SERIE TEMA V VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS 1

FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Semestre: 2016-1
SERIE TEMA V
VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS
1. Suponga que una pequeña tienda de conveniencia tiene tres cajas. Dos clientes
llegan al área de cajas cuando las tres cajas se encuentran sin atender a algún
cliente. Cada uno de los dos clientes decide la caja en la que pagará sus
productos de forma independiente del otro cliente. Sea X el número de clientes
que escogen la caja 1 y sea Y el número de clientes que escogen la caja 2.
Obtenga la función de probabilidad conjunta de las variables X,Y.
2. A continuación se presenta la función de probabilidad conjunta asociada con los
datos obtenidos de un estudio acerca de accidentes automovilísticos. El estudio
se concentró en determinar si la persona que iba manejando el auto accidentado
iba en estado de ebriedad X, y el nivel de gravedad del accidente Y.
f(x,y)
y
0
1
2
0
0.10
0.05
0.01
x
1
0.04
K
0.60
X=0, el conductor no iba en estado de ebriedad
X=1, el conductor iba en estado de ebriedad
Y=0, el accidente no fue grave
Y=1, el accidente fue grave pero no fatal
Y=2, el accidente fue fatal
a) Determine el valor de K para que f(x,y), sea una función de probabilidad
conjunta.
b) Describa con palabras el significado de f(0,1)=0.05
c) Obtenga las funciones de probabilidad marginal tanto de X como de Y.
d) Obtenga la función de probabilidad condicional de X, dado Y=1 y exprésela en
forma de tabla.
e) Obtenga la probabilidad de que al suceder un accidente automovilístico grave
pero no fatal, el conductor se encuentre en estado de ebriedad.
f) Obtenga la probabilidad de que al ocurrir un accidente automovilístico se
cumplan ambas siguientes condiciones: el conductor no vaya en estado de
ebriedad y el accidente no sea grave.
g) Obtenga la probabilidad de que un accidente automovilístico sea fatal.
3. Sea X el número de diputados de izquierda y Y el número de diputados de
derecha que pueden formar parte de un comité de 3 personas dentro de la
Cámara de Diputados. La función de probabilidad conjunta de dichas variables es
la siguiente:
SERIE TEMA V: VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. 2016-1
f(x,y)
y
0
1
2
3
0
0
2/20
1/20
1/20
1
2/20
3/20
4/20
0
x
2
3/20
2/20
0
0
3
2/20
0
0
0
a) Indique si las variables aleatorias X,Y son independientes.
b) Obtenga la probabilidad de que el Comité esté conformado solo por
diputados de derecha.
c) Obtenga la probabilidad de que haya por lo menos un diputado de
izquierda en el comité.
d) Determine el número de diputados de derecha que se espera tener en el
comité.
e) Determine la probabilidad de tener solo un diputado de izquierda dado
que se sabe que ya se ha elegido a un diputado de derecha como parte
del comité.
f) Si la suma mensual que se le otorgará al comité para gastos de
alimentación es: 2000(X+Y), ¿cuál es la cantidad promedio que se estará
entregando al comité mensualmente para gastos de alimentación?
4. Verifique que la siguiente función sea una verdadera función de densidad
conjunta:
1,
0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ,0 ≤ 𝑦 ≤ 1
𝑓(𝑥, 𝑦) = �
0,
𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐
5. Sean X y Y las variables aleatorias que representan las proporciones de
tiempo (en un día hábil) durante las cuales dos secretarías (A y B
respectivamente), realizan sus tareas asignadas. El comportamiento
conjunto de estas variables está modelado por la siguiente función de
densidad:
𝑥 + 𝑦,
0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 1
𝑓(𝑥, 𝑦) = �
0,
𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑠𝑜
a) Indique si las variables X y Y son independientes y justifique su
respuesta.
Encuentre la probabilidad de que en un día cualquiera:
b) La secretaría A invierta más de medio día en la realización de sus tareas.
c) La secretaría B invierta menos de medio día en la realización de sus
tareas dado que la secretaría A invirtió más de medio día.
d) La secretaría A invierta más de la cuarta parte del día en sus tareas y a la
vez la secretaría B invierta entre un cuarto y medio día para realizar sus
tareas.
1
e)
f)
El tiempo que se espera invierta la secretaría B en la realización de sus
tareas.
El tiempo que se espera invierta la secretaría A en la realización de sus
tareas dado que la secretaría B invirtió menos de la cuarta parte del día en
la realización de sus tareas.
6. En una substancia química se detectaron dos tipos de contaminantes, sea X la
proporción del contaminante I y sea Y la proporción del contaminante II. La
distribución conjunta de los contaminantes I y II de la sustancia puede ser
modelada con la siguiente función de densidad:
𝑓(𝑥, 𝑦) = �
2(1 − 𝑦),
0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ,0 ≤ 𝑦 ≤ 1
0,
𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐
a) Si la función: Y-X, denota la cantidad proporcional del contaminante I que
queda en la substancia después de un primer tratamiento de
descontaminación. ¿Cuál es el valor de la cantidad proporcional del
contaminante I que se espera tener después del primer tratamiento de
descontaminación de la sustancia?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de la impureza I sea mayor a
0.3 y que al mismo tiempo la proporción de la impureza II se encuentre entre
0.6 y 0.8?
c) Si la cantidad de contaminante II detectada en la sustancia es de 0.4, ¿Cuál es
el valor de la impureza I que se esperaría tener?
d) Obtenga el valor de la covarianza de las variables aleatorias conjuntas X,Y.
e) Obtenga el valor del coeficiente de correlación de las variables aleatorias
conjuntas X,Y; e indique el significado del resultado obtenido.
7. Suponga que en una fábrica existen dos máquinas para realizar el
empaquetado final de un producto. Sea X el número de veces que la
máquina A falla durante una jornada de trabajo y sea Y el número de veces
que la máquina B falla durante una jornada de trabajo. La siguiente tabla
muestra la función de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X,Y.
f(x,y)
y
0
1
2
0
0.10
0.04
0.06
x
1
0.20
0.08
0.12
2
0.20
0.08
0.12
a) Obtenga el valor de la covarianza de las variables X,Y.
b) Calcule el valor del coeficiente de correlación de las variables X,Y e
indique el significado del valor obtenido.
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