TEMA 1: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

TEMA 1: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.
Desde nuestra más temprana edad surgen en nosotros los conceptos de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 y 10 asociados a los dedos de nuestras manos. Son los diez primeros elementos de un
conjunto ilimitado que por surgir de forma natural se llama conjunto de los números naturales.
Este conjunto se representa por N y la propiedad fundamental es que cada número natural tiene
su siguiente.
N  1, 2, 3, 4, ...
En este conjunto es posible encontrar un número x que verifique la ecuación
16  x  25 , pero no es posible encontrar un x natural que sea solución de la ecuación
16  x  12 . Esta imposibilidad se resuelve ampliando el conjunto de los números naturales con
los números -1, -2, -3,… Así surge el conjunto de los números enteros, representado por Z.
Z  ...,  3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, ...
En Z no es posible resolver ecuaciones del tipo 2 x  5 . Las soluciones de ecuaciones
análogas a esta se encuentran en el conjunto de los números racionales. Estos se representan
por Q.
a

Q   / a  Z ; b  Z ; b  0
b

Los números racionales se corresponden con los números enteros, decimales exactos,
periódicos puros y periódicos mixtos. Sin embargo, existen números decimales que ni son
exactos ni periódicos, como los siguientes:
  3,14159...
  2,7182...
2  1,4142...
Estos números, no racionales, se llaman números irracionales y se representan por I. Los
números racionales, junto con los irracionales, forman el conjunto de los números reales, que se
denota R.
R QI
Recuerda que el conjunto de los números reales está contenido en el conjunto de los
números complejos, C.
1.1.
ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES.
En el conjunto de los números reales se define una relación de orden (una relación
definida en un conjunto es de orden si cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva)
de la siguiente manera:
Dados los números reales a y b , decimos que a es menor o igual que b si se verifica
que b  a es un número real positivo o nulo.
a  b  b  a  R   0
Esta relación es de orden total ( a, b  R  a  b o b  a ) y es compatible con la suma
y el producto.
1.2.
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL.
Sabemos que dado un número real cualquiera a , las parejas de números a y  a se
llaman opuestos, y si uno de ellos es positivo el otro es negativo. Los números opuestos nos
permiten dar la siguiente definición de valor absoluto de un número real:
El valor absoluto de un número real a , indicado por a , se define como el número
positivo entre a y  a si a  0 . Además 0  0 .
De otra forma.
 a si a  0
a 
 a si a  0
Las propiedades más interesantes del valor absoluto son las siguientes:
a) Si x  a
con a  0 , entonces  a  x  a
b) a  b  a  b
c)
a b  a  b
d) a · b  a · b
2. LA RECTA REAL.
Los distintos conjuntos numéricos se pueden representar en una recta, en la que fijamos
un punto origen, que identificamos con el cero, y una unidad.
Los números reales llenan por completo la recta. Por esta razón a ésta se le llama recta
real. A cada punto de la recta real le corresponde un número real y a cada número real le
corresponde un punto de la recta real. Por ello es equivalente hablar de puntos de la recta o de
números reales.
2.1. INTERVALOS Y ENTORNOS EN LA RECTA REAL.
Dentro de la recta real podemos definir un gran número de subconjuntos, entre los que se
encuentran los intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienen gran importancia en el
estudio de las funciones.
SUBCONJUNTO
SÍMBOLO
DEFINICIÓN
a, b  x  R / a  x  b
Intervalo abierto
a, b 
El intervalo abierto de extremos a y b es el
conjunto de números reales comprendidos
entre a y b .
a, b  x  R / a  x  b
Intervalo cerrado
a, b
El intervalo cerrado de extremos a y b es el
conjunto de números reales comprendidos
entre a y b , incluidos ambos.
Intervalo semiabierto o
semicerrado
a, b 
a, b 
a, b  x  R / a  x  b
a, b  x  R / a  x  b
Entorno (simétrico)
E a, r 
Ea, r   a  r, a  r   x  R / x  a  r
El entorno (simétrico) de centro a y radio
r positivo es el intervalo abierto de extremos
ar y ar.
Entorno reducido
E * a, r 
E * a, r   Ea, r   a
Entorno lateral a la
izquierda
E  a, r 
E  a, r   a  r, a
Entorno lateral a la
derecha
E  a, r 
E  a, r   a, a  r 
a,  
a,    x  R / a  x
a,  
a,    x  R / a  x
 , a
 , a  x  R / x  a
 , a
 , a  x  R / x  a
Intervalos infinitos o
semirrectas
2.1. CONJUNTOS ACOTADOS EN LA RECTA REAL.
Los conceptos que se exponen a continuación están directamente relacionados con la
relación de orden en R.
Un subconjunto E de números reales está acotado superiormente si existe un número
real K de modo que todos los elementos de E son menores o iguales que K. Al número K se le
llama cota superior de E. Simbólicamente:
E acotado superiormente por K  x  E,
xK
Un conjunto E acotado superiormente tiene infinitas cotas superiores. Basta tomar
K1 , K 2 ,... de la forma: x  E  x  K  K1  K 2  ...
A la menor de todas las cotas superiores de E se le llama extremo superior o supremo
de E, sup E. Si el supremo es un elemento de E, se le llama máximo absoluto o simplemente
máximo de E y se denota por máx E.
Un subconjunto E de números reales está acotado inferiormente si existe un número
real P de modo que todos los elementos de E son mayores o iguales que P. Al número P se le
llama cota inferior de E. Simbólicamente:
E acotado inferiormente por P  x  E,
xP
Un conjunto E acotado inferiormente tiene infinitas cotas inferiores. Basta tomar
P1 , P2 ,... de la forma: x  E  x  P  P1  P2  ...
A la mayor de todas las cotas inferiores de E se le llama extremo inferior o ínfimo de E,
inf E. Si el ínfimo de E es un elemento de E, se le llama mínimo absoluto o simplemente
mínimo de E y se denota por mín E.
Un subconjunto E de números reales está acotado si lo está superiormente e
inferiormente. Simbólicamente:
E acotado por K y P  x  E, P  x  K
Algunos ejemplos:
1.
2.
El conjunto x  R / x  2 está acotado inferiormente por 2 y no está
acotado superiormente, por tanto, no es un conjunto acotado. Tiene
mínimo absoluto 2.
 1 1 
El conjunto 1, , , ... está acotado inferiormente por 0 y
 2 3 
superiormente por 1, por tanto, es un conjunto acotado. Tiene máximo
absoluto 1 y no tiene mínimo absoluto.
3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
La relación existente entre dos magnitudes suele venir dada por medio de una fórmula o
expresión matemática llamada función.
Una función real de variable real es una correspondencia según la cual a cada elemento
de un subconjunto de R, llamado dominio de la función, Dom f , le corresponde uno y sólo
un elemento de otro subconjunto de R, llamado conjunto imagen o recorrido de la función,
Im f .
Una función real de variable real se puede expresar de la siguiente forma:
f : R  R
x  y  f x 
La función se llama real porque el conjunto final es R y se llama de variable real porque el
conjunto inicial es R.
Dominios de las funciones más usuales:

