Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE Matemáticas Discretas Principios fundamentales de conteo Cursos Propedéuticos 2010 Ciencias Computacionales INAOE Contenido Introducción Reglas de la suma y el producto Permutaciones Combinaciones Generación de permutaciones Dr. Luis Villaseñor Pineda [email protected] http://ccc.inaoep.mx/~villasen 2 Introducción Introducción En ocasiones, interesa saber cuántas diferentes permutaciones/combinaciones de elementos se pueden generar a partir de cierto conjunto, por ejemplo: En esta sesión veremos la teoría matemática que nos permite hacer estos cálculos, así como algunos ejemplos de aplicación ¿Cuántos comités diferentes de 3 personas puede haber a partir de un grupo de 10 individuos? ¿De cuántas diferentes maneras pueden repartirse 5 cartas a partir de 52 cartas (poker)? ¿De una urna con 10 bolas, 6 rojas y 4 negras, cuántas formas diferentes existen al extraer 4 bolas, asumiendo que cada vez que se saca una, se regresa a la urna? 3 4 1 La regla de la suma Experimento Un proceso físico que tiene un número de posibles resultados Ejemplos: Tirar una moneda y observar que cara queda arriba Tirar n monedas y observar las caras que quedan arriba en cada moneda Sacar m pelotas de una caja con n pelotas Seleccionar 3 miembros para un comité de un grupo de n personas De n personas que fuman, observar cuántas tienen cáncer Si se puede realizar una primera tarea de m maneras, mientas que una segunda se puede efectuar de n maneras, y no se pueden realizar las dos tareas simultáneamente, entonces realizar cualquiera de ellas se puede lograr de m + n maneras. EJEMPLO. La biblioteca de un colegio tiene 40 libros de texto sobre sociología y 50 sobre antropología. Por la regla de la suma, un estudiante de ese colegio puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros de texto para ampliar sus conocimientos sobre alguno de los dos temas. 5 Regla del producto Ejemplo Si un procedimiento se puede separar en las etapas primera y segunda, y si hay m posibles resultados para la primera etapa y n para la segunda, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden designado, de n m maneras. Aquí se muestran varias extensiones de la regla del producto, al considerar la fabricación de placas para autos que constan de dos letras seguidas de 4 dígitos. EJEMPLO. El grupo de teatro de la Universidad Central está haciendo pruebas para la obra de primavera. En vistas de que se presentan seis hombres y ocho mujeres para los papeles principales masculino y femenino, por la regla del producto el director puede formar el reparto de su pareja principal de 6 8 = 48 maneras. b) Si se permiten repeticiones de letras y dígitos, hay 2626 10 10 10 10 = 6 760 000 placas posibles. a) Si no se pueden repetir las letras ni los dígitos, hay 2625 10 9 8 7 = 3 276 000 placas distintas. 2 Permutaciones Permutaciones Dados n objetos, queremos obtener las diferentes formas de ordenar r de estos objetos En una clase de diez estudiantes se seleccionan cinco para sentarlos en fila y fotografiarlos. ¿Cuántas disposiciones lineales de cinco estudiantes pueden hacerse? Por ejemplo, dada las letras a,b,c, de cuántas formas podemos arreglar 2 de ellas: ab, ba, ac, ca, bc, cb Esto se conoce como las permutaciones de r de n, P(n, r) Para responder a la pregunta, se considerarán las posiciones y los números posibles de estudiantes que se pueden elegir para ocupar cada posición. 