Algebra Lineal: Espacios Generados
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Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Reducción
Ejemplo
Operativa
Introducción
Una pregunta que puede ser fundamental referente a espacios
generados es si es posible reducir el número de vectores que
aparecen en el conjunto generador de un espacio generado.
Dicho en términos sencillos: ¿qué se debe cumplir para que
Gen {x1 , x2 , x3 } = Gen {x1 , x2 }?
Esto es: ¿bajo qué condiciones es posible eliminar un vector de
un conjunto generador y seguir generando el mismo espacio sin
él? En esta presentación veremos la condición necesaria y
suficiente para que esto se pueda tener.
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El resultado sobre esto es:
Teorema
Reducción
Ejemplo
Operativa
Gen {x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 } = Gen {x1 , . . . , xk } si y
sólo si xk+1 ∈ Gen {x1 , x2 . . . , xk }
Es decir, para remover un vector de un conjunto generador y
seguir generando el mismo espacio es suficiente y necesario
que el vector a remover sea combinación lineal de los vectores
que quedarán en el conjunto generador.
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Reducción
Ejemplo
Operativa
Demostración
Pk
· xi . Si y es
un vector en Gen {x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 }. Entonces
• Suficiencia: Supongamos que xk+1 =
i=1 ci
y = a1 · x1 + · · · + ak · xk + ak+1 · xk+1
si sustituimos la fórmula de xk+1 en la fórmula anterior
tenemos:
k
X
y = a1 · x1 + · · · + ak · xk + ak+1 ·
ci · xi
i=1
al desarrollar y reagrupar nos queda:
y = (a1 +ak+1 c1 )·x1 +(a2 +ak+1 c2 )·x2 +· · ·+(ak +ak+1 ck )·xk
Por lo tanto, y ∈ Gen {x1 , . . . , xk }; y ası́
Gen {x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 } ⊆ Gen {x1 , . . . , xk }
Como Gen {x1 , . . . , xk } ⊆ Gen {x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 },
concluimos que
Gen {x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 } = Gen {x1 , . . . , xk }
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Ejemplo
Operativa
• Necesidad. Supongamos que
Gen {x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 } = Gen {x1 , . . . , xk }. Por tanto,
toda combinación lineal de los vectores x1 ,x2 ,. . . ,xk ,xk+1
lo es también de los vectores x1 ,x2 ,. . . ,xk . En particular,
lo es también
xk+1 = 0 · x1 + · · · + 0 · xk + 1 · xk+1
por lo tanto
xk+1 ∈ Gen {x1 , . . . , xk }
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Matemáticas
Ejemplo
Determine cuáles vectores pueden eliminarse del conjunto
generador y seguir generando el mismo espacio si V es el
espacio
Intro
Reducción
Ejemplo
Operativa
1
−2
1
2
Gen v = 2 , u = −4 , x = −1 , y = 1
−1
2
0
−1
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Ejemplo
Determine cuáles vectores pueden eliminarse del conjunto
generador y seguir generando el mismo espacio si V es el
espacio
Intro
Reducción
Ejemplo
Operativa
1
−2
1
2
Gen v = 2 , u = −4 , x = −1 , y = 1
−1
2
0
−1
De acuerdo al resultado previo, debemos ir identificando qué
vectores son combinación lineal de los que se van quedando
para poder eliminarlos. Primero pensemos en eliminar y;
veamos si es combinación lineal de los restantes resolviendo:
1
[v u x|y] = 2
−1
2
1
−2
1
rref
−4 −1
1 −−→ 0
2
0 −1
0
−2 0 1
0 1 1
0 0 0
Como el sistema es consistente (que tengo solución única o
infinitas no es relevante), y es combinación lineal de los que se
quedan y por tanto, puede removerse.
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Concluimos que:
V = Gen {v, u, x, y} = Gen {v, u, x}
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Reducción
Ejemplo
Operativa
Concluimos que:
V = Gen {v, u, x, y} = Gen {v, u, x}
Y nuestra pregunta se repite: ¿podemos eliminar otro vector
del nuevo conjunto generador seguir generando V ? Intentemos
eliminar x. Para ello, armamos nuestra aumentada y
reducimos:
[v u|x] =
1
2
−1
1
−2
1
rref
−4 −1 −−→ 0
0
2
0
−2 0
0 1
0 0
Siendo inconsistente el sistema, tenemos la garantı́a de que si
eliminamos x no generaremos V (por lo menos x no estará en
el espacio que generemos al quitarlo).
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Reducción
Ejemplo
Operativa
Concluimos que:
V = Gen {v, u, x, y} = Gen {v, u, x}
Y nuestra pregunta se repite: ¿podemos eliminar otro vector
del nuevo conjunto generador seguir generando V ? Intentemos
eliminar x. Para ello, armamos nuestra aumentada y
reducimos:
[v u|x] =
1
2
−1
1
−2
1
rref
−4 −1 −−→ 0
0
2
0
−2 0
0 1
0 0
Siendo inconsistente el sistema, tenemos la garantı́a de que si
eliminamos x no generaremos V (por lo menos x no estará en
el espacio que generemos al quitarlo). Podemos también en
quitar u.
1
[v x|u] = 2
−1
1 −2
1 0
−1 −4 → 0 1
0
2
0 0
−2
0
0
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Concluimos que:
Reducción
Ejemplo
V = Gen {v, u, x, y} = Gen {v, u, x} = Gen {v, x}
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Como tanto [x|v] como [v|x] son inconsistentes, concluimos
que no es posible eliminar x o v del conjunto {x, v} y seguir
generando V . Por tanto, la máxima reducción queda alcanzada.
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Nota operativa
Todos los cálculos anteriores pueden hacerse en sólo uno:
• Con los vectores iniciales tomados como columnas se
forma una matriz.
• A esta matriz se lleva a la forma reducida.
• Los vectores cuya posición tiene elemento pivote son los
vectores que deben conservarse para el generador.
• Aquellos vectores en cuya columna no queda pivote son
combinación lineal de los restantes pueden eliminarse.
![1 Si v = [ 36 -12 ] , w = [ 9 -3 ] , y S = 1wl. Indique cuáles opciones](http://s2.studylib.es/store/data/004950498_1-7f0b4c506a631255d680bd90dfa0a3e5-300x300.png)