Funciones polinómicas. El dominio de estas funciones coincide con el conjunto de
los números reales.

Funciones racionales. El dominio de estas funciones es el conjunto de los números
reales, excluidos los ceros o raíces de la ecuación del denominador.

Funciones irracionales del tipo f x  n g x . Si n es impar, el dominio de f
coincide con el dominio de g x  , y si n es par, el dominio de f es el conjunto de
números reales tales que g x   0 .
Dom f  Dom g si n es impar;
Dom f  x  R / g x   0 si n es par

Funciones trigonométricas. Las del tipo f x  seng x y f x  cosg x tienen
por dominio el dominio de g x  . Las funciones del tipo f x   tgg x  tienen por
dominio:



Dom f   x  R / g x    k con k  Z 
2



Funciones exponenciales. El dominio de estas funciones, f x   a g  x  con a  0 y
a  1 , coincide con el dominio de g x  .

Funciones logarítmicas. El dominio de este tipo de funciones, f x   loga g x  con
a  0 y a  1 , es el subconjunto de los números tales que hacen g x  positivo.
Dom f  x  R / g x  0
4. CARACTERIZACIÓN DE FUNCIONES
4.1. FUNCIONES SIMÉTRICAS
Resulta de gran interés el estudio de las posibles simetrías que pueden presentarse en la
representación gráfica de una función. Entre otras se describen las simetrías respecto del eje de
ordenadas y respecto del origen de coordenadas:
Una función y  f x  es simétrica respecto del eje de ordenadas o eje 0Y si verifica:
f  x   f x  , x  Dom f
Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas se llaman funciones pares.
Ejemplo: La función f x  e x  e  x es una función par.
Una función y  f x  es simétrica respecto del origen de coordenadas si verifica:
f  x    f x  , x  Dom f
Las funciones simétricas respecto del origen de coordenadas se llaman funciones
impares.
Ejemplo: La función f  x  
4x
es una función impar.
x 4
2
4.2. FUNCIONES PERIÓDICAS
Una función es periódica de periodo T T  0 si verifica:
f x  kT   f x , k  Z
y x  Dom f
Al menor valor que toma T se le llama período principal de la función. Cualquier múltiplo
del período principal es también un período de la función.
Ejemplo: La función mantisa, o función que nos da la parte decimal de un número real,
f x   x  E x  es una función de periódica de período una unidad.
4.3 FUNCIONES ACOTADAS. EXTREMOS ABSOLUTOS.
4.3.1. Funciones acotadas
Funciones acotadas superiormente
Una función f está acotada superiormente por un número real K si todos los valores
que toma la función son menores o iguales que K :
f acotada superiormente por K  f x  K , x  Dom f
A K se le llama cota superior de la función.
Una función acotada superior tiene infinitas cotas superiores. Basta tomar K1 , K 2 ,...de
la forma: f x   K  K1  K 2  ...
Funciones acotadas inferiormente
Una función está acotada inferiormente por un número real P si todos los valores que
toma la función son mayores o iguales que P :
f acotada inferiormente por P 
f x   P , x  Dom f
A P se le llama cota inferior de la función.
Una función acotada inferiormente tiene infinitas cotas inferiores. Basta tomar P1 , P2 ,...
de forma: f x  P  P1  P2  ...
Funciones acotadas
Una función f está acotada si está acotada superior e inferiormente:
f acotada por K y P  P  f x  K , x  Dom f
Ejemplo: La función coseno está acotada superiormente por 1 e inferiormente por -1. Por
lo tanto esta función está acotada.
4. 3. 2. EXTREMOS ABSOLUTOS
Se llama extremo superior o supremo de una función acotada superiormente a la menor
de las cotas superiores.
Se llama máximo absoluto de una función acotada superiormente al extremo superior o
supremo cuando es alcanzado por la función.
Se llama extremo inferior o ínfimo de una función acotada inferiormente a la mayor de
las cotas inferiores.
Se llama mínimo absoluto de una función acotada inferiormente al extremo inferior o
