Listas, tablas y árboles

Listas Posicionales
• Definición: Una lista posicional es una colección de
elementos homogéneos, con una relación lineal entre ellos,
en la que se puede acceder a los elementos mediante su
posición.
• Se puede insertar y suprimir en cualquier posición.
• En realidad, las pilas y colas vistas en secciones anteriores
son listas, con algunas restricciones.
Programación Modular 1
Listas posicionales
Operaciones sobre listas:
Crear
¿Esta vacía?
Insertar un elemento en una posición
Eliminar el elemento de una posición
Consultar el elemento de una posición
Longitud
Destruir
Programación Modular 2
Listas posicionales
Interfaz
INTERFAZ CLASE CListaPos
TIPOS
TipoElem .....
MÉTODOS
Crear()
Insertar(N pos;TipoElem elem)
El tipo se definirá
más tarde
Eliminar(N pos)
Consultar(N pos;S TipoElem elem)
N Longitud()
Destruir()
FIN CListaPos
Programación Modular 3
Listas posicionales
Implementación
Estáticas
• Utilizaremos arrays para crear la lista de elementos.
• Al insertar un elemento en la posición “i”, desplazamos
los siguientes una posición a la derecha.
• Al eliminar el elemento de la posición “i”, desplazamos
los siguientes una posición a la izquierda.
Programación Modular 4
Listas posicionales
Implementación
A
D
V
K
1
2
3
4
5
6
lista.Insertar(3, ‘C’)
A
D
C
V
K
1
2
3
4
5
6
Programación Modular 5
Listas posicionales
Implementación
A
D
V
K
R
O
1
2
3
4
5
6
lista.Eliminar(3)
A
D
K
R
O
1
2
3
4
5
6
Programación Modular 6
Listas posicionales
Implementación
Dinámicas
• Utilizaremos punteros para crear la lista enlazada de
elementos.
• Las definiciones de tipos y la implementación de las
operaciones se han visto.
Programación Modular 7
Tablas
• Definición: Una tabla es una colección de elementos
homogéneos (del mismo tipo), especialmente diseñada
para el acceso rápido a la información.
• Se puede acceder a cualquier elemento de la tabla a través
de un campo clave.
Programación Modular 8
Tablas
Operaciones sobre tablas:
Crear
¿Esta vacía?
Insertar un elemento
Eliminar un elemento
Buscar un elemento por clave
Destruir
Programación Modular 9
Tablas
INTERFAZ CLASE Tabla
TIPOS
TipoClave
// Definicion de tipos
TipoElemento
Los tipos se definirán
ALGORITMOS
más tarde
TipoClave Clave(E TipoElemento e)
MÉTODOS
Crear()
B TablaVacia()
B TablaLlena()
Insertar(E TipoElemento elem;S B ok)
Eliminar(E TipoClave clave; S B ok)
Buscar(E TipoClave cl; S TipoElemento el; S B ok)
Destruir()
FIN Tabla
Programación Modular 10
Tablas
NIVEL DE UTILIZACIÓN
•Estructura muy utilizada.
•Ejemplo:
Manejo de tablas de dispersión con el método de
encadenamiento para el tratamiento de sinónimos.
–Utilizaríamos un array de listas como tabla de dispersión.
–Las listas tienen como elementos cadenas de caracteres.
Programación Modular 11
Tablas
Eficiencia de los métodos según la implementación
Estática no
ordenada
Estática
ordenada
Lista enlazada
no ordenada
Lista enlazada
ordenada
Insertar
Eliminar
Buscar
Constante
Lineal
Lineal
Lineal
Lineal
Lineal
Constante
Lineal
Lineal
Lineal
Lineal
Lineal
Programación Modular 12
Árboles binarios.
Conceptos
• Definición: es un conjunto finito de elementos que está
vacío o está partido en tres subconjuntos disjuntos.
– El primer subconjunto contiene un único elemento llamado
la raíz del árbol binario.
– Los otros dos subconjuntos son a su vez árboles binarios,
llamados subárboles izquierdo y derecho.
