conjunto - Matemática Discreta

Matemáticas Discreta
Lic. Carolina Galaviz Inzunza
1.1 Concepto de conjunto
Un conjunto es una agrupación, clase o colección
de objetos denominados elementos del conjuntos.
Elemento
Un conjunto se puede determinar:
Enumeración: Realizando un listado
elementos que conforman el conjunto.
de
Descripción:
Requisitos,
propiedades
o
características que describen los objetos o
elementos pertenecientes a un conjunto, las
características con las que se cuentan deben ser
necesarias y suficientes.
Estructura del conjunto
Enumeración:
Los elementos van
Igualdad minúscula y
separados por comas
Conjunto se representa
con letra mayúscula
Llaves
A = { elemento1, elemento2, elemento3, elemento4}
Descripción:
Conjunto se representa
con letra mayúscula
Igualdad
Propiedad de los objetos pertenecientes al conjunto
A = { x/x es una vocal }
Llaves
Tabla comparativa
Por enumeración:
Por descripción:
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, , , j, u, t, s }
D = { 1, 3, 5, 7, 9 }
E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . }
A = { x/x es una vocal }
B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
D = { x/x es un número impar menor que 10 }
E = { x/x es una consonante }
Lectura:
Por enumeración se lee:
A = { a, e, i, o, u }
“A es el conjunto formado por las vocales”
Por descripción se lee:
A = { x/x es una vocal }
“A es el conjunto formado por todos los x tales que x es
una vocal”.
1.2 Conjunto Universal
El universo resulta ser una limitación, y estará
integrado por todos aquellos objetos con los cuales
será posible formar conjuntos en un estudio particular.
Se le denota por la letra U.
Ejemplo
A = { aves }
B = { peces }
C = { conejos }
D = { monos }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B,
C y D.
U = { animales }
1.3 Conjuntos especiales
1. Conjunto Unitario: Es todo conjunto que está
formado por un sólo y único elemento
Q = {x/x es un planeta habitado}
Q = {Tierra}
2. Conjuntos vacío: es aquél que carece de elementos,
y se simboliza mediante el signo ∅.
M= {x/x es un marciano con 3 brazos}
M={}
El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier otro
conjunto:
{Ø} ⊂ A, para todo conjunto A.
1.4 Subconjunto
Subconjunto: Conjunto que forma parte de otro conjunto
dado.
Un subconjunto S de un conjunto C es un conjunto tal
que todo elemento de S pertenece a C.
C= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...}
S={2,4,6,8,10,12,...}
Y escribimos: S ⊂ C
Se lee: S es un subconjunto de C.
Subconjunto propio e impropio
Subconjunto impropio de un conjunto X:
El conjunto vacío o el conjunto total X.
Símbolo: ⊆
Subconjunto propio de X:
Cualquier subconjunto distinto del vacío y del X.
Símbolo: ⊂
Conjunto Potencia
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M
se llama Conjunto Potencia de M.
Se le denota como 2M .
M = { 1, 2, 3 }
El conjunto M tiene 3 elementos
2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø}
Entonces 23 = 8 elementos
1.5 Igualdad de Conjuntos
Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando
ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada
elemento de A pertenece a B y si cada elemento que
pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se
denota A = B.
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 1, 2}
A=B
Diagrama de Venn
Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama
de la matemática conocida como teoría de conjuntos.
Los diagramas son empleados, para representar tanto a los
conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una
poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez
lógica.
Unión (U)
La unión de los conjuntos A y C es el conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a A o a C o a ambos.
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
C = { 5, 6, 8 }
Casos
Cuando no tienen
elementos comunes
Cuando tienen
algunos elementos
comunes
Cuando todos los
elementos de un
conjunto pertenecen a
otro conjunto
Intersección ( )
Se define la intersección de dos conjuntos A y C al conjunto de
elementos que son comunes a A y C.
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
C = { 2, 4 }
Casos
Cuando no tienen
elementos comunes
Cuando tienen
algunos elementos
comunes
Cuando todos los
elementos de un
conjunto pertenecen a
otro conjunto
Diferencia
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y C al conjunto formado por
todos los elementos de A pero que no pertenecen a C.
A = { a, b, c, d, e }
C = { d, f, g }
A - C = { a, b, c, e }
Casos
Cuando no tienen
elementos comunes
Cuando tienen
algunos elementos
comunes
Cuando todos los
elementos de un
conjunto pertenecen a
otro conjunto
Referencias
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/venn.htm
Material de Conjuntos, Matemáticas Discreta.
http://es.wikipedia.org/wiki/Subconjunto