lógica difusa

LÓGICA DIFUSA
Tania del Cerro Sánchez
Patricia Novalbos Laina
Universidad Carlos III de Madrid
[email protected]
Universidad Carlos III de Madrid
[email protected]
INTELIGENCIA EN REDES DE
ORDENADORES
5º INGENIERIA DE
TELECOMUNIACIÓN
ABSTRACT
En este documento vamos a realizar un estudio a través de la
lógica difusa o fuzzy logic, sus conjuntos, algoritmos y
aplicaciones.
por ejemplo, si llenamos una botella hasta la mitad, no podemos
afirmar ni que esté llena ni que esté vacía. Por ello, Platón indicó
que había una tercera posibilidad, iniciando así los principios de
la lógica difusa.
Algoritmos, Documentación, Confiabilidad, Experimentación,
Factores Humanos, Teoría.
Aunque a lo largo de la historia muchos filósofos estudiaron las
vaguedades del lenguaje, Jan Lukasiewicz fue el primero en dar
una alternativa a la lógica de Aristóteles. La describió como la
lógica de los 3 valores, cuyo tercer valor era ‘posible’.
Palabras Clave
Más tarde, en 1937, el filósofo cuántico Max Black definió el
primer conjunto difuso.
Términos Generales
Función de pertenencia
Conjuntos difusos
Pero no fue hasta la década de los 60 cuando Lotfi Asker Zadeh,
basándose en las ideas de Black, creó el concepto de Lógica
Difusa, y en 1973 propuso la teoría sobre dicha lógica.
Reglas
Aplicaciones de lógica difusa
1. INTRODUCCIÓN
La lógica difusa deriva de la lógica tradicional, y es más cercana
a la forma del pensamiento humano.
La lógica difusa se basa en el hecho de que una afirmación no
tiene porqué ser ni cierta ni falsa, sino que se verificará en un
cierto grado. Los predicados difusos se aplican a los elementos
del conjunto en ese cierto grado.
A continuación damos un ejemplo que clarifique lo dicho
anteriormente:
Predicados vagos: rico, flaco, viejo.
Enunciados borrosos:

María es rica y vieja.

Juan está flaco porque no come mucho.
3. FUNCIONAMIENTO
3.1 ¿Qué son los conjuntos difusos?
En los conjuntos clásicos se asigna el valor 0 en caso de que el
valor no pertenezca al conjunto y 1 si pertenece. Esta función se
puede generalizar de forma que los elementos del conjunto
pertenezcan a un rango entre 0 y 1. Esta función se llama
‘función de pertenencia’ y el conjunto definido por dicha función
‘conjunto difuso’.
A=X→[0, 1]
Siendo,
A la función de pertenencia.
A el conjunto difuso.
[0,1] el intervalo de números reales que incluye los extremos.
Ante estos enunciados, aparece el concepto de conjunto difuso.
Estos conjuntos no tienen una frontera definida, depende de la
frontera que usemos.
Operaciones sobre conjuntos difusos.
2. HISTORIA
El origen de la lógica difusa podemos buscarla en la Antigua
Grecia, allí Aristóteles introdujo las Leyes del Conocimiento.
Una de estas leyes es la Ley del Tercero Excluido que afirma que
para toda proposición p, una de las dos posibilidades, p o (NO)p,
debe ser verdadera. Sin embargo, esto no es totalmente cierto,
En la teoría de conjuntos difusos se definen tres operaciones
básicas:

Complemento
NoA (x) = 1 - A (x)

Unión
AUB (x) = max (A(x),B (x))

Intersección
A∩B (x) = min (A(x),B (x))
Existe otra operación importante, llamada Fusificación, ésta se
realiza en todo instante de tiempo.
>> x=(0:.1:10)';
>> mu2=trimf(x, [3 5 7]);
>> plot(x, mu2)
1
Conceptos sobre subconjuntos difusos.
0.9
0.8
Existe un principio que permite la generalización de conceptos
matemáticos de Conjuntos Clásicos a la teoría de Conjuntos
Difusos. Denominado ‘Principio de extensión’.
0.7
0.6
0.5
0.4
Además de las operaciones descritas anteriormente, existen
varios conceptos sobre subconjuntos difusos:
0.3
0.2
0.1
0

El núcleo de un subconjunto difuso, A, es el conjunto
de los elementos, x, que pertenecen totalmente a A, es
decir verifican que A (x) = 1.

El soporte de un subconjunto difuso, A, es el conjunto
de los, x, que pertenecen, en cierta medida, a A. Es
decir, que verifican A (x) > 0.