• El subárbol izquierdo o derecho puede estar vacío.
• Cada elemento de un árbol binario se denomina nodo.
Programación Modular 13
Árboles binarios.
Conceptos
• Un método convencional para representar gráficamente un
árbol binario es:
• Consta de 9 nodos.
A
B
D
• A es el nodo raiz.
C
E
G
• El subárbol izquierdo tiene
como nodo raiz B.
• El subárbol derecho tiene C
como raiz.
• La ausencia de ramas indica
un árbol vacío.
F
H
I
Programación Modular 14
Árboles binarios.
Conceptos
•
Si A es la raíz de un árbol binario y B es la raíz de su subárbol izquierdo o
derecho, se dice que A es el padre de B y B es el hijo izquierdo o
derecho de A.
• Un nodo que no tiene hijos se denomina nodo hoja.
•
Un nodo n1 es un antecesor de un nodo n2 (y n2 es un descendiente de
n1) si n1 es el padre de n2 o el padre de algún antecesor de n2.
•
Un nodo n2 es un descendiente izquierdo de un nodo n1 si n2 es el hijo
izquierdo de n1 o un descendiente del hijo izquierdo de n1. Un
descendiente derecho se puede definir de forma similar.
•
Dos nodos son hermanos si son los hijos izquierdo y derecho del mismo
padre.
Programación Modular 15
Árboles binarios.
Conceptos
• Árbol estrictamente binario: árbol binario en que cada nodo
no-hoja tiene subárboles izquierdo y derecho no vacíos.
• Nivel de un nodo en un árbol binario: La raíz tiene nivel 0, y
el nivel de cualquier otro nodo en el árbol es uno más que el
nivel de su padre.
• Profundidad de un árbol binario: máximo nivel de cualquier
hoja del árbol.
la longitud del camino más largo
desde la raiz hasta una hoja.
• Árbol binario completo de profundidad d: árbol estrictamente
binario con todas sus hojas con nivel d.
Programación Modular 16
Árboles binarios.
Conceptos
Un árbol binario contiene m nodos en el nivel L.
Contiene como máximo 2m
nodos en el nivel L+1.
Un árbol binario completo de
profunfidad d contiene
exactamente 2L nodos en cada
nivel L, entre 0 y d
Puede contener como máximo
2L nodos en el nivel L
El número total de nodos en un árbol
binario completo de profundidad d
es:
tn = 20 + 21 + 22 + ... + 2d = 2d+1 - 1
Programación Modular 17
Árboles binarios.
Conceptos
Árbol ternario: conjunto finito de elementos que está vacío o
está partido en cuatro subconjuntos disjuntos.
– El primer subconjunto contiene un único elemento llamado la raíz del
árbol.
– Los otros tres subconjuntos son a su vez árboles.
Árbol n-ario: conjunto finito de elementos que está vacío o está
partido en n+1 subconjuntos disjuntos.
– El primer subconjunto contiene un único elemento llamado la raíz del
árbol.
– Los otros n subconjuntos son a su vez árboles.
Programación Modular 18
Árboles binarios.
Interfaz
Operaciones sobre árboles:
Devolver el contenido del nodo raíz
Crear árbol vacío
Devolver el subárbol derecho
Construir árbol con raíz,
izquierdo y derecho
Devolver el subárbol derecho
¿Está vacío?
Destruir
Programación Modular 19
Árboles binarios.
Interfaz
INTERFAZ CLASE ArbolBin
TIPOS
TipoElemento = (* Cualquier tipo de datos *)
TipoRecorrido = (preorden, inorden, postorden)
MÉTODOS
Crear()
Construir(E TipoElemento x,E ArbolBin hijoizq, hijoder)
B ArbolVacio()
TipoElemento Raíz()
ArbolBin Izq()
ArbolBin Der()
Destruir()
Imprimir(E TipoRecorrido rec)
Programación Modular 20
Árboles binarios.
