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Titulo: ÁREA DE UNA REGION PLANA
Año escolar: MATEMATICA 1
Autor: José Luis Albornoz Salazar
Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario
País de residencia: Venezuela
Correo electrónico: [email protected]
El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboración en el
sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendación a la
siguiente dirección :
[email protected]
Igualmente puede enviar cualquier ejercicio o problema que
considere pueda ser incluido en el mismo.
Si en sus horas de estudio o práctica se encuentra con un
problema que no pueda resolver, envíelo a la anterior dirección y
se le enviará resuelto a la suya.
Área de una región plana
Ing. José Luis Albornoz Salazar
-0-
ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
=
Ejemplo 1:
X2
Calcular el área plana limitada por la función Y =
– 4X + 5, el eje X, y las rectas X = 1 y X = 3.
Solución : Se recomienda graficar el área que se pretende calcular con la
finalidad de tener una visión clara del problema planteado.
–
El resultado de la integral definida es 8/3 = 2,67.
Se dice
entonces que el área de la región plana que está limitada por la
función Y = X2 – 4X + 5, el eje X, y las rectas X = 1 y X = 3 es
de 2,67 unidades cuadradas.
NOTA : Es bueno aclarar que cuando aplicamos la integral definida
en las áreas que están ubicadas sobre el eje X el resultado lo
obtendremos con signo positivo, mientras que en las áreas que
están debajo del eje X el resultado lo obtendremos con signo
negativo. Esta consideración no representa ningún problema en el
cálculo del área. Simplemente este signo negativo nos indica que es
un área que está debajo del eje X pero el área es la cantidad
calculada con signo positivo.
Para calcular el área de una región plana que se encuentra bajo
una función y sobre el eje X se utiliza la integral definida de dicha función;
en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas X = 1
y X = 3.
Note que el índice inferior de la integral definida es “1” y el índice
superior es “3”. Esto se debe a que el área que queremos calcular está
limitada desde 1 hasta 3.
Ejemplo 2:
X2
Calcular el área plana limitada por la función Y =
– 4X, el eje X, y las rectas X = 1 y X = 3.
Solución : Se recomienda graficar el área que se pretende calcular con la
finalidad de tener una visión clara del problema planteado.
Efectuando la integral :
3
1
Área de una región plana
Ing. José Luis Albornoz Salazar
-1-
Para calcular el área de una región plana que se encuentra sobre
una función y debajo del eje X se utiliza la integral definida de dicha
función; en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas
X = 1 y X = 3.
Note que el índice inferior de la integral definida es “1” y el índice
superior es “3”. Esto se debe a que el área que queremos calcular está
limitada desde 1 hasta 3.
Efectuando la integral :
3
Para calcular el área de una región plana que se encuentra bajo
una función y sobre el eje X se utiliza la integral definida de dicha función;
en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas X = 3
y X = 5.
1
Note que el índice inferior de la integral definida es “3” y el índice
superior es “5”. Esto se debe a que el área que queremos calcular está
limitada desde 3 hasta 5.
Efectuando la integral :
–
5
El hecho de que el resultado obtenido tenga signo negativo solo
nos indica que dicha región plana está ubicada por debajo del eje X.
Luego podemos decir que el área de dicha región es de 22/3 = 7,33
unidades cuadradas.
Ejemplo 3:
Calcular el área plana limitada por la función Y =
2X – 4, el eje X, y las rectas X = 3 y X = 5.
Solución : Se recomienda graficar el área que se pretende calcular con la
finalidad de tener una visión clara del problema planteado.
Área de una región plana
3
= (25 – 20) – (9 – 12) = 5 +3 = 8
El resultado de la integral definida es 8. Se dice entonces que el
área de la región plana que está limitada por la recta Y = 2X – 4, el eje
X, y las rectas X = 3 y X = 5 es de 8,00 unidades cuadradas.
Ing. José Luis Albornoz Salazar
-2-
Ejemplo 4:
Calcular el área plana limitada por la función Y =
2X – 4, el eje X, y las rectas X = – 1 y X = 1.
Solución : Se recomienda graficar el área que se pretende calcular con la
finalidad de tener una visión clara del problema planteado.
El hecho de que el resultado obtenido tenga signo negativo solo
nos indica que dicha región plana está ubicada por debajo del eje X.
Luego podemos decir que el área de dicha región es de 8,00 unidades
cuadradas.
