Estudio del fenómeno de difracción de la luz en campo cercano

Resumen: E-002
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E
Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2004
Estudio del fenómeno de difracción de la luz en campo cercano
para placa zonal -clásica- de Fresnel
Asselle, Julio - Lesa, Rubén
Dpto. de Física - Facultad de Agroindustrias - UNNE.
Cte. Fernández 755 –Sáenz Peña Chaco
e-mail: [email protected]
RESUMEN
La disciplina “ ÓPTICA FÍSICA “ , permite explicar algunos fenómenos físicos como por ejemplo “DIFRACCIÓN DE
LA LUZ ”, basándose en el comportamiento ondulatorio de la luz.
En este trabajo, en particular, se realizó el “Estudio del Fenómeno de Difracción de la luz en Campo Cercano para placa
zonal (clásica ) de Fresnel ”.
A la placa zonal se la denominó “pupila”, se la diseñó y se la construyó utilizando una PC y un utilitario Matemático.
Posteriormente se la hizo interactuar con un haz de luz paralelo y monocromático, y finalmente se fotografió el “Patrón
de Difracción “. La pupila exhibida en este trabajo se comporta como lo predice la Teoría de Fresnel, de un modo
análogo a una lente convergente, por su propiedad de enfoque. El cálculo teórico del Patrón de Difracción para campo
cercano se realizó a partir de la aproximación de Fresnel, usando la transformada rápida de Fourier, y se simuló por
computadora la formación del Patrón de Difracción en el plano que contiene al eje óptico y en planos perpendiculares al
eje óptico aprovechando la simetría radial del diagrama de difracción. Los Patrones de Difracción obtenidos
numéricamente tal como se muestra en este trabajo, se corresponden con los resultado experimentales, permitiendo su
predicción.
INTRODUCCION
Si se ilumina con un haz de luz monocromático un
obstáculo, transparente u opaco (puede ser una pantalla
opaca con una pequeña abertura, como se indica en la Figura
1) y se altera una región limitada del frente de onda
incidente, (en fase o amplitud), se producirá el fenómeno de
difracción de la luz 2. Por el principio de Huygens – Fresnel
cada punto del frente de onda sin obstruir localizado en la
abertura difractora es considerado emisor secundario de
ondas esféricas(de la misma frecuencia que la
incidente);éstas ondas luminosas propagadas, mas allá del
obstáculo interfieren y si se recoge la distribución de
intensidad de luz en una pantalla, se observará una figura
Fig. 1
constituida por franjas brillantes y oscuras conocida como “Patrón de Difracción”.
* si la pantalla está muy lejos del obstáculo la Difracción se llama de Campo Lejano o de Fraunhofer 2.
* si la pantalla está próxima al obstáculo la Difracción se llama de Campo Cercano o de Fresnel 2.
En este trabajo se tuvo en cuenta la teoría escalar de la difracción de Fresnel – Kirchoff 1, que permite obtener el
modelo teórico para la distribución de intensidad de luz en campo cercano y está indicado por la ecuación (1)1,
ecuación que resulta de la aproximación de Fresnel en la cantidad r0 (incluida en la fase de la onda), siempre que se
cumpla la condición
3
2
2
z >> k [(x0 - x) + (y0 - y) ]2máx. / 8
U x ,y
0 0
e
1i. k . z
1i . λ . z
1i. k .
2
x0
.z
2
.e
∞
∞
2
y0
.
∞
∞
1i. k . 2
x
2. z
p( x , y ) . e
2
y
1i. k .
.e z
x.x 0
y. y 0
dx dy
(1)
U(x0 ,y0) es la amplitud del campo óptico en el plano de observación(en el punto p0)
p(x, y) es la función abertura en el plano x,y ;es distinto de cero únicamente sobre la región de la abertura
k = 2.π/λ ; λ longitud de onda de la luz incidente en la abertura
Para campo lejano la relación anterior se reduce a la Transformada de Fourier de la función pupila p(x, y) si se verifica
la condición z >> k(x2 +y2 )máx. /2
{La Transformada rápida de Fourier es una herramienta matemática de gran potencia , muy utilizada para describir la
formación de imágenes por sistemas ópticos como por ejemplo lentes, aberturas difractoras etc.}
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La abertura difractora que se utilizó en este trabajo es una placa zonal clásica de Fresnel y fue iluminada con un haz de
luz monocromática con frente de onda plano.