10 9 1ª 2ª Posición Posición 8 3ª Posición 7 4ª Posición 6 5ª Posición 9 Ejemplo Permutaciones Cualquiera de los diez estudiantes puede ocupar la primera posición de la fila, No se permiten las repeticiones, prosiguiendo de esta manera, sólo se pueden seleccionar uno de los nueve estudiantes restantes para ocupar la segunda posición, se halla que sólo se puede elegir entre seis estudiantes para ocupar la quinta y última posición, Tenemos un total de 30240 disposiciones posibles de cinco estudiantes seleccionados de una clase de diez. 11 Dada una colección de n objetos, cualquier disposición de ellos se denomina permutación de la colección. El número de permutaciones se obtiene de la siguiente manera: P(n, r) = n! / (n-r)! Donde n! es el factorial de n, definido como: n! = n (n-1) (n-2) …. x 2 x 1 (Por definición: 0! = 1) 12 3 Permutaciones Permutaciones En general si hay n objetos, denominados a1, a2, .... ,an, y r es un entero, con 1 r n, entonces, por la regla del producto, el número de disposiciones o permutaciones de tamaño r para n objetos es n (n–1) (n–2) ... (n – r + 1) = 1ª Posición 2ª 3ª r ava Posición Posición Posición n! (n r )! En caso de permitir repeticiones, entonces, por la regla del producto, hay nr disposiciones posibles, con r0. EJEMPLO El número de permutaciones de las letras de la palabra COMPUTER es 8!. Si se toman sólo cuatro de esas letras, el número de permutaciones (de tamaño cuatro) es P(8,4)=8!/(8–4)!=8!/4!=1680. Si se permiten repeticiones de letras, el número de disposiciones posibles es 88 = 16 777 216. 13 14 Permutaciones – Generalización Otro ejemplo Ahora consideramos que tenemos t clases de objetos, de forma que los de una clase son indistinguibles entre sí Cómo podemos ordenar n objetos, con n1 del tipo 1, n2 del tipo 2, …, nt del tipo t? Por ejemplo, 3 letras, 2 a’s y 1 b: aab, aba, baa 15 ¿Cuál es el número de permutaciones de las letras de la palabra DEDO? 16 4 Otro ejemplo Otro ejemplo (cont) ¿Cuál es el número de permutaciones de las letras de la palabra DEDO? DDEO D1 D2 E O DDOE D1 D2O E D 2 D1O E DEDO D1 E D2 O D 2 E D1 O DEOD D1 E O D2 D 2 E O D1 DODE D1 O D2 E D 2 O D1 E DOED D1 O E D2 D 2 O E D1 EDDO E D1 D2 O E D 2 D1 O EDOD E D1 O D2 E D 2 O D1 EODD E O D1 D2 E O D 2 D1 ODDE O D1 D2 E O D 2 D1 E ODED O D1 E D2 O D 2 E D1 OEDD O E D1 D2 O E D 2 D1 Con los cuatro símbolos diferentes, D1, E, D2, O, se tienen 4!=24 permutaciones. Al examinar la tabla se observa que a cada permutación en la que no se diferencian las D corresponde un par de permutaciones con distintas D. 17 18 Permutaciones – Generalización En consecuencia, 2 (número de permutaciones de los símbolos D,E,D,O)= =(número de permutaciones de los símbolos D1, E, D2,O) Si se diferencian las dos D representándolas por D1 y D2, entonces se pueden utilizar las ideas anteriores sobre permutaciones de objetos diferentes; D 2 D1 E O Otro ejemplo (cont) si hay n objetos con n1 de un primer tipo, n2 de un segundo tipo,..., y nr de un r-ésimo tipo, donde n1+n2+...+nr=n, entonces hay n! n1!n2 !nr ! y la respuesta al problema original de hallar todas las permutaciones de las letras de DEDO es 4!/2=12. 19 permutaciones de los n objetos dados. 20 5 Permutaciones – Generalización Combinaciones Otros ejemplos: Para el código morse (puntos y rayas), ¿cuántos mensajes se pueden hacer con dos puntos y tres rayas? Hay 10 oficinas, 2 las va a explorar el robot 1, 5 el robot 2, y 3 el robot 3, ¿de cuántas formas diferentes se pueden organizar los robots para explorar las oficinas? Una baraja de póquer consta de 52 naipes, repartidos en cuatro palos: tréboles, diamantes, corazones y picas. Cada palo tiene 13 naipes: As, 2,3,...,9, 10, J, Q, K. 21 26 Combinaciones Combinaciones Si se tienen que sacar tres naipes de la baraja, seguidos y sin sustituirlas, entonces, por la regla del producto, hay 52 51 50 una de las cuales es AC(As de corazones), 9T(nueve de tréboles), KD(rey de diamantes); 27 Pero dado que el orden de selección no es importante entonces las seis permutaciones, 52! P52,3 49! posibilidades AC-9T-KD, AC-KD-9T, 9T-AC-KD, 9T-KD-AC, KD-9TAC, KD-AC-9T, corresponden a una sola selección (desordenada). Por tanto, cada selección o combinación de tres naipes, sin referencia al orden, corresponde a 3! permutaciones. 