Utilización
NIVEL DE UTILIZACIÓN
•
•
Estructura de datos muy útil cuando se deben tomar decisiones de “dos
caminos”
Muy utilizado en aplicaciones relacionadas con expresiones
aritméticas.
*
(12-3)*(4+1)
Ejemplos:
+
5
-
5+2
2
12
+
3
4
1
Programación Modular 21
Árboles binarios.
Utilización
Ejemplo:
Diseñemos un algoritmo para evaluar una expresión
aritmética que está almacenada en un árbol binario.
TIPOS
TipoDecision = (Operador, Operando)
REGISTRO TipoElemento
CASO TipoDecision contenido SEA
Operador:
C oper
Operando:
R val
FINCASO
FINREGISTRO
Programación Modular 22
Árboles binarios.
Utilización
ALGORITMO R Eval(E ArbolBin arbol)
VARIABLES
TipoElemento dato
R result
INICIO
dato = Info(arbol)
SI dato.contenido == Operando ENTONCES
result = dato.val
SINO
CASO dato.oper SEA
'+': result = Eval(Izq(arbol))
'-': result = Eval(Izq(arbol))
'*': result = Eval(Izq(arbol))
'/': result = Eval(Izq(arbol))
FINCASO
FINSI
DEVOLVER result
FIN
+
*
/
Eval(Der(arbol))
Eval(Der(arbol))
Eval(Der(arbol))
Eval(Der(arbol))
Programación Modular 23
Árboles binarios.
Implementación
IMPLEMENTACIÓN CLASE ArbolBin
TIPOS
REGISTRO NodoABin
TipoElemento dato
NodoABin *izq, *der
FINREGISTRO
ATRIBUTOS
NodoABin *nrz //puntero al nodo raíz del árbol
MÉTODOS
Crear()
INICIO
nrz = NULO
FIN
Programación Modular 24
Árboles binarios.
Implementación
B ArbolVacio()
INICIO
DEVOLVER (nrz == NULO)
FIN
Construir(E TipoElemento x, E ArbolBin hijoizq, hijoder)
INICIO
Asignar(nrz)
nrz->dato = x
nrz->izq = hijoizq.nrz
nrz->der = hijoder.nrz
FIN
Programación Modular 25
Árboles binarios.
Implementación
TipoElemento Raíz()
VARIABLES
TipoElemento r
INICIO
SI NO ArbolVacio() ENTONCES
r = nrz->dato
FINSI
DEVOLVER r
FIN Raíz
Programación Modular 26
Árboles binarios.
Implementación
ArbolBin Izq()
VARIABLES
ArbolBin i
INICIO
SI NO ArbolVacio() ENTONCES
i.nrz = nrz->izq
FIN
DEVOLVER i
FIN Izq
Programación Modular 27
Árboles binarios.
Implementación
ArbolBin Der()
VARIABLES
ArbolBin d
INICIO
SI NO ArbolVacio() ENTONCES
d.nzr = nrz->der
FIN
DEVOLVER d
FIN Der
Programación Modular 28
Árboles binarios.
Implementación
ALGORITMO LiberarMemoria(ES NodoABin a)
INICIO
SI a <> NULO ENTONCES
LiberarMemoria(a->izq)
LiberarMemoria(a->der)
Liberar (a)
FINSI
FIN LiberarMemoria
Destruir()
INICIO
LiberarMemoria(nrz)
FIN Destruir
FIN
ArbolBin
Programación Modular 29
Árboles binarios.
Recorridos
Consideraciones acerca de la operación de recorrido.
• Recorrer un árbol es "visitar" todos sus nodos para llevar a
cabo algún proceso como por ejemplo imprimir los
elementos que contiene.
• ¿Cómo recorrer los elementos de un árbol? ¿en qué orden?.
Programación Modular 30
Árboles binarios.
Recorridos
•
Para recorrer un árbol binario, podemos hacerlo de tres formas
distintas:
a) Recorrido InOrden.
