalos vistos con anticipación de manera confiable.
2. Otro posible problema se relaciona con el hecho de que no solo f(x), sino también f ’(x) se
aproxima a cero, estos problemas afectan a los métodos de Newton-Raphson (N-R) y al
de la secante, los cuales contienen derivadas o aproximaciones a ellas en el denominador
de sus respectivas ecuaciones. Esto provocaría una división entre cero cuando la sección
converge en un punto muy cercano a la raíz. Una forma simple de evitar estos problemas,
la cual ha sido demostrada teóricamente por Ralston y Robinovitz en 1978, se basa en el
hecho de que f(x) siempre alcanza un valor igual a cero antes que f ‘(x). Por lo tanto, si se
compara f(x) contra cero dentro del programa, entonces los cálculos se pueden terminar
antes de que f ‘(x) llegue a cero.
3. Se puede demostrar que el método de N-R y el método de la secante convergen en forma
lineal en vez de cuadrática cuando hay raíces múltiples (Ralston y Robinovitz, 1978). Se
han propuesto algunas modificaciones para aliviar este problema. Ralston y Robinovitz
(1978) proponen que se haga un pequeño cambio en la formulación para que retorne su
convergencia cuadrática:
xi +1 = xi −
mf ( xi )
f ' ( xi )
donde m es igual a la multiplicidad de la raiz. Esto es m = 2 para multiplicidad para raíz
doble, m = 3 para raíz triple y así sucesivamente.
Método de Müller
Recuérdese que el método de la secante obtiene raíces estimando una proyección de una
línea recta con el eje x a través de dos valores de la función.
El método de Müller es similar, solo que utiliza una parábola que pasa a través de tres
puntos. Se busca una parábola dada por ax 2 + bx + c y cuyos coeficientes a, b y c pueden
sustituirse en la fórmula cuadrática para obtener el punto donde la parábola intersecta al
eje x, es decir a la raíz estimada.
Escribiendo la aproximación como la ecuación de una parábola se tiene:
f 2 ( x ) = a ( x − x 2 ) + b( x − x 2 ) + c
2
(Ec. I)
Se desea que la parábola buscada intersecte los puntos
[x0 , f ( x0 )] , [x1 , f ( x1 )]
y
[x2 , f ( x2 )] .
Los coeficientes de la Ec. I pueden evaluarse sustituyendo cada uno de los tres puntos
anteriores, tal como se muestra:
f ( x 0 ) = a ( x 0 − x 2 ) + b( x 0 − x 2 ) + c
(Ec II)
f ( x1 ) = a(x1 − x 2 ) + b( x1 − x 2 ) + c
(Ec III)
2
2
f ( x 2 ) = a ( x 2 − x 2 ) + b( x 2 − x 2 ) + c
2
f ( x2 ) = c
(Ec IV)
Sustituyendo Ec IV en ecs II y III, se tiene:
f ( x 0 ) − f ( x 2 ) = a ( x 0 − x 2 ) 2 + b( x 0 − x 2 )
(Ec. V)
f ( x1 ) − f (x 2 ) = a( x1 − x 2 ) 2 + b( x1 − x 2 )
(Ec. VI)
Manipulando algebraicamente, se resuelve para a y b y se obtiene:
h0 = x1 − x0
δ0 =
f ( x1 ) − f ( x0 )
h0
h1 = x 2 − x1
δ1 =
f ( x 2 ) − f ( x1 )
h1
Estos valores pueden sustituirse en las ecs. V y VI y manipulando se obtiene:
a=
δ1 − δ 2
h1 + h2
b = ah1 + δ 1
c = f ( x2 )
Para encontrar la raíz se aplica la fórmula cuadrática general, pero esto podría ocasionar
un error potencial, por lo cual se usa la siguiente ecuación alternativa,
x3 = x 2 +
− 2c
b ± b 2 − 4ac
(Ec. VII)
Obsérvese que el uso de la fórmula cuadrática implica que se puedan encontrar tanto
raíces complejas como reales.
La ecuación VII produce dos raíces, correspondientes a los signos ± del denominador. En
el método de Müller, de acuerdo con el signo de b se puede producir un denominador de
magnitud grande, el cual proporciona una raíz estimada más cercana a x 2 .
Una vez que se determina x3 se repite el proceso. Este resultado conduce a un punto que
es descartado; en general se utilizan dos estrategias para descartar dicho punto:
1. Si solo se localizan raíces reales, se eligen dos puntos originales que se aproximen
a la nueva raíz estimada x3 .
2. Si ambas raíces (real y compleja) han sido evaluadas, se emplea una
aproximación secuencial. Esto es similar al método de la secante, donde x1 , x 2 y
x3 toman el lugar de x0 , x1 y x 2 .