Momento de Inercia de una Masa Puntual

Momento de Inercia de una Masa Puntual
Objetivos.
i. Encontrar la inercia rotacional de una masa que consideramos puntual y verificar
que este valor corresponde con el valor calculado.
ii. Investigar cómo se afecta el movimiento rotacional, del cuerpo rígido, cuando se
cambia el momento de inercia del cuerpo.
Teoría.
En la rotación de los cuerpos rígidos el momento de inercia juega el mismo papel que
la masa en la descripción del movimiento lineal. La inercia rotacional I de una masa
puntual está dada por
, donde M es la masa y R es la distancia de la masa
respecto del eje de rotación. Para encontrar experimentalmente la inercia rotacional
de una masa puntual se aplica una torca conocida que es aplicada al objeto y se mide
la aceleración angular resultante. Puesto que
despejando I se tiene que
Ec. (1)
donde
y
, donde r es el radio de la polea y T es la tensión en la cuerda
cuando el aparato está girando. Sustituyendo las expresiones anteriores para  y T en
la Ec. (1) se tiene
Ec. (2)
Se aplica la segunda ley de Newton a la masa suspendida m y se resuelve la ecuación
resultante para la tensión T de la cuerda. Se sustituye este valor para T en la Ec. (2) y
se obtiene una expresión para la inercia rotacional en términos de la aceleración lineal
de la masa m. Todo cuerpo rígido tiene un momento de inercia definido alrededor de
un eje particular de rotación. Una masa puntual m sobre una varilla sin masa de radio
r tiene un momento de inercia
. Mientras para dos masas a un radio r1 y r2 de
distancia del punto medio media de la misma varilla tienen una inercia rotacional que
es:
Ec. (3)
Las unidades de , que representa la torca, son [Nm], de la aceleración angular 
[radianes/s2], y del momento de inercia I [kgm2].
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Experimentos.
En nuestros experimentos contaremos con una base fija que posee un árbol en su eje
de simetría con una suspensión de baja fricción. Sobre este rotatorio colocaremos
primero, una varilla balanceada en posición horizontal.
Experimento 1.
A la varilla equilibrada, en forma horizontal, le sujetaremos una masa y mediremos la
distancia de la masa al eje de rotación. Manteniendo esta masa constante, variamos
cada vez la distancia al eje y determinaremos su respectiva aceleración angular. De
hecho estamos cambiando el momento de inercia porque estamos modificando como
se distribuye la masa del cuerpo rotante. ¿Cómo cambia el momento de inercia del
sistema?
Experimento 2.
En este experimento fijaremos dos masas, una a cada lado del eje de rotación.
Variamos las distancias r=r1=r2. Usaremos las mediciones para calcular el momento de
inercia de cada una de las posiciones radiales (r) de las masas. La suma de las dos
masas (m1+m2) es posible encontrarla a partir de una gráfica de I vs r2. (Vea Fig. 1)
En el trabajo experimental considere lo siguiente:
Si se libera el peso desde el reposo, la tensión de la cuerda T ejerce una torca sobre el
cuerpo rígido haciendo que este último rote con una aceleración angular constante. La
aceleración del cuerpo rígido está relacionada con la aceleración de la masa que cae
por la expresión
De aplicar la segunda ley de Newton se sigue que la tensión T en la cuerda es:
La tensión en la cuerda causa una torca neta sobre el cuerpo rígido. Puesto que la torca es
igual al producto del brazo de palanca por la fuerza, entonces la torca neta sobre el cuerpo
rígido está dada por:
El momento de inercia del cuerpo rígido se encuentra de la ecuación
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Fig. 1. Cuerpo rígido con dos masas m1 y m2 puestos sobre una barra.
Se trabaja a diferentes distancias del eje de rotación. En este caso no
ignoramos la masa de la barra y la estructura del soporte en las
mediciones, tal que su momento de inercia es distinto de cero.
Nota: En el cuerpo del texto identifique el radio de la polea r=d/2.
Observación: Hasta ahora hemos considerado que la base giratoria es sin fricción.
Para considerar la fricción de la base suspenda masas pequeñas, por ejemplo clips
para papel, al hilo que está sujeto a la polea. Encuentre la masa que hace que
comience a rotar la base. Esta masa es la necesaria para superar la fricción cinética.
Esta masa debe restarse a la masa empleada para acelerar la varilla.
Determine la masa de la varilla y de cada uno de los cuerpos que se fijarán en la varilla
(en principio estos son idénticos). Usando un calibrador Vernier, determine el
diámetro de la polea d este extraiga el valor del radio (r=d/2).
Puesto que al encontrar la aceleración de la masa puntual y el aparato, el aparato está
rotando junto con la masa puntual, es necesario determinar la aceleración y la inercia
rotacional del aparato mismo tal que la inercia rotacional puede sustraerse del total.
Discutan en su equipo de trabajo como se determinan:
Aceleración de la masa puntual y el aparato.
Aceleración del aparato solo.
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