Examen parcial III. Ra´ıces de ecuaciones no lineales. Variante α

En
g
N rap
o
do e a q
bl u
e ı́
Examen parcial III. Raı́ces de ecuaciones no lineales. Variante α.
Métodos numéricos I, Ingenierı́a matemática.
Nombre:
examen
escrito
Calificación
( %):
programación
asist.+
particip.
tareas
adicion.
parcial 3
El examen dura 80 minutos. En los primeros 4 problemas se trata de la misma función f y del mismo
punto p. Hay que aproximar el cero p de la función f usando varios métodos. Escriba los puntos
ak , bk , ck , xk en notación cientı́fica con 7 dı́gitos (6 dı́gitos después del punto flotante) y las diferencias
|ck −p|, |xk −xk−1 |, |xk −p|, etc. en notación cientı́fica con 2 dı́gitos (1 dı́gito después del punto flotante).
Problema 1. 10 %.
Haga dos iteraciones del método de bisección para aproximar el cero p de la función f:
f(x) = ln(x) − 2,
Empiece con a1 = 7, b1 = 8. Calcule:
c1 ,
a2 ,
p = e2 ≈ 7.389056.
b2 ,
|c1 − p|,
c2 ,
a3 ,
b3 ,
|c2 − p|.
Problema 2. 10 %.
Haga dos iteraciones del método de la secante. Empiece con x0 = 7, x1 = 8. Calcule
x2 ,
|x2 − x1 |,
|x2 − p|,
x3 ,
|x3 − x2 |,
|x3 − p|.
Problema 3. 10 %.
Haga dos iteraciones del método de la regla falsa. Empiece con a1 = 7, b1 = 8. Calcule
c1 ,
a2 ,
b2 ,
|c1 − p|,
b2 − a2 ,
c2 ,
a3 ,
b3 ,
|c2 − p|,
b3 − a3 .
Problema 4. 10 %.
Haga dos iteraciones del método de Newton-Raphson. Empiece con x0 = 7.0. Calcule
x1 ,
|x1 − x0 |,
|x1 − p|,
x2 ,
|x2 − x1 |,
|x2 − p|.
Problema 5. 12 %.
Para la función g(x) = x + 12 sen(x) y el punto inicial x0 = 3.3, calcule x1 , x2 , x3 usando el método de
punto fijo. Luego calcule s3 con el método de Steffensen, usando s0 = x0 , s1 = x1 , s2 = x2 . Calcule
|x3 − p| y |s3 − p|, donde p = π es el punto fijo.
Problema 6. 17 %.
Determine si el método de punto fijo converge o no en cada uno de los siguientes ejemplos:
g1 (x) = x + 12 sen(x),
en el intervalo [3.0, 4.0].
g2 (x) = x + 3 sen(x),
en el intervalo [3.0, 4.0].
Problema 7. 17 %.
Sean a, b ∈ R, a < b, y sea f : [a, b] → [a, b] una función contractiva en [a, b]. Demuestre que f tiene
un único punto fijo en el intervalo [a, b]. Tiene que probar tanto la existencia como la unicidad.
En
g
N rap
o
do e a q
bl u
e ı́
Examen parcial III. Raı́ces de ecuaciones no lineales. Variante β.
Métodos numéricos I, Ingenierı́a matemática.
Nombre:
examen
escrito
Calificación
( %):
programación
asist.+
particip.
tareas
adicion.
parcial 3
El examen dura 80 minutos. En los primeros 4 problemas se trata de la misma función f y del mismo
punto p. Hay que aproximar el cero p de la función f usando varios métodos. Escriba los puntos
ak , bk , ck , xk en notación cientı́fica con 7 dı́gitos (6 dı́gitos después del punto flotante) y las diferencias
|ck −p|, |xk −xk−1 |, |xk −p|, etc. en notación cientı́fica con 2 dı́gitos (1 dı́gito después del punto flotante).
Problema 1. 10 %.
Haga dos iteraciones del método de bisección para aproximar el cero p de la función f:
π
f(x) = tg(x) − 1,
p = ≈ 7.853982 · 10−1 .
4
Empiece con a1 = 5 · 10−1 , b1 = 1.0. Calcule:
c1 ,
a2 ,
b2 ,
|c1 − p|,
c2 ,
a3 ,
b3 ,
|c2 − p|.
Problema 2. 10 %.
Haga dos iteraciones del método de la secante. Empiece con x0 = 1.0, x1 = 0.5. Calcule
x2 ,
|x2 − x1 |,
|x2 − p|,
x3 ,
|x3 − x2 |,
|x3 − p|.
Problema 3. 10 %.
Haga dos iteraciones del método de la regla falsa. Empiece con a1 = 0.5, b1 = 1.0. Calcule
c1 ,
a2 ,
b2 ,
|c1 − p|,
b2 − a2 ,
c2 ,
a3 ,
b3 ,
|c2 − p|,
b3 − a3 .
Problema 4. 10 %.
Haga dos iteraciones del método de Newton-Raphson. Empiece con x0 = 1.0. Calcule
x1 ,
|x1 − x0 |,
|x1 − p|,
x2 ,
|x2 − x1 |,
|x2 − p|.
Problema 5. 12 %.
Haga una iteración del algoritmo de Müller para aproximar el cero p = 2i de la función f(x) =
x3 − 5x2 + 4x − 20 = (x2 + 4)(x − 5). Empiece con x0 = −1, x1 = 1, x2 = 0. Calcule x3 y |x3 − p|.
Problema 6. 17 %.
Determine si el método de punto fijo converge o no en cada uno de los siguientes ejemplos:
√
g1 (x) = x + 2, en el intervalo [1.0, 3.0].
g2 (x) = x2 − 2,
en el intervalo [1.8, 2.2].
Problema 7. 17 %.
√
Sean a > 1, m ∈ {2, 3, . . .} y p = m a. Aplicando la fórmula del método de Newton-Raphson a la
función f(x) = xm − a construya una función g tal que g(p) = p, g 0 (p) = 0 y para todo x ∈ [p, +∞) se
cumple la desigualdad 0 < g 0 (x) 6 k con un k < 1. Nota: estas condiciones garantizan que el método
iterativo xn := g(xn−1 ) converge a p para todo punto inicial x0 > p.