1) Recorrer el subárbol izquierdo en InOrden
Pasos: 2) "Visitar" el valor del nodo raiz y procesarlo
3) Recorrer el subárbol derecho en InOrden
b) Recorrido PreOrden.
1) "Visitar" el valor del nodo raiz y procesarlo
Pasos: 2) Recorrer el subárbol izquierdo en PreOrden
3) Recorrer el subárbol derecho en PreOrden
c) Recorrido PostOrden.
1) Recorrer el subárbol izquierdo en PostOrden
Pasos: 2) Recorrer el subárbol derecho en PostOrden
3) "Visitar" el valor del nodo raiz y procesarlo
Programación Modular 31
Árboles binarios.
Recorridos
ALGORITMO Rec_InOrden(E ArbolBin arbol)
INICIO
SI (arbol <> NULO) ENTONCES
Rec_InOrden(arbol.Izq())
RecNodo(arbol.Raíz())
Rec_InOrden(arbol.Der())
FINSI
FIN Rec_InOrden
Algoritmo Rec_PreOrden(E ArbolBin arbol)
INICIO
SI (arbol <> NULO) ENTONCES
RecNodo(arbol.Raíz())
Rec_PreOrden(arbol.Izq())
Rec_PreOrden(arbol.Der())
FINSI
FIN Rec_PreOrden
Programación Modular 32
Árboles binarios.
Recorridos
ALGORITMO Rec_PostOrden(E ArbolBin arbol)
INICIO
SI (arbol <> NULO) ENTONCES
Rec_PostOrden(arbol.Izq())
Rec_PostOrden(arbol.Der())
RecNodo(arbol.Raíz())
FINSI
FIN Rec_PostOrden
ALGORITMO Recorrer(E ArbolBin arbol, E TipoRecorrido rec)
INICIO
CASO rec SEA
inorden: Rec_InOrden(arbol)
preorden: Rec_PreOrden(arbol)
postorden: Rec_PostOrden(arbol)
FINCASO
FIN Recorrer
Programación Modular 33
Árboles binarios.
Recorridos
Ejemplo:
P
S
F
Y
B
H
R
Z
T
G
W
•
El recorrido InOrden mostraría: BFGHPRSTWYZ
•
El recorrido PreOrden: PFBHGSRYTWZ
•
El recorrido PostOrden: BGHFRWTZYSP
Programación Modular 34
Árboles binarios de
búsqueda. Definición
La estructura lista enlazada es lineal
La estructura árbol
¿Búsqueda?
¿Búsqueda más eficiente?
Siempre que los datos se
distribuyan de forma adecuada
Árbol binario de búsqueda
Programación Modular 35
Árboles binarios de
búsqueda. Definición
• Definición: árbol binario en el que el subárbol
izquierdo de cualquier nodo (si no está vacío) contiene
valores menores que el que contiene dicho nodo, y el
subárbol derecho (si no está vacío) contiene valores
mayores.
E
Ejemplo:
B
A
H
D
C
I
F
G
Programación Modular 36
Árboles binarios de
búsqueda. Interfaz
INTERFAZ CLASE ABBusqueda
TIPOS
// DEFINICIÓN DE TipoClave
// DEFINICIÓN DE TipoElemento
MÉTODOS
Crear()
Destruir()
Insertar(E TipoElemento dato)
Suprimir(E TipoClave C)
Buscar(E TipoClave C, S TipoElemento dato, S B EnArbol)
Programación Modular 37
Árboles binarios de
búsqueda. Utilización
• Aplicaciones en las que estén implicas operaciones
de búsqueda de elementos
• Ejemplo: procesamiento de índices de palabras de
libros: se puede usar un árbol binario de búsqueda para
construir y manipular un índice de este tipo de una manera
fácil y eficiente.
Programación Modular 38
Árboles binarios de
búsqueda. Utilización
•
Supongamos que tenemos construido un árbol binario de búsqueda que
contiene un índice de palabras de un determinado libro.
•
Queremos realizar actualizaciones sobre él a partir de datos dados por
teclado.