Sean A y B dos partes difusas del conjunto C. Se dice
que A está incluido en B si para todo x  C, tenemos
A(x) ≤  B(x), es decir, que los elementos de A
siempre pertenecen en mayor medida a B que a A.

Partiendo del subconjunto difuso A, se puede definir la
familia de los conjuntos clásicos At con t variando en
[0,1]. At = (x  B/A(x) ≥ t ), el conocimiento de esta
familia define totalmente a A.
Funciones de pertenencia
0
1

Gamma

Sigmoidal

Gaussiana
Trapezoidal
>> x=(0:.1:10)';
>> mu=trapmf(x,[2 4 6 8]);
>> plot(x,mu)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

0
1
Triangular
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
10
Además de las funciones de tipo lineal expuestas
anteriormente, también se utilizan funciones de tipo gamma,
sigmoidal, gaussiana y pseudo-exponencial.
Para cada conjunto difuso, existe asociada una función de
pertenencia para sus elementos. Las formas de las funciones
de pertenencia más típicas son trapezoidal y triangular.

2
en el que la salida final será el centro de gravedad del área
resultante.

Pseudo-exponencial
Si las reglas no son formuladas por expertos, son aprendidas por
el sistema, éste hace uso de redes neuronales.
A pesar de la variedad de reglas difusas, se suelen emplear las de
Mamdani y las de Takagi-Sugeno (TS).

Regla difusas de Mamdani
La regla dice que:
IF(x1 is A AND x2 is B AND x3 is C) THEN (u1 is D,
u2 is E).
Dónde,
o
x1, x2 y x3 son variables de entrada.
o
A, B y C son funciones de pertenencia de
entrada.
o
U1 y U2 son las acciones de control.
3.2 La representación difusa del conocimiento
o
D y E son las funciones de pertenencia de
salida.
Como se dijo en la introducción, en el lenguaje natural se
describen situaciones imprecisas, tratadas desde un punto de
vista subjetivo.
o
AND es un operador lógico difuso (podría ser
cualquier otro perador lógico).
En los Sistemas Basados en Conocimiento la función de
pertenencia se obtiene a partir de la opinión de un experto en ese
dominio en concreto.
Ventajas:
Las variables que forman hipótesis están asociadas a un dominio.
Se define term-set como un conjunto finito de elementos, el cual,
debe ser suficiente para describir cualquier situación relacionada
con el problema.
La regla principal de inferencia en lógica clásica es el Modus
Ponens (A -> B). En lógica difusa se puede generalizar esta regla
como:
Regla: Si x es A, entonces y es B.
o
Intuitiva.
o
Amplia aceptación.
o
Adaptada a la incorporación de conocimiento
y experiencia.