Teniendo en cuenta este elemento óptico y la ecuación (1), nos hemos fijado los siguientes objetivos:
Diseñar y construir una placa zonal clásica de Fresnel.
Simular por computadora el “Patrón de Difracción”.
Estudiar la variación de la Distribución de Intensidad Luminosa a lo largo del eje óptico y perpendicularmente a él.
Evaluar los patrones de difracción obtenidos numéricamente y los obtenidos experimentalmente.
Demostrar que la pupila exhibida en este trabajo se comporta análogamente a una lente convergente.
Descubrir posibles aplicaciones basados en el comportamiento anterior.
MÉTODO
La placa zonal óptica puede obtenerse de maneras diferentes:
* Una manera de hacer una placa zonal óptica es dibujar una versión en gran escala y luego reducirla fotográficamente.
* Otra manera es fotografiar un Patrón de anillos de Newton.
* Otra manera, que es la que se empleó en este trabajo, es generarla en forma matricial y binaria mediante la PC y un
utilitario matemático.
Diseño y construcción de la placa zonal
Los radios de la placa zonal responden a la ley de formación
r ( n)
λ .f0 .n
n es el orden del radio y f0 es la distancia focal de la placa
N
La expresión para generar la placa zonal está dada por →
p ( r , n)
H r
r1 ( n)
H r
r2 ( n)
n= 1
Para los puntos cuya coordenada radial r verifica que
r1 (n) ≤ r ≤ r2 (n), la transmitancia toma el valor máximo, en caso contrario la transmitancia es nula.
H es la función Heaviside y N es el número de anillos.
Generada la pupila en forma matricial y binaria, fue impresa en papel y luego fotografiada. El
negativo constituye la pupila, Figura 2
→
Fig. 2
Cálculo del patrón de difracción de Fresnel
Debido a la simetría circular del elemento óptico la amplitud del campo óptico en campo cercano dada por la ecuación
(1), puede expresarse en coordenadas polares de la siguiente manera:
U( ρ , z )
2
ρ
1i . k . z 1i . k . .
.
k e
2 z.
.e
1i . z
r 2( n )
N
n =
1
1i . k . 2
r
2 .z
. J0
r.e
k.r.ρ
z
dr
(2)
r 1( n )
U(ρ,z) es la amplitud del campo óptico en campo cercano
J0 es la función de Bessel de orden cero
Habiendo calculado la amplitud del campo óptico se procede a calcular la distribución de intensidad de la siguiente
manera:
I(ρ,z) =U(ρ,z)
Teniendo esta expresión el paso siguiente es:
a) representar gráficamente la distribución de intensidad a lo largo del eje z; b)radialmente en un plano perpendicular a
dicho eje y c) obtener el diagrama de intensidad del Patrón de Difracción.
a) representación gráfica de la distribución de Intensidad a lo largo del eje z
tomando ρ = 0 resulta J0 = 1
la intensidad depende únicamente de z y se expresa
I(z) =U(z)
Como indica la Figura 3, la distribución de intensidad presenta un máximo en un punto del eje z (eje óptico), llamado
máximo principal que puede ser interpretado como el foco principal F0 , posicionado a una distancia de la placa llamada
distancia focal de la placa denotada por f0 (f0 = 183 cm). La mayor concentración de luz se produce en el foco principal.
También se aprecian focos secundarios más cercanos a la placa a distancias f0 /3, f0 /5, f0 /7 etc., atenuados en
intensidad.