ínfimo cuando es alcanzado por la función.
Ejemplos:
4x 2
, el 4 es el extremo superior o supremo (no es
x2 1
máximo absoluto, pues no le alcanza f ) y el 0 es el mínimo absoluto.
1.
En la función f x  
2.
En la función f x  
 4x 2
, el 0 es el máximo absoluto y el -4 es el extremo
x2 1
inferior o ínfimo (no es mínimo absoluto, pues no le alcanza f ).
4.4. MONOTONÍA
La monotonía se basa en estudiar cómo aumenta o disminuye la variable dependiente y
al aumentar o disminuir la variable independiente x .
4.4.1. Funciones estrictamente crecientes
Una función f es estrictamente creciente en un intervalo a , b si y sólo si:
x1 , x2  a , b / x1  x2 
f x1   f x2 
Una función f es estrictamente creciente en un punto de abscisa x0 si existe un
entorno de x0 , Ex0 ,    x0   , x0    , en el cual la función es estrictamente creciente.
Nota: Si decimos simplemente que una función es estrictamente creciente queremos
decir que lo es en todo su dominio. Por ejemplo, la función f x  e x es estrictamente creciente.
4.4.2. Funciones estrictamente decrecientes
Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo a , b si y sólo si:
x1 , x2  a , b /
x1  x2

f x1   f x2 
Una función f es estrictamente decreciente en un punto de abscisa x0 si existe un
entorno de x0 , Ex0 ,    x0   , x0    , en el cual la función es estrictamente decreciente.
Nota: Si decimos simplemente que una función es estrictamente decreciente queremos
2
decir que lo es en todo su dominio. Por ejemplo, la función f x  
es estrictamente
x
decreciente.
4.5. EXTREMOS RELATIVOS
Una función f tiene un máximo relativo en un punto de abscisa x0 , si existe un
entorno de x0 , Ex0 ,    x0   , x0    , tal que para todo x que pertenece al entorno
reducido E * x0 ,    x0   , x0     x0  se verifica que :
f x  f xo 
Dicho de otro modo, una función tiene un máximo relativo en un punto si en las
proximidades de ese punto es el mayor valor que toma la función.
Una función f tiene un mínimo relativo en un punto de abscisa x0 , si existe un
entorno de x0 , Ex0 ,    x0   , x0    , tal que para todo x que pertenece al entorno
reducido E * x0 ,    x0   , x0     x0  se verifica que :
f x  f xo 
En otras palabras, una función tiene un mínimo relativo en un punto si en las
proximidades de ese punto es el valor más pequeño que toma la función.
5. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES


La función hx  cos x 2  1 es una función compuesta de las funciones f x  x 2  1 y
g x   cos x , es decir:
x 


f x  x 2  1  g f x  cos x 2  1
Dadas dos funciones f y g , con Im f  Dom g , se llama función compuesta de la
función f con la función g (o f compuesta con g ) a la función g  f que cumple:
g  f x  g f x
Las propiedades de más características de la composición de funciones son:

Propiedad asociativa. Tres funciones cualesquiera, f , g y h , que se puedan
componer, verifican:
h  g  f   h  g   f

Propiedad no conmutativa. La composición de funciones, en general, no es
conmutativa, es decir:
g f  f g
6. FUNCIÓN INVERSA
Antes de definir la función inversa recordemos que la función identidad se define como la
función que transforma cualquier número en sí mismo, es decir, i x  x, x  R .
La función inversa de una función inyectiva f (una función es inyectiva si cada
elemento de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de Dom f ) se representa por f
la función que cumple:
f 1  y   x 
1
y es
f x   y
para cualquier x perteneciente al Dom f .
Las propiedades más características que verifican una función y su inversa son:


f  f 1  f 1  f  i , siendo i la función identidad.
Las gráficas de una función f y su inversa f 1 , referidas al mismo sistema de
coordenadas, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
Ejemplo: La inversa de la función f x   2  3x es la función f
1
x   2  x
3