Reglas difusas de Takagi-Sugeno
La regla dice que:
Hecho: x es A.
IF (x1 is A AND x2 is B AND x3 is C) THEN
(u1=f(x1, x2, x3), u2=g(x1, x2, x3))
Conclusión: y es B.
En general tanto f como g son funciones lineales.
Si suponemos que las variables están relacionadas por cualquier
relación. Si R es una relación binaria difusa y A y B son
conjuntos borrosos en X e Y respectivamente. Si conocemos R y
A podríamos conocer B mediante la ‘Regla composicional de
inferencia’.
Ventajas:
o
Eficiente computacionalmente.
o
Trabaja bien con técnicas lineales, de
optimización y control adaptable.
o
Está bien adaptado el análisis matemático.
B = A(x)R(x, y)
B(y) = supx e X min (A(x), R(x, y))
R(x, y) = I(A(x), B(y)) que es la función de implicación.
Inferencia Difusa
3.3 Reglas en la lógica difusa
La inferencia se necesita para calcular el resultado de las
variables de salida. .
La lógica difusa, se basa en reglas de la forma SI (antecedente)
ENTONCES (consecuente).
Los mejores resultados en el campo de control los generan el
método de inferencia de Mamdani, RM, la inferencia del producto
de Larsen, RL, la inferencia del producto drástico, R DP, y la
inferencia del producto limitado, RBP.
Los métodos de inferencia para las reglas deben ser sencillos y
eficientes. Para escoger una salida concreta a partir de las
hipótesis, el método más usado es el ‘centroide’(defusificación),
Método de Inferencia
Definición
RM
min (, W(z)), z
RL
 x W(z), z
,
 W(z) = 1
W(z) ,   = 1
RDP
0
  < 1 y W(z) < 1
max ( + W(z) -1, 0 )
RBP
Dónde W es la función de pertenencia del conjunto de salida w.
Después de todo lo que se ha hablado hasta ahora, se puede
resumir el proceso de inferencia difusa como:
Dato de entrada
Fusificación
Japón. En 1987 la empresa OMRON desarrolla los primeros
controladores borrosos comerciales con el profesor Yamakawa.
A partir de ese momento, el control borroso ha sido aplicado con
éxito en muy diversas ramas tecnológicas, por ejemplo la
metalurgia, los robots de fabricación, controles de maniobra
aviones, ascensores o trenes, sensores, imagen y sonido (sistema
de estabilización de imagen en cámaras fotográficas y de video
Sony, Sanyo, Cannon...), electrodomésticos (lavadoras de
Panasonic o Bosch, aire acondicionado Mitsubishi, ricecooker...), automoción (sistemas de ABS de Mazda o Nissan,
Cambio automático de Renault, control automático de velocidad,
climatizadores...) y una larga lista de aplicaciones comerciales.
A partir del “boom” de lo borroso en Japón, iniciado en 1987 y
que alcanzó su máximo apogeo a principios de los noventa.
Desde entonces, han sido infinidad los productos lanzados al
mercado que usan tecnología borrosa muchos de ellos
utilizando la etiqueta “fuzzy” como símbolo de calidad y
prestaciones avanzadas. Como la lavadora Bosch con sistema
eco-fuzzy.
Cada día se incorpora más esa técnica matemática para facilitar
el trabajo a los electrodomésticos, que deciden qué programa
tomar, qué cantidad de agua ha de entrar, cómo controlar la
humedad en el secado de la ropa, etc. Estas mismas matemáticas
se aplican a infinidad de máquinas como los sistemas de aire
acondicionado, los televisores, cámaras de video, sistemas de
tráfico, ahorro energético, de combustible, mayor eficiencia
energética, medicina, software para ordenadores, traducciones
automáticas, etc.
Evaluación de
reglas e Inferencia
CONTROLADOR DE REFRIGERACIÓN
Defusificación
Dato de salida
*Cualquier sistema basado en lógica difusa seguirá este
diagrama.
4. APLICACIONES
Aunque la intención original del profesor Zadeh era crear un
formalismo para manipular de forma más eficiente la imprecisión
y vaguedad del razonamiento humano expresado
lingüísticamente, causó cierta sorpresa que el éxito de la lógica
borrosa llegase en el campo del control. Su primera gran obra se
fue el tren automático de Sendai sin conductor.
En 1983, Fuji aplica lógica borrosa para el control de inyección
química para plantas depuradoras de agua, por primera vez en
A continuación pasamos a describir un sistema borroso con la
ayuda de una herramienta de MATLAB. El planteamiento del
sistema es el que sigue:
Queremos implementar un controlador de refrigeración que tiene
como parámetros de entrada la temperatura y humedad de un
determinado lugar y como variable de salida la velocidad de giro
de un ventilador.
Una vez definidas los rangos de las variables de entrada y de
salida procedemos a clasificar nuestros datos de entrada para dar
una salida deseada, lo representamos en la siguiente matriz.
Una vez definida todos los valores de entrada con las salidas
correspondientes podemos implementar el sistema inteligente
configurando las siguientes reglas:
A continuación detallamos los puntos a seguir para obtener el
estudio comentado:
1.
Abrimos en la línea de comandos del Matlab fuzzy.
2.
Damos nombre a las variables de entrada como son
humedad y temperatura y posteriormente a la de salida
que será velocidad.
3.
Para cada una de las entradas y salida definimos los
rangos correspondientes y les damos nombres. Tal y
como mostramos a continuación.
4.
Como podemos observar a continuación hemos elegido
una función e pertenencia triangular.
VARIABLE DE ENTRADA TEMPERATURA
Para la variable temperatura definimos cinco rangos,
con la función de pertenencia adecuada. Tenemos que definir el
rango máximo en el campo Range y posteriormente ir
seleccionando cada uno de los posibles valores de la temperatura
y caracterizar el intervalo en el que está definido cada uno de
ellos.
VARIABLE DE SALIDA VELOCIDAD
5.
Introducimos las reglas anteriormente definidas.
6.
Ya tenemos definido nuestro sistema, podemos ver las
consecuencias que tiene la implantación de las reglas
con view Rules o view Surface.
VARIABLE DE ENTRADA HUMEDAD
Repitiendo el mismo proceso definimos la variable de
entrada humedad y la de salida que es la velocidad.

