DERIVACIÓN NUMÉRICA

Preliminares
Métodos de Derivación Numérica
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Métodos de Derivación Numérica
Contenido
1
Preliminares
Introducción
2
Métodos de Derivación Numérica
El Límite del Cociente Incremental
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
DERIVACIÓN NUMÉRICA
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Métodos de Derivación Numérica
Introducción
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2
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El Límite del Cociente Incremental
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
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Métodos de Derivación Numérica
Introducción
Introducción
Las fórmulas de derivación numérica son importantes en el
desarrollo de algoritmos para resolver problemas de contorno
de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en
derivadas parciales.
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El Límite del Cociente Incremental
Se busca aproximar numéricamente la derivada de f (x):
f 0 (x) =
lim f (x + h) − f (x)
h→0
h
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Método:
Se elige una sucesión {hk } tal que hk → 0 y se calcula el límite
de la sucesión
Dk =
f (x + hk ) − f (x)
;
hk
para k = 1, 2.......
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El Límite del Cociente Incremental
Los términos de la sucesión {Dk }se calculan hasta que
|DN+1 − DN | ≥ |DN − DN−1 | ;
la intención es tratar de determinar la mejor aproximación
antes de que los términos empiecen a alejarse del límite.
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Son fórmulas de aproximación a f 0 (x) que requieren que la
función se pueda evaluar en abcisas situadas simétricamente a
ambos lados del punto x0 (donde se desea hallar la derivada).
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2 )
f1 − f−1
2h
(1)
f 0 (x0 ) ≈
(2)
f 00 (x0 ) ≈
(3)
f (3) (x0 ) ≈
f2 − f1 + 2f−1 − f−2
2h3
(4)
f (4) (x0 ) ≈
f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2
h4
fk = f (x0 + kh);
f1 − 2f0 + f−1
h2
k = −2, −1, 0, 1, 2
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f1 − f−1
2h
(1)
f 0 (x0 ) ≈
(2)
f 00 (x0 ) ≈
(3)
f (3) (x0 ) ≈
f2 − f1 + 2f−1 − f−2
2h3
(4)
f (4) (x0 ) ≈
f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2
h4
fk = f (x0 + kh);
f1 − 2f0 + f−1
h2
k = −2, −1, 0, 1, 2
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(1)
f 0 (x0 ) ≈
(2)
f 00 (x0 ) ≈
(3)
f (3) (x0 ) ≈
f2 − f1 + 2f−1 − f−2
2h3
(4)
f (4) (x0 ) ≈
f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2
h4
fk = f (x0 + kh);
f1 − 2f0 + f−1
h2
k = −2, −1, 0, 1, 2
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f 0 (x0 ) ≈
(2)
f 00 (x0 ) ≈
(3)
f (3) (x0 ) ≈
f2 − f1 + 2f−1 − f−2
2h3
(4)
f (4) (x0 ) ≈
f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2
h4
fk = f (x0 + kh);
f1 − 2f0 + f−1
h2
k = −2, −1, 0, 1, 2
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f1 − f−1
2h
(1)
f 0 (x0 ) ≈
(2)
f 00 (x0 ) ≈
(3)
f (3) (x0 ) ≈
f2 − f1 + 2f−1 − f−2
2h3
(4)
f (4) (x0 ) ≈
f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2
h4
fk = f (x0 + kh);
f1 − 2f0 + f−1
h2
k = −2, −1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Cuando se hacen los cálculos con un computador, no es
aconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso sería
útil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas de
f (x) con un error de truncamiento de orden O(h4 ).
Se logra la misma precisión con un incremento mayor.
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Cuando se hacen los cálculos con un computador, no es
aconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso sería
útil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas de
f (x) con un error de truncamiento de orden O(h4 ).
Se logra la misma precisión con un incremento mayor.
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Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h4 )
− f2 + 8f1 − 8f−1 + f−2
12h
(5)
f 0 (x0 ) ≈
(6)
f 00 (x0 ) ≈
(7)
f (3) (x0 ) ≈
− f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−3
8h3
(8)
f (4) (x0 ) ≈
− f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−3
6h4
fk = f (x0 + kh);
− f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−2
12h2
k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
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− f2 + 8f1 − 8f−1 + f−2
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(5)
f 0 (x0 ) ≈
(6)
f 00 (x0 ) ≈
(7)
f (3) (x0 ) ≈
− f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−3
8h3
(8)
f (4) (x0 ) ≈
− f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−3
6h4
fk = f (x0 + kh);
− f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−2
12h2
k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
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− f2 + 8f1 − 8f−1 + f−2
12h
(5)
f 0 (x0 ) ≈
(6)
f 00 (x0 ) ≈
(7)
f (3) (x0 ) ≈
− f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−3
8h3
(8)
f (4) (x0 ) ≈
− f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−3
6h4
fk = f (x0 + kh);
− f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−2
12h2
k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
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− f2 + 8f1 − 8f−1 + f−2
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(5)
f 0 (x0 ) ≈
(6)
f 00 (x0 ) ≈
(7)
f (3) (x0 ) ≈
− f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−3
8h3
(8)
f (4) (x0 ) ≈
− f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−3
6h4
fk = f (x0 + kh);
− f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−2
12h2
k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
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(5)
f 0 (x0 ) ≈
(6)
f 00 (x0 ) ≈
(7)
f (3) (x0 ) ≈
− f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−3
8h3
(8)
f (4) (x0 ) ≈
− f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−3
6h4
fk = f (x0 + kh);
− f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−2
12h2
k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que están
en un lado de x0 , entonces la Fórmulas de Diferencias
Centradas no pueden usarse.
Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas que
están todas a derecha (o izquierda) de x0 se llaman
Fórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que están
en un lado de x0 , entonces la Fórmulas de Diferencias
Centradas no pueden usarse.
Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas que
están todas a derecha (o izquierda) de x0 se llaman
Fórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).
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Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O(h2 )
− 3f0 + 4f1 − f2
2h
(9)
f 0 (x0 ) ≈
(10)
f 00 (x0 ) ≈
(11)
f (3) (x0 ) ≈
− 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f4
2h3
(12)
f (4) (x0 ) ≈
3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5
h4
fk = f (x0 + kh);
2f0 − 5f1 + 4f2 − f3
h2
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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− 3f0 + 4f1 − f2
2h
(9)
f 0 (x0 ) ≈
(10)
f 00 (x0 ) ≈
(11)
f (3) (x0 ) ≈
− 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f4
2h3
(12)
f (4) (x0 ) ≈
3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5
h4
fk = f (x0 + kh);
2f0 − 5f1 + 4f2 − f3
h2
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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− 3f0 + 4f1 − f2
2h
(9)
f 0 (x0 ) ≈
(10)
f 00 (x0 ) ≈
(11)
f (3) (x0 ) ≈
− 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f4
2h3
(12)
f (4) (x0 ) ≈
3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5
h4
fk = f (x0 + kh);
2f0 − 5f1 + 4f2 − f3
h2
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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− 3f0 + 4f1 − f2
2h
(9)
f 0 (x0 ) ≈
(10)
f 00 (x0 ) ≈
(11)
f (3) (x0 ) ≈
− 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f4
2h3
(12)
f (4) (x0 ) ≈
3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5
h4
fk = f (x0 + kh);
2f0 − 5f1 + 4f2 − f3
h2
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2 )
(13)
f 0 (x0 ) ≈
3f0 − 4f−1 + f−2
2h
(14)
f 00 (x0 ) ≈
2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3
h2
(15)
f (3) (x0 ) ≈
5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−4
2h3
(16)
f (4) (x0 ) ≈
3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh);
k = −5, −4, −3, −2, −1, 0
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(13)
f 0 (x0 ) ≈
3f0 − 4f−1 + f−2
2h
(14)
f 00 (x0 ) ≈
2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3
h2
(15)
f (3) (x0 ) ≈
5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−4
2h3
(16)
f (4) (x0 ) ≈
3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh);
k = −5, −4, −3, −2, −1, 0
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(13)
f 0 (x0 ) ≈
3f0 − 4f−1 + f−2
2h
(14)
f 00 (x0 ) ≈
2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3
h2
(15)
f (3) (x0 ) ≈
5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−4
2h3
(16)
f (4) (x0 ) ≈
3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh);
k = −5, −4, −3, −2, −1, 0
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(13)
f 0 (x0 ) ≈
3f0 − 4f−1 + f−2
2h
(14)
f 00 (x0 ) ≈
2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3
h2
(15)
f (3) (x0 ) ≈
5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−4
2h3
(16)
f (4) (x0 ) ≈
3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh);
k = −5, −4, −3, −2, −1, 0
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(13)
f 0 (x0 ) ≈
3f0 − 4f−1 + f−2
2h
(14)
f 00 (x0 ) ≈
2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3
h2
(15)
f (3) (x0 ) ≈
5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−4
2h3
(16)
f (4) (x0 ) ≈
3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh);
k = −5, −4, −3, −2, −1, 0
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Se mostrará la relación que existe entre las fórmulas de
orden O(h2 ) para aproximar f 0 (x) y un algoritmo general
que permite calcular derivadas numéricamente.
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Recordar que el Polinomio Interpolador de Newton (PIN) P(t)
de grado N = 2 que aproxima f (t) usando los nodos t0 , t1 y t2 ,
viene dado por
P(t) = a0 + a1 (t − t0 ) + a2 (t − t0 )(t − t1 ),
siendo
a0
a1
a2
= f (t0 )
f (t1 ) − f (t0 )
=
t1 − t0
=
f (t2 )−f (t1 )
t2 −t1
−
f (t1 )−f (t0 )
t1 −t0
t2 − t0
DERIVACIÓN NUMÉRICA
(1)
Preliminares
Métodos de Derivación Numérica
El Límite del Cociente Incremental
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
La derivada de P(t) es
P 0 (t)
=
a1 + [a2 (t − t1 ) + a2 (t − t0 )] = a1 + a2 [(t − t1 ) + (t − t0 )]
(2)
que evaluada en t = t0 , produce
P 0 (t0 ) = a1 + a2 (t0 − t1 ) ≈ f 0 (t0 ).