Ejemplo 5:
función Y =
X3
–
2X2
Calcular el área plana de la región limitada por la
– 5X + 6, el eje X, y las rectas X = – 1 y X = 2.
Solución : Se recomienda graficar el área que se pretende calcular con la
finalidad de tener una visión clara del problema planteado.
Se calculan las raíces de de la ecuación de la función para saber
donde dicha curva cruza al eje X.
Aplicando la regla de Ruffini a Y = X3 – 2X2 – 5X + 6 se obtienen
las 3 raíces (polinomio de tercer grado tiene tres raíces).
X1 = 1
Para calcular el área de una región plana que se encuentra sobre
una función y debajo del eje X se utiliza la integral definida de dicha
función; en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas
X = – 1 y X = 1.
;
X2 = – 2
;
X3 = 3
Luego se calcula donde están ubicados los máximos y mínimos
relativos de la función en el intervalo [ - 2 , 3 ] utilizando el criterio de la
primera derivada (explicado en el capítulo anterior).
Con toda esta información realizamos la siguiente gráfica :
Note que el índice inferior de la integral definida es “– 1” y el índice
superior es “1”. Esto se debe a que el área que queremos calcular está
limitada desde – 1 hasta 1.
Efectuando la integral :
1
–1
= (1 – 4) – (1 + 4) = – 3 – 5 = – 8
Área de una región plana
Ing. José Luis Albornoz Salazar
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Al observar la grafica podemos visualizar que el área a calcular
está conformada por dos regiones : una que está sobre el eje X desde
“-1” hasta “1” y la otra que está por debajo del eje X desde “1” hasta “2”.
Bajo estas circunstancias es recomendable realizar el estudio por
separado y al final sumar el valor absoluto de las dos cantidades
calculadas.
Procediendo a calcular el área que está por encima del eje X
tendremos :
Este resultado me indica que la región que está sobre el eje X
desde “-1” hasta “1” tiene un área de
= 10,67 unidades cuadradas.
Procediendo a calcular el área que está por debajo del eje X
tendremos :
Efectuando la integral :
2
Efectuando la integral :
1
1
–
–
-1
–
–
–
–
–
–
El hecho de que el resultado obtenido tenga signo negativo solo
nos indica que dicha región plana está ubicada por debajo del eje X.
Luego podemos decir que el área de dicha región es de
= 2,42
unidades cuadradas.
Área de una región plana
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Ya tenemos los dos valores de las dos áreas; la región que está
sobre el eje X desde “-1” hasta “1” tiene un área de 10,67 unidades
cuadradas y la región que está por debajo del eje X desde “1” hasta “2”
tiene un área de 2,42 unidades cuadradas.
Veamos las dos gráficas siguientes para verificar lo indicado
anteriormente:
El área plana de la región limitada por la función Y = X3 – 2X2 – 5X
+ 6 el eje X, y las rectas X = – 1 y X = 2 será lógicamente la suma
de las dos áreas calculadas :
10,67 + 2,42 = 13,09 unidades cuadradas
Ejemplo 6:
función Y =
X2
Calcular el área de la región plana limitada por la
– 4X + 5, y la recta que pasa por los puntos (0,1) y (5,6).
Solución : Se recomienda graficar el área que se pretende calcular con la
finalidad de tener una visión clara del problema planteado.
Y
En la gráfica superior izquierda observamos la región que está
ubicada sobre el eje X y bajo la recta que pasa por los dos puntos dados.
Y sabemos calcular su área de acuerdo a lo explicado anteriormente en el
ejercicio 3 (pág. 2).
En la gráfica superior derecha observamos la región que está
ubicada sobre el eje X y bajo la parábola. Y sabemos calcular su área de
acuerdo a lo explicado anteriormente en el ejercicio 1 (pág. 1).
Luego :
X
Podemos observar que el área sombrada está ubicada bajo la recta
y sobre la parábola.
Hasta ahora, no conocemos un método para calcular el área de
una región plana que se encuentre sobre el eje X y al mismo tiempo sobre
una función. Sin embargo, si observamos detenidamente podemos
deducir que la región sombreada puede ser definida como la diferencia de
la región que está ubicada sobre el eje X y bajo la recta graficada menos
la región que está sobre el eje X y bajo la parábola.(Al final de esta
guía explicaremos un método que nos facilitará este
cálculo)
Área de una región plana
=
menos
Para saber desde y hasta donde hay que aplicar la integral definida
en ambos casos es necesario determinar en cuales puntos se interceptan
la parábola y la recta.
