Document

Matemáticas Discretas
TC1003
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes
ITESM
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Matemáticas Discretas - p. 1/23
Representación Alternativa para Relaciones
Sea A un conjunto y R una relación de A en A. En
este caso diremos que R es una relación sobre A o
una relación en A. Alternativamente al diagrama
de flechas del conjunto hacia si mismo:
a
a
a
b
b
b
c
c
c
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 2/23
Ejemplo
Si A = {1, 2, 3, 4} y
R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1)} dibuje el
diagrama de flechas de las relación.
Solución
1
2
4
3
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 3/23
Relación Reflexiva
Definición
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que
■ R es reflexiva si :
∀x, (x ∈ A → (x, x) ∈ R).
Es decir, toda relación que sea reflexiva debe tener
al menos n flechas (suponiendo que n es el número
de elementos de A): deben estar todas las parejas
(a, a) donde a barre todos los elementos de A.
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 4/23
Ejemplos
1
2
1
2
4
3
4
3
Relación no Reflexiva
Relación Reflexiva
Cada nodo debe tener un cíclo.
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 5/23
Ejemplos
De acuerdo a la mtriz de adyacencia de una
relación:




 1 · · ·

 1 · · ·

 .

 .

.
 .. . .

 .. 1









...
0







. . . 
1
Relación No reflexiva Relación Reflexiva
En la diagonal principal debe haber sólo unos
para relaciones reflexivas. En las no reflexivas hay
al menos un cero.
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 6/23
Relación Simétrica
Definición
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que
R es simétrica si
∀x, y, ((x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R).
Que no nos engañe la implicación: no dice que
tengamos flechas de x a y para todo x y y: Dice
que en caso de haber una flecha de x a y debemos
de tener una de y a x en las relaciones simétricas.
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 7/23
Ejemplos
1
2
1
2
4
3
4
3
Relación no simétrica
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Relación Simétrica
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 8/23
Relación Antisimétrica
Definición
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que
R es antisimétrica si
∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y).
Cuando están las parejas (x, y) y (y, x) en la
relación, es porque las parejas son (x, x).
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 9/23
Ejemplos
1
2
1
4
3
4
Relación no Antisimétrica
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Relación
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
2
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
3
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
AntisimétricaEjemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 10/23
Relación Transitiva
Definición
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que
R es transitiva si
∀x, y, z, ((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R).
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 11/23
Ejemplos
1
2
1
2
4
3
4
3
Relación no Transitiva
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Relación Transitiva
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 12/23
Relación de Equivalencia
Definición
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que
R es una relación de equivalencia si R es reflexiva,
simétrica y transitiva.
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 13/23
Ejemplos
1
2
1
4
3
4
Relación no de Equivalencia
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Relación
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
2
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
3
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
de Equivalencia
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 14/23
Relación de Orden Parcial
Definición
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que
R es una relación de orden parcial si R es
reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 15/23
Ejemplos
1
2
1
2
4
3
4
3
Relación que no es Orden Parcial Relación de Orden
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Parcial
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 16/23
Ejemplo
Considere el conjunto
A = {1, 2, 3}
y la relación:



 (2, 2) , (2, 3) , (1, 2) ,
R=

 (1, 1) , (3, 3)







Indique cuáles propiedades tiene la relación.
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 17/23
Ejemplo
Indica cuáles de las siguientes son relaciones de
equivalencia:
1. mod5 en los enteros
2. La relación vecinos en los paises
3. Primos en una familia
4. ≥ en los enteros
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 18/23
Cerradura Transitiva de una Relación
Definición
Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura
transitiva de R es una relación R′ que cumple:
■ R′ es transitiva,
■ R ⊆ R′ (R′ contiene a R), y
■ Cualquier otra relación transitiva que contiene a
R también contiene a R′ .
Es decir, la cerradura transitiva de una relación R
es la más pequeña relación transitiva que contiene
a R.
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 19/23
Ejemplos
1
2
1
2
4
3
4
3
Relación
Cerradura Transitiva
Cuidado: A veces hace falta una segunda pasada
para revisar si ya es transitiva.
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 20/23
Considere el conjunto
A = {1, 2, 3}
y la relación sobre A:






 (1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , 
R=



 (2, 1) , (2, 2) , (3, 3) 
Sólo de la siguiente lista indique cuáles parejas
deben aãdirse a R en la cerradura transitiva:
1. (2, 3)
2. (3, 1)
3. (3, 2)
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 21/23
Partición de un Conjunto
Definición
Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A
es una colección de subconjuntos de A, A1 ,
A2 ,. . . ,Am tal que
■ Ningún subconjunto Ai es vacío:
∀i, Ai , ∅
■
Los conjuntos no tienen elemento en común:
∀i, j, (i , j → Ai ∩ A j = ∅)
■
La unión de los conjuntos es igual a A:
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am = A
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 22/23
Ejemplo
Indica cuáles de las siguientes son particiones del
conjunto:
{1, 3, {5, 2}, 4}
1.
2.
3.
4.
{∅, {1, 3, {5, 2}, 4}}
{{1}, {3, {5, 2}, 4}}
{{{1, 3}}, {5, 2}, {4}}
{{1}, {3}, {{5, 2}}, {4}}
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades
Representación
Ejemplo 1
Reflexiva
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simetrı́a
Ejemplo 3
Antisimetrı́a
Ejemplo 4
Transitividad
Ejemplo 5
Equivalencia
Ejemplo 6
Orden Parcial
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Cerradura
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Partición
Ejemplo 12
Matemáticas Discretas - p. 23/23