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0.15
0.1
Fig. 3
0.05
0
b) representación
0
50
100
150
Distribución radial de Intensidad en un plano perpendicular al eje z
I(ρ,z) = U(ρ,z)
0.110583
0.036861
200
250
gráfica
de
la
0.2
0.04
0.1
0.02
0
0.06
0.04
0.02
0
0.02
0.04
0.06
0
0.05
0
Fig. 4 z = 61
plano focal secundario
0.05
Fig. 5 z = 183
plano focal principal
c) diagrama de intensidad del Patrón de Difracción, para distintos valores de z en cm
0
1
0.5
0
0.5
0.5
1
0.5
1
1
0.5 0
0.5
Fig. 6 z = 61
1° foco secundario
1
1
1 0.5 0 0.5 1
Fig. 7 z = 183
foco principal
RESULTADOS EXPERIMENTALES
Para visualizar y registrar el Patrón de Difracción producido por la placa zonal clásica-de Fresnel, se utilizaron los
siguientes elementos:
banco óptico, láser He-Ne, expansor, lente convergente para producir el frente plano, pupila, pantalla de
observación, cámara fotográfica sin objetivo, película fotográfica blanco y negro de 125 asa, micrómetro ocular, cinta
métrica, etc.
Las figuras 8 y 9 son los Patrones de difracción fotografiados para distintos valores de z
Fig. 8 z = 61
1° foco secundario
Fig. 9 z = 183
foco principal
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La Fig. 9 es el Patrón de Difracción fotografiado en el plano focal de la placa ,es decir, a la distancia focal de la placa
z = f0 = 183 cm. A esa distancia se observa sobre el eje óptico una mancha de luz muy brillante que corresponde al Foco
principal. Con el valor de f0 se calculó el radio del disco central de la placa r0 según la relación
r0
λ .f0
obteniéndose el valor r0 = 1,07mm que se corresponde con el valor de placa medido con un micrómetro
ocular.
CONCLUSIONES
La pupila exhibida en este trabajo se comporta como lo predice la Teoría de Fresnel, de un modo análogo a una lente
convergente. La placa zonal concentra una gran fracción de luz difractada en un punto sobre el eje óptico -Fig. 9 llamado foco principal, a una distancia z = f0 = 183 cm llamada distancia focal de la placa, correspondiente al tamaño de
las zonas y a la longitud de onda de la luz utilizada, lo que permite utilizarla como elemento de enfoque.
Tal como se muestra en este trabajo los Patrones de Difracción obtenidos numéricamente para campo cercano,
utilizando la transformada rápida de Fourier se corresponden con los resultado experimentales (fotografías exhibidas),
permitiendo su predicción.
El estudio de la propiedad de enfoque del campo difractado por la placa zonal óptica de Fresnel es de gran interés por
que basándose en este comportamiento, se han realizados estudios en el campo de las ondas acústicas, de las
microondas y en el rango del ultravioleta a los rayos X
También es de interés en Holografía ya que se generan placas zonales de Gabor que se comportan de un modo análogo
a las placas clásicas. Actualmente se diseñan y se generan hologramas por ordenador, empleando para el cálculo del
diagrama de difracción el algoritmo conocido como FFT(Fast Fourier Transform –Transformada rápida de Fourier).
Una de las principales aplicaciones de los Hologramas generados por ordenador es la fabricación de HOEs
(Holographic Optical Elements – elementos ópticos holográficos).
REFERENCIAS
1
Goodman, J.W. (1968). Introduction to Optics Fourier. Mc Graw Hill
2
Hecht, E. y Zajac, A. (1974). Fundamentos de Óptica. Massachussetts,EUA: Addison - Wesley Iberoamericana.
3
Iovine, John. (1992). La Holografía. Mc Graw Hill
4
Jenkis, F. A y White, H. E. (1968). Fundamentos de Óptica.
5
Mauldin, J. H. (19941). Luz Láser y Óptica. Madrid, España: McGraw – Hill.
6
Rossi, B. (1978). Fundamentos de Optica. Reverté
7
Sears, F. W. (1958/1979). Óptica Fundamentos de Física Vol III. Madrid, España: Aguilar
8
Sampallo, G. y González Thomas, A. (1996 ). Estudio teórico experimental del fenómeno de difracción para campo
cercano. Comunicación Científicas y Tecnológicas. UNNE