T.P. Nº 3 - Universidad Nacional de Salta

Universidad Nacional de Salta
Variable Compleja
Facultad de Ciencias Exactas
1er. Cuatrimestre 2016
◦
T. P. N 3: FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
1. Demostrar todas las propiedades generales de las funciones que se enuncian en la sección Preliminares:
A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B), etc.
2. Considerar las siguientes funciones f (z) con z = x+iy . Expresarlas como f (x+iy) = u(x, y)+iv(x, y),
indicando dominio de denición:
z
1
ii) f (z) =
iii) f (z) = (z − i)2
iv) f (z) = z −2 + i
i) f (z) =
|z|
1+z
3. Vericar, por denición, que lı́m
1
2
z→1+i z +1
=
1
2i+1
+z−2
4. Mostrar que lı́m z z−1
no existe, calculándolo a través de dos trayectorias distintas.
z→1
5. Mostrar que si existe lı́m f (z), entonces, dado cualquier ε > 0, existe un entorno reducido de z0 tal
z→z0
que para cualesquiera z1 , z2 en ese entorno que pertenezcan al dominio de denición de f , se tiene
que |f (z2 ) − f (z1 )| < ε.
6. Sea S un conjunto conexo, y supongamos que f es una función continua en S que toma sólo valores
enteros. Mostrar que f es constante en S .
7. Sea f : K ⊂ C → T ⊂ C, con K compacto y f biyectiva y continua en K . Mostrar que f −1 es una
función continua en T . Mostrar mediante un ejemplo que la compacidad de K es necesaria en este
resultado.
1
lı́m zz+2i
8. Usando la denición, vericar que lı́m (z−i)
2 = ∞, y que
2 +4 6= ∞.
2
z→−2i
z→i
9. Analizar para qué valores de z = x + iy las siguientes funciones f (z) tienen derivada, encontrando el
valor de la misma.
ii) f (x + iy) = x2 − y 2 − 2xy + i 2xy + x2 − y 2
i) f (z) = z
3
iii) f (z) = ez
iv) f (z) = zz2−z
v) f (z) = sen z
+i
10. Mostrar la validez de la Regla de L'Hôpital:
Si f y g son funciones complejas diferenciables en z0 , con f (z0 ) = 0 = g (z0 ) y g 0 (z0 ) 6= 0, entonces
lı́m
z→z0
f 0 (z0 )
f (z)
= 0
g (z)
g (z0 )
Usar esta regla para encontrar lı́mz→i z z+z−2i
y lı́mz→0 senz z .
15 +i
Mostrar que la función f (z) = x2 + iy 2 es derivable sólo si y = x, y, por lo tanto, no es analítica en
ningún punto. Hallar el valor de la derivada en los puntos en los que existe.
Determinar en qué regiones del plano complejo son analíticas las siguientes funciones, y calcular su
derivada en esos puntos:
i) f (z) = 2z 2 + 3
ii) f (z) = z + z −1
iii) f (x + iy) = −xy + 2i x2 − y 2
2
2
1
iv) f (z) = z4 +2z
v) f (z) = z Re(z)
vi) f (x + iy) = ex −y e2xyi
2 +1
vii) f (z) = senh z
viii) f (z) = tan z
ix) f (z) = (3x2 + 5y) + i(6xy − 5x)
Demostrar que si f (z) es analítica en z0 y g(z) no es analítica en z0 , entonces h(z) = f (z) + g(z) no
es analítica en z0 .
Encontrar los valores de los parámetros a, b, c ∈ R de manera tal que la función f (z) = x + ay +
i(bx + cy) sea una función entera.
Hallar la forma polar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, y con ella estudiar la analiticidad de las
funciones f (z) = Ln z , g (z) = z n y h (rcisθ) = r cos θ + ir.
Sea D un dominio en C, y f : D ⊂ C → C una función analítica en D. Supongamos que f (z) =
u(x, y) + iv(x, y).
0
a ) Mostrar que si f (z) = 0 para todo z ∈ D , entonces f es constante en D . (Sugerencia: Suponga
que φ : D ⊂ R2 → R satisface que φx es idénticamente nula en D. Use el Teorema del Valor
Medio para funciones reales de una variable real para demostrar que φ es constante sobre cualquier
segmento horizontal contenido en D. Análogamente para los segmentos verticales cuando φy es
9
11.
12.
13.
14.
15.
16.
2
idénticamente nula. Concluir observando que para z1 , z2 ∈ D, hay en D una poligonal desde z1
hasta z2 cuyos lados son segmentos horizontales o verticales.)
b ) Mostrar que si f (z) es analítica en D , entonces f es constante en D .
c ) Mostrar que si u es constante en D , entonces f es constante en D .
d ) Mostrar que si v es constante en D , entonces f es constante en D .
e ) Mostrar que si |f (z)| es constante en D , entonces f es constante en D .
17. Probar que si f es analítica en un dominio D, entonces se tiene que, en D,
∂2
∂2
+
∂x2 ∂y 2
|f (z)|2 = 4 f 0 (z)
18. Para cada una de las siguientes funciones u (x, y), determine el mayor dominio D en que son armónicas. Encontrar su armónica conjugada en D, y una función de variable compleja f (z) analítica en
D tal que Re (f (z)) = u (x, y):
2 2
4
4
a ) u(x, y) = 6x y − x − y + y − x + 1
x
b ) u(x, y) = e cos y
2
3
c ) u(x, y) = 2xy + 3xy − 2y
d ) u(x, y) = 2x(1 − y)
x−4
e ) u(x, y) = 2
x +y 2 −8x+16
19. Determinar los valores de z para los cuales la función u(x, y) = x4 − y 3 satisface la ecuación de
Laplace. ¾Es u armónica en algún dominio?
20. Si u(x, y) y v(x, y) son dos funciones armónicas, comprobar que u + v debe ser una función armónica,
pero que uv no es necesariamente armónica.
21. Muestre que si f (z) = u(x, y) + iv(x, y) es analítica en un dominio D, entonces uv es armónica en
D, mientras que u2 no lo es, a menos que u sea constante.
22. Considerar la función f (z) = z 3 = u + iv .
a ) Obtener la ecuación de la curva sobre la cual u = 1 en el plano xy . Repetir el cálculo para v = 1.
Trazar ambas curvas en el primer cuadrante.
b ) Determinar analíticamente el punto de intersección (a, b) de dichas curvas en el primer cuadrante.
(Sugerencia: considerar z = r cis θ y encontrar la intersección en coordenadas polares).
c ) Calcular las pendientes de ambas curvas en el punto de intersección (a, b), y comprobar la ortogonalidad.
23. Mostrar que las curvas de nivel de las partes real e imaginaria de f (z) = 1/z son círculos ortogonales
que contienen al origen y con centros en el eje real e imaginario respectivamente.
24. Delinear las curvas de nivel correspondientes a las partes real e imaginaria de f (z) = (z − 1)/(z + 1)