28 6 Combinaciones Combinaciones En general, si se comienza con n objetos distintos, cada selección o combinación de r de estos objetos, sin referencia al orden, corresponde a r! permutaciones de tamaño r de los n objetos. Así el número de combinaciones de tamaño r de un conjunto de tamaño n, denotado C(n, r), 0 r n, cumple (r!) C(n, r) = P(n, r) y C n, r Además del símbolo C(n, r), se suele utilizar el símbolo n r Pn, r n! , 0r n r! r!(n r )! 29 Ejemplo - combinaciones 30 Otro ejemplo Un tesista ofrece una cena para algunos de los miembros de la facultad. Debido al tamaño de su casa, sólo puede invitar a 11 de los 20 miembros de la facultad. Como el orden no importa, puede invitar a 11 de entre 20 En un examen, un estudiante debe responder a siete preguntas de un cuestionario de diez. Como no importa el orden, el estudiante puede responder al examen de 10 10! 10 9 8 120 7 7!3! 3 2 1 20! 11!9! 167960 11 formas combinaciones posibles. 31 32 7 Otro ejemplo Otro más Si el estudiante tiene que responder a tres preguntas de las cinco primeras y a cuatro de las cinco últimas, El número de permutaciones de las letras de 11! TALLAHASSEE es 831600. 3!2!2!2!1!1! 5 se tiene que para la primera parte 10 formas y 3 5 para la segunda parte 5 formas. 4 ¿Cuántas no tienen las A adyacentes? Así por la regla del producto, el estudiante puede 5 5 hacer el examen de 10 5 50 formas. 3 4 33 Otro más 34 Teorema Binomial Sin tener en cuenta las A, hay 5040 formas de ordenar las letras restantes. Si sólo es posible colocar las As en 9 posiciones posibles para no ser adyacentes 9 Tres de estas posiciones se pueden seleccionar de 84 3 formas como esto también es posible para las 5039 ordenaciones restantes, por la regla del producto, hay 5040 84 = 423360 permutaciones de las letras de TALLAHASSEE sin 35 A adyacentes. Obsérvese en primer lugar que para los enteros n, r con n r 0, n n . r n r Es decir al tratar con una selección de tamaño r de una colección de n objetos distintos, el proceso de selección deja fuera n - r objetos. 36 8 Teorema Binomial Teorema Binomial En consecuencia, n n afirma la existencia de una r n r correspondencia entre las selecciones de tamaño r (los objetos elegidos) y las selecciones de tamaño n – r (los objetos desechados). Selecciones de tamaño r = 2 Selecciones de tamaño n – r = 3 1. 1, 2 6. 2, 4 1. 3, 4, 5 6. 1, 3, 5 2. 1, 3 7. 2, 5 2. 2, 4, 5 7. 1, 3, 4 3. 1, 4 8. 3, 4 3. 2, 3, 5 8. 1, 2, 5 4. 1, 5 9. 3, 5 4. 2, 3, 4 9. 1, 2, 4 5. 2, 3 10. 4, 5 5. 1, 4, 5 10. 1, 2, 3 37 Coeficiente Binomial Del coeficiente binomial resulta que el coeficiente de x5y2 de (x + y)7 es 7 7 21 5 2 Teorema 1.1 (Teorema Binomial) Si x e y son variables y n es un entero positivo, entonces x y n n 0 n n 1 n1 n 2 n2 n n1 1 n n 0 x y x y x y x y x y 0 1 2 n 1 n n n x k y n k k 0 k n n k nk De este resultado se observa que x y n x y k 0 n k n Debido a este teorema suele denominarse coeficiente binomial. k Teorema 1.2 Para los enteros positivos n, t, el coeficiente n n n n n de x1 1 x2 2 x3 3 xt t en x1 x2 x3 xt es n! n1! n2 ! n3!nt ! 7 a) n n n n 2 n 0 1 2 n Dem. x=1,y=1 en T1.1 b) n n n n n 0 1 2 1 n 0 Dem. x=-1,y=1 en T1.1 38 Coeficiente Multinomial 5 2 El coeficiente de a5b2 de (2a – 3b)7 es 5 2 3 . Esto resulta del teorema al hacer x = 2a e y = –3b. Corolario 1.1 Para cualquier entero n 0, Seleccionar k x’s de (x+y)n donde cada ni es un entero con 0 ni n, para toda 1 i t y n1 + n2 + n3 + ...