•
Estos datos serán:
- InsertarP. Insertar una nueva palabra con sus páginas.
- Código operación.
- SuprimirP. Suprimir una palabra del índice.
- AñadirP. Añadir más páginas a una palabra.
- FinalizarP. Finalizar la actualización.
- Palabra.
- Páginas
Caso de operación InsertarP o AñadirP
Programación Modular 39
Árboles binarios de
búsqueda. Utilización
TIPOS
TipoCódigo=(Insertar, Suprimir, Añadir, Eliminar)
TipoClave = ARRAY [1..30] DE $
REGISTRO TipoPaginas
N total
N num [1..10]
FINREGISTRO
REGISTRO TipoElemento
TipoClave clave
TipoPaginas pag
FINREGISTRO
Programación Modular 40
Árboles binarios de
búsqueda. Utilización
ALGORITMO ActualizarIndice(ES ABBusqueda indice)
VARIABLES
TipoCódigo codigo
TipoElemento elem
N pag
TipoClave palabra
B encontrada
INICIO
leerCódigo(codigo)
MIENTRAS (codigo <> FinalizarP) HACER
CASO MAY(codigo) SEA
InsertarP:
leer(elem.clave)
elem.pag.total = 0
leer(pag)
Programación Modular 41
Árboles binarios de
búsqueda. Utilización
MIENTRAS (pag <> 0) HACER
INC(elem.pag.total)
elem.pag.num[elem.pag.total] = pag
leer(pag)
FINMIENTRAS
indice.Insertar(elem)
SuprimirP:
leer(palabra)
indice.Suprimir(palabra)
AñadirP:
leer(palabra)
indice.Buscar(palabra,elem,encontrada)
Programación Modular 42
Árboles binarios de
búsqueda. Utilización
SI (NO encontrada) ENTONCES
escribir("palabra no está en indice")
SINO
leer(pag)
MIENTRAS (pag <> 0) HACER
INC(elem.pag.total)
elem.pag.num[elem.pag.total] = pag
leer(pag)
FINMIENTRAS
indice.Suprimir(palabra)
indice.Insertar(elem)
FINSI
FINCASO
leerCódigo(codigo)
FINMIENTRAS
FIN
Programación Modular 43
Árboles binarios de
búsqueda. Implementación
IMPLEMENTACIÓN CLASE ABBusqueda
TIPOS
REGISTRO NodoArbol
NodoArbol *izq,der
TipoElemento elem
TipoClave
clave
FINREGISTRO
ATRIBUTOS
NodoArbol *nrz
MÉTODOS
Crear()
INICIO
nrz = NULO
FIN
Programación Modular 44
Árboles binarios.
Implementación
ALGORITMO LiberarMemoria(ES NodoArbol *a)
INICIO
SI a <> NULO ENTONCES
LiberarMemoria(a->izq)
LiberarMemoria(a->der)
Liberar (a)
FINSI
FIN LiberarMemoria
Destruir()
INICIO
LiberarMemoria(nrz)
FIN Destruir
Programación Modular 45
Árboles binarios de
búsqueda. Implementación
Buscar(E TipoClave C, S TipoElemento dato, S B EnArbol)
VARIABLES
NodoArbol *aux = nrz
INICIO
EnArbol = FALSO
MIENTRAS (aux<>NULO) Y (NO EnArbol)) HACER
SI (aux->clave == c) ENTONCES
EnArbol == VERDADERO
dato = arbol->elem
SINOSI (aux->clave > c) ENTONCES
aux = aux->izq
EN OTRO CASO
aux = aux->der
FINSI
FINSI
FINMIENTRAS
FIN Buscar
Programación Modular 46
Árboles binarios de
búsqueda. Implementación
Consideraciones acerca de la operación de inserción.
A
D
B
B
A
F
C
E
Entrada: ABCDEFG
C
D
G
E
B
Entrada: DBFACEG
G
G
C
Los mismos datos, insertados en orden
diferente, producirán árboles con
formas o distribuciones de elementos
muy distintas.