Esta lista se podría extender a otros muchos aspectos, pero
conviene destacar algunas técnicas que deben seguir
evolucionando, ya que volúmenes y estructura de la información
en Internet crece cada día considerablemente:

Nuevos modelos de representación del conocimiento
fuzzy sets en aspectos que todavía no están siendo
utilizados.

Métodos de agregación de información algoritmos de
clasificación como es clustering.





écnicas para la generación de ontologías (conceptos
de un determinado dominio) lo que conllevará a una
gran reducción del tiempo de respuesta. 
Técnicas de indexación conceptual de documentos. 
Agentes inteligentes autónomos para realizar servicios
en Internet (en búsqueda, chat, correo electrónico,
comercio electrónico, envío de datos, multimedia...). 
Técnicas de gestión y extracción de conocimiento en
bases de datos. 

Y podríamos seguir con infinidad de aplicaciones que se pueden
implementar para incremetar la calidad de servicio de Internet.

5. VENTAJAS E INCONVENIENTES DE
DICHA LÓGICA.
La lógica borrosa en Internet.
VENTAJAS
Ha sido necesario para abordar la ingente cantidad de datos,
recuperar información, “controlar” y gestionar la red, la
utilización de tecnologías borrosas. Prueba de ello fue la
celebración del primer encuentro sobre lógica borrosa e Internet
(FLINT 2001) celebrado en la universidad de Berkeley en el
verano de 2001 y organizado por el propio profesor Zadeh.
Una importante ventaja de los sistemas borrosos, es que
gracias a la simplicidad de los cálculos requeridos (sumas y
comparaciones fundamentalmente), normalmente pueden
realizarse en sistemas baratos y rápidos, con lo que pueden
implementarse en sistemas específicos (por ejemplo, para el
control inteligente de un horno microondas o de un sistema de
frenado ABS).
La idea que se implanto principalmente fue Computing with
words, que se trata de técnicas de Soft Computing que engloba a
la lógica borrosa, redes neuronales y computación evolutiva
como pueden ser los algoritmos genéticos.
Los retos acuñados por el profesor Zadeh a conseguir fueron:

Técnicas de motores de búsqueda para optimizar dicho
tiempo y obteniendo unas mejores prestaciones.

Técnicas avanzadas para describir perfiles de usuario
para hacer un uso de internet a la carta.

Comercio electrónico.
Este es uno de los motivos fundamentales del hecho constatado
de la existencia en la actualidad de muchas más
aplicaciones prácticas funcionando basadas en lógica borrosa que
en redes neuronales.
No obstante, las ventajas e inconvenientes que cada enfoque
puede presentar, el futuro apunta en la dirección de
combinar distintas técnicas para resolver problemas complejos.
Otra de las grandes ventajas que cabe destacar los excelentes
resultados que brinda un sistema de control basado en lógica
difusa: ofrece salidas de una forma veloz y precisa, disminuyendo
así las transiciones de estados fundamentales en el entorno físico
que controle. Por ejemplo, si el aire acondicionado se encendiese
al llegar a la temperatura de 30º, y la temperatura actual oscilase
entre los 29º-30º, nuestro sistema de aire acondicionado estaría
encendiéndose y apagándose continuamente, con el gasto
energético que ello conllevaría. Si estuviese regulado por lógica
difusa, esos 30º no serían ningún umbral, y el sistema de control
aprendería a mantener una temperatura estable sin continuos
apagados y encendidos.
En las redes neuronales se precisa de un tiempo de aprendizaje
para obtener los mejores resultados en la salida. (Al igual que
ocurre con los humanos).
Múltiples definiciones de operadores y reglas de inferencia
difusas.
Dificultad de interpretación de valores difusos
(semántica no clara). No hay una buena justificación de
operadores difusos.
6. REFERENCES
INCONVENIENTES
[1] http://www.dma.fi.upm.es/java/fuzzy/tutfuzzy/indice.html
Ante un problema que tiene solución mediante un modelo
matemático, obtenemos peores resultados usando Lógica Difusa,
con lo que tenemos que estudiar antes de tomar la solución ante
un problema que tipo de problema es, si tiene solución
matemática o no y cuanto nos queremos gastar al implementar el
sistema.
.
[2] http://www.monografias.com/trabajos95/masterdireccion/master-direccion.shtml
[3] es.wikipedia.org/wiki/Lógica_difusa
[4] transparencias de clase