+ nt = n. n también se escribe n , n , n ,, n t 1 2 3 y se denomina coeficiente multinomial. n! n1!n2 !n3!nt ! 9 Combinaciones con repetición Combinaciones con repetición Siete estudiantes se detienen en un restaurante, donde cada uno puede escoger entre: una hamburguesa, un hot dog, un bocadillo o un emparedado de pescado. ¿Cuántos pedidos diferentes se pueden hacer? 1. h, h, p, p, b, b, e 1. xx xx xx x 2. h, h, h, h, p, b, e 2. xxxx x x x 3. h, h, h, h, h, h, e 3. xxxxxx x 4. p, b, b, e, e, e, e 4. x xx xxxx 5. b, b, b, b, b, e, e 5. xxxxx xx 6. b, b, b, b, b, b, b 6. xxxxxxx 7. e, e, e, e, e, e, e 7. xxxxxxx a) b) 10! 10 7!3! 7 41 Combinaciones con repetición 42 Combinaciones con repetición En general, dados n objetos distintos de los cuales se quiere seleccionar, con repetición, r objetos, se toman en cuenta todas las permutaciones de las r “x” y n – 1 “”. EJEMPLO ¿De cuántas formas se pueden distribuir siete manzanas y seis naranjas entre cuatro niños, de modo que cada niño reciba al menos una manzana? Al dar a cada niño una manzana, se tiene C(4 + 3 – 1, 3) = 20 formas de distribuir las tres manzanas restantes y C(4 + 6 – 1, 6) = 84 formas de distribuir las seis naranjas. En el ejemplo anterior n = 4, r = 7, de modo que r puede ser superior a n cuando se permiten repeticiones Por la regla del producto, hay 20 84 =1680 formas de distribuir la fruta en las condiciones establecidas. n r 1! n r 1 r!n 1! r Hemos establecido una correspondencia entre dos colecciones de objetos, y sobre una de ellas sabemos cómo contar el número de la colección. Podemos contar todas las permutaciones de diez símbolos formados por siete x y tres barras ( ). 43 44 10 Combinaciones con repetición Combinaciones con repetición EJEMPLO Determínense todas las soluciones enteras de la ecuación x1 + x2 + x3 + x4 = 7, donde xi 0 para toda 1 i 4. Una posible interpretación de esto se distribuyen siete centavos (objetos idénticos) entre cuatro niños (destinatarios distintos); Si x1 = 3, x2 = 3, x3 = 0, x4 = 1 se puede ver como si se dieron tres centavos a cada uno de los dos primeros niños, nada al tercero y el último centavo al cuarto. Bajo esta interpretación, se observa que cada solución entera no negativa de la ecuación corresponde a una selección con repetición, de tamaño 7 (los centavos idénticos) de una colección de tamaño 4 (los niños distintos), de modo que hay C(4 + 7 – 1, 7) = 120 soluciones. 45 Combinaciones con repetición 46 Combinaciones con repetición En este momento es fundamental reconocer la equivalencia de lo siguiente: a) El número de soluciones enteras de x1+x2+...+xn = r, xi 0, 1 i n. Otro ejemplo: For i:=1 to 20 do For j:=1 to i do For k:=1 to j do writeln(i*j+k); ¿Cuántas veces es ejecutada la función writeln? b) El número de selecciones, con repetición, de tamaño r de una colección de tamaño n. c) El número de maneras de distribuir r objetos idénticos entre n destinatarios distintos. 47 48 11 Combinaciones con repetición El orden es relevante Otro ejemplo: For i:=1 to 20 do For j:=1 to i do For k:=1 to j do writeln(i*j+k); Resumen Se permiten las repeticiones Tipo de resultado SI NO Permutación P(n, r ) n!/(n r )!, 0r n SI SI Permutación con repetición n r , n, r 0 NO NO Combinación C( n , r ) n !/[ r !( n r ) !] NO SI Combinación con repetición n r 1 r ¿Cuántas veces es ejecutada la función writeln? Cualquier i,j,k satisface 1 k j i 20 Esto es, seleccionar 3 números, con repetición, de 20 entre números C(20+3-1,3)=C(22,3)=1540 Fórmula 0 r n 49 12