F
D
A
F
E
Entrada: BADCGFE
Programación Modular 47
Árboles binarios de
búsqueda. Implementación
Insertar(E TipoElemento dato)
VARIABLES
NodoArbol *nuevonodo,*pav = nrz, *pret = NULO
TipoClave clavenueva
INICIO
Asignar(nuevonodo)
nuevonodo->izq = NULO
nuevonodo->der = NULO
nuevonodo->elem = dato
clavenueva = dato.clave
MIENTRAS (pav <> NULO) HACER
pret = pav
SI (pav->elem.clave > clavenueva) ENTONCES
pav = pav->izq
SINO
pav = pav->der
FINSI
FINMIENTRAS
Programación Modular 48
Árboles binarios de
búsqueda. Implementación
SI (pret == NULO) ENTONCES
arbol = nuevonodo
EN OTRO CASO
SI (pret->elem.clave > clavenueva) ENTONCES
pret->izq = nuevonodo
SINO
pret->der = nuevonodo
FINSI
FINSI
FIN Insertar
Programación Modular 49
Árboles binarios de
búsqueda. Implementación
Consideraciones acerca de la operación de suprimir.
•
Pasos:
1) Encontrar el nodo a suprimir.
Equivalente a Buscar
2) Eliminarlo del árbol.
3 casos
padre de x
ex-padre de x
Caso 1
x
Programación Modular 50
Árboles binarios de
búsqueda. Implementación
ex-padre de x
padre de x
Caso 2
x
ex-hijo de x
hijo de x
J
J
Q
B
R
L
K
P
R
L
Z
N
M
Eliminar Q
P
B
K
N
z
Caso 3
M
Programación Modular 51
Árboles binarios de
búsqueda. Implementación
ALGORIMTO SuprimirNodo(ES NodoArbol *na)
VARIABLES
NodoArbol *temp,*ant
INICIO
temp = na
SI (na->der == NULO) ENTONCES
na = na->izq
SINO
SI (na->izq == NULO) ENTONCES
na = na->der
SINO
temp = na->izq
ant = na
MIENTRAS (temp->der <> NULO HACER
anterior = temp
temp = temp->der
FINMIENTRAS
0 ó 1 hijo
1 hijo
2 hijos
Programación Modular 52
Árboles binarios de
búsqueda. Implementación
na->elem = temp->elem
SI (anterior == na) ENTONCES
anterior->izq = temp->izq
EN OTRO CASO
anterior->der = temp->izq
FINSI
FINSI
FINSI
Liberar(temp)
FIN SuprimirNodo
Programación Modular 53
Árboles binarios de
búsqueda. Implementación
Suprimir(E TipoClave c)
VARIABLES
NodoArbol *pav, *pret
INICIO
pav = nrz
pret = NULO
MIENTRAS pav <> NULO Y pav->elem.clave <> c HACER
pret = pav
SI (pav->elem.clave > c) ENTONCES
pav = pav->izq
SINO
pav = pav->der
FINSI
FINMIENTRAS
Programación Modular 54
Árboles binarios de
búsqueda. Implementación
SI (pav <> NULO) ENTONCES
SI (pav == nrz) ENTONCES
SuprimirNodo(nrz)
SINO
SI (pret->izq == pav) ENTONCES
SuprimirNodo(pret->izq)
SINO
SuprimirNodo(pret->der)
FINSI
FINSI
FINSI
FIN Suprimir
Programación Modular 55
Bibliografía
• Walls and mirrors. Modula-2 edition . Hellman,
Veroff.. Ed. Benjamin/Cummings Series. 1988.
• Pascal y Estructuras de Datos. Dale, N. y Lilly, S.
Ed. MacGraw Hill 1989.
• Estructuras de Datos en Pascal. Tanenbaum, A. y
Augenstein, M. Prentice Hall. 1983
• Fundamentos de Programación. Algoritmos y
Estructuras de Datos. Joyanes, L. McGraw Hill. 2ª
Ed. 1996.
Programación Modular 56