En (a), (b) y (c) no hace falta que los nodos {tk } estén
equiespaciados. Ordenando los nodos de maneras distintas
obtendremos fórmulas de aproximación a f 0 (x) distintas.
DERIVACIÓN NUMÉRICA
(3)
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
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Caso 1:
Si t0 = x, t1 = x + h, t2 = x + 2h , entonces
a1
=
a2
=
f (x + h) − f (x)
h
f (x+2h)−f (x+h)
−
h
2h
f (x+h)−f (x)
h
=
f (x) − 2f (x + h) + f (x + 2h)
2h2
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
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y al sustituir estos valores en (c), obtenemos
P 0 (x)
=
=
=
=
f (x + h) − f (x) (−h) [f (x) − 2f (x + h) + f (x + 2h)]
+
h
2h2
f (x + h) − f (x) −f (x) + 2f (x + h) − f (x + 2h)
+
h
2h
2f (x + h) − 2f (x) − f (x) + 2f (x + h) − f (x + 2h)
2h
−3f (x) + 4f (x + h) − f (x + 2h)
≈ f (x),
2h
que es la fórmula (9).
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
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Caso 2:
Si t0 = x, t1 = x + h, t2 = x − h , entonces
a1
=
a2
=
=
f (x + h) − f (x)
h
f (x−h)−f (x+h)
(x)
− f (x+h)−f
−2h
h
=
−h
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)
2h2
f (x−h)−f (x+h)+2f (x+h)−2f (x)
−2h
−h
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
y al sustituir estos valores en (c), obtenemos
P 0 (x)
=
=
=
f (x + h) − f (x) −f (x + h) + 2f (x) − f (x − h)
+
h
2h
2f (x + h) − 2f (x) − f (x + h) + 2f (x) − f (x − h)
2h
f (x + h) − f (x − h)
≈ f 0 (x),
2h
que es la fórmula (1).
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
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Caso 3:
Si t0 = x, t1 = x − h, t2 = x − 2h , entonces
a1
=
a2
=
=
f (x − h) − f (x)
f (x) − f (x − h)
=
−h
h
f (x−2h)−f (x−h)
−f (x−h)+f (x−2h)+f (x)−f (x−h)
f (x)−f (x−h)
−
−h
h
−h
=
−2h
−2h
f (x) − 2f (x − h) + f (x − 2h)
2h2
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
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y al sustituir estos valores en (c), obtenemos
P 0 (x)
=
=
=
f (x) − f (x − h) f (x) − 2f (x − h) + f (x − 2h)
+
h
2h
2f (x) − 2f (x − h) + f (x) − 2f (x − h) + f (x − 2h)
2h
3f (x) − 4f (x − h) + f (x − 2h)
≈ f 0 (x),
2h
que es la fórmula (13).
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Generalización:
El Polinomio Interpolador de Newton (PIN) P(t) de grado N que
aproxima f (t) usando los nodos t0 , t1 , ...., tN viene dado por
P(t)
= a0 + a1 (t − t0 ) + a2 (t − t0 )(t − t1 ) + a3 (t − t0 )(t − t1 )(t − t2 )
+........ + aN (t − t0 ).....(t − tN−1 ).
La derivada de P(t) es
0
P (t)
=
a1 + a2 [(t − t0 ) + (t − t1 )] + a3 [(t − t0 )(t − t1 ) + (t − t0 )(t − t2 ) + (t − t1 )(t − t2 )]
+........ + aN
N−1
X N−1
Y
(t − tj ) para j 6= k .
k =0 j=0
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Evaluando P 0 (t) en t = t0 ,
P 0 (t0 )
= a1 + a2 (t0 − t1 ) + a3 (t0 − t1 )(t0 − t2 ) + ........
+aN (t0 − t1 )(t0 − t2 )(t0 − t3 ).....(t0 − tN−1 ) ' f 0 (t0 ). (4)
Si
|t0 − t1 | ≤ |t0 − t2 | ≤ ...... ≤ |t0 − tN |
y si {tj }N
j=0 es un conjunto equiespaciado (quizá
reordenándolos) de N + 1 nodos, entonces la suma parcial
N-ésima de (*) es una aproximación a f 0 (t0 ) de orden O(hN ).
DERIVACIÓN NUMÉRICA
Apéndice
Bibliografía
MATHEWS, John; KURTIS, Fink.
Métodos Numéricos con MATLAB.
Prentice Hall, 2000.
DERIVACIÓN NUMÉRICA