Para calcular los puntos de intercepción de una parábola y una
recta se deben igualar ambas ecuaciones y calcular las raíces de la
ecuación resultante.
Ing. José Luis Albornoz Salazar
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Ya conocemos la ecuación de la parábola (Y = X2 – 4X + 5) pero
desconocemos la ecuación de la recta. Sin embargo, conocemos dos
puntos pertenecientes a la misma y con ellos se puede calcular su
ecuación utilizando a fórmula :
Calculando el área que está bajo la recta y sobre el eje X :
Una vez aplicada la fórmula anterior tendremos que la ecuación de
la recta es Y = X + 1
Al igualar las dos ecuaciones tendremos :
X2 – 4X + 5 = X + 1
X2 – 4X + 5 – X – 1 = 0
X2 – 5X + 4 = 0
1
El cálculo de las raíces de la ecuación resultante podemos hacerlo
utilizando la fórmula general de la ecuación de segundo grado, utilizando
la regla de Ruffini o por cualquier método de factorización conocido. Por
cualquiera de los procedimientos anteriores obtendremos las dos raíces
siguientes :
X1 = 1
y
4
X2 = 4
= 12 – 3 / 2 = 21 / 2 = 10,50 unidades cuadradas
Calculando el área que está bajo la parábola y sobre el eje X :
Conocidas estas dos raíces introducimos sus valores en la
ecuación de la recta y obtendremos los puntos de intercepción con la
parábola.
Para X = 1 ; Y = 1 + 1
;
Y=2
(1,2)
Para X = 4 ; Y = 4 + 1
;
Y=5
(4,5)
Esto nos permite conocer que las rectas que limitan las regiones
sombreadas (por la izquierda y por la derecha) son X = 1 y X = 4.
Área de una región plana
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Ejemplo 7:
4
las funciones
Calcular el área de la región plana limitada por
Y = – X2 + 4X
y
Y = X2
Solución : Se recomienda graficar el área que se pretende calcular con la
finalidad de tener una visión clara del problema planteado.
Y
Y = X2
=
(28 / 3) – (10 / 3) = 18 / 3 = 6,00 unidades cuadradas
X
La región plana que estamos estudiando tendrá como área la
diferencia del área de la región que está ubicada sobre el eje X y bajo la
recta (10,50 unidades cuadradas) menos el área de la región que está
sobre el eje X y bajo la parábola (6,00 unidades cuadradas).
10,50 – 6,00 = 4,50 unidades cuadradas
Y = – X2 + 4X
El área a calcular será :
Y
menos
X
Para saber desde y hasta donde hay que aplicar la integral definida
en ambos casos es necesario determinar en cuales puntos se interceptan
las dos parábolas.
Para calcular los puntos de intercepción de dos parábolas se
resuelven las dos ecuaciones simultáneamente (se igualan las dos
ecuaciones).
4,50 unidades cuadradas
X2 = – X2 + 4X
Área de una región plana
;
X2 + X2 – 4X = 0
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2X2 – 4X = 0
;
2X (X – 2) = 0
X1 = 0
;
X2 = 2
Introduciendo estas dos valores en cualquiera de las dos
ecuaciones calculo los valores de Y de cada punto :
Y = X2
;
Y = 02
;
Y=0
;
(0,0)
Y = X2
;
Y = 22
;
Y=4
;
(2,4)
= 5,3333 unidades cuadradas
Calculando el área de la región plana que está debajo de la
parábola Y = X2 tendremos :
Y
(2,4)
2
X
= 2,6667 unidades cuadradas
Área total = 5,3333 – 2,6667 = 2,67 unidades cuadradas
(0,0)
Y
Y = X2
Esto nos permite conocer que las rectas que limitan las regiones
sombreadas (por la izquierda y por la derecha) son X = 0 y X = 2.
Calculando el área de la región plana que está debajo de la
parábola Y = – X2 + 4X tendremos :
X
Y = – X2 + 4X
2,67 unidades cuadradas
2
Área de una región plana
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Método Recomendado para facilitar la
solución de los Ejercicios 6 y 7
Para calcular el área de una figura plana que está limitada por arriba
por la funci{on “f(x)” , por debajo por la función “g(x)”, por la
izquierda por la recta “X = a” y por la derecha por la recta “X = b”; se
utiliza la siguiente integral definida :
Sugerimos que utilice este procedimiento en la solución de los
ejercicios 6 y 7 y notará que los resultados son los mismos.
Área de una región plana
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